Analiza Matematyczna MAEW101

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 6 Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz

2 Lista 8. Zadanie 8. Obliczyć podane całki nieoznaczone z funkcji wymiernych x x + (x )x (4x + ) x + x + (5 4x) x 4x + Zadanie 8. Obliczyć podane całki nieoznaczone z funkcji trygonometrycznych sin x + tg x cos x + cos x 3 sin x + 4 cos x + 5

3 3 Lista 9. Zadanie 9. Korzystajac z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć podane całki oznaczone ( ) x + x 9 x + 9 π sin x cos x Zadanie 9. Metodą całkowania przez części obliczyć podane całki oznaczone x e x e ln x e ln x x e e x cos(πx) Zadanie 9.3 Obliczyć podane całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień 6 + 3x, y = 3x e ln x, y = ln x 3 3 x x3 x 4, y = x + x x, x = cos y Zadanie 9.4 Wykorzystując własności całek z funkcji parzystych, nieparzystych, okresowych uzasadnić podane równości x 5 3 = 3 x 3 3 x(x 3 + x) = x(x 3 + x) 3π π sin 7 x 4 + cos x = Zadanie 9.5 Obliczyć podane całki oznaczone g(x), gdzie g(x) = { e x dla x dla x = x 3 g(x), gdzie g(x) = { x dla x dla x >

4 4 Lista. Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju π x x sin x 3 3x + 5 (e) x + 4 x e x3 Zadanie. Korzystając z kryterium porównawczego (punkty,, ) lub ilorazowego (pozostałe punkty) zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju x 3 x x5 3 π ( + sin x) x 3 x 3 x7 + (e) (f) (e x + ) e x ( ) sin x Zadanie.3 Obliczyć pole obszaru D ograniczonego podanymi krzywymi y = x x, x + y = yx 4 =, y =, y = 6 Zadanie.4 Obliczyć długość podanej krzywej Γ Γ : y = x 3, x Γ : y = e x, ln x ln 3 Zadanie.5 Obliczyć objętość bryły V powstałej przez obrót podanej figury D wokół wskazanej osi D : x, y x x wokół osi Ox D : x 5, y x + 4 wokół osi Oy Zadanie.6 Obliczyć pole powierzchni Σ powstałej przez obrót podanej krzywej Γ wokół wskazanej osi Γ : 3 x, y = 4 + x wokół osi Ox Γ : x, y = x + wokół osi Oy

5 5 Lista. Zadanie. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność podanych szeregów n= n + n n n + 4 ln n n Zadanie. Korzystając z kryterium porównawczego (punkty,, ) lub ilorazowego (pozostałe punkty) zbadać zbieżność podanych szeregów 3 n + n + n + n 3 n= n + sin(n!) 3 n 3 cos(n ) n (e) (f) n 3 n ( ) arctg n Zadanie.3 Korzystając z kryterium d Alemberta (punkty,, ) lub Cauchy ego (pozostałe punkty) zbadać zbieżność podanych szeregów n n 3 n n! n + 3 n 3 n + 4 n n + n 5 + ( ) π n sin n (e) (f) 3 n n n (n + ) n ( ) n n n= Zadanie.4 Korzystając z kryterium Leibniza uzasadnić zbieżność podanych szeregów ( ) n n n= n + ( ) ( n n 3 ) n= ( ) n+ n +

6 6 Lista. Zadanie. Wyznaczyć przedział zbieżności podanego szeregu potegowego x n n n n(x ) n n (x + n )n + Zadanie. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności f(x) = x 9 + x ( ) x f(x) = cos f(x) = xe x Zadanie.3 Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć podane pochodne f () () dla f(x) = 3x f (5) () dla f(x) = x sin x f (5) () dla f(x) = x ln( x) Zadanie.4 Korzystając z twierdzeń o różniczkowaniu i całkowaniu szeregu potęgowego obliczyć sumę podanego szeregu liczbowego: n= n(n + ) 4 n (n + ) n n 3 n (n + )4 n

7 7 Lista 3. Zadanie 3. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji. W punktach i znaleźć także poziomice wykresów podanych funkcji i na tej podstawie naszkicować te wykresy. f(x, y) = 4 x y f(x, y) = sin y f(x, y) = ln Zadanie 3. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji ( x + y ) 4 9 x y f(x, y, z) = arc sin(x + y + z ) f(x, y) = x + y xy ( ) xy f(x, y) = arctg x + y f(x, y) = e sin y x f(x, y, z) = x + xz y + yz3 (e) f(x, y, z) = x x + y + z 4 (f) f(x, y, z) = sin(x cos(y sin z)) Zadanie 3.3 Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne cząstkowe mieszane są równe f(x, y) = sin(x + y ) f(x, y) = xe xy f(x, y, z) = x + y + z f(x, y, z) = ln(x + y 4 + z 6 + ) Zadanie 3.4 Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe podanych funkcji 3 f (x, y) dla f(x, y) = sin(xy) x y 3 f x y z (x, y, z) dla f(x, y, z) = x y 3 z 4 f x + y (x, y) dla f(x, y) = y x y x y 5 f (x, y, z) dla f(x, y, z) = x y exy+z z

8 8 Lista 4. Zadanie 4. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu podanej funkcji we wskazanym punkcie wykresu f(x, y) = x y +, (x, y, z ) = (, 3, ) f(x, y) = e x+y, (x, y, z ) = (,, ) Zadanie 4. Znaleźć ekstrema podanych funkcji f(x, y) = x 3 + 3xy 5x 4y f(x, y) = e (x +y +x) f(x, y) = 8 x + x y + y, gdzie x, y > Zadanie 4.3 Znaleźć najmniejszą i największą wartość podanej funkcji f(x, y) na zbiorze A domkniętym i ograniczonym f(x, y) = xy + 4xy 4x, A = {(x, y) : 3 x 3, 3 y } f(x, y) = x 4 + y 4, A = {(x, y) : x + y 9}

9 9 Odpowiedzi i wskazówki: Lista nr 8: 8. x x + ln x + + C; + ln x x + C; ln(x + x + ) + C; x ln(x 4x + ) 3arctg ( ) x C 8. ln ( ) cos x 4 +cos x + C (podstawienie y = cos x); (+cos x) ln ( ) +sin x sin x + C (podstawienie y = sin x); 3 arctg ( tg x 3 ) + C (podstawienie y = tg x); + C (podstawienie y = tg(x/)) 3+tg(x/) Lista nr 9: 9. ( 8); arctg3; (e ); + 3 e ; ; π e e π ln 5 ; 6; ; π e ; 5 ; (wsk. wykorzystać parzystość funkcji podcałkowej) e Lista nr :. zbieżna (do ); rozbieżna; rozbieżna do ; zbieżna (do π ); (e) rozbieżna do ln 4. rozbieżna do, g(x) = x ; zbieżna, g(x) = x 3 ; zbieżna, g(x) = x 3 x ; rozbieżna do, g(x) = x ; (e) rozbieżna do, g(x) = e x ; (f) zbieżna, g(x) = x.3 9 ; ; 3 + ln 3+ 3( 3 ).5 6π ; 4π 5.6 π 6 (5 5 5); π 6 (5 5 ) Lista nr :. zbieżny; rozbieżny do ; zbieżny. zbieżny, b n = ; zbieżny, b n n = ( ) n; 3 rozbieżny do, bn = n ; rozbieżny do, b n = ; (e) zbieżny, b n n = ( n; 3) (f) zbieżny, bn = n.3 zbieżny; rozbieżny do ; zbieżny; zbieżny; (e) rozbieżny do ; (f) zbieżny Lista nr :. [, ); (, 3); [, ). n= n= ( ) n 9 n+ xn+ dla x ( 3, 3); ( ) n n x n+ dla x R n! n= ( ) n n (n)! xn dla x R;

10 .3 3!; 5; 5! ln 3 ; ln ; ; 7 Lista nr 3: 3. D f = {(x, y) : x + y 4} - koło domknięte o środku (, ) i promieniu, poziomice P = {(, )}, P h = {(x, y) : x + y = 4 h } dla h <, czyli okręgi o wspólnym środku (, ) i promieniach równych 4 h, P h = dla h < i dla h >, wykres - górna półsfera o środku (,, ) i promieniu ; D f = R, poziomice P h = {(x, y) : y = arc sin h} dla h, czyli proste równoległe do prostej y =, P h = dla h < i dla h >, wykres - powierzchnia walcowa o przekroju sinusoidy; D f = {(x, y) : 4 < x + y < 9} - pierścień kołowy otwarty o środku (, ) i promieniach i 3; D f = {(x, y, z) : x + y + z 3} - wydrążona kula domknięta o środku (,, ) i promieniach i 3 3. D f = {(x, y) : xy }, f (x, y) = x y, f (x, y) = y x ; x x y y y x D f = {(x, y) : x y }, f y (x, y) = x 3, f (x+y ) +( xy) y (x, y) = xy x y (x+y ) +( xy) ; D f = {(x, y) : x }, f x (x, y) = y x cos y x esin y x, f y (x, y) = x cos y x esin y x ; D f = {(x, y, z) : y }, f (x, y, z) = x +, f xz (x, y, z) = + z 3, f (x, y, z) = x + x y y y z y 3yz ; (e) D f = R 3 {(,, )}, f x (x, y, z) = x +y +z 4 f (x, y, z) = 4xz3 z, f (x +y +z 4 ) y (x, y, z) = xy (x +y +z 4 ), ; (f) D (x +y +z 4 ) f = R 3, f (x, y, z) = cos(x cos(y sin z)) cos(y sin z), x f (x, y, z) = cos(x cos(y sin z)) ( x sin(y sin z)) sin z, y f (x, y, z) = cos(x cos(y sin z)) ( x sin(y sin z)) y cos z z 3.3 D f = R, f (x, y) = cos(x + y ) 4x sin(x + y ), f (x, y) = 4xy x y x sin(x + y ), pozostałe pochodne łatwo wyprowadzić można na podstawie symetrycznej roli x i y; D f = R, f x (x, y) = y(+xy)e xy, f (x, y) = f (x, y) = y x x y x(+xy)exy, f (x, y) = x 3 e xy ; y D f = R 3 {(,, )}, f (x, y, z) = x y z, f 3xy (x, y, z) =, pozostałe x (x +y +z ) 5/ y x (x +y +z ) 5/ pochodne łatwo wyprowadzić można na podstawie symetrycznej roli x, y i z; D f = R 3, f (x, y, z) = ( x +y 4 +z 6 +), f (x, y, z) = 4y (3x y 4 +3z 6 +3), f (x, y, z) = 6z4 (5x +5y 4 z 6 +5), x (x +y 4 +z 6 +) y (x +y 4 +z 6 +) z (x +y 4 +z 6 +) f (x, y, z) = f (x, y, z) = 8xy 3, y x x y (x +y 4 +z 6 +) f y z (x, y, z) = f z y (x, y, z) = 4y 3 z 5 (x +y 4 +z 6 +) 3.4 x sin(xy) x y cos(xy); (3x+y) (x y) 5 Lista nr 4: f (x, y, z) = f (x, y, z) = xz 5, z x x z (x +y 4 +z 6 +) ; 6xy ; x( + xy)e xy+z z 4. π st : z = 4(x ) + 4 (y 3); π st : z = x + (y + ) 4. minimum lokalne właściwe w (4, ), maksimum lokalne właściwe w ( 4, ); maksimum lokalne właściwe w (, ); minimum lokalne właściwe w (4, ) 4.3 wartość najmniejsza 4 w (3, ), największa 4 w ( 3, ); wartość najmniejsza w (, ), największa 8 w (, ±3) i (±3, )