Właściwości funkcji Różniczkowalnych

Transkrypt

1 Matematyka Właściwości funkcji Różniczkowalnych Aleksander Denisiuk Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag Matematyka p. 1

2 Właściwości funkcji Różniczkowalnych Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem Matematyka p. 2

3 Wzrastanie funkcji w punkcie. Ekstremum lokalne Niech dana będzie funkcja y = f(x), określona w otoczeniu punktu c. Definicja Funkcjay = f(x) rośnie w punkciec, jeżeli istnieje takie otoczenie punktuc, żef(x) < f(c) dlax < c orazf(x) > f(c) dla x > c, 2. Funkcjay = f(x) maleje w punkciec, jeżeli istnieje takie otoczenie punktuc, żef(x) > f(c) dlax < c orazf(x) < f(c) dlax > c, 3. Funkcjay = f(x) ma maksimum lokalne w punkciec, jeżeli istnieje takie otoczenie punktuc, w którymf(x) f(c) 4. Funkcjay = f(x) ma minimum lokalne w punkciec, jeżeli istnieje takie otoczenie punktuc, w którymf(x) f(c) 5. Funkcjay = f(x) ma ekstremum lokalne w punkciec, jeżeli ona ma w tym punkcie minimum lub maksimum lokalne. Matematyka p. 3

4 Konieczny warunek ekstremum Twierdzenie 2. Niech dana będzie funkcja f(x) różniczkowalna w punkcie a. Wtedy, jeżelif (a) > 0 (f (a) < 0), tof(x) rośnie (maleje) w punkciea. Wniosek 3. Jeżeli funkcja f(x) ma wpunkcie a ekstremum lokalne, to f (a) = 0. Uwaga 4. Przykład funkcjiy = x 3 wskazuje, że twierdzenie 2 daje dostateczny warunek wzrastania (malenia), który nie jest koniecznym. Natomiast warunek ekstremum lokalnego z wniosku 3 jest koniecznym, i nie jest dostatecznym. Matematyka p. 4

5 Twierdzenie Rolle a Twierdzenie 5. Niech funkcjay = f(x) będzie ciagł a na przedziale[a,b], różniczkowalna na przedziale(a,b), orazf(a) = f(b). Wtedy ξ (a,b), takie żef (ξ) = 0. Dowód. f osiaga swoje kresym = supf im = inff. JeżeliM = m, to f(x) = const if (x) 0. JeżeliM > m, to przynajmniej jeden z kresów jest osiagalny wewnatrz przedziału(a,b). Więc w tym punkcief ma ekstremum lokalne. Matematyka p. 5

6 Twierdzenie Lagrange a Twierdzenie 6. Niech funkcjay = f(x) będzie ciagł a na przedziale[a,b] oraz różniczkowalna na przedziale(a,b). Wtedy ξ (a,b), takie że f(b) f(a) = f (ξ)(b a). Dowód. Zastosować twierdzenie Rolle a (twierdzenie 5) do funkcji f(x) f(a) f(b) f(a) b a (x a). Matematyka p. 6

7 Wnioski z twierdzenia Lagrange a Twierdzenie 7. Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna na przedziale (a,b) oraz x (a,b) f (x) = 0. Wtedyf(x) = const. Dowód. x 1,x 2 (a,b) istniejeξ (a,b) takie, że f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ) = 0. Twierdzenie 8. Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna na przedziale (a,b). Na to, żeby funkcjaf była niemalejac a (nierosnac a) na tym przedziale, potrzeba i wystarczy, żeby na(a,b) byłof (x) 0 (f (x) 0). Dowód. Niech f(x) będzie niemalejac a na(a,b). Wtedy w żadnym z punktów(a,b) funkcja nie może być malejac a. Za moca twierdzenia 2 w żadnym z punktów(a,b) nie może byćf (x) < 0. Niech x (a,b) będzief (x) 0. Rozważmy dowolne x 1,x 2 (a,b), takie żex 1 < x 2. Istniejeξ (a,b), takie że f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ) 0. Matematyka p. 7

8 Dostateczny warunek monotoniczności funkcji Twierdzenie 9. Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna na przedziale (a,b) oraz x (a,b) f (x) > 0 (f (x) < 0). Wtedyf(x) rośnie (maleje) na przedziale(a, b). Uwaga 10. Warunekf (x) > 0 nie jest koniecznym na to, żeby funkcjaf była rosnac a na przedziale, np.y = x 3. Wniosek 11 (Dostateczny warunek ekstremum). Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna w otoczeniu punktuaoraz pochodnaf w pukciea zmienia znak z minusa na plus (z plusa na minus). Wtedyf(x) ma w punkcie a minimum (maksimum) lokalne. Matematyka p. 8

