Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Transkrypt

1 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) = (A\B) (A C), A\(B C) = (A\B)\C. Zadanie O.2 Sprawdzić, czy następujące zdania są tautologiami: [(p q) p] q, (p q) [p (q r)], (p q) [(p r) q]. Zadanie O.3 Dowieść indukcyjnie, że n i= n 3 = n2 (n + ) 2, 4 i(i + )(i + 2) = [ 2 2 ]. (n + )(n + 2) n i= (2i )(2i + ) = n 2n +. Zadanie D. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzi następująca równość: A (B\C) = [(A B)\C] (A C).

2 Zadanie D.2 Sprawdzić, czy następujące zdanie jest tautologią: p ( p q). Zadanie D.3 Jakie musi być k, żeby dla wszystkich n spełniony był wzór n(n ) 2 + (n + )n 2 = n(n + )(n + 2)(3n + k). 2 2

3 Tydzień Zadanie O2. Rozwiązać równanie (najlepiej, nie rozwiązując go) arctg x(x + ) + arcsin x 2 + x + = π 2. Wbrew pozorom jest to prosty problem, jeśli zaczniemy od wyznaczenia dziedziny. Zadanie O2.2 Funkcja tangens hiperboliczny zdefiniowana jest wzorem tghx = ex e x e x + e x. Znaleźć funkcję odwrotną tgh x i określić jej dziedzinę. Zadanie O2.3 Korzystając z równości x = x 2 oraz ze związków trygonometrycznych: a) Wyrazić sin x przez ctgx. b) Rozwiązać równanie sin x = sin(2x). c) Wykazać, że cos(2 arcsin x) = 2x 2, i określić zbiór wartości x, dla których powyższa równość zachodzi. Zadanie D2. Pokazać, że funkcje f(x) = x 2 x + i ϕ(x) = 2 + x 3 4 są funkcjami wzajemnie do siebie odwrotnymi, tj. że zachodzą równości f ( ϕ(x) ) ( = x i ϕ f(x) ) = x. Sprawdzić dziedziny! Wykorzystując ten fakt znaleźć rozwiązania równania x 2 x + = 2 + x 3 4, najlepiej nie rozwiązując go, ale zastępując go prostszym! 3

4 Zadanie D2.2 Niech x 2 2, dla x <, f(x) =, dla x =, ctgh(x), dla x >. Znaleźć f (x) i określić dziedzinę i zbiór wartości dla f(x) oraz f (x). Naszkicować wykresy tych funkcji. Zadanie D2.3 Rozwiązać równania x+ = 5 x, 9 x x 3 =. Posłużyć się logarytmem o podstawie e. 4

5 Tydzień Zadanie O3. Wyznaczyć granice ciągów: a n = (2 n + π n + 3 n+ ) /n, b n = 2 n sin(n 2 π). Zadanie O3.2 Wykazać, że jest granicą ciągów: a n = n5n 2 n 3 n+, b n = n exp ( n ln n 3 ) Zadanie O3.3 Wyznaczyć granice ciągów: a n = ( + n) 2n, bn = ( + ) n 2 +cos(n) n 2 Zadanie O3.4 Wyznaczyć granicę ciągu (podobnie jak na wykładzie): n + 7 n + a n =. n + 5 n + 9 Zadanie D3. Wyznaczyć granice ciągów: a n = (e n + 2 n+ ) /n, b n = ( n ) 2n+. n + 3 Zadanie D3.2 Wyznaczyć granice ciągów: b n = ( n + 4 n + ) n, c n = n[ln(n) ln(n + 2)] 5

