Wykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

Transkrypt

1 Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

2 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja granice lewostronna lim f (x) i prawostronna lim f (x) i sa sobie równe, x x x x czyli lim f (x) = a lim x x 0 x x 0 f (x) = lim x x + 0 f (x) = a. Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

3 Przykład bo Przykład 1 lim x 0 x nie istnieje, 1 lim x 0 x = [ 1 ] = oraz lim 0 x x = [ 1 0 ] =. + bo 2 lim x 0 x 2 =, 2 lim x 0 x = [ 2 ] = oraz lim x x = [ ] =. + Uwaga Przy liczeniu granic prawo i lewostronnych w ustaleniu znaku "zera" wykorzystuje się wykres funkcji z mianownika. Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

4 Definicja: Otoczenie punktu Otoczeniem punktu x 0 R o promieniu r > 0 nazywamy zbiór O(x 0, r) = (x 0 r, x 0 + r), O(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ] otoczenie lewostronne, O(x + 0, r) = [x 0, x 0 + r) otoczenie prawostronne. Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0 ). Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

5 Ciagłość w punkcie Funkcja f jest ciagła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f (x 0 ) = lim x x 0 f (x) = lim x x + 0 f (x). Funkcja f (x) jest ciagła lewostronnie wtedy i tylko wtedy, gdy f (x 0 ) = lim f (x). x x 0 Funkcja f (x) jest ciagła prawostronnie wtedy i tylko wtedy, gdy f (x 0 ) = lim f (x). x x + 0 Funkcja f (x) jest ciagła na zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciagła w każdym punkcie tego zbioru. Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

6 Przykład Zbadać ciagłość f (x) w punkcie x 0 = 0, gdy f (x) = x 2 cos 1 x, x < 0 0, x = 0 e 1 x, x > 0. Przykład Dobrać parametry a i b tak, aby funkcja f (x) była ciagła w punktach x 1 = 1 i x 2 = 1 : { f (x) = x, x 1 x 2 + ax + b, x > 1. Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

7 Nieciagłość funkcji - typu skok i typu luka Nieciagłość typu "skok", gdy lim x x 0 f (x) lim x x + 0 f (x). źródło: autorzy: uczniowie i pracownicy MOSu KAT, licencja: CC BY-SA Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

8 Nieciagłość typu "luka", gdy lim x x 0 f (x) = lim x x + 0 f (x) f (x 0 ). źródło: autorzy: uczniowie i pracownicy MOSu KAT, licencja: CC BY-SA Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

9 Działania na funkcjach ciagłych Jeżeli f i g sa ciagłe w punkcie x 0, to ciagłe sa funkcje f ± g, f g, f g ( o ile g(x 0) 0). Jeżeli f jest ciagła w punkcie x 0, a g jest ciagła w punkcie f (x 0 ), to funkcja g f jest ciagła w x 0. Funkcje elementarne sa ciagłe na swoich dziedzinach. Przykład Następujace funkcje sa ciagłe na swoich dziedzinach: a) f (x) = cos 3 x, x R, b) f (x) = 5 x 2 + x, x R, c) f (x) = ln(x 4 + 1), x R. Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

10 Twierdzenie Darboux (czyt. "darbu") Jeżeli oraz f (x) jest ciagła na [a, b] f (a) < f (b), to dla każdego u [f (a), f (b)] istnieje c [a, b] takie, że f (c) = u. Zatem jeżeli funkcja przyjmuje na końcach przedziału wartości f (a) i f (b), to przyjmuje każda wartość pośrednia ("gdzieś" wewnatrz przedziału (a, b)). Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również wtedy, gdy f (a) > f (b). Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

11 źródło: Wikipedia, autorzy: Kpengboy (talk), licencja: CC-BY-SA 3.0, Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

12 Wniosek Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f (a) f (b) < 0 (czyli " +" albo "+ ") to istnieje c (a, b) taki, że f (c) = 0. Jeżeli f jest ściśle monotoniczna, to punkt c jest dokładnie jeden. Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

13 Zadanie Pokazać, że każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Wskazówka Skorzystać z faktu, że dowolny wielomian w ± zachowuje się tak, jak składnik z najwyższa potęga. Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

14 Zadanie Pokazać, że każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Rozwiazanie Niech n będzie liczba nieparzysta oraz Zauważmy, że f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. lim f (x) = lim a nx n = sgn(a n ) x x lim f (x) = lim a nx n = sgn(a n ) ( ), x x gdzie sgn(a n ) jest znakiem współczynnika a n. Ponieważ lim f (x) i x x 0 taki, że f (x 0 ) = 0. lim x f (x) maja różne znaki, zatem istnieje Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

15 Pochodna funkcji Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

16 Niech x 0 R oraz f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0, r), r > 0. Definicja: Pochodna funkcji w punkcie Jeżeli istnieje granica f (x 0 + x) f (x 0 ) lim x 0 x i jest liczba, to nazywamy ja pochodna funkcji f (x) w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ). Stosujemy oznaczenie: f (x 0 ) = df dx (x 0) = Df (x 0 ). Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

17 Definicja Wyrażenie f (x 0 + x) f (x 0 ) x nazywamy ilorazem różnicowym f w punkcie x 0. Iloraz różnicowy jest współczynnikiem kierunkowym (czyli również tangensem kata nachylenia do osi OX) siecznej przechodzacej przez punkty (x 0, f (x 0 )), (x 0 + x, f (x 0 + x)). źródło: Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

18 Wniosek Gdy x 0, to sieczne przechodzace przez Równanie Magdalena Alama-Bućko stycznej do wykresu Wykład funkcji 11 f w punkcie (x 18 grudnia, f (x 2017)): 18 / 22 (x 0, f (x 0 )) i (x 0 + x, f (x 0 + x)) zmierzaja do stycznej do f w punkcie (x 0, f (x 0 )), której współczynnik kierunkowy wynosi f (x 0 ). źródło: Równanie stycznej do f w punkcie (x 0, f (x 0 )): y = f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ).

19 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a, (e x ) = e x (log a x) = 1 x ln a, (tg x) = 1 cos 2 x (ctg x) = 1 sin 2 x (arc sin x) = 1 1 x 2 (arc cos x) 1 = 1 x 2 (ln x) = 1 x (sin x) = cos x (cos x) = sin x (arc tg x) = x 2 (arc ctg x) = x 2 Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

20 Pochodne z działań na funkcjach (cf (x)) = c f (x) (f (x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) (f (x) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x) ( ) f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g(x) g 2 (x) (f (g(x))) = f (g(x)) g (x) Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

21 Przykład Obliczyć f (x), jeśli: f (x) = x, f (x) = x 3, f (x) = x, f (x) = 2x 3, f (x) = 3e x f (x) = 3x 2 + 4x 5 f (x) = 3x x 3 x f (x) = 5x 3 x + x + 2 f (x) = x 3 e x f (x) = 3x 5 2e x sin x f (x) = sin(x 2 + 3) f (x) = cos 5 x f (x) = cos(x 5 ) f (x) = (3x 5 4 ln x + 1) 10 3 sin x e x Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22

22 Dziękuję za uwagę! Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22