9 Poszukiwanie maksimum i minimum funkcji Twierdzenie 12. Niech funkcjay = f(x) będzie ciagła na przedziale[a, b] i różniczkowalna w przedziale(a,b) za wyjatkiem skończonej ilości punktów. Wtedy funkcjaf osiaga maksimum (minimum) w puknciex 0, który spełnia jaden z warunków: x 0 jest końcem przedziału, f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) nie istnieje. Przykład 13. Z kwadratowego kartonu stwórz pudełko o największej objętości. Matematyka p. 9

10 Rozwiazanie zadania o pudełku x x a f(x) = x(a 2x) 2, x [0, a 2 ], f (x) = 0 (a 2x)(a 6x) = 0 x = a 2 x = a 6, x 0 a 6 a 2 f(x) 0 2a Odp: należy nadciać karton na odległości 1 6 od rogu. Matematyka p. 10

11 Dwie nierówności Twierdzenie sinx 1 sinx 2 x 1 x arctgx 1 arctgx 2 x 1 x 2. Dowód. 1. sinx 1 sinx 2 = cosξ(x 1 x 2 ), 2. arctgx 1 arctgx 2 = 1 1+ξ 2 (x 1 x 2 ). Matematyka p. 11

12 Twierdzenie Cauchy ego Twierdzenie 15. Niech funkcjef(x) ig(x) będa różniczkowalne na przedziale(a,b), ciagłe na przedziale[a,b] orazg (x) 0 na(a,b). Wtedy istniejeξ (a,b), takie że f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ). Dowód. Zastosować twierdzenie Rolle a (twierdzenie 5) do funkcji f(x) f(a) f(b) f(a) g(b) g(a)( g(x) g(a) ). Matematyka p. 12

13 Reguła de L Hospitala (wyrażenie nieoznaczone 0 0 ) Twierdzenie 16. Niech dane będa dwie funkcjef(x) ig(x), określone i różniczkowalne w sasiedztwie punktu a, oraz lim ig (x) 0 w tym samym s f nieskończona) granica lim (x) x a g (x), to istnieje lim x a f(x) = lim g(x) = 0 x a x a asiedztwie. Wtedy, jeżeli istnieje (być może, f(x) g(x) = lim x a f (x) g (x). Dowód. Określmy funkcje f(x) oraz g(x) zerem w punkcie a. Wtedy funkcje te zostana ciagłe w ototczeniu a i można zastosować twierdzenie Cauchy ego (twierdzenie 15). Niech{x n } będzie ciagiem, zbieżnym doaowyrazach różnych oda. Wtedy g (ξ n ). Ciag{ξ n}też będzie zbieżnym doaiowyrazach różnych oda. W ten sposób n ξ n międzyaix n, takie że f(x n) f(a) g(x n ) g(a) = f (ξ n ) lim n f(x n ) g(x n ) = lim n f (ξ n ) g (ξ n ). Matematyka p. 13

14 Reguła de L Hospitala (wyrażenie nieoznaczone ) Twierdzenie 17. Niech dane będa dwie funkcjef(x) ig(x), określone i różniczkowalne w sasiedztwie punktu a, oraz oraz lim x a f(x) = lim x a g(x) = w tym samym sasiedztwie. Wtedy, jeżeli istnieje (być może, nieskończona) granica lim lim x a f(x) g(x) = lim x a f (x) g (x). f (x) x a g (x), to istnieje Uwaga 18. Raguły de L Hospitala sa ważne równiez dla granic jednostronnych oraz granic w nieskończoności Matematyka p. 14

15 Przykłady 1 cosx Przykład lim x 0 x 2 x sinx 2. lim x 0 x 3 3. lim x 0+ 2 lim x 0+ 1 cosx = lim x 0 3x 2 x lnx = lim x = 0. x 0+ = lim x 0 sinx 2x = 1 2. = lim x 0 sinx 6x = 1 6. lnx x 1/2 = lim x 0+ 1/x ( 1/2) x 3/2 = Matematyka p. 15

16 Definicje pochodnych wyższych rzędów Definicja Niech funkcja f(x) będzie różniczkowalna w otoczeniu punktua. Jeżelif (x) jest różniczkowalna w punkciea, to pochodna ( f ) (a) nazywa się druga pochodna funkcjif w punkciea. Oznaczenie f (a) lubf (2) (a). Funkcjęf nazywamy dwa razy różniczkowalna w punkciea. 2. Niechn 2 i funkcjaf(x) będzienrazy różniczkowalna w otoczeniu punktua, oraz pochodnaf (n) będzie różniczkowalna w punkciea. Wtedy funkcja f jest(n + 1) razy różniczkowalnafunkcja różniczkowalnanrazy w punkcieaorazf (n+1) (a) = ( f (n)) (a). 3. Alternatywne oznaczenia:f (n) (x) = dn f dx n, y (t) = ÿ(t). Matematyka p. 16

