y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych

Transkrypt

1 Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile ta granica właściwa istnieje. fx h fx h lim xx fx fx x x x fx x 4 x Równanie stycznej do wykresu funkcji Jeśli istnieje pochodna f x, to prosta styczna do wykresu funkcji y fx w punkcie x,fx ma równanie Definicja pochodnych jednostronnych y fx f x x x f fx x lim h fx h h f fx x lim h fx h h

2 x Przykład fx x fx f x lim h x 4 dla x x dla x x h x h lim x hx h x h h hx h lim h h f lim h x h x Definicja Funkcję f nazywamy różniczkowalną w punkcie x gdy istnieje liczba A taka,że gdzie lim h oh h. fx h fx A hoh (np. oh h. Twierdzenie Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x wtedy i tylko wtedy istnieje f x. Wówczas fx h fx f x hoh Definicja Różniczką funkcji f w punkcie x nazywamy liniową część przyrostu funkcji odpowidającą

3 przyrostowi zmiennej o h dx, Mamy więc dfx ; dx f x dx fx h fx f x dx oh dfx ; h oh Twierdzenie Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x, to jest ciągła w tym punkcie. (Ale nie na odwrót) Podstawowe wzory i reguły liczenia pochodnych c x a ax a k x n x n k n x nk k k e x e x a x e lnax e xlna a x lna sinx cosx cosx sinx cf cf f g f g fg f gfg f g f gfg g Pochodna superpozycji Jeśli istnieją pochodne g x oraz f gx, a F f g (zdefiniowana równością Fx fgx) jest superpozycją funkcji f,g, to istnieje pochodna F x oraz F x f gx g x f y y:gx g x W notacji Leibniza dla z fy oraz y gx dz dx dy dz Np. sinx siny y y:x x x cosy y:x x x cosx x Pochodna funkcji odwrotnej Jeśli istnieje pochodna g y, a f g jest funkcją odwrotną do g (fgy y, gfx x) to istnieje pochodna f x dla x gy oraz dy dx 3

4 g x f x g y yfx Przykłady - dalsze wzory oraz reguły liczenia pochodnych ) y lnx x e y ) lnx e y y log a x lnx lna ylnx arcsin x siny y e y ylnx e lnx x lna lnx lna x yarcsin x cosy sinyx 3) 4) arccosx tgx sinx cosx ctgx sin x sin y x sinyx cosxcosx sinx sinx cos x x sinx cosx sinxcosx cos x cos x arctgx tgy yarctg x cos y tgyx cos ysin y cos y x arcctgx x tgyx tg y tgyx 4

5 5) 6) gx hx ln gxhx e x x x x lnx x x x x lnx Funkcje hiperboliczne gx n ngx n g x a hx a hx lna h x e hxlngx e hxlngx hx lngx gx hx h x lngx hxlngx gx hx h x lngx hx gx g x x x - sinhx ex e x cosh x ex e x x

6 tghx cosh sinhx x ex e x e x e x x x tghx sinhx cosh x Własności funkcji hiperbolicznych i trygonometrycznych ex e x e x e x cosh x sinh x ctgh x cosh x sinhx cos x sin x cosx cosh x sinh x cosh x cos x sin x sinhx cosh x cosh x sinhx tghx cosh x ctgh x sinh x sinx cosx cosx sinx tgx cos x ctgx sin x Pochodne wyższych rzędów Jeśli funkcja f : a; b R ma pochodną f x w każdym punkcie x a; b, to mamy określoną funkcję pochodną f : a; b R, f : x f x, i możemy pytać o jej pochodną w dowolnym punkcie x a; b. Jeśli ta pochodna istnieje, to nazywamy ją pochodną rzędu (drugą pochodną) funkcji f w punkcie x i oznaczamy f x (lub d f x lub D fx) dx Analogicznie określamy pochodną f n x (lub dn f x dx n lub D n fx) rzędu n.formalnie: Definicja 6

7 f x f x f n x f n x Interpretacja dynamiczna drugiej pochodnej Jeśli s st jest położeniem punktu poruszającego się po prostej w momencie t, to vt s t ds jest prędkością punktu w momencie t, dt at v t dv dt s t d s dt jest przyśpieszeniem w momencie t. Przykłady liczenia pochodnych wyższych rzędów ) ) sinx cosx sinx sinx cosx sinx sinx sinx sinx cosx sinx 3 sinx 4 cosx sinx sinx 4 sinx sinx 5 sinx... sinx n sinx n e x e x e x e x e x e x n e x Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego Twierdzenie (Rolle a o wartościśredniej) Jeśli funkcja f : a; b R : ) ma pochodną w każdym punkcie x a; b, ) jest ciągła na domkniętym przedziale a; b, 3) fa fb, to istnieje punkt c a,b taki,że f c. 7

8 x fx x ; a ; b 4; c x 4 Twierdzenie (Lagrange a o wartościśredniej) Jeśli funkcja f : a; b R : ) ma pochodną w każdym punkcie x a; b, ) jest ciągła na domkniętym przedziale a; b, to istnieje punkt c a,b taki,że: f fb fa c ba lub równoważnie fb fa f cba. 8

