ANALIZA MATEMATYCZNA 1
|
|
- Bronisława Sikorska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ANALIZA MATEMATYCZNA 1
2 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018
3 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska pwredupl wwwimpwredupl/ gewert Zbigniew Skoczylas Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska pwredupl wwwimpwredupl/ skoczylas Projekt okładki IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c by Oficyna Wydawnicza GiS Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich Składwykonanowsystemie L A TEX ISBN Wydanie XVII zmienione, Wrocław 2018 Oficyna Wydawnicza GiS, sc, wwwgiswrocpl Druk i oprawa: I-BiS Usługi Komputerowe Wydawnictwo, spółka jawna 4
4 Spis treści Wstęp 7 Zestawy zadań z kolokwiów 9 Pierwszekolokwium 9 Drugiekolokwium 25 Zestawy zadań z egzaminów 38 Egzaminpodstawowy 38 Egzaminpoprawkowy 59 Odpowiedzi i wskazówki 80 Pierwszekolokwium 80 Drugiekolokwium 86 Egzaminpodstawowy 94 Egzaminpoprawkowy 98 5
5 Wstęp Niniejsze opracowanie jest trzecią częścią zestawu podręczników do Analizy matematycznej 1 Pozostałymi częściami zestawu są Analiza matematyczna 1 Definicje, twierdzenia, wzory oraz Analiza matematyczna 1 Przykłady i zadania Książka zawiera zadania, które w ubiegłych latach studenci Politechniki Wrocławskiej rozwiązywali na kolokwiach i egzaminach z Analizy matematycznej 1 Zadania obejmują rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej wraz z zastosowaniami w fizyce i technice Do wszystkich zestawów kolokwialnych oraz do zestawów egzaminacyjnych o numerach nieparzystych podane są odpowiedzi Opracowanie pozwala studentom zapoznać się z rodzajami oraz stopniem trudności zadań kolokwialnych i egzaminacyjnych Jest to jednocześnie dodatkowy materiał do samodzielnej nauki Zadania z tego zbioru mogą być wykorzystywane przez wykładowców i prowadzących ćwiczenia przy układaniu zestawów na kolokwia i egzaminy Aktualne wydanie nie zawiera zestawów na ocenę celującą Zestawy te stały się częścią oddzielnego opracowania Algebra i analiza Egzaminy na ocenę celującą Dziękujemy Koleżankom i Kolegom z Wydziału Matematyki Politechniki Wrocławskiej za zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów, a także za uwagi o poprzednich wydaniach Marian Gewert Zbigniew Skoczylas 7
6 Egzamin poprawkowy 59 5NapisaćwzórMaclaurinazresztąR 3 dlafunkcjif(x)=arctgx 6Dobraćparametryaibtak,abyfunkcjafokreślonawzorem 3e x dla x<0, f(x)= 3b dla x=0, 1 sinx (1+ax) dla x>0 byłaciągławpunkciex 0 =0 7ObliczyćpoleobszaruDograniczonegoosiąOxiwykresamifunkcji:f(x)=3 3 x, g(x)= 3x+6 n 4n +3 8 Obliczyć granicę n +2 n 5 n Egzamin poprawkowy Zestaw 1 1Obliczyćcałkęnieoznaczonązfunkcjif(x)= 2 Obliczyć całkę x 2 sinhxdx 2 x 2 +6x+18 3ObliczyćpoleobszaruDograniczonegoprzezkrzywe:y= 1 x,y=4 x,y=1,y=4 Sporządzić rysunek tego obszaru ln(1+4 x ) 4 Obliczyć granicę x ln(1+3 x ) 5 Obliczyć granicę ( 2+n+n2 (n+1) 2 +2) 6 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji 3x f(x)= 4x2 +1 na przedziale[ 1, 2] 7Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnąfunkcjif(x)= 1 x 2wpunkciex 0=2 8Wyznaczyćprzedział,naktórymfunkcjaf(x)=x+ 1 x jestrosnącaiwypukław górę Zestaw 2 2n 2 +sin 2 n 1 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę n 2 +n+1
