Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9

Transkrypt

1 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9

2 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej. Niech U oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś I natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku i diodzie jest takie samo, równe, zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach: U = U d + U r. Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem U r na oporniku i płynącym przezeń prądem I, I = U r R, gdzie R oznacza wartość rezystancji. Związek pomiędzy napięciem U d panującym na diodzie i płynącym przez diodę prądem I wyraża równanie Shockleya:

3 cd. I = I S (e U d c 1), w którym I S, c stałe charakterystyczne dla konkretnej diody i temperatury pracy. Powyższe związki można rozwiązać ze względu na napięcie, otrzymując: U r = IR U d = cln(i I S + 1) Pozwala to zapisać związek pomiędzy napięciem U przyłożonym do połączenia opornik-dioda i natężeniem I płynącego prądu. U = IR + cln(i I S + 1) Natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem jest to funkcja uwikłana określona przez ostatnie równanie.

4 Twierdzenie o funkcji uwikłanej Twierdzenie o funkcji uwikłanej Jeżeli funkcja f(x, y) ma ciągle pochodne cząstkowe f x, f y w otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) oraz f x 0, y 0 = 0, f x x 0, y 0 0, to: dla każdej dostatecznie małej liczby ε >0 istnieje taka liczba δ >0, że każdej wartości x z przedziału (x 0 δ, x 0 + δ) odpowiada dokładnie jedno rozwiązanie y(x) równania f(x, y) = 0 należące do przedziału (y 0 ε, y 0 + ε), funkcja y(x) jest ciągła w przedziale (x 0 δ, x 0 + δ) i ma w nim ciągłą pochodną wyrażoną wzorem y x = f x (x,y) f y (x,y), gdzie y = y(x).

5 Równania parametryczne Wyobraźmy sobie punkt materialny, który porusza się po krzywej opisanej za pomocą równań parametrycznych: x = f t, y = g(t). Chcielibyśmy odpowiedzieć na trzy pytania: Po jakiej krzywej porusza się punkt? Ile wynosi prędkość w chwili t 0? Ile wynosi przyśpieszenie chwili t 0?

6 Przykłady x t = cos t, y t = sin t; odpowiedź na pytanie nr 1, prędkość jest wektorem (x t, y t ), czyli w naszym przypadku wynosi v t = ( sin t, cos t), natomiast przyśpieszenie obliczymy jako pochodną prędkości, czyli a t = cos t, sin t. x t = t + 1, y t = t 2 ; zwróćmy uwagę, że y t = (x t 1) 2, czyli mamy parabolę y = (x 1) 2, prędkość i przyśpieszenie możemy obliczyć podobnie jak w przykładzie 1.

7 Twierdzenie Taylora - eksperymenty a 1.01 b

8 Twierdzenie Taylora - eksperymenty a 0.1 b 1.16 c

9 Twierdzenie Taylora - eksperymenty a 0.68 b 0. c d

10 Wzór Taylora Twierdzenie (wzór Taylora z resztą Lagrange a) Jeśli funkcja f ma ciągłą pochodną rzędu n 1 na przedziale < x 0, x > oraz pochodną f (n) na przedziale (x 0, x), to istnieje taki punkt c (x 0, x), że f x = f x 0 + f x 0 f n 1 x 0 n 1! 1! x x 0 n 1 + f n c x x 0 + f x 0 f n c n! 2! x x 0 n, x x gdzie wyrażenie x x n n! 0 nazywamy resztą w postaci Lagrange a. Wzór Taylora nosi nazwę wzoru Maclaurina, jeśli x 0 = 0. Zanim udowodnimy to twierdzenie spójrzmy na:

11 Przykład f x = sin x, x 0 = 0 f x = cos x, f x = sin x, f x = cos x, f x = sin x n = 2, sin x = sin 0 + cos 0 1! n = 3, sin x = sin 0 + cos 0 1! n = 4, sin x = sin 0 + cos 0 sin c 4! x 4 x x3 6 1! x + sin c 2! x + sin 0 2! x + sin 0 2! x 2 x x 2 + cos c 3! x 2 + cos 0 3! x 3 x x 3 +

12 Szeregi Maclaurina dla niektórych funkcji sin x = x x3 + x5 x7 + dla dowolnego x; zapis 3! 5! 7! ten oznacza, że przy n reszta dąży do 0 cos x = 1 x2 + x4 x6 + dla dowolnego x; zapis 2! 4! 6! ten oznacza, że przy n reszta dąży do 0 e x = 1 + x + x2 + x3 + dla dowolnego x; zapis ten 2! 3! oznacza, że przy n reszta dąży do 0 ln 1 + x = x x2 + x3 x4 + dla dowolnego x ( 1,1 >; zapis ten oznacza, że przy n reszta dąży do 0

13 Dowód Definiujemy dwie funkcje określone na < x 0, x >: n 1 f k t g t = f x (x t) k k=0 k! h t = g t g(x 0) (x t)n (x x 0 ) n Funkcja h spełnia założenia twierdzenia Rolle a, więc istnieje c (x 0, x) takie, że h c = 0. Wynika stąd, że g x 0 = f n c Taylora. n! (x x 0 ) n oraz wzór

14 Wolfram Alpha

15 Zastosowanie szeregów Taylora Jeśli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w (x 0 δ, x 0 + δ) i f jest ciągła w tym przedziale, f x 0 = 0 oraz f x 0 > 0, to funkcja f ma w x 0 minimum lokalne. Jeśli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w (x 0 δ, x 0 + δ) i f jest ciągła w tym przedziale, f x 0 = 0 oraz f x 0 < 0, to funkcja f ma w x 0 maksimum lokalne. Uzasadnienie Przykład f x = x 3 /3 x

16 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Ćwiczenia 9

17 Zadanie domowe Oblicz przybliżoną wartość sin 10 o. Zbadaj przedziały monotoniczności funkcji f: < 3,3 > R, f x = x2.

18 Reguła de L Hospitala Niech s oznacza a, a +, a, +,, gdzie a jest liczbą rzeczywistą, oraz funkcje f, g f (x) są różniczkowalne. Jeśli istnieje granica lim x s = L, to przy założeniu g (x) lim x s f x = lim x s g x = 0 lub lim x s g x = + zachodzi równość f(x) lim x s = L. g(x) Uwaga Ze sformułowania twierdzenia wynika, że funkcje f, g muszą być różniczkowalne w otoczeniu punktu s oraz g (x) 0 w otoczeniu punktu s. Korzystając z reguły de L Hospitala, oblicz następujące granice: lim x ln(1+e x ) 1+x lim x 0 sin 5x sin 8x lim x 0 1 cos 2 (2x) x 2 lim x 0 (1/ sin x 1/tgx)

19 Punkty krytyczne funkcji Znajdź punkty krytyczne funkcji f(x) i określ ich rodzaj: f x = x 2 /(x 1) f x = sin x x f x = x(x 1) 3

20 Minimum lokalne Dla jakiej wartości k funkcja f x = x kx 1 ma minimum lokalne w punkcie x = 2?

21 Ekstrema globalne Znajdź największą oraz najmniejszą wartość funkcji: f: < 1,1 > R, f x = 4x 3 8x f: < 0,4 > R, f x = x 4 2x 3 x 2 4x + 3 f: < 0,2π > R, f x = sin x + x

22 Zastosowania Spośród par liczb nieujemnych o jednakowych sumach wybierz takie dwie, których iloczyn jest największy.

23 Zadanie domowe Za tydzień Spośród walców o danej objętości wybierz taki, który ma najmniejsze pole powierzchni. Znajdź największą oraz najmniejszą wartość funkcji f: < 0,4 > R, f x = x 4 2x 3 x 2 4x + 3 ln(x) Oblicz granicę lim x n, gdzie n jest dowolną x liczbą naturalną dodatnią. Za tydzień Szereg Taylora. Pytania przed kolokwium.