9 x fx x ; a ; b 4; c 4 x4 Twierdzenie (Cauchy ego o wartościśredniej) Jeśli funkcje f,g : a; b R : ) mają pochodne w każdym punkcie x a; b, ) są ciągłe na domkniętym przedziale a; b, to istnieje punkt c a,b taki,że: f c gb ga g c fb fa Uwaga Z funkcją gx x, z tw. Cauchy ego dostajemy tw. Lagrange a Wnioski Zakładamy,że f,g : a; b R mają pochodne we wszystkich punktach x a; b i są ciągłe w punktach a,b. ) Jeśli f x dla wszystkich x a; b, to f jest funkcją stałą na a, b. ) Jeśli f x g x dla wszystkich x a; b, to f g jest funkcją stałą na a; b, więc istnieje stała c taka,że fx gx c dla wszystkich x a; b. 3) Jeśli f x (odp.: ) dla wszystkich x a; b, to f jest rosnąca (odp.:niemalejąca) na a; b. 4) Jeśli f x (odp.: ) dla wszystkich x a; b, to f jest malejąca (odp.: nierosnąca) na a; b. Wzór Taylora, wzór Maclaurina 9

10 Twierdzenie (Wzór Taylora) Jeśli funkcja f ma pochodne do rzędu n w każdym punkcie przedziału ; zawierającego punkt a, to dla każdego x ; istnieje z pomiędzy x oraz a (tzn. z atx a,gdzie t ) takie,że gdzie n T n x i fx T n x R n x f i a i! x a i fa f a x a f a!! fn a x a n n! R n x fn z x an n! x a... Uwaga W przypadku n, (podstawiając x : b z : c) wzór Taylora sprowadza się do twierdzenia Lagrange a o wartościśredniej: Wielomian Taylora gdzie n T n x c i x a i i c f a! fb fa fcba c c x a c x a...c n x a n fa ; c k fk a ; k,,...,n k! jest przybliżeniem stopnia n dla funkcji f w pobliżu a (z dokładnością R n x) W szczególności: liniowe przybliżenie fx w pobliżu a : kwadratowe przybliżenie fx w pobliżu a Przykład fx T n x fx fa f ax a fx fa f ax a f a x a

11 Niech fx 3x 5 oraz a 3. x 4 Liniowe przybliżenie f w pobliżu a 3 : Kwadratowe przybliżenie f w pobliżu a 3 : fa f ax a 377x fa f ax a f a 7 58x 7 x x a 3 y - x 8 6 y x

12 4 3 y x y x Twierdzenie Jeśli f ma pochodne dowolnego rzędu n i fx T n x R n x, oraz lim n R n x dla x a R, to f ma rozwinięcie w szereg Taylora: fx f n a x a n n! n fa f a! x a f a! x a... dla x a R Uwaga W przypadku szczególnym a, otrzymujemy szereg Maclaurina

13 Przykład Dla fx a a x a x mamy f x a a x; f a f x a ; f a f k x dla k 3 fx f n x n! n f f x! n f! x f 3! x 3... fx a a! x a! x Uwaga W zastosowaniach wzoru Taylora przydatne jest,że lim x n n n! xr Ważniejsze szeregi Maclaurina: 3

14 szereg Maclaurina x x n n xx x 3... przedz. zbieżn., e x x n n! n x! x! x3 3!..., sinx cosx n n xn n! x x3 3! x5 5! x7 7!... n n xn n! x! x4 4! x6 6!...,, tgx n xn n n x x3 3 x5 5 x Uwaga Dla x w rozwinięciu otrzymujemy: e x x n n! n e n, x! x! x3 3!... n!!! 3!... Metoda Newtona przybliżonego rozwiązywania równań Metoda Newtona opiera się na obserwacji,że styczna do wykresu jest dobrym lokalnym przybliżeniem wykresu funkcji. Styczna do wykresu funkcji f w punkcie x,fx jest dana równaniem Prosta ta przecina oś x gdy y, czyli dla y fx f x x x 4

15 x x fx f x Ogólnie, mając punkt x n będący przybliżeniem rozwiązania równania fx, styczna do wykresu funkcji f w punkcie x n,fx n przecina oś x w punkcie x n,, gdzie x n x n fx n f x n Przy danym punkcie startowym x, metoda Newtona daje ciąg kolejnych przybliżeń x, x,, x n rozwiązania x równania fx Przykład x fx x x 3 x. 44,x. 4,x. 7,x Funkcja iteracyjna Newtona dla f to funkcja g zdefiniowana wzorem gx x fx f x Ciąg iteracyjny x n : x n gx n Przykład zastosowania metody Newtona Kwotę S otrzymujemy w momencie t i spłacamy w ratach P, P,....,P N w momentach t t.... t N,t t. Rzeczywistą stopą procentową (w ustawie o kredycie konsumenckim) dla takiego kredytu jest roczna stopa procentowa x, będąca rozwiązaniem 5

16 równania N S n P n x tnt (czas mierzony w latach). Na przykład dla kwoty kredytu gwiazdkowego S 3 otrzymanej.. i spłacanej ratami P P P 3 3, w dniach --3; --3 i -3-3 mamy 3 3 x x x Rozwiązanie otrzymane metodą Newtona x. 4 75, tj., 475% x fx 3 x x x