17 Pochodne wyższych rzędów sumy, ilorazu i iloczynu Twierdzenie 21. Niech funkcje f(x) oraz g(x) będa n razy różniczkowalne w punkciea. Wtedyf ±g też będzienrazy różniczkowalna funkcja oraz ( f ±g ) (n) = f (n) ±g (n). Dowód. Indukcja Twierdzenie 22 (Leibniz). Niech funkcje f(x) oraz g(x) będanrazy różniczkowalne w punkciea. Wtedyf g też będzienrazy różniczkowalna ( funkcja oraz f g ) (n) n = Cnf k (k) g (n k). k=0 Dowód. Indukcja Matematyka p. 17

18 Pochodne wyższych rzędów funkcji elementarnych Twierdzenie ( x α ) (n) = α(α 1)...(α n+1)x α n, ( x n ) (n) = n!, ( x n ) (n+1) = 0, ( a x ) (n) = ax ln n a, ( ln(1+x) ) (n) = ( 1) n 1(n 1)! x n, ( ) (n) sinx = sin(x+ π 2 n), ( ) (n) cosx = cos(x+ π 2 n), ( (n) ax+b cx+d) = ( 1) n 1 n!(ad bc)(cx+d) (n+1) c n 1. Dowód. Indukcja Matematyka p. 18

19 Wzór Taylora Twierdzenie 24 (Taylor-Lagrange). Niech funkcja f(x) będzie(n + 1) razy różniczkowalna w otoczeniu punktua. Wtedy x z tego otoczenia ξ pomiędzyaax, takie że f(x) = f(a)+ f (a) 1! (x a)+ f (a) 2! gdzier n+1 (x) = f (n+1) (ξ) (x a)n+1 (n+1)! + + f(n) (a) n!. (x a) 2 + f(3) (a) 3! (x a) 3 + (x a) n +R n+1 (x), (1) Matematyka p. 19

20 Dowód twierdzenia Taylora-Lagrange a Dowód. Ustalmy punktx. Rozważmy funkcjęψ(t) = f(x)+ϕ(x,t)+ (x t) n+1 (x a) R n+1 n+1 (x), gdzie ϕ(x,t) = f(t)+ f (t) 1! (x t)+ f (t) 2! (x t) f(n) (t) n! (x t) n, R n+1 (x) = f(x) f(a) f (a) 1! (x a) f (a) 2! (x a) 2 f(n) (a) n! (x a) n Funkcjaψ(t) spełnia warunki twierdzenia Rolle a. Więc istnieje punktξ pomiędzyaax, taki żeψ (ξ) = 0. verte Matematyka p. 20

21 Twierdzenie Taylora-Lagrange a, cd Dowód. cd. ψ (ξ) = f (ξ)+ f (ξ) 1! (x ξ) f (ξ) 1! + f3 (ξ) 2! (x ξ) 2 f (ξ) 1! (x ξ)+ + f (n+1) (ξ) n! (x ξ) n f(n) (ξ) (n 1)! (x ξ)n 1 (n+1) (x ξ)n (x a) R n+1 n+1 (x). f Wynika stad, że (n) (ξ) (n 1)! (x ξ)n 1 = (n+1) (x ξ)n (x a) R n+1 n+1 (x). Matematyka p. 21

22 Twierdzenie Taylora-Peano Twierdzenie 25 (Taylor-Peano). Niech funkcja f(x) będzie(n 1) razy różniczkowalna w otoczeniu punktuaima pochodna rzędunwpunkciea. Wtedy f(x) =f(a)+ f (a) 1! + + f(n) (a) n! (x a)+ f (a) 2! (x a) 2 + f(3) (a) 3! (x a) 3 + (2) (x a) n +o ( (x a) n). (3) Uwaga 26. Wzór 1 dlaa = 0 nazywa się wzorem Maclaurina. Matematyka p. 22

23 Wzór Maclaurina funkcji elementarnych Twierdzenie sinx = x x3 3! + x5 5! 1. e x = 1+ x 1! + x2 2! + + xn n! +o(xn ), + +( 1)k x2k+1 (2k+1)! +o(x2k+1 ), 3. cosx = 1 x2 2! + x4 4! + +( 1) k x2k (2k)! +o(x2k ), 4. ln(1+x) = x x2 2 + x ( 1)n 1xn n +o(xn ), 5. (1+x) α = 1+ α α(α 1) 1! x+ 2! x α(α 1)...(α n+1) n! x 2 +o(x n ). Wniosek 28 (dwumian Newtona). (a+b) n = n k=0 Ck na k b n k. Matematyka p. 23