7 60 Zestawy zadań z egzaminów 2 Funkcja f jest określona wzorem { e x dla x 0, f(x)= Ax+B dla x>0 DlajakichwartościparametrówAiBfunkcjatajesta)ciągła,b)różniczkowalnaw punkciex 0 =0? ( 3 Przy pomocy reguły de L Hospitala obliczyć granicę ctgx 1 ) x 0 + x 4 Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia wykresu funkcji f(x)= x 1+x 2 5Wyznaczyćnajmniejsząinajwiększąwartośćfunkcjif(x)=x 2arctgxnaprzedziale[0, + ) 6 Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną x 2 e x dx 7 Obliczyć całkę nieoznaczoną dx x 3 x 8ObliczyćdługośćłukukrzywejΓ:y= x2 4 lnx 2,gdzie1 x 2 Zestaw 3 1Obliczyćcałkęnieoznaczonązfunkcjif(x)= 2 Obliczyć całkę x 2 cosxdx 1 4x 2 +8x+40 3ObliczyćpoleobszaruDograniczonegoprzezkrzywe:y=x 2,y=x 2 +3,y=4 Sporządzić rysunek tego obszaru 4NapisaćwzórTaylorazresztąR 3 dlafunkcjif(x)=arctgxprzyjmującx 0 =1 ( 5 Obliczyć granicę x 4 1/x 2 1/x) x ( 6 Obliczyć granicę 2n2 +1 2n +4n+1) 2 7 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x+1 x 2 +2x+2 naprzedziale[ 7, 0] 8Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnąfunkcjif(x)= xwpunkciex 0 = 9 Zestaw 4 1 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę n 1+2 n n
8 Egzamin poprawkowy 61 2 Funkcja f jest określona wzorem { cosx dla x 0, f(x)= Ax+B dla x>0 DlajakichwartościparametrówAiBfunkcjatajesta)ciągła,b)różniczkowalnaw punkciex 0 =0? 3 Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę e x e x 2x x 0 x sinx 4 Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia wykresu funkcji f(x)=x 2 e 1 x 5Wyznaczyćnajmniejsząinajwiększąwartośćfunkcjif(x)=cosx+ 3sinxna przedziale[0, π/2] 6 Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną arctgxdx 7Obliczyćcałkęnieoznaczonązfunkcjiwymiernejf(x)= x+2 x 3 +x 8 Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót krzywej y=cosx,gdzie π/2 x π/2,wokółosiox Zestaw 5 1Obliczyćcałkęnieoznaczonązfunkcjif(x)= 2 Obliczyć całkę x 3 lnxdx 1 x 2 +10x+34 3 Narysować i obliczyć pole obszaru D ograniczonego przez krzywe: x=y 2, x= y2, y=1, y=2 4 4NapisaćwzórTayloradlafunkcjif(x)=tgxprzyjmującx 0 =π/3orazn=3 [ ( 5 Obliczyć granicę xln 1+sin 1 )] x x 6 Obliczyć granicę ( 16n2 +5n 4 4n) 7Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnąfunkcjif(x)= 1 x wpunkciex 0 =4 8Wyznaczyćprzedział,naktórymfunkcjaf(x)=x x+1jestmalejącaiwypukła wdół
9 62 Zestawy zadań z egzaminów Zestaw 6 n 1 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę n+sin 2 n 2 Funkcja f jest określona wzorem { sinx dla x 0, f(x)= Ax+B dla x>0 DlajakichwartościparametrówAiBfunkcjatajesta)ciągła,b)różniczkowalnaw punkciex 0 =0? 