Funkcje wielu zmiennych
|
|
- Ryszard Kucharski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych str. 1/65
2 Funkcje wielu zmiennych Niech R n def = {(x 1, x 2,..., x n ): x 1 R x 2 R x n R }. Funkcja n zmiennych określoną na zbiorze D R n o wartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru D dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Funkcję taką oznaczamy przez f : D R lub w = f (x 1, x 2,..., x n ), gdzie (x 1, x 2,..., x n ) D. Wartość funkcji f w punkcie (x 1, x 2,..., x n ) oznaczamy przez f (x 1, x 2,..., x n ). Funkcje wielu zmiennych str. 2/65
3 Dla n = 2 mamy funkcję dwóch zmiennych z = f(x, y) y D (x, y) z = f(x, y) R 2 (x, y) R x z = f(x, y) Funkcje wielu zmiennych str. 3/65
4 Dla n = 3 mamy funkcję trzech zmiennych w = f(x, y, z) z (x, y, z) w = f(x, y, z) D R 3 R x y w = f(x, y, z) Funkcje wielu zmiennych str. 4/65
5 Dziedzina funkcji Zbiór wszystkich punktów przestrzeni R n, dla których funkcja f jest określona nazywamy dziedzina funkcji f i oznaczamy przez D f. Jeżeli dany jest wzór określający funkcję, to zbiór punktów przestrzeni R n, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzina naturalna funkcji. Funkcje wielu zmiennych str. 5/65
6 Przykład funkcji dwóch zmiennych Niech f(x, y) = x 2 + y 2. Wówczas D f = R 2. y x Funkcje wielu zmiennych str. 6/65
7 Przykład funkcji dwóch zmiennych Niech f(x, y) = 4 x 2 y 2. Wówczas D f = {(x, y) : x 2 + y 2 4}. y x Funkcje wielu zmiennych str. 7/65
8 Przykład funkcji dwóch zmiennych Niech f(x, y) = arc sin x y. Wówczas D f = {(x, y) : 1 x y 1 y 0}. y x Funkcje wielu zmiennych str. 8/65
9 Przykład funkcji trzech zmiennych Niech g(x, y, z) = 1 x 2 y 2 z 2. Wówczas D g = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 1}. z y x Funkcje wielu zmiennych str. 9/65
10 Inne przykłady Natężenie I prądu w oporniku o oporze R jest według prawa Ohma funkcją napięcia U, przyłożonego do zacisków tego opornika, oraz oporu R, tzn. I = U R. Temperatura T w punkcie P (x, y, z) ogrzewanego ciała w chwili t jest funkcją czterech zmiennych, mianowicie tego punktu oraz czasu t, tzn. T = T (x, y, z, t). Funkcje wielu zmiennych str. 10/65
11 Wykres funkcji n-zmiennych Wykresem funkcji n-zmiennych nazywamy zbiór {(x 1,..., x n, w) : (x 1,..., x n ) D f w = f(x 1,..., x n )} R n R. Dla n = 2 {(x, y, z) : (x, y) D f z = f(x, y)} R 3. z z = f(x, y) y x D f Funkcje wielu zmiennych str. 11/65
12 Poziomice wykresu funkcji dwóch zmiennych Poziomica wykresu funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) odpowiadającą poziomowi h R nazywamy zbiór {(x, y) : (x, y) D f f(x, y) = h} R 2. z z = f(x, y) x f(x, y) = h y poziomica wykresu funkcji f Funkcje wielu zmiennych str. 12/65
13 Warstwice wykresu funkcji wielu zmiennych Warstwica wykresu funkcji f : D f R, n 3 odpowiadającą warstwie h R nazywamy zbiór {(x 1,..., x n ) D f : (x 1,..., x n ) D f f(x 1,..., x n ) = h} R n. Funkcje wielu zmiennych str. 13/65
14 Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych f : R 2 R Wykresem funkcji z = Ax + By + C jest płaszczyzna o wektorze normalnym n = [ A, B, 1], przechodząca przez punkt (0, 0, C). z y x Funkcje wielu zmiennych str. 14/65
15 Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych f : R 2 R Wykresem funkcji z = a(x 2 + y 2 ) jest paraboloida obrotowa, t.j. powierzchnia obrotowa powstała z obrotu paraboli z = ax 2 (lub z = ay 2 ) wokół osi Oz. z a > 0 x y Funkcje wielu zmiennych str. 15/65