24 Zastosowania drugiej pochodnej Twierdzenie 29 (Dostateczy warunek ekstremum). Niech funkcja f(x) będzie różniczkowalna w otoczeniu punktuaima druga pochodna w punkciea. Wtedy, jeżelif (a) = 0 orazf (a) > 0 (f (a) < 0), to funkcja f(x) ma w punkciealokalne minimum (maksimum). Dowód. f(a+α) = f(a)+f (a)α+f (a)α 2 +o(α 2 ) = = f(a)+(f (a)+o(1))α 2 Matematyka p. 24

25 Funkcje wypukłe Definicja 30. Funkcjaf(x) : [a,b] R nazywa się wypukła na odcinku [a,b], jeżeli x,y [a,b], α [0,1] f ( (1 α)x+αy ) (1 α)f(x)+αf(y) f(y) (1 α)f(x)+αf(y) f(x) f ( (1 α)x+αy ) x (1 α)x+αy y Matematyka p. 25

26 Funkcje wklęsłe Definicja 31. Funkcjaf(x) : [a,b] R nazywa się wklęsła na odcinku [a,b], jeżeli x,y [a,b], α [0,1] f ( (1 α)x+αy ) (1 α)f(x)+αf(y) f ( (1 α)x+αy ) f(y) f(x) (1 α)f(x)+αf(y) x (1 α)x+αy y Matematyka p. 26

27 Dostateczny warunek wypukłości Twierdzenie 32. Niech funkcja f(x) będzie ciagła na odcinku[a,b], dwa razy różniczkowalna na(a,b) i w każdym punkciex (a,b) spełniona jest nierównośćf (x) > 0 (f (x) < 0). Wtedy funkcjaf(x) jest wypukła (wklęsła) na[a, b]. Dowód. Niecht = (1 α)x+αy. Wtedyy t = (1 α)(y x), x t = α(y x). f(y) = f(t)+f (t)(1 α)(y x)+ 1 2 f (ξ 1 ) ( (1 α)(y x) ) 2 f(x) = f(t) f (t)α(y x)+ 1 2 f (ξ 2 ) ( α(y x) ) 2 (1 α)f(x)+αf(y) = f(t)+ + 1 ((1 α)f (ξ 2 ) ( α(y x) ) 2 +αf (ξ 1 ) ( (1 α)(y x) ) ) 2 2 Matematyka p. 27

28 Punkty przegięcia Definicja 33. Niech funkcja f(x) będzie ciagła na odcinku[a,b] oraz różniczkowalna na(a,b). Punktx (a,b) nazywa się punktem przegięcia, jeżeli styczna w tym punkcie przechodzi z jednej strony wykresu na druga. f(x)+f (x)(y x) f(y) x y f(y) < f(x)+f (x)(y x) dla y > x f(y) > f(x)+f (x)(y x) dla y < x lub odwrotnie Matematyka p. 28

29 Warunek konieczny punktu przegięcia Twierdzenie 34. Niech funkcja f będzie ciagła i różniczkowalna w otoczeniu punktux 0 oraz ma druga pochodna wx 0. Wtedy, jeżelix 0 jest punktem przegięcia, tof (x 0 ) = 0. Dowód. wx 0. F(x) = f(x) ( f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) ) zmienia znak Więc nie może mieć ekstremum lokalnego wx0. F (x 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) = 0. F (x 0 ) = f (x 0 ). Gdybyf (x 0 ) nie było by równe0,f(x) by miała ekstremum lokalne wx 0. Matematyka p. 29

30 Dostateczny warunek punktu przegięcia Twierdzenie 35. Niech funkcja f będzie dwa razy różniczkowalna w otoczeniu punktux 0 oraz tof zmienia znak wx 0. Wtedyx 0 jest punktem przegięcia. Dowód. Pochodna funkcjif(x) = f(x) ( f(x0 )+f (x 0 )(x x 0 ) ma ekstremum lokalne wx 0. F (x 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) = 0. Więc w sasiedztwiex0 pochodna jest tego samego znaku. W taki sposób, w punkciex0 funkcjaf(x) rośnie (lub maleje). Matematyka p. 30

31 Dostateczny warunek punktu przegięcia II Twierdzenie 36. Niech funkcja f będzie trzy razy różniczkowalna w otoczeniu punktux 0 oraz tof (x 0 ) = 0 if (3) (x 0 ) 0. Wtedyx 0 jest punktem przegięcia. Dowód. f (x 0 ) = 0 oraz jest monotoniczna w otoczeniux 0. Więc wx0 zmienia znak. Matematyka p. 31

32 Badanie przebiegu zmienności funkcji 1. Dziedzina funkcji, 2. Okres, parzystość, nieparzystość, 3. Punkty przecięcia osi, 4. Asymptoty, (a) pionowe, (b) poziome, (c) ukośne. 5. Ekstrema lokalne. 6. Punkty przegięcia, Matematyka p. 32

33 Badanie przebiegu zmienności funkcji. Przykłady 1. f(x) = x+ 1 x 2. f(x) = x 2 1 x Matematyka p. 33