5 1+2x x 3 Przy pomocy reguły de L Hospitala obliczyć granicę x x+x 4Wyznaczyćnajmniejsząinajwiększąwartośćfunkcjif(x)=x 4 x 2 wjejdziedzinie 5NapisaćwzórMaclaurinazresztąR 3 dlafunkcjif(x)= 3 1+x,anastępnieuzasadnić nierówność 3 x 1+x>1+ 3 x2 9 dlakażdegox>0 6 Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną xarctgxdx 7 Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji wymiernej f(x) = 1 x 3 +x 2 8ObliczyćpoleobszaruDograniczonegoprzezkrzywe:x=y 2,x+y=2 Zestaw 7 1Obliczyćcałkęnieoznaczonązfunkcjif(x)= 2 Obliczyć całkę xarctgxdx 9 9x 2 +6x+5 3 Narysować i obliczyć pole obszaru D ograniczonego przez krzywe: y=4 x 2,y=3x,y=3 4NapisaćwzórTayloradlafunkcjif(x)=coshxprzyjmującx 0 =ln2orazn=3 arctg2x 5 Obliczyć granicę x 0 arctg3x 6 Obliczyć granicę (2n 1+n+4n 2 ) 7Wyznaczyćnajmniejsząinajwiększąwartośćfunkcjif(x)= 3 (x 2 +x) 2 naprzedziale[ 2, 3] 8Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnąfunkcjif(x)= 3 xwpunkciex 0 =1
10 Egzamin poprawkowy 63 Zestaw 8 n 1 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę n Funkcja f określona jest wzorem { x 2 dla x 1, f(x)= Ax+B dla x>1 DlajakichwartościparametrówAiBfunkcjatajesta)ciągła,b)różniczkowalnaw punkciex 0 =1? 3 Przy pomocy twierdzenia de L Hospitala obliczyć granicę x 0 + (sinx) x 4 Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia wykresu funkcji f(x)= 1 x Wyznaczyćnajmniejsząinajwiększąwartośćfunkcjif(x)=x x 2wjejdziedzinie 6 Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną arcsinxdx 1 7 Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji wymiernej f(x) = x 3 x 2 8 Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót krzywej y= cos 3 x,gdzie x π/2,wokółosiox Zestaw 9 1 Obliczyć granicę x 0 +(ctgx)tgx 2 Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia xdx 3 Obliczyć całkę (e x ) 3 4 Obliczyć granicę ( 4n 16n 2 +9n 1 ) Wyznaczyćprzedziały,naktórychfunkcjaf(x)=x 2 lnxjestrosnącaiwypukław dół 6 Narysować wykres funkcji f: R R, która spełnia wszystkie podane warunki: x 0 f(x)=2; x 0 + f(x)= ; prostay=πjestasymptotąfunkcjifw ; granica x f(x)nieistnieje(właściwaaniniewłaściwa) Na rysunku zaznaczyć fragmenty wykresu, które spełniają podane warunki
11 64 Zestawy zadań z egzaminów 7 Sformułować twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej Korzystając z tego twierdzenia wyprowadzić wzór (arctgx) = 1 1+x 2 8 Obliczyć pole obszaru D ograniczonego wykresem funkcji y = 5 4x x 2 4x+20,prostymix=0,x=1orazosiąOx Zestaw 10 1 Podać dziedzinę, zbadać różniczkowalność i obliczyć pochodną funkcji 2Obliczyćgranicęciągua n = f(x)=log 2 (xsinx) 2 ( ) n+2 n 2 n+1 3Uzasadnićnierównośćarctg ( x 2 +1 ) x+ π 4 dlakażdegox 0 4WyznaczyćfunkcjęFpierwotnąfunkcjif(x)=xe x2 taką,żef(2)=0 5KorzystajączewzoruMaclaurinadlafunkcjif(x)= 10 1+xobliczyć 10 2zdokładnością 0001 ( 6 Podać definicję granicy funkcji w nieskończoności Obliczyć x 4 2 x) x 7Dobraćparametrya,bictak,abyfunkcjafbyłaróżniczkowalnana R,jżeli: ax+ x2 dla x< 1, 2 f(x)= bx 2 dla 1 x 0, csinx dla x>0 8 Obliczyć objętość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru określonego nierównościami:x 2 +y 2 1,0 y 1/2 Zestaw 11 1 Uzasadnić, że granica x [4x (cosx+1)]nieistnieje 2ObliczyćpoleobszaruDograniczonegowykresamifunkcji:y=tgx,gdzie0 x< π/2,y=ctgx,gdzie0<x π/2orazosiąox 3 Sformułować twierdzenie o trzech ciągach Korzystając z tego twierdzenia obliczyć granicę n 2 n +2 3 n +3 4 n 4ZnaleźćwymiarykonserwywkształciewalcaoobjętościV=250πcm 3,dowykonania której trzeba użyć najmniej blachy Sporządzić rysunek