6 Tydzień Zadanie O4. Funkcje f(x) = ( + x)n, f(x) = cos3 (πx) x x 2 są nieokreślone dla x =. Określić f() tak, aby funkcje te były ciągłe dla x =. Zadanie O4.2 Funkcję f(x) określono równaniami cos x 4x 2 π 2 dla x R { π/2, π/2} f(x) = a dla x = π/2 b dla x = π/2 Dla jakich liczb a i b jest to funkcja ciągła na całej osi rzeczywistej. Zadanie O4.3 Określić asymptoty następujących funkcji: y = 5x x 3, y = 3x x + 3x. Zadanie O4.4 Wyznaczyć granice funkcji: a) lim 9+5x+4x 2 3, b) lim x x x 3 x 2 x+ x x 3 3x+2, c) lim x ( x 3 3x 2 4 ) x2. 3x+3 Zadanie D4. Funkcje f(x) = xctgx, f(x) = x 2 sin x są nieokreślone dla x =. Określić f() tak, aby funkcje te były ciągłe dla x =. Zadanie D4.2 Funkcję g(x) określono równaniami { cos(πx) dla x R {} x g(x) = 2 c dla x = Dla jakiej liczby c jest to funkcja ciągła na całej osi rzeczywistej. 6

7 Zadanie D4.3 Określić asymptoty następujących funkcji: y = x x 2 +, y = + x 2 + 2x. Zadanie D4.4 Wyznaczyć granice funkcji: 4x a) lim 5 +9x+7, x 3x 6 +x 3 + x b) lim n x x m dla n, m N. 7

8 Tydzień 5 i Zadanie O5. Korzystając z reguł de L Hospital a, wyznaczyć granicę tgx sin x lim. x x 3 Aby ograniczyć ilość liczonych pochodnych, warto jest to wyrażenie trochę przekształcić. Zadanie O5.2 Przez zbadanie funkcji rozumie się na ogół wykonanie następujących czynności: Określenie dziedziny. Sprawdzenie, czy funkcja jest parzysta, nieparzysta lub okresowa. Sprawdzenie ciągłości funkcji i ewentualnie wyznaczenie punktów nieciągłości. Wyznaczenie asymptot wykresu tej funkcji. Wyznaczenie punktów ekstremalnych. Wyznaczenie punktów przegięcia. Naszkicowanie wykresu. Zbadać funkcję f(x) = x 4 ( + x) 3. Zadanie O5.3 Wyznaczyć punkty, w których styczne do sinusoidy y = sin x są równoległe do prostej y = 3 2 x. Zadanie O5.4 Krzywa, po której porusza się punkt materialny zadana jest parametrycznie równaniami x = a cos t i y = b sin t. Wykazać, że krzywa jest elipsą o równaniu x 2 a 2 + y2 b 2 =. Wyznaczyć pochodną dy/ jako funkcję parametru t. 8

9 Zadanie D5. Korzystając z reguł de L Hospital a, wyznaczyć granicę ( lim 2 x tg(πx/(2a)). x a a) Przyjąć, że jest to granica lewostronna, tj. x < a. Zauważmy, że pojawia się tu nieoznaczoność typu. Zadanie D5.2 Zbadać funkcję f(x) = x3 x 2. Zadanie D5.3 Wyznaczyć punkty, w których proste prostopadłe do kosinusoidy y = cos x są równoległe do prostej y = 2 3 x. Zadanie D5.4 Krzywa, po której porusza się punkt materialny zadana jest parametrycznie równaniami x = a cosh t i y = b sinh t. Wykazać, że krzywa jest hiperbolą o równaniu x 2 a 2 y2 b 2 =. Wyznaczyć pochodną dy/ jako funkcję parametru t. 9

10 Tydzień Zadanie O7. Bez zbytniego wysiłku wyznaczyć (n )-są i n-tą pochodną (tj. f (n ) (x) i f (n) (x)) funkcji określonej dla x. f(x) = xn+ x, Zadanie O7.2 Wyznaczyć pochodną funkcji uwikłanej x + y x + y =. 2 Zadanie O7.3 Wyznaczyć rozwinięcie Taylora z dokładnością do x 8 funkcji f(x) = sin 2 x. Zadanie O7.4 Korzystając z rozwinięcia Taylora przedstawić wielomian P (x) = x 5 2x 4 + x 3 x 2 + 2x jako wielomian w potęgach x. Zadanie D7. Zadane są dwie parabole y = x i y 2 = x Znaleźć równanie stycznej do paraboli y = x w punkcie (, ). 2. Istnieją dwie proste, które będą styczne do obu parabol równocześnie. Podać ich równania. Zadanie D7.2 Wyznaczyć pochodną funkcji uwikłanej x 3 + xy + y 3 =. Zadanie D7.3 Wyznaczyć rozwinięcie Taylora z dokładnością do x 6 funkcji f(x) = tgx. Zadanie D7.4 Korzystając z rozwinięcia Taylora funkcji ( + x) α, wyznaczyć granicę 3 + 3x + 2x lim. x x 2

