Analiza matematyczna

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza matematyczna"

Transkrypt

1 Analiza matematyczna Stanisław Jaworski Katedra Ekonometrii i Statystyki Zakład Statystyki

2 Funkcje Podstawowe pojęcia Funkcje Definicja (Funkcja) Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazwywamy pzyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Funkcję taką oznaczamy przez f : X Y. Definicja (Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji) Niech f : X Y. Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f, a zbiór Y nazywamy jej przeciwdziedziną. Uwaga Jeżeli jest dany wzór określający funkcję, to zbiór tych elementów z R, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji. Definicja (Zbiór wartości funkcji) Zbiór f(x) = {f(x) Y : x X} nazywamy zbiorem wartości funkcji f.

3 Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Równość funkcji) Funkcje f : X Y, g : Z Y są równe, co zapisujemy f = g, wtedy i tylko wtedy, gdy X = Z oraz f(x) = g(x) x X Definicja (Wykres funkcji) Wykresem funkcji f : X Y nazywamy zbiór {(x, f(x)) R 2 : x X}

4 Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Funkcja parzysta) Funkcja f : X R jest parzysta, jeżeli ( ) x X oraz f( x) = f(x) x X Definicja (Funkcja nieparzysta) Funkcja f : X R jest nieparzysta, jeżeli ( ) x X oraz f( x) = f(x) x X

5 Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Funkcja ograniczona z dołu) Funkcja f : X R jest ograniczona z dołu na zbiorze A X, jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z dołu, tzn. f(x) m m R x A Definicja (Funkcja ograniczona z góry) Funkcja f : X R jest ograniczona z góry na zbiorze A X, jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z góry, tzn. f(x) m m R x A

6 Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Funkcja ograniczona) Funkcja f : X R jest ograniczona na zbiorze A X, jeżeli jest ograniczona z dołu i z góry na tym zbiorze, tzn. m f(x) M m,m R x A Definicja (Funkcja rosnąca) Funkcja f : X R jest rosnąca na zbiorze A X, jeżeli [ ) ( )] (x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) x 1,x 2 A

7 Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Funkcja malejąca) Funkcja f : X R jest malejąca na zbiorze A X, jeżeli [ ) ( )] (x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) x 1,x 2 A Definicja (Funkcja niemalejąca) Funkcja f : X R jest niemalejąca na zbiorze A X, jeżeli [ ) ( )] (x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1,x 2 A

8 Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Funkcja nierosnąca) Funkcja f : X R jest nierosnąca na zbiorze A X, jeżeli [ ) ( )] (x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1,x 2 A Definicja (Funkcja różnowartościowa) Funkcja f : X R jest różnowartościowa na zbiorze A X, jeżeli [ ) ( )] (x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1,x 2 A

9 Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Funkcja na ) Funkcja f : X Y jest funkcją na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = Y Definicja (Funkcja wzajemnie jednoznaczna) Funkcja f : X Y jest wzajemnie jednoznaczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest różnowartościowa w swojej dziedzinie oraz jest na zbiór Y.

10 Funkcje Podstawowe pojęcia Definicja (Funkcja odwrotna) Niech funkcja f : X Y będzie wzajemnie jednoznaczna. Funkcją odwrotną do f nazywamy funkcję f 1 : Y X określoną przez warunek f 1 (y) = x f(x) = y, gdzie x X, y Y. Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W R oraz Y Z oraz niech f : X Y, g : Z W. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g f : X W określoną wzorem g f(x) = g(f(x)), dla x X

11 Funkcje Podstawowe pojęcia Fakt Niech funkcja f : X Y będzie wzajemnie jednoznaczna. Wtedy f 1 (f(x)) = x oraz f(f 1 (y)) = y x X x X

12 Funkcje Podstawowe pojęcia arcsin(x) Funkcją arcsin (arkus sinus) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji sinus obciętej do przedziału [ π 2, ] π 2

13 Funkcje Podstawowe pojęcia arctg(x) Funkcją arctg (arkus tangens) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji tangens obciętej do przedziału ( π 2, π 2 ). Dziedziną funkcji arctg(x) jest R.

14 Funkcje Podstawowe pojęcia arcctg(x) Funkcją arcctg (arkus kotangens) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji kotangens obciętej do przedziału (0, π). Dziedziną funkcji arcctg(x) jest R.

15 Ciągi nieskończone Ciągi Definicja (ciąg) Ciąg (a n ) jest odwzorowaniem N n a n, gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych. Liczby a 1, a 2,... nazywamy wyrazami tego ciągu. Przykłady (n), (3n + 1), mylące/ ( 3 ( ) ) 1 n 1 2, (( 1) n + 1) /nawiasy mogą być a n = n, a n = 3n + 1, a n = 3 ( 1 2) n 1, an = ( 1) n + 1 postęp arytmetyczny: a n = a + nq, dla a, q R, n N postęp geometryczny: a n = aq n 1, dla a R, q R +, n N

16 Ciągi nieskończone granica właściwa ciągu Definicja (ciąg (a n ) ma granicę g R) lim a n = g a n g < ε n ε>0 N n>n oznaczenia: lim a n = g, a n g, lim a n = g, a n g n n

17 Ciągi nieskończone granica właściwa ciągu Przykłady: ciągi zbieżne do zera 1 lim n n = 0, 1 lim n = 0 lim ( 1)n+1 n = 0, lim 1 n sin n = 0 1 Pokażemy z definicji, że lim n n = 0. Niech ε bedzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Zachodzi Zatem możemy przyjąć N = 1/ε 1/n 0 < ε n > 1/ε.

18 Ciągi nieskończone granica właściwa ciągu Przykłady: ciągi zbieżne do zera 1 lim n n = 0, 1 lim n = 0 lim ( 1)n+1 n = 0, lim 1 n sin n = 0 1 Pokażemy z definicji, że lim n n sin n = 0. Niech ε bedzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Zauważmy, że 1 n sin n = 1 n sin n 1 n dla n N. Zatem 1 sin n 0 < ε n > 1/ε n Stąd możemy przyjąć N = 1/ε jak w poprzednim dowodzie.

19 Ciągi nieskończone granica właściwa ciągu Przykład ciągu zbieżnego do 1 3 a n = n2 n+2 3n 2 +2n 4 Pokażemy, że lim a n = 1 3. Niech ε będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią. Zauważamy, że zachodzą następujące nierówności a n 1 3 = 5n 10 3(3n 2 + 2n 5) < 5n 3(3n 2 4) < 5n 3 2n 2 < 1 n Zatem a n 1 3 jest mniejsze od ε, jeżeli n > [1/ε]

20 Ciągi nieskończone granica właściwa ciągu Twierdzenie Jeżeli γ > 1, to γ n > 1 + n(γ 1) Pomiń dowód

21 Ciągi nieskończone granica właściwa ciągu Twierdzenie Jeżeli γ > 1, to γ n > 1 + n(γ 1) Dowód. Przyjmując γ = 1 + λ, gdzie λ > 0, na podstawie wzoru na dwumian Newtona mamy (1 + λ) n = 1 + nλ +..., gdzie niezapisane wyrazy są dodatnie. Zatem (1 + λ) n > 1 + nλ. Podstawiając λ = γ 1 otrzymujemy dowód twierdzenia.