12 Egzamin poprawkowy 65 dx 5 Obliczyć całkę x 3 +4x 6Oszacowaćdokładnośćwzoruprzybliżonegocos2x 1 2x 2 dla0 x 1/10 7 Sformułować twierdzenie Bolzano o miejscach zerowych funkcji Korzystając z tego twierdzeniawskazaćprzedziałodługości1/2,wktórymrównanie3 x +x 3 =0ma rozwiązanie 8Znaleźćprzedziaływypukłościipunktyprzegięciawykresufunkcjif(x)= x2 x 2 +1 Zestaw 12 1Danesąfunkcjef(x)= x 1 ig(x)= x+2 Zbadaćciągłośćiróżniczkowalność funkcjizłożonejh(x)=(f g)(x) 2 Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić nierówność ln ( x 2 +e ) 1+ 2x e dlakażdegox 0 3KorzystajączewzoruMaclaurinaobliczyćcos 1 3 zdokładnością Podać definicję granicy właściwej ciągu Korzystając z tej definicji uzasadnić równość n 2 +n 1 2n 2= 1 2 5WyznaczyćfunkcjęFpierwotnąfunkcjif(x)=xsin2xtaką,żeF(π/2)=π/2 ( 6 Zbadać istnienie granicy lnx ) x 0 x 7Podaćdziedzinęorazobliczyćpochodnąfunkcjif(x)=log 2 ( log2 ( x 2 4 )) 8 Wykorzystując definicję całki oznaczonej obliczyć granicę n2 + n n n 2 (n 1) 2 n 2 Zestaw 13 1 Podać wzór na objętość bryły obrotowej Korzystając z tego wzoru obliczyć objętośćstożkaściętegoowysokościhipromieniachpodstawr,r,gdzier>rsporządzić rysunek 2 Obliczyć granicę x 0 +(sinx)x 3NapisaćwzórTaylorazresztąR 3 dlafunkcjif(x)=tgxipunktux 0 =π/6 4 Obliczyć całkę arcsinxdx
13 66 Zestawy zadań z egzaminów 5PrzezpunktP=(1,3)poprowadzićprostątak,abywrazzdodatnimipółosiami układu współrzędnych utworzyła trójkąt o najmniejszym polu Sporządzić rysunek x 2 dx 6 Obliczyć całkę x 2 +2x+5 7Podaćdefinicjępochodnejfunkcjifwpunkciex 0 Korzystającztejdefinicjiobliczyćpochodnąfunkcjif(x)= 1 wpunkciex 0 >0 x ( ) n+3 2n 8 Obliczyć granicę 2n+1 Zestaw 14 1 dla x 0, 1 dla x 1, 1Danesąfunkcjef(x)= x g(x)= x 1 0 dla x=0, 1 dla x=1 Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji złożonej h(x) =(g f)(x) 2WyznaczyćfunkcjęFpierwotnąfunkcjif(x)=arctgxtaką,żeF(1)=π/2 3 Podać dziedzinę, wyznaczyć ekstrema, asymptoty oraz naszkicować wykres funkcji ( ) lnx 2 2 f(x)= x 4 Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić nierówność x x arcsinx dlakażdego0 x<1 1 x 2 5Dobraćparametryaibtak,abyfunkcjafokreślonawzorem { x a dla x<a, f(x)= bx dla x a była różniczkowalna na R 6 Zbadać monotoniczność, ograniczoność i zbieżność ciągu a n =( 1) n n ( 1) n+1n2 1 n 7 Obliczyć całkę oznaczoną 6 8Obliczyćpochodnąfunkcjif(x)= 4 x 3 dx x 2 2x x Zestaw 15 1Obliczyćgranicęciągux n = ( ) 5 8n 4n+2 4n+3
14 Egzamin poprawkowy 67 2WykorzystującwzórMaclaurinaobliczyć 3 ezdokładnością10 3 ( 3 Obliczyć granicę x 4 1/x 3 1/x) x cos2x 4 Obliczyć całkę e x dx 5 Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach obliczyć granicę x ex (2+3sinx) 6ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymi:x=y 2,x=y 2 +3,x=4 Sporządzić rysunek (4x+1)dx 7 Obliczyć całkę x 2 +10x+34 8 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x 4x2 +1 naprzedziale[ 1, 2] Zestaw 16 1 Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić nierówność ln ( 1+sin 2 x ) xsin2x dlakażdego0 x π 4 2Wykazać,żerównaniex 5 +5x+1=0madokładniejedenpierwiasteknależącydo przedziału( 1, 0) 3Dobraćparametryaibtak,abyfunkcjafokreślonawzorem ( a 2+e 1/x) dla x<0, ( f(x)= 2+e 1/t) dla x=0, t 0 sinbx dla x>0 x byłaciągłana R 4WyznaczyćfunkcjęFpierwotnąfunkcjif(x)=log 2 xtaką,żef(2)=0 5 Wyznaczyć ekstrema i punkty przegięcia wykresu funkcji f(x) = przedziale(1, ) 6 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę ( 1 n n ) n 2 +n 7 Korzystając ze wzoru Maclaurina obliczyć ln 12 z dokładnością 001 x 1 1 2lnt t 3 dtna
