postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

Transkrypt

1 Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y,5x + x + i y x x + Podaj określenie ciągu arytmetycznego Dany jest ciąg a n +, 5n Zbadaj czy jest on ciągiem arytmetycznym? Sformułuj twierdzenie cosinusów Podaj jego zastosowanie a) Oblicz kąty trójkąta ABC, gdy a, b 6, c b) *Udowodnij twierdzenie cosinusów ZESTAW Podaj twierdzenie o istnieniu i liczbie pierwiastków trójmianu kwadratowego Znajdź pierwiastki trójmianów: y x + 5x + 6 ; y x x ; y x + x Naszkicuj wykres funkcji y ctgx i omów jej własności Rozwiąż równanie ctg ( x + π ) Omów schemat Bernoulliego a) Rzucamy 5 razy monetą Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania trzy razy reszki + b) *Rzucamy n razy kostką ( n N ) Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej raz szóstki ZESTAW Podaj definicję funkcji liniowej i omów jej własności Dla jakich wartości parametru m funkcja f ( x) ( m + 5m 6) x + jest rosnąca? Podaj definicję potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym i wymiernym Oblicz: (,75) (,5) 7 Sformułuj twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym a) Strzelec A trafia do celu w pojedyńczym strzale z prawdopodobieństwem,7 a strzelec B z prawdopodobieństwem,6 Wybieramy losowo jednego strzelca Oblicz prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony b) *Udowodnij twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym ZESTAW Podaj warunek równoległości i prostopadłości prostych Dla jakiej wartości parametru m proste ( m + ) x + ( m) y i + ( m ) y + mx są równoległe, a dla jakiej prostopadłe? Podaj definicję pochodnej funkcji w punkcie i jej interpretację geometryczną Niech ( ) ' f x x + x Na podstawie definicji pochodnej oblicz f () Podaj określenie ciągu monotonicznego n + a) Zbadaj monotoniczność i zbieżność ciągu: a n n n b) *Udowodnij z definicji, że liczba jest granicą ciągu a n n +

2 ZESTAW 5 Podaj podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α wiedząc, π że cosα i α, π Jak określamy wartość najmniejszą i największą funkcji w przedziale domkniętym? Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f ( x),5x + x w przedziale x, Podaj twierdzenie o równości dwóch wielomianów a) Wyznacz a i b tak, aby wielomiany W i V były równe, gdy: W ( x) x (,5a + b) x + x i V ( x) ( a +,5b) x x + x b) *Wyznacz wszystkie wielomiany W spełniające warunek: x R ( x + ) W ( x + ) ( x ) ( x + ) ZESTAW 6 Podaj definicję funkcji wykładniczej Sporządź wykres funkcji wykładniczej dla a (,) i na podstawie wykresu omów jej własności Podaj definicję prawdopodobieństwa warunkowego Ze zbioru {,,,} losujemy jedną liczbę Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby nieparzystej, jeżeli wiadomo, że otrzymano liczbę pierwszą Sformułuj twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa a) Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach A (, ), B (,), (,) C jest trójkątem prostokątnym b) *Udowodnij twierdzenie Pitagorasa ZESTAW 7 Podaj schematyczne wykresy trójmianu kwadratowego y ax + bx + c w zależności od współczynnika a i wyróżnika Określ gdzie funkcja y x + x przyjmuje wartości ujemne + Omów zasadę indukcji matematycznej Udowodnij, że dla każdego n N zachodzi równość: ( n ) n Podaj znane Ci wzory na obliczanie pola trójkąta a) Oblicz pole trójkąta równoramiennego, którego ramię ma długość 5cm a podstawa jest o cm dłuższa od wysokości b) *Uzasadnij jeden z wzorów na obliczanie pola trójkąta ZESTAW 8 Podaj definicję funkcji parzystej i nieparzystej Jaką własność geometryczną ma wykres każdej z tych funkcji? Zbadaj parzystość funkcji: f ( x) x x Wyprowadź wzór na długość wysokości czworościanu foremnego o krawędzi długości a Podaj wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego oraz wzór na sumę n początkowych jego wyrazów a) Oblicz sumę pięciu wyrazów ciągu geometrycznego, w którym a, 5 i a 7 b) *Udowodnij indukcyjnie wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

3 ZESTAW 9 Omów sposoby rozwiązywania równań kwadratowych zupełnych i niezupełnych Rozwiąż równanie: x + 5x 6 Podaj wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych ćwiartki trzeciej Oblicz bez cos 5 ctg5 użycia tablic: sin( ) tg Podaj twierdzenia o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu dwóch funkcji różniczkowalnych x a) Wyznacz pochodne funkcji: f ( x) i f ( x) cos x x x b) *Sformułuj i udowodnij twierdzenie o pochodnej ilorazu dwóch funkcji różniczkowalnych ZESTAW Sporządź wykres funkcji f ( x) x + x + 6 i omów jej własności Podaj określenie ciągu geometrycznego Wyznacz ciąg geometryczny, w którym a 5 a 68 i a + a 56 Sformułuj twierdzenia dotyczące działań na logarytmach Rozwiąż równanie: a) log ( x + ) log ( x ) log 8 log b) * 5 5 log5 9x+ x ZESTAW Podaj definicję wielomianu jednej zmiennej oraz pierwiastka wielomianu Dla jakich wartości parametru m liczba (-) jest pierwiastkiem wielomianu W ( x) x 5( m ) x + mx x +? Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej sześcianu o przekątnej długości p Podaj warunek zbieżności nieskończonego ciągu geometrycznego a) Oblicz drugi wyraz ciągu geometrycznego zbieżnego wiedząc, że jego suma wynosi 8 a iloraz,5 b) *Wyprowadź wzór na sumę szeregu geometrycznego ZESTAW x my m Przeprowadź dyskusję istnienia rozwiązań układu w zależności mx + y od parametru m Przekrój osiowy stożka wpisanego w kulę o promieniu R jest trójkątem równobocznym Oblicz objętość tego stożka Podaj określenie ciągu monotonicznego Zbadaj monotoniczność ciągów: n a) a n, b n + n n ( n ) b) * a n ( n + )( n + 7) ZESTAW Podaj definicję funkcji rosnącej Wykaż, że funkcja y jest rosnąca w przedziale x (,) Podaj definicję logarytmu Korzystając z definicji logarytmu oblicz x gdy: log ( log, 5 x + ) Podaj twierdzenia o pochodnej iloczynu i ilorazu Oblicz pochodne:

4 a) f ( x) ( x x ) sin x i f ( x) x + x x b) * f ( x) tg x + ZESTAW Podaj definicję funkcji logarytmicznej Sporządź wykres funkcji logarytmicznej dla a > i omów jej własności Co nazywamy nierównością wymierną? Rozwiąż nierówność: + x x + Sformułuj twierdzenie sinusów Podaj jego zastosowanie a) Oblicz długość trzeciego boku trójkąta oraz pozostałe kąty mając dane: a 6, b, α 6 b) *Udowodnij twierdzenie sinusów ZESTAW 5 Co rozumiesz pod pojęciem dziedziny funkcji? Wyznacz dziedzinę funkcji: ( x ) log f ( x) x x + Podaj definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych wiedząc, że P (, ) leży na końcowym ramieniu kąta Omów działania na liczbach postaci a + b c x a) Znajdź x + y, x y, x y,, x jeżeli x + 5, y 5 y b) *Udowodnij, że jest liczbą niewymierną ZESTAW 6 Podaj definicję wartości bezwzględnej z liczby rzeczywistej Rozwiąż równanie: x + x 5 Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka o wysokości h, którego przekrój jest trójkątem równobocznym Z jakich własności funkcji wykładniczej i logarytmicznej korzystasz przy rozwiązywaniu równań i nierówności wykładniczych i logarytmicznych? x 6 a) Rozwiąż: x < 9 oraz log ( x + ) + log ( x + ) 6 b) *Narysuj zbiór punktów ( y) log ( x + y) x,, których współrzędne spełniają nierówność: ZESTAW 7 Omów przekroje płaskie walca, stożka i kuli płaszczyznami równoległymi i prostopadłymi do osi symetrii Jakie znasz rodzaje asymptot wykresu funkcji Wyznacz asymptoty wykresu funkcji x + x f ( x) x Omów rodzaje układów równań liniowych i podaj ich interpretację geometryczną

5 mx y a) Dla jakiej wartości parametru m rozwiązaniem układu jest para x + my liczb o jednakowych znakach? y x + x b) *Podaj interpretację geometryczną układu nierówności: y > x + ZESTAW 8 Podaj definicję pierwiastka podwójnego wielomianu Wykaż, że liczba (-) jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W ( x) x + 7x + x + 5 Podaj warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji różniczkowalnej Wyznacz ekstrema funkcji: f ( x) x x + x Podaj wzory na cosinus sumy i różnicy kątów a) Na podstawie wzorów oblicz cos5 b) *Udowodnij wzór na cosinus sumy kątów ZESTAW 9 y f x, x R W jaki sposób sporządzisz wykresy Dany jest wykres funkcji ( ) funkcji y f ( x a) + b i y f ( x)? Sporządź wykres funkcji y log ( x ) + Podaj warunek monotoniczności funkcji różniczkowalnej Wyznacz przedziały x monotoniczności funkcji y x Podaj definicję zdarzeń niezależnych a) Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne, gdy: A - w pierwszym rzucie otrzymano dwa oczka, B - suma oczek z obu rzutów wynosi 7 ' ' b) *Udowodnij, że jeżeli A i B są niezależne to A i B też są niezależne ZESTAW Omów sposoby rozkładu wielomianu na czynniki Rozłóż wielomian: W ( x) x + x x dwoma metodami Podaj definicję ciągu arytmetycznego Między liczby i wstaw pięć liczb, tak aby wraz z danymi tworzyły ciąg arytmetyczny Sformułuj twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej Oblicz pochodne funkcji: a) f ( x) x x + sin x oraz f ( x) x b) * f ( x) ln x + x ( ) x x ZESTAW Podaj warunek równoległości i prostopadłości prostych Dla jakich wartości parametru m proste o równaniach ( m ) x y + m i y ( m + ) x + m są prostopadłe a dla jakich równoległe? Omów wzajemne położenie dwóch okręgów na płaszczyźnie Czy okręgi o równaniach: x + y + x i ( x ) + ( y ) mają punkty wspólne? Podaj wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego a) Oblicz sumę piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym: a i a 6,5 5

6 b) *Udowodnij indukcyjnie prawdziwość wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ZESTAW Podaj definicję wartości bezwzględnej Rozwiąż równanie 8 x + ( x ) ( x + ) Jakie znasz rodzaje asymptot wykresu funkcji Znajdź asymptoty funkcji x + f ( x) x Podaj definicję granicy ciągu Oblicz granice ciągów n n n + n a) a n oraz b n+ n n + n+ n + b) * cn n ZESTAW Rozwiąż nierówność x x 7x 5 > stosując metodę Hornera Dana jest funkcja y ( ) x Znajdź wykresy funkcji y f ( x +) oraz y f ( x) + Podaj wzór na odległość dwóch punktów i odległość punktu od prostej a) Który z punktów leży bliżej od prostej x y + jeżeli A (,) a B (,)? b) *Wyprowadź wzór na odległość punktu od prostej na płaszczyźnie ZESTAW Jakie znasz postacie równania prostej? Wyznacz wzór prostej przechodzącej przez punkty A (, ) i B (, ) a następnie przedstaw to równanie w każdej postaci Naszkicuj wykres funkcji y sin x i omów jej własności Rozwiąż równanie: sin x + cos x + Podaj twierdzenia dotyczące działań na potęgach 6+ x x a) Rozwiąż nierówność: (,5) > 8 ( 8) b) *Udowodnij twierdzenie o iloczynie i ilorazie potęg o tej samej podstawie ZESTAW 5 Wykorzystując wiadomości o przekształceniach wykresu funkcji, naszkicuj wykres funkcji y f ( x ) +, gdzie f ( x) log x Podaj definicję kąta dwuściennego Wyznacz miarę kąta między ścianami czworościanu foremnego Podaj prawa działań na logarytmach a) Rozwiąż równanie: log ( x + ) log( x + ) b) *Udowodnij twierdzenie o logarytmie iloczynu ZESTAW 6 Jakie znasz sposoby wyznaczania pierwiastków wielomianu? Znajdź pierwiastki wielomianu W ( x) x x + Podaj definicję i własności symetrii środkowej Wyznacz współrzędne punktu symetrycznego do punktu A (, ) względem punktu S (, ) Jakie warunki powinna spełniać funkcja, aby była rosnąca w całej dziedzinie? a) Czy funkcja f ( x) x + x zmienia swoją monotoniczność?

7 b) *Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f ( x) ln( x + x) ZESTAW 7 Omów warunki rozwiązalności równania kwadratowego Dla jakich wartości parametru m równanie ( m ) x x + m + nie ma pierwiastków? Jakie znasz własności działań na potęgach? Stosując te własności oblicz:, Co to jest funkcja złożona? Jak wyznaczamy dziedzinę funkcji złożonej? Określ dziedzinę funkcji: a) f ( x) log x 6x 8 + x ln c) * ( ) x f x,5x 8 ZESTAW 8 Podaj definicję sumy, iloczynu i różnicy zbiorów Znajdź A B, A B, A \ B, B \ A jeżeli A (, a B, Podaj definicję stycznej do wykresu funkcji różniczkowalnej w punkcie M ( x, f ( x )) Wyznacz równanie stycznej do paraboli f ( x) x + x w punkcie M (, ) Podaj określenie ciągu geometrycznego a) Czy ciąg 5,, 5 jest ciągiem geometrycznym? Odpowiedź uzasadnij b) *Wykaż, że w ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich każdy wyraz ( z wyjątkiem pierwszego) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich ZESTAW 9 Poda definicję przedziału otwartego i domkniętego Znajdź A B, A B, A \ B, B \ A jeżeli A (, a B,) + sin x + tgx Jaką równość nazywamy tożsamością? Wykaż tożsamość: cos x tgx Podaj klasyczną definicję prawdopodobieństwa oraz wymień jej własności a) W pojemniku znajdują się kule białe i czarne Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul różnokolorowych b) *Wykaż, że jeżeli A B P( A) P( B) ZESTAW Podaj twierdzenie o sumie i iloczynie pierwiastków trójmianu kwadratowego i uzasadnij je Dla jakich wartości parametru m równanie x mx m + 6 ma dwa pierwiastki różnych znaków? Podaj definicję wysokości, środkowej i symetralnej w trójkącie Napisz równanie symetralnej boku AB trójkąta ABC o wierzchołkach: A (, ), B (, ) i C ( 5,) Sformułuj twierdzenia dotyczące działań na logarytmach a) Rozwiąż nierówność: log ( x ) < log( x ) b) *Udowodnij twierdzenie o logarytmie ilorazu

8