16 Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych f : R 2 R Wykresem funkcji z = ± R 2 x 2 y 2 jest górna lub dolna półsfera o środku w początku układu współrzędnych i promieniu R. z z z = R 2 x 2 y 2 z = R 2 x 2 y 2 x y x y Funkcje wielu zmiennych str. 16/65
17 Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych f : R 2 R Wykresem funkcji z = k x 2 + y 2 jest stożek, t.j. powierzchnia powstała z obrotu półprostej z = kx, y = 0, dla x 0 wokół osi Oz. z k > 0 x y Funkcje wielu zmiennych str. 17/65
18 Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych f : R 2 R Wykresem funkcji z = h ( x2 + y 2 ) jest powierzchnia obrotowa powstała z obrotu wykresu funkcji z = h(x), y = 0, dla x 0 wokół osi Oz. z x y Funkcje wielu zmiennych str. 18/65
19 Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych f : R 2 R Wykresem funkcji z = g(x) lub z = k(y) jest powierzchnia walcowa powstała z przesunięcia wykresu funkcji z = g(x), dla y = 0 równolegle do osi OY lub wykresu funkcji z = k(y), dla x = 0 równolegle do osi z OX. z y y x x Funkcje wielu zmiennych str. 19/65
20 Wykres funkcji z = f(x a, y b) + c powstaje z wykresu funkcji z = f(x, y) przez przesunięcie o wektor v = [a, b, c]. z v = [a, b, c] y x Funkcje wielu zmiennych str. 20/65
21 Wykres funkcji z = f(x, y) powstaje z wykresu funkcji z = f(x, y) przez symetryczne odbicie względem płaszczyzny OXY. z y x Funkcje wielu zmiennych str. 21/65
22 Powierzchnie obrotowe Krzywa obracająca się dookoła prostej zatacza powierzchnię obrotową. Obróćmy krzywą o równaniu x = x(t), y = y(t), z = z(t), t a, b dookoła osi OZ. Wówczas punkt P (x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) krzywej zatoczy okrąg o równaniu ( ) x 2 + y 2 = [x(t 0 )] 2 + [y(t 0 )] 2 leżący na płaszczyźnie z = z(t 0 ). Po eliminacji t 0 z ( ) otrzymujemy równanie powierzchni obrotowej zataczanej przez krzywą. Funkcje wielu zmiennych str. 22/65
23 Powierzchnie obrotowe z x y Funkcje wielu zmiennych str. 23/65
24 Przykład powierzchni obrotowej Niech linia prosta x = t, y = t, z = 2t, t R obraca się dookoła osi OZ. Wówczas punkt P (t 0, t 0, 2t 0 ) prostej zatoczy okrąg o równaniu ( ) x 2 + y 2 = 2(t 0 ) 2 leżący na płaszczyźnie z = 2t 0. Po eliminacji t 0 z ( ) otrzymujemy równanie x 2 + y 2 = z2 < równanie stożka 2 powierzchni obrotowej zataczanej przez daną prostą. Funkcje wielu zmiennych str. 24/65
25 Przykład powierzchni obrotowej x 2 + y 2 = z2 2 < równanie stożka z x y Funkcje wielu zmiennych str. 25/65
26 Przykład powierzchni obrotowej Niech okrąg x = a + r cos t, y = 0, z = r sin t, t R obraca się dookoła osi OZ. Wówczas punkt P (a + r cos t 0, 0, r sin t 0 ) prostej zatoczy okrąg o równaniu ( ) x 2 + y 2 = (a + r cos t 0 ) 2. Po eliminacji t 0 z ( ) otrzymujemy równanie ( x 2 + y 2 a) 2 + z 2 = r 2 < równanie torusa powierzchni obrotowej zataczanej przez okrąg x = a + r cos t, y = 0, z = r sin t, t R. Funkcje wielu zmiennych str. 26/65
27 Przykład powierzchni obrotowej ( ) 2 x2 + y 2 a + z 2 = r 2 < równanie torusa z x y Funkcje wielu zmiennych str. 27/65
28 Granice funkcji wielu zmiennych Niech (P k (x k1,..., x kn )) ki N będzie ciągiem punktów w Rn. Mówimy, że ciąg (P k ) dąży do punktu P 0 (x 01,..., x 0n ) R n, jeżeli lim x k i = x 0i, dla każdego i = 1, 2,..., n, k i + oznacza to zbieżność dla każdej ( współrzędnej. ) 1 Przykład: Niech P n (x n, y n ) = n, ( 1)n ciąg punktów w n przestrzeni R 2. Wówczas lim (x n, y n ) = (0, 0). n + Funkcje wielu zmiennych str. 28/65
29 Granice funkcji wielu zmiennych Niech f : R n R będzie funkcją n-zmiennych. Niech P 0 (x 01,..., x 0n ) R n oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na S(P 0 ) def = {(x 1,..., x n ) R n : gdzie r > 0 jest pewną liczbą. (x 1 x 01 ) (x n x 0n ) 2 < r} \ {P 0 }, lim f(x 1,..., x n ) = g P P 0 [ def ] (x k1,..., x kn ) x ki x 0i lim x k i = x 0i, i = 1,..., n k i lim f(x k 1,..., x kn ) = g k i. i = 1, 2,..., n Funkcje wielu zmiennych str. 29/65
30 Własności granic funkcji wielu zmiennych Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie P 0 R n, to lim [f(p ) ± g(p )] = lim f(p ) ± lim g(p ). P P 0 P P 0 P P 0 lim c f(p ) = c lim f(p ) P P 0 P P 0 lim [f(p ) g(p )] = lim f(p ) lim g(p ) P P 0 P P 0 P P 0 f(p ) lim f(p ) lim P P 0 g(p ) = P P 0 lim g(p ), o ile P P 0 lim g(p ) 0. P P 0 Funkcje wielu zmiennych str. 30/65
31 Własności granic funkcji wielu zmiennych Jeżeli funkcje ϕ i, i = 1,..., n i f spełniają warunki: lim ϕ i (T) = x 0i, T T 0 T R m T S(T 0 ) (ϕ 1 (T),..., ϕ n (T)) (x 01,..., x 0n ) lim f(p ) = g, P P 0 to lim f (ϕ 1 (T),..., ϕ n (T)) = g. T T 0 Funkcje wielu zmiennych str. 31/65
32 Ciagłość funkcji wielu zmiennych Niech f : R n R będzie funkcją n-zmiennych. Funkcja jest ciągła w punkcie P 0 (x 01,..., x 0n ) def lim f(x 1,..., x n ) = f(x 01,..., x 0n ). P P 0 Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie P 0 (x 01,..., x 0n ), to w tym punkcie ciągłe są także funkcje f + g, f g, c f, c R, f g, f g, o ile g(p 0) 0. Jeżeli funkcje ϕ i, i = 1,..., n są ciągłe w punkcie T 0 R m i f jest ciągła w punkcie P 0 = (ϕ 1 (T 0 ),..., ϕ n (T 0 )), to funkcja f (ϕ 1 (t 1,..., t m ),..., ϕ n (t 1,..., t m )) jest ciągła w T 0. Funkcje wielu zmiennych str. 32/65
33 Pochodne czastkowe Niech f oznacza funkcję n-zmiennych określona w otoczeniu O punktu P 0 (x 01,..., x 0n ). Symbolem x i oznaczamy przyrost zmiennej niezależnej x i, 1 i n, różny od zera i taki, żeby P (x 01,..., x 0i 1, x 0i + x i, x 0i+1,..., x 0n ) O. f(p ) f(p 0 ) Granicę właściwą lim nazywamy x i 0 x i pochodna czastkow a rzędu pierwszego funkcji f względem zmiennej x i w punkcie P 0 i oznaczamy symbolem f x i (P 0 ). Funkcje wielu zmiennych str. 33/65
34 Pochodne czastkowe funkcji dwóch zmiennych Dla funkcji dwóch zmiennych f(x, y) definicje pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego względem zmiennych x i y w punkcie P 0 (x 0, y 0 ) są następujące f x (P 0) def = lim x 0 f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x oraz f y (P 0) def = lim y 0 f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) y. Funkcje wielu zmiennych str. 34/65
35 Interpretacja geometryczna pochodnych czastkowych dla f : R 2 R Niech f : R 2 R, z = f(x, y). Załóżmy, że f ma pochodne rzędu pierwszego w punkcie P 0 (x 0, y 0 ). f x (x 0, y 0 ) = tg α z z f y (x 0, y 0 ) = tg β x α y x β f x (x 0, y 0 ) jest miarą lokalnej szybkości wzrostu funkcji f wzgl. zmiennej x przy ustalonej wartości y. f y (x 0, y 0 ) jest miarą lokalnej szybkości wzrostu funkcji f wzgl. zmiennej y przy ustalonej wartości x. y Funkcje wielu zmiennych str. 35/65
36 UWAGA: Nie ma zwiazku między ciagłości a funkcji wielu zmiennych a istnieniem pochodnych czastkowych. Funkcja wielu zmiennych może mieć w punkcie obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu i może nie być ciągła w tym punkcie, np. funkcja f(x, y) = 1, dla xy = 0 0, dla xy 0 f ma pochodne cząstkowe w punkcie (0, 0): nie jest ciągła w punkcie (0, 0), ale f (0, 0)= lim x x 0 f( x, 0) f(0, 0) x = lim x x = 0 i f (0, 0)= lim y y 0 f(0, y) f(0, 0) y = lim y y = 0. Funkcje wielu zmiennych str. 36/65
37 Przykład funkcji ciagłej nie majacej pochodnych czastkowych Niech f(x, y) = x 2 + y 2. Funkcja f jest ciągła w punkcie (0, 0), gdyż lim (x,y) (0,0) x2 + y 2 = 0 = f(0, 0), ale f (0, 0)= lim x x 0 x x = lim x 0 x x nie istnieje i f (0, 0)= lim y y y 2 0 y = lim y 0 y y nie istnieje. Funkcje wielu zmiennych str. 37/65
38 Jeżeli funkcja ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego D R n, to funkcje f x 1 (x 1,..., x n ), f x 2 (x 1,..., x n ),..., f x n (x 1,..., x n ), gdzie (x 1,..., x n ) D, nazywamy pochodnymi czastkowymi pierwszego rzędu funkcji f na zbiorze D i ozn. f x 1, f x 2,..., f x n lub f x 1, f x 2,..., f x n. Funkcje wielu zmiennych str. 38/65
39 Przykłady Niech f(x, y) = e x ln(x + y). Niech g(x, y, z) = 3 arc tg(x + e yz ). Funkcje wielu zmiennych str. 39/65
40 Pochodna kierunkowa funkcji f : D R n R Niech f oznacza funkcję n-zmiennych określona w otoczeniu O punktu P 0 (x 01,..., x 0n ) D. Pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie P 0 w kierunku wersora v = [v x1, v x2,..., v xn ] określamy wzorem df d v df d v (P 0) def f(x 01 + tv x1,..., x 0n + tv xn ) f(x 01,..., x 0n ) = lim t 0 t jest też oznaczana następująco f v lub f v. Dla f : D R 2 R Dla f : D R 3 R df d i = f x, df d j = f y. df d i = f x, df d j = f y, df d k = f z. Funkcje wielu zmiennych str. 40/65
41 Przykład Niech f(x, y, z) = x 2 2yz, P 0 (1, 0, 1) i v = Wówczas df d v (P 0) def = lim t lim t 0 ( ) 2 ( 3 t 2 0 ) ( 3 3 t 1 + t 2 3 t t t + 15t t 1 3, 3 3, ) 5 3 t = = ( 1 3 ) Funkcje wielu zmiennych str. 41/65
42 Przykład Niech f(x, y, z) = e x+y+z, P 0 (0, 0, 0) i v = [1, 1, 1]. Wówczas df d v (P 0) def e 3t 1 = lim t 0 t [ 0 0 ] = lim t 0 3e 3t 1 = 3 Funkcje wielu zmiennych str. 42/65
43 Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej funkcji dwóch zmiennych Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ). Ponadto niech γ oznacza kąt nachylenia do płaszczyzny XOY półstycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji f { x = x 0, półpłaszczyzną przechodzącą przez prostą oraz równoległą do wersora v. Wtedy y = y 0 df d v (x 0, y 0 ) = tg γ. z (x 0, y 0, 0) γ y x v Pochodna kierunkowa określa szybkość zmiany wartości funkcji f w kierunku v. Funkcje wielu zmiennych str. 43/65
44 Gradient funkcji Niech f : D R n R. Gradientem funkcji f w punkcie P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ) nazywamy wektor określony wzorem f(p 0 ) def = [ f x 1 (P 0 ), f x 2 (P 0 ),..., f x n (P 0 ) Gradient w punkcie P 0 jest również oznaczany przez gradf(p 0 ) lub f (P 0 ),tak jak pochodna jednej zmiennej. ]. Przykład: Niech f(x, y) = x 3 y 2 + 3x y i P 0 ( 2, 1). Wówczas [ f f= x, f ] = [3x 2 y 2 + 3, 2x 3 y 1], więc f( 2, 1)=[15, 17] y Funkcje wielu zmiennych str. 44/65
45 Pochodna kierunkowa a gradient funkcji Twierdzenie (wzór do obliczania pochodnej kierunkowej): Niech pochodne cząstkowe f x i, i = 1,..., n będą ciągłe w punkcie P 0 (x 01,..., x 0n ) oraz niech v będzie dowolnym wersorem. Wtedy df d v (P 0) = f(p 0 ) v. Przykład: Niech f(x, y) = x 3 y 2 + 3x y, P 0 ( 2, 1) i [ 1 v = 2, 1 ]. Wówczas 2 df ( 2, 1) = f( 2, 1) v = [15, 17] d v [ 1 2, 1 ] 2 = Funkcje wielu zmiennych str. 45/65
46 Pochodna kierunkowa a gradient funkcji Pochodna kierunkowa funkcji w punkcie liczona w kierunku gradientu ma wartość największą spośród wszystkich pochodnych kierunkowych liczonych w różnych kierunkach i df d f(p 0 ) (P 0) = f(p 0 ). Funkcje wielu zmiennych str. 46/65
47 Interpretacja geometryczna gradientu funkcji dwóch zmiennych Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie. z y x (x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 ) Funkcje wielu zmiennych str. 47/65
48 Interpretacja geometryczna gradientu funkcji dwóch zmiennych Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten punkt. y y 0 (x 0, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x 0 x Funkcje wielu zmiennych str. 48/65
49 Pochodne czastkowe drugiego rzędu Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe f x i, i = 1, 2,..., n, na obszarze D R n oraz niech P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ) D. Pochodne czastkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie P 0 określamy wzorami: 2 f x 2 i (P 0 ) = ( x i ( f x i )) (P 0 ), 2 f x i x j (P 0 ) = ( x i ( f x j )) (P 0 ), dla i, j = 1, 2,..., n. Powyższe pochodne oznaczamy także odpowiednio przez f x i x i (P 0 ), f x j x i (P 0 ) lub f xi x i (P 0 ), f xj x i (P 0 ). Funkcje wielu zmiennych str. 49/65
50 Pochodne czastkowe drugiego rzędu na obszarze Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu w każdym punkcie obszaru D R n, to funkcje 2 f x 2 i (x 1,..., x n ), 2 f x i x j (x 1,..., x n ), i, j = 1, 2,..., n gdzie (x 1,..., x n ) D, nazywamy pochodnymi czastkowymi drugiego rzędu funkcji f na obszarze D i oznaczamy odpowiednio przez 2 f x 2 i, 2 f x i x j lub f x i x i, f x j x i. Funkcje wielu zmiennych str. 50/65
51 Pochodne czastkowe wyższych rzędów Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu k 2 przynajmniej na otoczeniu punktu P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ) D R n, to k+1 f x i x s j x p l (P 0 ) = x i k f x s j x p l (P 0 ), gdzie s + p = k. Funkcje wielu zmiennych str. 51/65
52 Twierdzenie Schwarza Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ). Ponadto niech pochodne cząstkowe 2 f x i x j, 2 f x j x i istnieją na otoczeniu punktu P 0 pochodne cząstkowe P 0. 2 f x i x j, 2 f x j x i, będą ciągłe w punkcie Wtedy 2 f x i x j (P 0 ) = 2 f x j x i (P 0 ), i j i i, j = 1, 2,..., n UWAGA: Prawdziwe są analogiczne równości dla pochodnych mieszanych wyższych rzędów. Funkcje wielu zmiennych str. 52/65
53 Różniczkowalność funkcji n-zmiennych Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ) oraz niech istnieją pochodne cząstkowe f x i (P 0 ), i = 1,,..., n. Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie P 0 wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: lim ( x 1,..., x n ) (0,...,0) f(p ) f(p 0 ) f x 1 (P 0 ) x 1 f x n (P 0 ) x n =0, ( x 1 ) ( x n ) 2 gdzie P = (x 01 + x 1,..., x 0n + x n ). Funkcje wielu zmiennych str. 53/65
54 Warunek konieczny różniczkowalności funkcji Twierdzenie: Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciagła w tym punkcie. Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Świadczy o tym przykład funkcji f(x, y) = x 2 + y 2, która jest ciągła w punkcie (0, 0), ale nie jest w tym punkcie różniczkowalna. Funkcje wielu zmiennych str. 54/65
55 Warunek wystarczajacy różniczkowalności funkcji Twierdzenie: Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ). Ponadto niech pochodne cząstkowe f x i, i = 1,..., n istnieją na otoczeniu punktu P 0 pochodne cząstkowe punkcie P 0. f x i, i = 1,..., n będą ciągłe w Wtedy funkcja f jest różniczkowalna w punkcie P 0. Funkcje wielu zmiennych str. 55/65
56 Interpretacja geometryczna funkcji dwóch zmiennych różniczkowalnej w punkcie Różniczkowalność funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) oznacza, że istnieje płaszczyzna styczna (niepionowa) do wykresu tej funkcji w punkcie (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). z z = f(x, y) płaszczyzna styczna (x 0, y 0, z 0 ) y x Funkcje wielu zmiennych str. 56/65
57 Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie P 0 (x 0, y 0 ). Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, y 0, z 0 ), gdzie z 0 = f(x 0, y 0 ), ma postać: z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Funkcje wielu zmiennych str. 57/65
58 Różniczka funkcji n-zmiennych Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ). Ponadto niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ). Różniczka funkcji f w punkcie P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ) nazywamy funkcję zmiennych x 1, x 2,..., x n określoną wzorem: df(p 0 )( x 1, x 2,..., x n ) def = n i=1 f x i (P 0 ) x i, Różniczkę funkcji f oznacza się także przez df(x 01, x 02,..., x 0n ) lub krótko df. Funkcje wielu zmiennych str. 58/65
59 Zastosowanie różniczki funkcji n-zmiennych Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ). Wtedy f(x 01 + x 1,..., x 0n + x n ) f(p 0 ) + df(p 0 )( x 1,..., x n ), przy czym błąd δ( x 1, x 2,..., x n ) powyższego przybliżenia dąży szybciej do 0 niż ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) ( x n ) 2, tzn. lim x i 0, i=1,...,n δ( x 1, x 2,..., x n ) ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) ( x n ) 2 = 0. Funkcje wielu zmiennych str. 59/65
60 Przykład Wykorzystując różniczkę obliczymy wartość przybliżoną wyrażenia 2,1 8,05. Definiujemy funkcję f(x, y) = xy. Przyjmujemy x 0 =2 y 0 =8 x=0,1 i y =0,05. Ponieważ f x = 1 y 2 x i f y = 1 x 2 y,więc 2, 1 8, , ,05 = 4,1125. Funkcje wielu zmiennych str. 60/65
61 Zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów Niech wielkości fizyczne x 1, x 2,..., x n, y będą związane zależnością y = f(x 1, x 2,..., x n ). Ponadto niech xi, i = 1, 2,..., n oznaczaja odpowiednio błędy bezwzględne pomiaru wielkości x 1, x 2,..., x n. Wtedy błąd bezwzględny y obliczeń wielkości y wyraża się wzorem przybliżonym y n i=1 f x x i. i Funkcje wielu zmiennych str. 61/65
62 Przykład Przy pomocy menzurki można zmierzyć objętość ciała z dokładnością V = 0,1 cm 3, a przy pomocy wagi sprężynowej można ustalić jego masę z dokładnością 1 g. Objętość ciała zmierzona tym sposobem wynosi V = 25 cm 3, a masa M = 200 g. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć gęstość ρ tego ciała? Ponieważ ρ(m, V ) = M V, więc ρ M = 1 V i ρ V = M V 2, więc ρ ρ M M + ρ V V = ,1 = 0,072. Funkcje wielu zmiennych str. 62/65
63 Różniczka zupełna Niech funkcja f będzie określona na otoczeniu punktu P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ). Ponadto niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ). Przyrosty x 1, x 2,..., x n nazywamy różniczkami zmiennych niezależnych x 1, x 2,..., x n, odpowiednio i oznaczamy symbolami dx 1, dx 2,..., dx n. Różniczka zupełna funkcji f w punkcie P 0 (x 01, x 02,..., x 0n ) nazywamy wyrażenie: df(p 0 ) def = n i=1 f x i (P 0 )dx i. Funkcje wielu zmiennych str. 63/65
64 Podsumowanie Funkcje wielu zmiennych - ich warstwice i wykresy. Granice funkcji wielu zmiennych. Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Pochodna kierunkowa. Gradient. Różniczka zupełna. Funkcje wielu zmiennych str. 64/65
65 Dziękuję za uwagę ;) Funkcje wielu zmiennych str. 65/65
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych (c.d.)
Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Pochodne czastkowe. Pochodna kierunkowa. Gradient. Różniczka zupełna. Pochodna odwzorowania. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że
Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji
Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych (wykład 14; )
Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; 15.01.07) Przestrzeń dwuwymiarowa, oznaczana w literaturze matematycznej symbolem R 2, może być utożsamiona z parami liczb rzeczywistych: R 2 = {(x 1, x 2 ), x 1, x
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoGranice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji. Autorzy: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autorzy: Tomasz Zabawa 2018 Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autor: Tomasz Zabawa Pojęcie stycznej do wykresu funkcji f w danym punkcie wykresu P( x 0, f( x 0
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowof(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x
Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Tomasz Zabawa 2015 Spis treści Pochodna funkcji w punkcie. Pochodna jednostronna, niewłaściwa i funkcji
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe
Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15 Niech r ( t ) [ x( t), y( t), z( t)], t I ( r ( t ) x( t) i y( t) j z( t) k, t I ) będzie równaniem wektorowym krzywej w R 3. Definicja Krzywą o równaniu r ( t ) [ a cost,
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowo1 Geometria analityczna
1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6
Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu r. akad. 2016/2017 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoPochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Pochodne Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 MOTYWACJA Rozpatrzmy gładką funkcję np. y x = x 2 w okolicach punktu (1,1) x 0 = 1, y 0 = f x 0 = 1 powiększmy wykres wokół (x 0, f(x 0
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa do wydania piątego
Zadania z matematyki wyższej. Cz. 1, [Logika, równania liniowe, wektory, proste i płaszczyzny, ciągi, szeregi, rachunek różniczkowy, funkcje uwikłane, krzywe i powierzchnie] / Roman Leitner, Wojciech Matuszewski,
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowo8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe
8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie lato 2015/2016 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowoFakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji
Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 13. Egzaminy I termin wtorek 31.01 14:00 Aula A Wydział Budownictwa II termin poprawkowy czwartek 9.02 14:00 Aula A Wydział Budownictwa
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoZestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:
Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz
Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz x argumenty funkcji y wartości funkcji a współczynnik kierunkowy prostej ( a = tg, gdzie osi OX) - kąt nachylenia wykresu funkcji
Bardziej szczegółowo