15 68 Zestawy zadań z egzaminów 8Parabolęy=x 2 obracamywokółosioyobliczyćobjętośćbryłyv ograniczonej utworzoną w ten sposób powierzchnią oraz płaszczyzną y = 4 Zestaw 17 1 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę n 2 3n +2 n cos 2 n 2 Obliczyć całkę nieoznaczoną xcos x 2 dx 3NapisaćwzórTaylorazresztąR 2 dlafunkcjif(x)=e cosx ipunktux 0 =π/2 4 Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę x x2( 2 1/x 2 1/x) 5Znaleźćstycznądowykresufunkcjif(x)= e x +1wpunkcie(0,f(0)) 6ZnaleźćpoleobszaruDograniczonegokrzywymi:y= x 2,y=2 x,y=2ix=0 Sporządzić rysunek 7Znaleźćprzedział,naktórymfunkcjaf(x)= ex 1+x jestrosnącaiwypukławdół 8Znaleźćwszystkieasymptotyfunkcjif(x)= x 1 x2 1 Zestaw 18 1 Obliczyć całkę π 4 0 x 2 sin2xdx 2 Narysować wykres funkcji f: R R, która spełnia wszystkie podane warunki: x f(x)nieistnieje; x 1 f(x)= ; x 1 + f(x)=3; prostay=1 2xjestasymptotąfunkcjifw 3 Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia 4 Obliczyć całkę nieoznaczoną e x dx e 2x Wyznaczyć przedziały monotoniczności, ekstrema oraz granice na krańcach dziedziny funkcji f(x)=xe 1/x Następnie wyznaczyć zbiór wartości tej funkcji
16 Egzamin poprawkowy 69 6ObliczyćpoleobszaruDograniczonegokrzywymi:y= x,y+x 2 =2 7 Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach obliczyć granicę 4 2 n +3 n 8 Obliczyć granicę 5 2 n 3 n x [ex (3 2cosx)] Zestaw 19 ( 1 Obliczyć granicę n2 +2n+1 n +3n+5) 2 dx 2 Obliczyć całkę nieoznaczoną (x 2 +1)x 3NapisaćwzórTaylorazresztąR 2 dlafunkcjif(x)=(lnx) x ipunktux 0 =e 4 Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granicę (1 cosx) x π 2 1 x π 2 5Znaleźćstycznądowykresufunkcjif(x)=cos 2 xwpunkcie(π/4,f(π/4)) 6ZnaleźćpoleobszaruDograniczonegokrzywymi:y= x,y=2 x 2,x=0 7 Znaleźć przedziały monotoniczności oraz najmniejszą wartość funkcji f(x)= x2 2 4ln(x 3) 8Znaleźćasymptotyukośnefunkcjif(x)=xarcctgx 3 Zestaw 20 1 Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji 2 Obliczyć całkę 4 Obliczyć granicę x 0 + ( x ) dx x 2 +4x+13 f(x)= x (x 1) 3NapisaćwzórMaclaurinazresztąR 4 dlafunkcjif(x)=x 2 e x ( 1 x 1 ) sin2x 5 Obliczyć całkę cos 3 x 2 sinx dx 6 Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót wokół osioxkrzywejy=x lnx,gdziex [1,e] 7Podaćdefinicjępochodnejfunkcjifwpunkciex 0 Korzystającztejdefinicjiobliczyćpochodnąfunkcjif(x)= 2x+1wpunkciex 0 =4
ANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoLista 0 wstęp do matematyki
dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA
ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014 Marian
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Lista zadań 10
Analiza Matematyczna Lista zadań 10 Zadanie 1 pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1. Zadanie 2 objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ograniczonej krzyw a o równaniu
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