22 Ciągi nieskończone granica właściwa ciągu Twierdzenie Jeżeli γ > 1, to γ n > 1 + n(γ 1) Wniosek: Przyjmując γ = α 1/n, przy α > 1 otrzymujemy nierówność α 1/n 1 < α 1 n. Nierówność tę wykorzystamy do udowodnienia następującego faktu: Fakt lim a 1/n = 1 dla a > 1 Dowód. a 1/n 1 = a 1/n 1 < a 1 n < ε, o ile n > N = a 1 ε

23 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Twierdzenie Ciąg zbieżny jest ograniczony. lim a n = 0 n lim a n = 0. n Twierdzenie Zakładamy, że (a n ) oraz (b n ) są ciągami zbieżnymi lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n n n n lim (a n b n ) = lim a n lim b n n n n

24 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Twierdzenie Ciąg zbieżny jest ograniczony. lim a n = 0 n lim a n = 0. n Twierdzenie Zakładamy, że (a n ) oraz (b n ) są ciągami zbieżnymi lim c a n = c lim a n, dla c R n n lim (a n b n ) = lim a n lim b n n n n

25 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Twierdzenie Ciąg zbieżny jest ograniczony. lim a n = 0 n lim a n = 0. n Twierdzenie Zakładamy, że (a n ) oraz (b n ) są ciągami zbieżnymi a lim n n bn = lim n an lim n bn, o ile lim n b n 0 lim n ap n = ( lim n a n) p dla p Z \ {0}

26 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Przykład n 2 3n 3 lim n n = lim n 3 ( 1 n 3) n n 3 (1 + 1 n ) = 3 = = lim ( 1 n n 3) lim (1 + 1 n n ) = 3 lim n 1 n lim n 3 lim 1 + ( lim n n 3 1 = n )3 1 = 3

27 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Przykład: dlaczego ciągi muszą być zbieżne Ciągi z tabeli spełniają: lim a n = lim b n = n n a n n n + 5 2n n + ( 1) n b n 2n n n n lim n b n ) n 5 nie istnieje Definicja (Ciąg rozbieżny) lim a n = a n > M n M N n>n

28 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Przykład: dlaczego ciągi muszą być zbieżne Ciągi z tabeli spełniają: lim a n = 1, n lim b n = n a n n 1/n n 5 n n n 3 + ( 1) n b n n n n n lim (a n) bn 0 5 nie istnieje n

29 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Przykład: o nieokreśloności 0 0 Ciągi z tabeli spełniają: lim a n = lim b n = 0 n n a n 1 n n 0.5 n 1 n n n n [3+( 1) n ] n b n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n lim (a n) bn nie istnieje n

30 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Twierdzenie (o trzech ciągach) Niech ciągi (a n ), (b n ) oraz (c n ) spełniają: a n b n c n N n>n lim a n = lim c n = b, gdzie b R n n Wtedy lim b n = b n

31 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Twierdzenie (o trzech ciągach) Niech ciągi (a n ), (b n ) oraz (c n ) spełniają: a n b n c n N n>n lim a n = lim c n = b, gdzie b R n n Wtedy lim b n = b n Przykład 7 = n 7 n n 3 n + 5 n + 7 n n 3 7 n = 7 n 3 Stąd lim 7 = 7 lim n 3n + 5 n + 7 n 7 lim n 3 = 7 1 n n n Zatem lim n 3n + 5 n + 7 n = 7 n

32 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Twierdzenie Jeżeli ciąg (a n ) jest rosnący i ograniczony z góry dla n N, to jest zbieżny do granicy g = sup{a n : n N} Przykład Liczbę e definiujemy następująco: e = lim n (1 + 1 n )n. Ta definicja ma sens tylko wtedy, gdy granica ta istnieje. W tym celu pokażemy, że ciąg a n = (1 + 1 n )n jest rosnący i ograniczony.

33 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu a n = ( n) n = n k=0 ( ) n 1 k 1 k n k = = 1 + n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) n 1 2 n n 3 + n(n 1)... (n k + 1) k n k n(n 1)... (n n + 1) n n n = = ( 1 1 ) + 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ! n 3! n n + 1 ( 1 1 ) (... 1 k 1 ) ( 1 1 ) (... 1 n 1 ) k! n n n! n n Jeżeli od a n przejdziemy teraz do a n+1, tj. zwiększymy n o jedność, to pojawi się nowy (n + 2) gi wyraz, a każdy z już napisanych wyrazów się zwiększy, bo dowolny czynnik w nawiasach postaci 1 s n zastępujemy większym czynnikiem 1 s n+1. Wynika stąd, że a n+1 > a n.

34 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu a n = ( n) n = n k=0 ( ) n 1 k 1 k n k = = 1 + n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) n 1 2 n n 3 + n(n 1)... (n k + 1) k n k n(n 1)... (n n + 1) n n n = = ( 1 1 ) + 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ! n 3! n n + 1 ( 1 1 ) (... 1 k 1 ) ( 1 1 ) (... 1 n 1 ) k! n n n! n n Ciąg (a n ) jest ograniczony z góry ponieważ, opuszczając wszystkie czynniki w nawiasach, powiększamy powyższe wyrażenie. Zatem a n < ! + 1 3! n! < n 1 < 3

35 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach właściwych ciągu Wykres ciągu a n = (1 + 1/n) n Fakt: Jeżeli dla pewnego N( zachodzi: ) a n > 0 dla n > N oraz lim a n =, to lim an n n a n = e Fakt: Jeżeli dla pewnego N zachodzi: ( ) a n < 0 dla n > N oraz lim a n =, to lim an n n a n = e

36 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów Twierdzenie Jeżeli lim a n = a, gdzie 0 < a n lim b n = 0, gdzie b n > 0 dla n N n to lim n a n bn = Twierdzenie Jeżeli dla pewnego N ciągi (a n ) oraz (b n ) spełniają a n b n, dla każdego n N lim n a n = to lim n b n =

37 Ciągi nieskończone twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów Twierdzenie a + = dla < a ; a a = 0 dla < a < ; a = 0 dla 0 + a < 1; b = 0 dla b < 0; a = dla 0 < a 0 + = dla 0 < a a = dla 1 < a b = dla 0 < b Definicja (wyrażenia nieoznaczone)

38 Granica funkcji Punkt skupienia Punkty skupienia Definicja Punkt x 0 nazwywamy punktem skupiena zbioru X R, jeżeli dowolnie blisko x 0 istnieją liczby x X, różne od x 0. Równoważnie możemy powiedzieć, że x 0 jest punktem skupienia X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (x n ) taki, że X x n x 0 dla każdego n N oraz lim n x n = x 0.

39 Granica funkcji Punkt skupienia Punkty skupienia Definicja Punkt x 0 jest prawostronnym (lewostronnym) punktem skupienia X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (x n ) taki, że X x n > x 0 (x n < x 0 ) dla każdego n N oraz lim n x n = x 0.

40 Granica funkcji Punkt skupienia Punkty skupienia Definicja Punkt x 0 jest prawostronnym (lewostronnym) punktem skupienia X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (x n ) taki, że X x n > x 0 (x n < x 0 ) dla każdego n N oraz lim n x n = x 0. Definicja Mówimy, że ( ) jest punktem skupienia zbioru X R wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (x n ) taki, że X x n dla każdego n N oraz lim n x n = ( ).

41 Granica funkcji Definicje granic Granice funkcji Definicja (Granica funkcji) Niech X, Y R, f : X Y, x 0 punkt skupienia zbioru X. Będziemy pisali lim x x 0 f(x) = g jeżeli istnieje punkt g R o następujących własnościach: [0 < x x 0 < δ f(x) g < ε] ε>0 δ>0 x X

42 Granica funkcji Definicje granic Granice funkcji Twierdzenie (Równoważność definicji granicy funkcji) lim x x 0 f(x) = g lim f(x n) = g dla dowolnego ciągu n (x n ) takiego, że: X x n x 0 dla każdego n N oraz lim n x n = x 0 Prawa strona równoważności, to tzw. definicja Heinego granicy funkcji.

43 Granica funkcji Definicje granic Definicja (Definicje granic funkcji) Niech X, Y R, f : X Y oraz x n X dla każdego n N. lim f(x) = g x lim f(x) = g x lim f(x) = g x x + 0 lim f(x) = g x x 0 Uwaga: g R {, } x n x n xn x 0 xn>x 0 xn x 0 xn<x 0 lim f(x n) = g n lim f(x n) = g n lim f(x n) = g n lim f(x n) = g n

44 Granica funkcji Arytmetyka granic Twierdzenie (o arytmetyce granic funkcji) Jeżeli funkcje f, g mają granice (skończone) w punkcie x 0, to lim x x 0 (f(x) + g(x)) = lim x x 0 f(x) + lim x x 0 g(x) lim x x 0 (f(x) g(x)) = lim x x 0 f(x) lim x x 0 g(x) Uwaga: Wzory są prawdziwe, jeżeli x 0 zastąpimy przez x + 0, x 0, lub. Trzeba założyć, że wyrażenia w ostatnim wzorze mają sens.

45 Granica funkcji Arytmetyka granic Twierdzenie (o arytmetyce granic funkcji) Jeżeli funkcje f, g mają granice (skończone) w punkcie x 0, to lim x x 0 (cf(x)) = c( lim x x 0 f(x)), gdzie c R lim x x 0 (f(x) g(x)) = ( lim x x 0 f(x)) ( lim x x 0 g(x)) Uwaga: Wzory są prawdziwe, jeżeli x 0 zastąpimy przez x + 0, x 0, lub. Trzeba założyć, że wyrażenia w ostatnim wzorze mają sens.

46 Granica funkcji Arytmetyka granic Twierdzenie (o arytmetyce granic funkcji) Jeżeli funkcje f, g mają granice (skończone) w punkcie x 0, to f(x) lim x x 0 g(x) = lim f(x) x x 0 lim g(x) o ile x x 0 lim f(x) g(x) = ( lim f(x)) lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 lim x x 0 g(x) 0 Uwaga: Wzory są prawdziwe, jeżeli x 0 zastąpimy przez x + 0, x 0, lub. Trzeba założyć, że wyrażenia w ostatnim wzorze mają sens.

47 Granica funkcji Arytmetyka granic Twierdzenie (o granicy funkcji złożonej) Jeżeli funkcje f, g spełniają warunki: lim x x 0 f(x) = y 0 f(x) y 0 dla każdego x S(x 0 ) lim g(y) = g y y 0 to lim g(f(x)) = g x x 0 Uwaga: Twierdzenie jest prawdziwe dla pozostałych typów granic. Zbiór S(x 0 ) jest postaci (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 } dla pewnego δ > 0.

48 Granica funkcji Przykłady granic Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych sin x lim x 0 a x 1 lim x 0 lim x 0 lim x ± x = 1 lim x 0 tan x x e x 1 x 0 = 1 = ln a, gdzie a > 0 lim = 1 x x log a (1 + x) ln(1 + x) = log x a e, gdzie 0 < a 1 lim = 1 x 0 x ( 1 + x) a ( x = e a, gdzie a R lim x = e x ± x) lim (1 + x 0 x)1/x = e (1 + x) a 1 lim = a, x 0 x gdzie a R

49 Granica funkcji Asymptoty funkcji Definicja (Asymptota pionowa lewostronna) Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f jeżeli lim f(x) = albo lim f(x) = x a x a

50 Granica funkcji Asymptoty funkcji Definicja (Asymptota pionowa lewostronna) Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f jeżeli lim f(x) = albo lim f(x) = x a x a Definicja (Asymptota pionowa prawostronna) Prosta x = a jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f jeżeli lim f(x) = albo lim f(x) = x a + x a +

51 Granica funkcji Asymptoty funkcji Definicja (Asymptota pionowa lewostronna) Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f jeżeli lim f(x) = albo lim f(x) = x a x a Definicja (Asymptota pionowa prawostronna) Prosta x = a jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f jeżeli lim f(x) = albo lim f(x) = x a + x a + Definicja (Asymptota pionowa) Prosta x = a jest asymptotą pionową funkcji jeżeli jest jednocześnie asymptotą lewostronną i prawostronną

52 Granica funkcji Asymptoty funkcji Definicja (Asymptota ukośna) Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji f w + ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy lim [f(x) (ax + b)] = 0 x (x )

53 Granica funkcji Asymptoty funkcji Definicja (Asymptota ukośna) Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji f w + ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy lim [f(x) (ax + b)] = 0 x (x ) Fakt Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji f w ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy a = f(x) x lim x (x ) oraz b = lim [f(x) ax] x (x )

54 Granica funkcji Ciągłość funkcji Definicja Niech X, Y R, f : X Y, x 0 X. O funkcji f powiemy, że jest ciągła w punkcie x 0, jeżeli [ x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε] ε>0 δ>0 x X Twierdzenie W sytucji opisanej w powyższej definicji niech x 0 będzie punktem skupienia zbioru X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim x x 0 f(x) = f(x 0 )

55 Granica funkcji Ciągłość funkcji Definicja Funkcja f : X Y jest ciągła, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie p X. Twierdzenie Niech f, g będą funkcjami ciągłymi na X. Wówczas f + g, f g oraz f/g są funkcjami ciągłymi. W ostatnim przypadku zakładamy, ze g 0

56 Pochodna Podstawy Pochodna Definicja Pochodną funkcji f : X Y w punkcie x 0 X nazywamy liczbę f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h

57 Pochodna Podstawy Pochodna Definicja Pochodną funkcji f : X Y w punkcie x 0 X nazywamy liczbę f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Fakt Jeżeli funkcja f ma pochodną w x 0, to jest ciągła w x 0.

58 Pochodna Podstawy Pochodna Definicja Pochodną funkcji f : X Y w punkcie x 0 X nazywamy liczbę f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Fakt Jeżeli funkcja f ma pochodną w x 0, to jest ciągła w x 0. Dowód. Niech x n x 0 oraz h n = x n x 0 lim x n x 0 (f(x n ) f(x 0 )) = lim h n 0 h n f(x 0 + h n ) f(x 0 ) h n = 0 f (x 0 ) = 0

59 Pochodna Podstawy Przykład f(x) = x n f(x 0 + h) f(x 0 ) h = (x 0 + h) n x n 0 h = n k=0 ( n ) k x k 0 h n k x n 0 h =

60 Pochodna Podstawy Przykład f(x) = x n f(x 0 + h) f(x 0 ) h = (x 0 + h) n x n 0 h n 1 ) x k 0 h n k = k=0 ( n k h = n k=0 n 1 = k=0 ( n ) k x k 0 h n k x n 0 h ( ) n x k k 0h n k 1 = =

61 Pochodna Podstawy Przykład f(x) = x n f(x 0 + h) f(x 0 ) h n k=0 = (x 0 + h) n x n 0 = h n 1 ( n ) k x k 0 h n k n 1 k=0 = = h k=0 ( n ) k x k 0 h n k x n 0 h ( ) n x k k 0h n k 1 = n 2 ( ) n = x k k 0h n k 1 + nx n 1 0 = k=0 =

62 Pochodna Podstawy Przykład f(x) = x n f(x 0 + h) f(x 0 ) h n k=0 = (x 0 + h) n x n 0 = h n 1 ( n ) k x k 0 h n k n 1 k=0 = = h k=0 k=0 ( n ) k x k 0 h n k x n 0 h ( ) n x k k 0h n k 1 = n 2 ( ) n = x k k 0h n k 1 + nx n 1 0 = n 2 = h k=0 ( ) n k x k 0h n k 2 + nx n 1 0 nxn 1 h 0 0 =

63 Pochodna Podstawy Przykład f(x) = 1/x 1 x+h 1 x h = x x h h(x + h)x = 1 (x + h)x h 0 1 x 2

64 Pochodna Podstawy Przykład f(x) = 1/x 1 x+h 1 x h = x x h h(x + h)x = 1 (x + h)x h 0 1 x 2 Przykład f(x) = x x + h x h = x + h x ( x + h + x)h = 1 1 x + h + x h 0 2 x

65 Pochodna Podstawy Przykład f(x) = log a x log a (x + h) log a x h = 1 h log a ( ) x + h x = 1 x log a(1 + h/x) h/x =

66 Pochodna Podstawy Przykład f(x) = log a x log a (x + h) log a x h = 1 h log a ( ) x + h x = 1 x log a(1 + h/x) 1 h/x = = 1 x log a(1 + h/x) h/x =

67 Pochodna Podstawy Przykład f(x) = log a x log a (x + h) log a x h = 1 h log a ( ) x + h x = 1 x log a(1 + h/x) h/x = 1 x log a(1 + h/x) 1 h/x = = 1 ( x log a ) (x/h) 1 h 0 x/h x log a e =

68 Pochodna Podstawy Przykład f(x) = sin x. Skorzystam z: sin α lim α 0 α = 1, sin α sin β = 2 cos α + β 2 sin α β 2

69 Pochodna Podstawy Przykład f(x) = sin x. Skorzystam z: sin α lim α 0 α = 1, sin α sin β = 2 cos α + β 2 sin α β 2 sin (x + h) sin x h = 2 cos(x + h 2 ) h sin h 2 = cos(x + h/2)sin (h/2) h/2 cos x h 0

70 Pochodna Podstawy Przykład Niech g(y) = f 1 (y) będzie funkcją odwrotną do f(x). Niech y 0 = f(x 0 ), y 0 + h = f(x 0 + h) oraz 0 f (x 0 ) istnieje

71 Pochodna Podstawy Przykład Niech g(y) = f 1 (y) będzie funkcją odwrotną do f(x). Niech y 0 = f(x 0 ), y 0 + h = f(x 0 + h) oraz 0 f (x 0 ) istnieje Zauważmy, że przy tych oznaczenach f 1 (y 0 ) = x 0, f 1 (x 0 + h ) = y 0 + h oraz h = f(x 0 + h) f(x 0 ) a także h 0 h 0

72 Pochodna Podstawy Przykład Niech g(y) = f 1 (y) będzie funkcją odwrotną do f(x). Niech y 0 = f(x 0 ), y 0 + h = f(x 0 + h) oraz 0 f (x 0 ) istnieje Zauważmy, że przy tych oznaczenach f 1 (y 0 ) = x 0, f 1 (x 0 + h ) = y 0 + h oraz h = f(x 0 + h) f(x 0 ) a także h 0 h 0 Stąd otrzymujemy f 1 (y 0 + h ) f 1 (y 0 ) x 0 + h x 0 h = f(x 0 + h) f(x 0 ) = 1 f(x 0+h) f(x 0) h Zatem mamy wzór g (y 0 ) = 1 f (x 0)

73 Pochodna Podstawy Przykład f(x) = arcsin x. Przyjmujemy, że (y = arcsin x x = siny) f (x) = 1 sin y = 1 cos y = 1 1 sin 2 y = 1 1 x 2

74 Pochodna Podstawy Przykład f(x) = arcsin x. Przyjmujemy, że (y = arcsin x x = siny) f (x) = 1 sin y = 1 cos y = 1 1 sin 2 y = 1 1 x 2 Przykład (Pochodna iloczynu funkcji) f(x)g(x) f(x + h)g(x + h) f(x)g(x) = h (f(x + h) f(x))g(x + h) + f(x)(g(x + h) g(x)) = = h f(x + h) f(x) g(x + h) g(x) = g(x + h) + f(x) h 0 h h f (x)g(x) + f(x)g (x) h 0

75 Pochodna Podstawy Przykład (pochodna złożenia funkcji) f(x) = e x. Stąd ln(f(x)) = x (ln(f(x))) = x 1 f(x) f (x) = 1 f(x) = f(x)

76 Pochodna Wzory (x α ) = αx α 1, x > 0, α R (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tgx) = 1 cos 2 x = 1 + tg2 x, cos x 0 (ctgx) = 1 sin 2 x = (1 + ctg2 x), sin x 0 (arcsin x) 1 =, 1 x 1, 1 1 x 2 2 π arcsin x 1 2 π (arccos x) = 1, 1 x 1, 0 arccos x π 1 x 2 (a x ) = a x ln a, a > 0 (ln x ) = 1 x, x 0 (log a x ) = 1 x ln a = 1 x log a e, a > 0, a 1, x 0

77 Pochodna Wzory Reguły różniczkowania (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f g) (x) = f (x) g (x) (cf) (x) = cf (x), c R (f g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g g 2, g(x) 0 (x) (f g) (x) = f (g(x)) g (x)

78 Pochodna Wzory Równanie stycznej do wykresu funkcji Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0 ma postać: y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Definicja Niech f będzie funkcją ciągłą w punkcie x 0 R. Funkcja f ma w punkcie x 0 pochodną niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = h 0 h albo f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = h 0 h

79 Pochodna Wzory Definicja (Pochodna n tego rzędu) f (n) (x) = ( f (n 1)) (x) dla n 2 Fakt (Wzór Leibniza) (f g) (n) (x) = n k=0 ( ) n f (k) (x)g (n k) (x) k We wzorze przyjmujemy f (0) (x) = f(x) i oczywiście g (0) (x) = g(x)

80 Pochodna Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi Twierdzenie (Rolle a) Jeżeli funkcja spełnia warunki: jest ciągła na [a, b] ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a, b) f(a) = f(b) to istnieje punkt c (a, b) taki, że f (c) = 0 Twierdzenie (Lagrange a) Jeżeli funkcja spełnia warunki: jest ciągła na [a, b] ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a, b) to istnieje punkt c (a, b) taki, że f (c) = f(b) f(a) b a

81 Pochodna Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi Twierdzenie (warunki wystarczające monotoniczności funkcji) Jeżeli funkcja dla każdego x (a, b) spełnia warunek f (x) = 0, to jest stała na przedziale (a, b) f (x) > 0, to jest rosnąca na przedziale (a, b) f (x) 0, to jest niemalejąca na przedziale (a, b) f (x) < 0, to jest malejąca na przedziale (a, b) f (x) 0, to jest nierosnąca na przedziale (a, b) Uwaga: Jeżeli f (x) 0 dla każdego x (a, b), przy czym zbiór {x (a, b) f (x) = 0} jest skończony, to funkcja f jest rosnąca na (a, b)

82 Pochodna Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi Twierdzenie (Cauchu ego) Jeżeli funkcje spełniają warunki: są ciągłe na [a, b] mają pochodne właściwe lub niewłaściwe na (a, b) g (x) 0 dla każdego (a, b) to istnieje punkt c (a, b) taki, że f (c) g (c) = f(b) f(a) g(b) g(a)

83 Pochodna Twierdzenia o granicach nieoznaczonych Twierdzenie (reguła de L Hospitala dla nieoznaczoności 0 0 ) Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: to lim x x 0 f(x) = lim x x 0 g(x) = 0, przy czym g(x) dla x S(x 0 ) f istnieje granica lim (x) x x g (x) 0 (właściwa lub niewłaściwa) f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) Twierdzenie jest prawdziwe, jeżeli x 0 zastąpimy przez x 0, x+ 0,, +

84 Pochodna Twierdzenia o granicach nieoznaczonych Twierdzenie (reguła de L Hospitala dla nieoznaczoności ) Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: to lim x x 0 f(x) = lim x x 0 g(x) = f istnieje granica lim (x) x x g (x) 0 (właściwa lub niewłaściwa) f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) Twierdzenie jest prawdziwe, jeżeli x 0 zastąpimy przez x 0, x+ 0,, +

85 Pochodna Wzór Talora Wzór Taylora Twierdzenie Jeżeli funkcja f(x) ma n tą pochodną f (n) (x) w pewnym przedziale domkniętym zawierającym punkt a, wówczas dla każdego punktu x z tego przedziału ma miejsce następujący wzór Taylora: f(x) = f(a) + f (a) (x a) + f (a) (x a) ! 2!... + f (n 1) (a) (n 1)! (x a)n 1 + f (n) (c n ) (x a) n n! gdzie a < c n < x przy x > a i x < c n < a przy x < a Ostatni wyraz we wzorze Taylora oznaczamy przez R n : R n = f (n) (c n ) (x a) n n! i nazywamy resztą wzoru Taylora (w postaci Lagrange a)

86 Pochodna Wzór Talora Definicja (Szereg Taylora) Szereg potęgowy postaci f(x) = f(a) + nazywamy szeregiem Taylora n=1 f (n) (a) (x a) n n! Twierdzenie (O rozwinięciu funkcji w szereg Taylora) Funkcja jest rozwiajlna w szereg Taylora w przedziale (a δ, a + δ), jeżeli w tym przedziale funkcja ma pochodne każdego rzędu lim R n = 0, gdzie R n oznacza resztę szeregu podaną we wzorze n Taylora Uwaga Warunek drugi jest w szczególności spełniony, jeżeli wszystkie pochodne f (n) (x) są wspólnie ograniczne w przedziale (a δ, a + δ)

87 Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Badanie funkcji jednej zmiennej Definicja (Minimum lokalne) Funkcja f ma w x 0 R minimum lokalne jeżeli f(x) f(x 0 ) δ>0 x S(x 0,δ) Uwaga Zauważmy, że f musi być określona w otoczeniu punktu x 0. Zbiór S(x 0, δ) = {x R 0 < x x 0 < δ}

88 Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Badanie funkcji jednej zmiennej Definicja (Maksimum lokalne) Funkcja f ma w x 0 R maksimum lokalne jeżeli f(x) f(x 0 ) δ>0 x S(x 0,δ)

89 Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Badanie funkcji jednej zmiennej Definicja (Minimum lokalne właściwe) Funkcja f ma w x 0 R minimum lokalne właściwe jeżeli f(x) > f(x 0 ) δ>0 x S(x 0,δ) Definicja (Maksimum lokalne właściwe) Funkcja f ma w x 0 R maksimum lokalne właściwe jeżeli f(x) < f(x 0 ) δ>0 x S(x 0,δ)

90 Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Warunek konieczny istnienia ekstremum Twierdzenie Jeżeli funkcja f ma 1 ekstremum lokalne w punkcjie x 0 2 pochodną w punkcie x 0 to f (x 0 ) = 0 Uwaga Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których jej pochodna równa jest zero, albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje

91 Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Warunek wystarczający istnienia ekstremum Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 f (x 0 ) = 0 { f (x 0 ) > 0 dla x 0 δ < x < x 0 2 f (x 0 ) < 0 dla x 0 < x < x 0 + δ δ>0 to w punkcie x 0 ma maksimum lokalne właściwe

92 Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Warunek wystarczający istnienia ekstremum Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 2 f (n) (x 0 ) < 0 3 n jest liczbą parzystą, gdzie n 2 to w punkcie x 0 ma maksimum lokalne właściwe

93 Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Odnajdywanie wartości ekstremalnych funkcji w przedziale Funkcja f jest ciągła na przedziale < a, b > oraz ma pochodną właściwą poza skończoną liczbą punktów tego przedziału. Wartości najmniejszej i największej tej funkcji na tym przedziale szukamy w następujący sposób

94 Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Odnajdywanie wartości ekstremalnych funkcji w przedziale Funkcja f jest ciągła na przedziale < a, b > oraz ma pochodną właściwą poza skończoną liczbą punktów tego przedziału. Wartości najmniejszej i największej tej funkcji na tym przedziale szukamy w następujący sposób Znajdujemy punkty c 1,..., c n zerowania się pochodnej funkcji f na przedziale (a, b) oraz punkty d 1,..., d m, w których pochodna właściwa tej funkcji nie istnieje

95 Badanie funkcji jednej zmiennej Ekstrema Odnajdywanie wartości ekstremalnych funkcji w przedziale Funkcja f jest ciągła na przedziale < a, b > oraz ma pochodną właściwą poza skończoną liczbą punktów tego przedziału. Wartości najmniejszej i największej tej funkcji na tym przedziale szukamy w następujący sposób Spośród liczb f(a), f(b); f(c 1 ),..., f(c n ); f(d 1 ),..., f(d m ) wybieramy najmniejszą i największą. Będą to odpowiednio wartość najmniejsza oraz największa funkcji f na przedziale < a, b >

96 Badanie funkcji jednej zmiennej Wypukłość, wklęsłość Wypukłość i wklęsłość funkcji Definicja (Funkcja wypukła) Funkcja f jest wypukła na przedziale (a, b), gdzie a < b <, jeżeli: f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) a<x 1<x 2<b 0<λ<1 Definicja (Funkcja ściśle wypukła) Funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale (a, b), gdzie a < b <, jeżeli: f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) < λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) a<x 1<x 2<b 0<λ<1

97 Badanie funkcji jednej zmiennej Wypukłość, wklęsłość Wypukłość i wklęsłość funkcji Definicja (Funkcja wklęsła) Funkcja f jest wklęsła na przedziale (a, b), gdzie a < b <, jeżeli: f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) a<x 1<x 2<b 0<λ<1 Definicja (Funkcja ściśle wklęsła) Funkcja f jest ściśle wklęsła na przedziale (a, b), gdzie a < b <, jeżeli: f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) > λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) a<x 1<x 2<b 0<λ<1

98 Badanie funkcji jednej zmiennej Wypukłość, wklęsłość Twierdzenie (warunek wystarczający wypukłości) Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f jest ściśle wypukła na (a, b)

99 Badanie funkcji jednej zmiennej Punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja (Punkt przegięcia wykresu funkcji) Punkt (x 0, f(x 0 ) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie δ > 0, że funkcja f jest ściśle wypukła na (x 0 δ, x 0 ) oraz ściśle wklęsła na (x 0, x 0 + δ) albo odwrotnie

100 Badanie funkcji jednej zmiennej Punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja (Punkt przegięcia wykresu funkcji) Punkt (x 0, f(x 0 ) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie δ > 0, że funkcja f jest ściśle wypukła na (x 0 δ, x 0 ) oraz ściśle wklęsła na (x 0, x 0 + δ) albo odwrotnie Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 (x 0, f(x 0 )) jest jej punktem przegięcia 2 istnieje f (x 0 ) to f (x 0 ) = 0

101 Badanie funkcji jednej zmiennej Punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja (Punkt przegięcia wykresu funkcji) Punkt (x 0, f(x 0 ) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie δ > 0, że funkcja f jest ściśle wypukła na (x 0 δ, x 0 ) oraz ściśle wklęsła na (x 0, x 0 + δ) albo odwrotnie Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 (x 0, f(x 0 )) jest jej punktem przegięcia 2 istnieje f (x 0 ) to f (x 0 ) = 0 Fakt Funkcja może mieć punkty przegięcia jedynie w punktach zerowania się jej drugiej pochodnej albo w punktach, w których ta pochodna nie istnieje.

102 Badanie funkcji jednej zmiennej Punkty przegięcia wykresu funkcji Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 w punkcie x 0 ma pochodną właściwą lub niewłaściwą { f (x 0 ) < 0 dla x 0 δ < x < x 0 2 f (x 0 ) > 0 dla x 0 < x < x 0 + δ δ>0 to (x 0, f(x 0 )) jest punktem przegięcia wykresu.

103 Badanie funkcji jednej zmiennej Punkty przegięcia wykresu funkcji Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 2 f (n) (x 0 ) 0 3 n jest liczbą nieparzystą, gdzie n 3 to (x 0, f(x 0 )) jest punktem przegięcia jej wykresu Uwaga Jeżeli założenie 3. ma postać n jest liczbą parzystą, to (x 0, f(x 0 )) nie jest punktem przgięcia.

104 Całka nieoznaczona Definicja Całka nieoznaczona Definicja Niech f(x) będzie funkcją określoną w pewnym przedziale I. Każdą funkcję F (x) różniczkowalną w przedziale I i spełniającą w całym przedziale związek F (x) = f(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale I. Przykłady funkcją pierwotną funkcji cos x w przedziale (, ) jest sin x, bo (sin x) = cos x funkcją pierwotną funkcji 1 2x jest x x 2, bo (x x 2 ) = 1 2x Funkcję pierwotną nazywamy również całką nieoznaczoną i oznaczamy przez f(x) dx

105 Całka nieoznaczona Własności W myśl określenia całki mamy: [ f(x) dx] = f(x) oraz F (x) dx = F (x). Obliczanie, czyli wyznaczanie całki nazywamy całkowaniem funkcji. Przykłady cos x dx = sin x, x 2 dx = 1 3, 1 dx = dx = x Zauważmy, że gdy F (x) jest całką funkcji f(x), to suma F (x) + c, gdzie c jest stałą dowolną, jest również całką, bo [F (x) + c] = F (x) = f(x). I odwrotnie: Dwie różne całki F (x) oraz G(x) tej samej funkcji f(x) różnią się w całym przdziale o stałą. Istotnie, jeżeli F (x) = f(x) oraz G (x) = f(x), to pochodna różnicy G(x) F (x) równa się w całym przedziale 0, zatem F (x) G(x) = c

106 Całka nieoznaczona Podstawowe wzory x a dx = x1+a + c, dla a 1, 1 + a 1 dx = ln x + c, x e x dx = e x + c, a x dx = ax ln a + c, 1 dx = arctan x + c = arcctgx + c 1 + x2 1 dx = arcsin x + c = arccos x + c 1 x 2 sin x = cos x + c cos x dx = sin x + c, 1 cos 2 dx = tan x + c, x 1 sin 2 dx = ctgx + c x

107 Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Niech f(x) oraz g(x) będą funkcjami mającymi całki w pewnym przedziale. Wówczas suma f + g ma w tym przedziale całkę oraz (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx jeżeli a jest stałą, to af(x) dx = a f(x) dx jeżeli dodatkowowo f, g mają ciągłe pochodne, to f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f(x) g(x) dx Uwaga: można spotkać się z oznaczeniem: dg(x) = g (x) dx lub krótko dg = g dx. Wtedy wzór ten zapisujemy w postaci f dg = fg g df

108 Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Całkowanie przez podstawienie. Nich f(x) będzie funkcją ciągłą w przedziale (a, b) i niech f(x) dx = F (x). Niech dalej x = φ(t) będzie funkcją ciągłą w przedziale (α, β), spełniającą w nim nierówność a < φ(t) < b i mającą ciągłą pochodną φ (t). Funkcja złożona F [φ(t)] ma wówczas w przedziale (α, β) pochodną F [φ(t)]φ (t) = f[φ(t)]φ (t), bo F (x) = f(x), zatem f[φ(t)]φ (t) dt = F [φ(t)]. Stąd otrzymujemy f(x) dx = f[φ(t)]φ (t) dt dla x = φ(t)

109 Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Przykłady (stała będzie pomijana) a 0, dx ax+b dx = dt a. Zatem dx ax + b = t b. Przyjmujemy ax + b = t, zatem x = a, skąd 1 t 1 a dt = 1 1 a t dt = 1 a ln t = 1 ln ax + b a x 1 + x2 dx. Przyjmijmy 1 + x 2 = t, skąd 2x dx = dt, zatem x 1 + x 2 dx = x2 2x dx = 1 t 1 dt = 2 3 t = 3 ( 1 + x 2 ) Całka ułamka φ (x) φ(x) dx, w którym licznik jest pochodną mianownika, przekształca się po podstawieniu φ(x) = t na całkę dt t = ln t. Całka iloczynu [φ(x)] a φ (x) dx, gdzie a 1, przekształca się po podstawieniu φ(x) = t na całkę t a dt.

110 Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Wynikają stąd następujące wzory: φ (x) dx = ln φ(x), φ(x) [φ(x)] a φ (x) dx = [φ(x)]a+1 dla a 1 a + 1 Wzory rekurenyjne. Całki dx I n = (1 + x 2 ) n, J n = sin n x dx, cos n x dx umiemy obliczyć dla n = 1. Dla n > 1 można je obliczyć stosując wzory rekurencyjne: dx (1 + x 2 ) n = 1 x 2n 3 dx 2n 2 (1 + x 2 + ) n 1 2n 2 (1 + x 2 ) n 1, sin n x dx = 1 n cos x sinn 1 x + n 1 sin n 2 x dx, n cos n x dx = 1 n sin x cosn 1 x + n 1 cos n 2 x dx n

111 Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Pierwszy wzór rekurencyjny 1 + x 2 x 2 I n = (1 + x 2 ) n dx = ( x = I n 1 2 d dx x (1 + x 2 ) n 1 2 ) 1 (n 1)(1 + x 2 ) n 1 2x dx (1 + x 2 ) n = Całkując ostatnią całkę przez części otrzymujemy x I n = I n 1 + (2n 2)(1 + x 2 ) n 1 dx (2n 2)(1 + x 2 ) n 1 x I n = I n 1 + (2n 2)(1 + x 2 ) n 1 1 2n 2 I n 1 x 2n 3 = (2n 2)(1 + x 2 + ) n 1 2n 2 I n 1 Drugi wzór rekurencyjny Zaczynamy od postaci: sin n x dx = sin n 1 x d( cos x) Trzeci wzór rekurencyjny otrzymuje się podobnie do drugiego

112 Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Przykłady Przy podstawieniu sin x = t mamy sin x dt tan x dx = cos x dx = = ln t = ln cos x t Najpierw przez części, potem podstawienie 1 x 2 = t x arcsin x dx = x arcsin x dx = x arcsin x + 1 x 2 = x arcsin x + t = x arcsin x + 1 x 2 dt 2 t =

113 Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Przykłady Podstawienie x = at (wtedy dx = adt) dx = dt = arcsin t = arcsin x a x 2 1 t 2 a Podstawienie x + a + x 2 = t. Dla tego podstawienia zachodzi ( 1 + ) x a + x 2 dx = x + a + x 2 dx = a + x 2 dx a + x 2 t = dt Zatem dx a + x 2 = dt t = ln t = ln x + a + x 2

114 Całka nieoznaczona Podstawowe wzory a a x 2 x2 dx = dx a x 2 a = dx + x x a x 2 a x 2 dx = dx = a + xd a x 2 = a x 2 = a arcsin x a + x a x 2 a x2 dx Zatem a x2 dx = 1 (a arcsin a x + x ) a x 2 2

115 Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Wyznaczamy całkę Ax + B x 2 dx. Na początek zauważamy, że + px + q Ax + B (x 2 + px + q) n dx = A 2x + p 2 (x 2 + px + q) n + C (x 2 + px + q) n, gdzie C = B A 2 Zatem Ax + B x 2 + px + q dx = A 2 2x + p (x 2 + px + q) n dx+c Pierwsza całka po prawej stronie równości jest postaci [φ(x)] n φ (x) dx dla φ(x) = x 2 + px + q zatem wiadomo już, jak ją policzyć 1 (x 2 + px + q) n dx

116 Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Trzeba pokazać, jak wyznaczyć 1 (x 2 +px+q) dx. W tym celu n podstawiamy ( x 2 + px + q = x + p ) ) 2 + (q p2 = at 2 + a, 2 4 gdzie q p2 4 = a oraz x + p 2 = at. Wówczas dx = a dt. Zatem 1 (x 2 + px + q) n dx = a dt a n (1 + t 2 ) n = 1 a n 1/2 dt (1 + t 2 ) n Ostatnia całka jest równa arctan t dla n = 1, a dla n > 1, stosujemy wzór rekurencyjny.

117 Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Do domu. Stosując opisany powyżej sposób pokazać, że x 5 3 x + x 2 dx = 4 arctan( 3+2 x 11 ) + ln(5 3 x + x 2 ) 11 ( ) x (5 + 3 x + x 2 ) 2 dx = x + x 2

118 Całka nieoznaczona Podstawowe wzory Całki, których nie można wyrazić za pomocą funkcji elementarnych dx sin x, 1 + x 2 x dx, e x2 dx

119 Całka oznaczona Definicja Całka oznaczona Niech f(x) oznacza funkcję ograniczoną na < a, b >.

120 Całka oznaczona Definicja Całka oznaczona Niech f(x) oznacza funkcję ograniczoną na < a, b >. Niech P 1, P 2,..., P m,... będą różnym podziałami przedziału < a, b >. Podział P m jest osiągnięty przy pomocy n m 1 liczb x 1, x 2,..., x nm 1, przy czym a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x nm 1 < x nm = b.

121 Całka oznaczona Definicja Całka oznaczona Niech f(x) oznacza funkcję ograniczoną na < a, b >. Niech P 1, P 2,..., P m,... będą różnym podziałami przedziału < a, b >. Podział P m jest osiągnięty przy pomocy n m 1 liczb x 1, x 2,..., x nm 1, przy czym a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x nm 1 < x nm = b. Przedziały < x i 1, x i >, gdzie i = 1, 2,..., n m, nazywamy przedziałami cząstkowymi podziału P m. Długości ich x i x i 1 będziemy oznaczali przez x i

122 Całka oznaczona Definicja Całka oznaczona Niech f(x) oznacza funkcję ograniczoną na < a, b >. Niech P 1, P 2,..., P m,... będą różnym podziałami przedziału < a, b >. Podział P m jest osiągnięty przy pomocy n m 1 liczb x 1, x 2,..., x nm 1, przy czym a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x nm 1 < x nm = b. Przedziały < x i 1, x i >, gdzie i = 1, 2,..., n m, nazywamy przedziałami cząstkowymi podziału P m. Długości ich x i x i 1 będziemy oznaczali przez x i Niech δ m = max x i oraz i S m = n m i=1 f(c i ) x i, przy podziale P m oraz dowolnie wybranych punktów c i < x i 1, x i >, i = 1, 2,..., n m.

123 Całka oznaczona Definicja Całka oznaczona Niech f(x) oznacza funkcję ograniczoną na < a, b >. Niech P 1, P 2,..., P m,... będą różnym podziałami przedziału < a, b >. Podział P m jest osiągnięty przy pomocy n m 1 liczb x 1, x 2,..., x nm 1, przy czym a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x nm 1 < x nm = b. Przedziały < x i 1, x i >, gdzie i = 1, 2,..., n m, nazywamy przedziałami cząstkowymi podziału P m. Długości ich x i x i 1 będziemy oznaczali przez x i Niech δ m = max x i oraz i S m = n m i=1 f(c i ) x i, przy podziale P m oraz dowolnie wybranych punktów c i < x i 1, x i >, i = 1, 2,..., n m. Ciąg podziałów nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeżeli lim m δ m = 0

124 Całka oznaczona Definicja Definicja Jeżeli ciąg {S m } dla m jest zbieżny i do tej samej granicy przy każdym normalnym ciągu podziałów, niezależnie od wyboru punktów c i, to funkcję f(x) nazywamy funkcją całkowalną w przedziale < a, b >.

125 Całka oznaczona Definicja Definicja Jeżeli ciąg {S m } dla m jest zbieżny i do tej samej granicy przy każdym normalnym ciągu podziałów, niezależnie od wyboru punktów c i, to funkcję f(x) nazywamy funkcją całkowalną w przedziale < a, b >. Granicę ciągu {S m } nazywamy całką oznaczoną funkcji f(x) w granicach od a do b i oznaczamy symbolem b a f(x) dx

126 Całka oznaczona Własności Własności 1 Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna

127 Całka oznaczona Własności Własności 1 Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna 2 Funkcja ogranicznona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby liczby punktów jest całkowalna.

128 Całka oznaczona Własności Własności 1 Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna 2 Funkcja ogranicznona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby liczby punktów jest całkowalna. 3 Jeżeli a b c, to c f(x) dx = b c f(x) dx + f(x) dx a c b

129 Całka oznaczona Własności 4 Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki b b kf(x) dx = k f(x) dx a a

130 Całka oznaczona Własności 4 Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki b b kf(x) dx = k f(x) dx a a 5 Całka sumy równa się sumie całek b (f(x) + g(x)) dx = b b f(x) dx + g(x) dx a a a

131 Całka oznaczona Własności 6 Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale < a, b >, to zachodzi b a f(x) dx = f(c)(b a), dla pewnego c z przedziału < a, b >

132 Całka oznaczona Własności 6 Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale < a, b >, to zachodzi b a f(x) dx = f(c)(b a), dla pewnego c z przedziału < a, b > 7 Jeżeli funkcja f(t) jest ciągła w przedziale < a, b >, to funkcja h(x) = x a f(t) dt jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej x w przedziale < a, b > i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związek h (x) = f(x).

133 Całka oznaczona Własności 8 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ. Jeżeli przez F (x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale < a, b >, tzn. jeżeli F (x) = f(x), to ma miejsce wzór b a f(x) dx = F (b) F (a) Przykłady

134 Całka oznaczona Własności 8 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ. Jeżeli przez F (x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale < a, b >, tzn. jeżeli F (x) = f(x), to ma miejsce wzór b a f(x) dx = F (b) F (a) Przykłady Ponieważ x sin(x 2 ) dx = cos(x2 ) 2 + C, mamy π/2 0 [ cos(x x sin(x 2 2 ) ) dx = 2 ] π/2 0 ( ) cos((π/2) 2 ) = cos(02 ) 2 2

135 Całka oznaczona Własności 8 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ. Jeżeli przez F (x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale < a, b >, tzn. jeżeli F (x) = f(x), to ma miejsce wzór b a f(x) dx = F (b) F (a) Przykłady Ponieważ x sin(x 2 ) dx = cos(x2 ) 2 + C, mamy π/2 0 [ cos(x x sin(x 2 2 ) ) dx = 2 ] π/2 Ponieważ e x x dx = e x ( 1 + x) + C, mamy ( ) cos((π/2) 2 ) = cos(02 ) 2 2 e x x dx = [e x ( 1 + x)] 3 2 = e 3 ( 1 + 3) e 2 ( 1 + 2)

136 Całka oznaczona Własności 9 Jeżeli u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to b u dv = [uv] b a b a a vdu. Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznczonych. Przykłady

137 Całka oznaczona Własności 9 Jeżeli u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to b a u dv = [uv] b a b a vdu. Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznczonych. Przykłady 1 2 π 0 x sin x dx = 1 2 π 0 xd(cos x) = [ x cos x] 1 2 π π 0 cosx dx = [sin x] 1 2 π 0 = 1

138 Całka oznaczona Własności 9 Jeżeli u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to b a u dv = [uv] b a b a vdu. Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznczonych. Przykłady 1 2 π 0 x sin x dx = 1 2 π 0 xd(cos x) = [ x cos x] 1 2 π π 0 cosx dx = [sin x] 1 2 π 0 = 1 5 ln(x) dx = x ln(x) dx = [xln(x)] x 1 dx = 2 x = 5 ln(5) 2 ln(2) (5 2)

139 Całka oznaczona Własności Twierdzenie (O całkowaniu przez podstawienie) Jeżeli to funkcja ϕ : α, β a, b jest na i ma ciągłą pochodną na α, β ϕ(α) = a, ϕ(β) = b funkcja f jest ciągła na przedziale a, b b a f(x) dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt

140 Całka oznaczona Własności Twierdzenie (O całkowaniu przez podstawienie) Jeżeli to funkcja ϕ : α, β a, b jest na i ma ciągłą pochodną na α, β ϕ(α) = a, ϕ(β) = b funkcja f jest ciągła na przedziale a, b b a f(x) dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt Przykład x 1 + x dx = (t 1) t dt = t 3/2 dt t 1/2 dt 0 1 dla ϕ(t) = t 1, ϕ (t) = 1 1 1

141 Całka niewłaściwa Całki funkcji nieograniczonych Definicja Jeżeli funkcja f(x) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale a x c h, h > 0, oraz w każdym przedziale c + k x b, k > 0, i jeżeli istnieją granice lim h 0 + c h a b f(x) dx oraz lim f(x) dx, k 0 + c+k to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f(x) w przedziale < a, b > i oznaczamy symbolem b a f(x) dx W podanej definicji chodzi o funkcje, które w każdym otoczeniu (c δ, c + δ), δ > 0, są nieogranczone. W punkcie c funkcja może nawet nie być określona. Jeżeli przynajmniej jedna z granic nie istnieje, to mówimy, że całka jest rozbieżna.