11 Tydzień Zadanie O8. Wyznaczyć całki nieoznaczone e x (x 3 2x 2 + x 2), cos x + sin x. Zadanie O8.2 Obliczyć całki nieoznaczone e x sin x, e x cos x. Wykonać dwa razy całkowanie przez części. Zadanie O8.3 Rozłożyć funkcje podcałkowe na ułamki proste i wyznaczyć całki x (x + )(x + 2)(x + 3), x 2 + x 3 2x 2 + 5x. Zadanie D8. Obliczyć całki nieoznaczone e 2x coshx, e 2x sinhx. Zadanie D8.2 Obliczyć całki nieoznaczone e x cos(5x), Wykonać dwa razy całkowanie przez części. e 2x sin(3x + 2). Zadanie D8.3 Rozłożyć funkcje podcałkowe na ułamki proste i wyznaczyć całki x(x 2 + 2), x 4 a. 4

12 Tydzień Zadanie O9. Wiadomo z tabelki, że = ln(x + + x 2 ) + C = ln( x + + x 2 ) + C. + x 2 Wyprowadzić ten wynik stosując podstawienie Eulera + x 2 = u + x. Zadanie O9.2 Rozbić na ułamki proste funkcję x x 2 2x 3, a następnie wyznaczyć jej funkcję pierwotną. Zadanie O9.3 Obliczyć całkę x 2 e x sin(5x). Zadanie O9.4 Korzystając z podstawienia Eulera obliczyć całkę x + x 2 + x + Zadanie D9. Wiadomo z tabelki, że = ln(x + + x 2 ) + C = ln( x + + x 2 ) + C. + x 2 Wyprowadzić ten wynik stosując podstawienie Eulera + x 2 = + vx. Zadanie D9.2 Rozbić na ułamki proste funkcję x 2 (x )(x 2 + ), a następnie wyznaczyć jej funkcję pierwotną. Zadanie D9.3 Obliczyć całki xe 2x cos(2x), sin 2 x cos x, sin3 x cos x. 2

13 Tydzień Zadanie O. Obliczyć całki: a) c) 4 x2 4, b) x 4 2 x 2 arctgx, d) 5π/4 π/2 sin 2x sin 4 x + cos 4 x, + cos x. Zadanie O.2 Wyznaczyć pole figur ograniczonych krzywymi: a) y = x2 4, y = 8 x 2 + 4, b) y = 2x x 2, x + y =. Zadanie O.3 Obliczyć długość krzywych: a) 9y 2 = 4x 3, x 3, b) lini łańcuchowej y = acosh x, a x a, a c) x = t 2, y = t t 3 /3, t 3. Zadanie D. Wykazać, że dla bardzo dużych x funkcja f(x) określona całką f(x) = x e t2 dt zachowuje się jak f(x) ex2 2x. Zadanie D.2 Obliczyć całkę π/2 π/2 cos 3 x. Zadanie D.3 Obliczyć pole figury leżącej w pierwszej ćwiartce i ograniczonej krzywymi y 2 = 4x, x 2 = 4y i x 2 + y 2 = 5. Zadanie D.4 Obliczyć długość krzywej logarytmicznej y = lnx w przedziale 3 x

14 Tydzień Zadanie O. Wykazać, że całka niewłaściwa ln x + x 2 istnieje. Następnie obliczyć tę całkę dzieląc obszar całkowania (, ) na dwa obszary (, ] i [, ), a następnie dokonując zamiany zmiennych t = /x w całce po jednym z tych obszarów. Zadanie O.2 Lemniskata Gerona jest zamkniętą krzywą płaską zadaną równaniem x 4 x 2 + y 2 =. Znaleźć pole powierzchni jednego liścia lemniskaty. Zadanie O.3 Dla jakich wartości parametrów p i q całka niewłaściwa (funkcja beta Eulera) istnieje? B(p, q) = x p ( x) q Zadanie D. Obliczyć całki niewłaściwe: x ( + x 2 ), 2 2 x. Zadanie D.2 Obliczyć całki niewłaściwe: xe x, e x sin x. 4

15 Tydzień Zadanie O2. Stosując kryterium d Alamberta zbadać zbieżność szeregu n= (n!) 2 (2n)!. Zadanie O2.2 Stosując kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregu (3arctg(n 2 + )/5) n. n= Zadanie O2.3 Stosując kryterium całkowe zbadać zbieżność szeregu n= 2 n 3 n. Zadanie O2.4 Zbadać zbieżność szeregu naprzemiennego (kryterium Leibnitza) n= ( ) n( 2n + 3n + ) n. Zadanie D2. Stosując kryterium d Alamberta zbadać zbieżność szeregu n= (2n)! (n!) 2 e n. Zadanie D2.2 Stosując kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregu n= ( n ) n 2 2 n. n + 5

16 Zadanie D2.3 Stosując kryterium całkowe zbadać zbieżność szeregu ln ( n + ). n n n= Zadanie D2.4 Zbadać zbieżność szeregu naprzemiennego (kryterium Leibnitza) n= ( ) n n n. 6

17 Tydzień Zadanie O3. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych ( + x 2 ) dy y 2 =. Zadanie O3.2 Znaleźć ogólne rozwiązanie równania liniowego, niejednorodnego x dy = x + y, a następnie wyznaczyć stałą całkowania z warunku początkowego y(x = ) = 2. Zadanie O3.3 Rozwiązać równania różniczkowe a) dy = (x + y)2, b) (x + y) dy + x y =. Zadanie D3. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania różniczkowego liniowego niejednorodnego pierwszego rzędu dy + 2y + x =. 2 + x 2 Zadanie D3.2 Rozwiązać równanie różniczkowe dy y sin x = tgx2 2. Zadanie D3.3 Znaleźć ogólne rozwiązanie równania (4x 2y + 3) dy = y 2x. 7

18 Tydzień Zadanie O4. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania y + 4y = sin(3x). Zadanie O4.2 Znaleźć ogólne rozwiązać równania y + 2y + 5y = x 2 + x +. Zadanie O4.3 Sprawdzić, czy pochodne 2 f x y i 2 f y x są równe dla następujących funkcji a) f(x, y) = x y + y x, b) f(x, y) = (sin x) ln y. Zadanie D4. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania y + 3y + 2y = 2x +. Zadanie D4.2 Znaleźć rozwiązanie równania y 4 + y 3 y =. Zadanie D4.3 Wykazać, że funkcja u = ln(e x + e y ) spe lnia równanie u x + u y =. 8

19 Tydzień Zadanie O5. Wykazać, że funkcja f(x, y) = x 2 y 2 x 2 y 2 + (x y) 2 ma granice iterowane lim x lim y f(x, y) i lim y lim y f(x, y), ale nie ma granicy podwójnej w zerze. Zadanie O5.2 Zbadać ekstrema funkcji a) f(x, y) = 2x 2 + 3xy + y 2 2x y 2, b) f(x, y) = x 2 6xy + y 3 + 3x + 6y. Zadanie O5.3 Zamienić kolejność całkowania w całce 2 2x x 2 2 x dy f(x, y). Zadanie O5.4 Wykazać, że x 2 +y 2 <a 2 dy x 2 + y 2 = 2 3 πa3. 9