WYDZIAŁ ARCHITEKTURY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Matematyka 1 Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów i forma:
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowoEgzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii
Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii 9..04 Zadanie (0 punktów). Rozwiązać układ + 3y z = 3 5y + z = a 5 ay + 3z = 3 dla a = oraz dla a = 4. Zadanie (0 punktów). Wyznaczyć dziedzinę,
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Matematyka I Mathematics I Kierunek: biotechnologia Rodzaj przedmiotu: Poziom przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich I stopnia specjalności Rodzaj zajęć: Liczba godzin/tydzień: wykład,
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoZestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Powtórka materiału przed
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 B Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści I Elementy logiki, zbiory, funkcje 3 Zadania................................ 3....................... 4 II Funkcje trygonometryczne
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoLISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna I Mathematical analysis I Kierunek: Kod przedmiotu: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Poziom kwalifikacji:
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoKARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia Matematyka I Informacje ogólne 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Państwowa Szkoła Wyższa im. Papieża Jana Pawła II,Katedra Nauk Technicznych, Zakład
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy w zadaniach
Rachunek różniczkowy w zadaniach Rachunek różniczkowy w zadaniach Jolanta Dymkowska Danuta Beger Przewodniczący Komitetu Redakcyjnego Wydawnictwa Politechniki Gdańskiej Janusz T. Cieśliński Recenzent
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoBLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f(x) = 3x 3 przy x = zakładając, że przyrost x zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f(x)
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoKARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia I. Informacje ogólne Analiza matematyczna 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)
Bardziej szczegółowoTO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowo4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji
4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji Definicja 4.6. Wykres funkcji różniczkowalnej w punkcie Xo nazywamy wypukłym (odpowiednio wklęsłym) w punkcie xo, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoAiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 AiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki. 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej
Materiały do ćwiczeń z matematyki Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa 3 Rachunek różniczkowy funkcji rzeczywistych jednej zmiennej 3.1 Podstawowe wzory i metody różniczkowania Definicja. Niech funkcja
Bardziej szczegółowoZadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q].
RACHUNEK RÓŻNICZKOY I CAