Granica funkcji wykład 4

Transkrypt

1 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie g = 9,81 m s 2 Chcemy znaleźć prędkość kulki w danym momencie, np dla t = 2 Prędkość kulki w chwili t możemy zdefniować jako liczbę do której zbiega iloraz gdy zbiega do 0 Ponieważ s(t + ) s(t) s(t + ) s(t) = 0,5(gt2 + 2g + g() 2 gt 2 ) = gt + g 2 więc intuicja podpowiada nam, że prędkość kulki w chwili t jest równa gt Formalizacja problemu Problemy: W jaki sposób można sformalizaować powyższe rachunki (przy użyciu pojęcia granicy); W jaki sposób wykonywać podobne rachunki,gdy funkcja s jest bardziej skomplikowana? Rozwiązanie tych problemów dzięki pojęciom granicy funkcji i pochodnej Granica funkcji Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Liczba g jest granica właściwa funkcji f w punkcie x 0, co zapisujemy f(x) = g, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciagu punktów (x n ) z sasiedztwa S(x 0, r) zbieżnego do x 0 mamy: f(x n) = g n 1

2 Granica prawostronna, lewostronna Uwaga Jeśli w powyższej definicji zamienimy S(x 0, r) na sąsiedztwo prawostronne x 0 S + (x 0 ) = (x 0, x 0 + r) dla pewnego r > 0, to otrzymamy definicję granicy prawostronnej w funkcji f w punkcie x 0 ; granica lewostronna funkcji f może być określona w analogiczny sposób Obrazowo: funkcja f ma w punkcie x 0 granicę właściwą g, gdy jej wartości odpowiadają argumentom dążącym do punktu x 0 (i różnym od tego punktu) dążą do liczby g Podana przez nas definicja granicy funkcji w punkcie została sformułowana przez E Heinego ( ) Przykład Uzasadnic, że (2x 7) = 1 x 4 Rozwiazanie Niech (x n ) będzie dowolnym ciągiem spełniającym warunki: {x n } S(4) oraz x n = 4 n Wtedy (2x n 7) = 2 ( x n) 7 = = 1 n n n Granica właściwa w nieformalnie Obrazowo: funkcja f ma w granicę właściwą g, jeżeli jej wartości odpowiadające argumentom dążącym do dążą do granicy g Zamiast równości f(x) = g stosowany jest też zapis f(x) g, gdy x albo f( ) = g Uwaga Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w jest podobna do poprzedniej Przykład Można pokazać, że 5 x + 3 = 0 Twierdzenia o granicach właściwych funkcji Twierdzenie 1 (o arytmetyce granic funkcji) Jeżeli funkcje f i g maja granice właściwe w punkcie x 0, to (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x), (1) (f(x) g(x)) = f(x) g(x), (2) (cf(x)) = c f(x), c R, (3) (f(x) g(x)) = f(x) g(x), (4) f(x) g(x) = f(x) x x0 g(x), o ile g(x) 0, (5) (6) 2

3 Uwaga Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic funkcji w i w Przykład Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji można obliczyć: Dwie ważne granice Można pokazać, że oraz że x 1 x 1 x 5 1 = 1 5 sin x x 0 x = 1 (7) e x 1 = 1 (8) x 0 x Asymptota pozioma Definicja 2 (asymptoty poziomej funkcji) Prosta y = b nazywamy asymptota pozioma funkcji f w wtedy i tylko wtedy, gdy: (f(x) b) = 0 Analogicznie definiujemy asymptotę poziomą w Przykład Prosta y = 0 jest asymptotą poziomą funkcji wykładniczej f(x) = ( 1 2 )x w + bo: Funkcje ciagłe [(1 2 )x 0] = 0 Definicja 3 (funkcji ciągłej w punkcie) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0 ) Funkcja f jest ciagła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = f(x 0 ) (9) Obrazowo: funkcja jest ciągła w punkcie, gdy jej wykres nie przerywa się w tym punkcie Definicja 4 Przedziałem nazywamy zbiór postaci: (a, b),(a, b], [a, b), [a, b], gdzie a < b, lub (, a), (, a], (a, ), [a, ), (, ), gdzie a R Uwaga Przedziałami otwartymi będziemy nazywać zbiory postaci (a, b), (, a), (a, ), (, ) a, b R Funkcje ciagłe na przedziale otwartym Definicja 5 Funkcja jest ciagła na przedziale otwartym I, jeżeli jest ciagła w każdym punkcie tego zbioru Funkcje ciagłe na przedziale domkniętym co najmniej z jednej strony Mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła na przedziale [a, ) jeśli jest ciągła na przedziale otwartym (a, ) i prawostronna granica funkcji f w punkcie a jest równa f(a) itd Obrazowo, funkcja jest ciągłą na przedziale, gdy jej wykres można narysować bez odrywania ręki 3

4 Działania na funkcjach ciagłych Twierdzenie (o ciagłości sumy, róznicy, iloczynu i ilorazu funkcji) Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x 0, to: 1 funkcja f + g jest ciągła w punkcie x 0 ; 2 funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0 ; 3 funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0 ; 4 funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0, o ile g(x 0 ) 0 Twierdzenie 2 Jeżeli 1 funkcja f jest ciagła w punkcie x 0, 2 funkcja g jest ciagła w punkcie y 0 = f(x 0 ) to funkcja g f jest ciagła w punkcie x 0 ; przypominamy, że g f(x 0 ) = g(f(x 0 )) Można pokazać, że funkcje wielomianowe, wykładnicze, trygonometryczne i ogólnie: wszystkie funkcje elementarne sa ciagłe Iloraz różnicowy Definicja 6 Niech x 0 R oraz niech funkcja f bedzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0, r), gdzie r > 0 Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadajacym przyrostowi x, gdzie 0 < x < r, zmiennej niezależnej nazywamy liczbę f x = f(x 0 + x) f(x 0 ) x Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego Przypominamy: funkcję postaci y = ax + b nazywamy funkcją liniową Współczynnik kierunkowy a jest równy przyrostowi (zmianie) wartości funkcji liniowej, gdy argument zostanie zwiększony o 1 Iloraz różnicowy jest równy współczynnikowi nachylenia funkcji liniowej, której wykresem jest prosta przechodząca przez punkty (x 0, f(x 0 )), (x 0 + x, f(x 0 + x)) Uwaga Prostą przechodzącą przez dwa dane punkty wykresu nazywamy sieczną Pochodna funkcji Definicja 7 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0 ) Pochodna właściwa funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granicę właściwa f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = x x 0 Uwaga Inaczej mówiąc pochodna funkcji f jest granicą ilorazu różnicowego f x gdy x 0 Mamy zatem f (x 0 ) = x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ) x Oznaczenia Do oznaczania pochodnej funkcji f w punkcie x 0 stosowane są także symbole df dx (x 0), Df(x 0 ) 4

5 Obliczanie prędkości chwilowej cd Prędkość ołowianej kulki upuszczonej z wysokiej wieży w chwili t 0 jest równa s (t 0 ) Przypominamy: s(t) = gt2 2 Mamy: s s(t) s(t 0 ) g (t 0 ) = = t t0 t t 0 x t0 2 (t + t 0) = gt 0 Wynik, uzyskany na drodze intuicyjnej na początku wykładu: teraz otrzymany w całkowicie formalny sposób 5