142 Całka niewłaściwa Całki funkcji nieograniczonych Jeżeli punktem nieograniczoności jest jeden z końców przedziału < a, b >, to przez całkę niewłaściwą rozumiemy odpowiednio b lim f(x) dx albo lim h 0 + a+h k 0 + b k a f(x) dx, Przykład

143 Całka niewłaściwa Całki funkcji nieograniczonych Jeżeli punktem nieograniczoności jest jeden z końców przedziału < a, b >, to przez całkę niewłaściwą rozumiemy odpowiednio b lim f(x) dx albo lim h 0 + a+h k 0 + b k a f(x) dx, Przykład 3 0 dx 3 ( dx ) x dx = lim ε 0 + ε x dx = lim ε ε 0 +

144 Całka niewłaściwa Całki oznaczone w przedziale nieskończonym Definicja Jeżeli funkcja f(x) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym a x v (a ustalone, v dowolne) oraz istnieje granica v lim v a f(x) dx, to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f(x) w przedziale a x < i oznaczamy symbolem a f(x) dx. Analogicznie określa się znaczenie symbolu b b lim u u f(x) dx. f(x) dx jako granicę

145 Całka niewłaściwa Całki oznaczone w przedziale nieskończonym Przykład Chcemy obliczyć całkę ( 2 1 x + ) 1 2 x dx 2

146 Całka niewłaściwa Całki oznaczone w przedziale nieskończonym Przykład Chcemy obliczyć całkę ( 2 1 x + ) 1 2 x dx 2 Najpierw możemy wyznaczyć całkę nieoznaczoną ( 2 x + ) 1 2 x dx = 4 2 x 2 x 1 2 3x, 3

147 Całka niewłaściwa Całki oznaczone w przedziale nieskończonym Przykład Chcemy obliczyć całkę ( 2 1 x + ) 1 2 x dx 2 Najpierw możemy wyznaczyć całkę nieoznaczoną ( 2 x + ) 1 2 x dx = 4 2 x 2 x 1 2 3x, 3 Zatem zgodnie z podaną definicją ( 2 x + ) 1 2 ( x dx = 2 limv 4 v 2 v 1 2 3v ( 4 2 1/3) ) 3 1

148 Macierze Podstawowe definicje MACIERZE Macierz wymiaru m n Macierz A wymiaru m n jest prostokątną tablicą elementów a ij, i = 1,... m, j = 1,..., n: a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn Elementami macierzy mogą być liczby rzeczywiste, zespolone i inne jeszcze obiekty. Będziemy oznaczać w skrócie A = (a ij )

149 Macierze Podstawowe definicje Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero

150 Macierze Podstawowe definicje Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero Transpozycją macierzy A = (a ij ) o wymiarach m n jest macierz A T = (a ji ) o wymiarach n m

151 Macierze Podstawowe definicje Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero Transpozycją macierzy A = (a ij ) o wymiarach m n jest macierz A T = (a ji ) o wymiarach n m O macierzy A wymiaru m n powiemy, że jest kawdratowa, jeżeli m = n

152 Macierze Podstawowe definicje Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero Transpozycją macierzy A = (a ij ) o wymiarach m n jest macierz A T = (a ji ) o wymiarach n m O macierzy A wymiaru m n powiemy, że jest kawdratowa, jeżeli m = n Macierz A jest symetryczna, gdy jest kwadratowa oraz zachodzi warunek A T = A

153 Macierze Podstawowe definicje Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero Transpozycją macierzy A = (a ij ) o wymiarach m n jest macierz A T = (a ji ) o wymiarach n m O macierzy A wymiaru m n powiemy, że jest kawdratowa, jeżeli m = n Macierz A jest symetryczna, gdy jest kwadratowa oraz zachodzi warunek A T = A Macierz A = (a ij ) jest diagonalna, jeżeli jest kwadratowa oraz a ij = 0 dla i j

154 Macierze Podstawowe definicje Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero Transpozycją macierzy A = (a ij ) o wymiarach m n jest macierz A T = (a ji ) o wymiarach n m O macierzy A wymiaru m n powiemy, że jest kawdratowa, jeżeli m = n Macierz A jest symetryczna, gdy jest kwadratowa oraz zachodzi warunek A T = A Macierz A = (a ij ) jest diagonalna, jeżeli jest kwadratowa oraz a ij = 0 dla i j Macierz identycznościowa I: macierz diagonalna, która ma same jedynki na przekątnej

155 Macierze Działania na macierzach - podstawy Sumą macierzy A = (a ij ) oraz B = (b ij ) o jednakowych wymiarach jest macierz A + B = (a ij + b ij )

156 Macierze Działania na macierzach - podstawy Sumą macierzy A = (a ij ) oraz B = (b ij ) o jednakowych wymiarach jest macierz A + B = (a ij + b ij ) Różnicą macierzy A = (a ij ) oraz B = (b ij ) o jednakowych wymiarach jest macierz A B = (a ij b ij )

157 Macierze Działania na macierzach - podstawy Sumą macierzy A = (a ij ) oraz B = (b ij ) o jednakowych wymiarach jest macierz A + B = (a ij + b ij ) Różnicą macierzy A = (a ij ) oraz B = (b ij ) o jednakowych wymiarach jest macierz A B = (a ij b ij ) Mnożenie macierzy A = (a ij ) przez liczbę α: αa = (α a ij )

158 Macierze Działania na macierzach - podstawy Sumą macierzy A = (a ij ) oraz B = (b ij ) o jednakowych wymiarach jest macierz A + B = (a ij + b ij ) Różnicą macierzy A = (a ij ) oraz B = (b ij ) o jednakowych wymiarach jest macierz A B = (a ij b ij ) Mnożenie macierzy A = (a ij ) przez liczbę α: αa = (α a ij ) Przemienność, łączność oraz rozdzielność mnożenia macierzy przez liczbę (α, β R): αa = Aα, α(βa) = (αβ)a, (α ± β)a = αa ± βb, α(a ± B) = αa ± αb

159 Macierze Działania na macierzach - podstawy Mnożenie macierzy A = (a ij ) wymiaru m n przez wektor v = [v 1,..., v n ] T : a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =..... a m1 a m2... a mn a 11 v 1 + a 12 v a 1n v n a 21 v 1 + a 22 v a 2n v n = v 1 v 2. v n. a m1 v 1 + a m2 v a mn v n =

160 Macierze Działania na macierzach - podstawy Mnożenie macierzy A = (a ij ) wymiaru m n przez macierz B = (b 1, b 2,..., b k ) wymiaru n k: AB = (Ab 1, Ab 2,..., Ab k )

161 Macierze Działania na macierzach - podstawy Mnożenie macierzy A = (a ij ) wymiaru m n przez macierz B = (b 1, b 2,..., b k ) wymiaru n k: AB = (Ab 1, Ab 2,..., Ab k ) Transpozycja a mnożenie macierzy: (AB) T = B T A T

162 Macierze Działania na macierzach - podstawy Mnożenie macierzy A = (a ij ) wymiaru m n przez macierz B = (b 1, b 2,..., b k ) wymiaru n k: AB = (Ab 1, Ab 2,..., Ab k ) Transpozycja a mnożenie macierzy: (AB) T = B T A T Rząd macierzy Dla każdej macierzy A maksymalna liczba r liniowo niezależnych kolumn jest równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy. Liczbę r nazywamy rzędem macierzy, symbolicznie oznczanym przez R(A) Macierz nieosobliwa: Macierz kwadratowa A wymiaru n n, dla której R(A)=n.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1 WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga! Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

Analiza Matematyczna Ćwiczenia Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

Pochodna i jej zastosowania

Pochodna i jej zastosowania Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)

Bardziej szczegółowo

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji . Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34 Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

Materiały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n. Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy...

Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy... Spis treści 1 Macierze 3 1.1 Macierze. Działania na macierzach.............................. 3 1.2 Wyznacznik.......................................... 6 1.3 Macierz odwrotna......................................

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach. Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014 Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz

Bardziej szczegółowo

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Rachunek Różniczkowy

Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania

Pochodna funkcji. Zastosowania Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa

DEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji 4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA.

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ KRZYWEJ. PUNKT PRZEGIĘCIA. Załóżmy, że funkcja y f jest dwukrotnie różniczkowalna w Jeżeli Jeżeli przedziale a;b. Punkt P, f nazywamy punktem przegięcia funkcji y f wtedy i tylko

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo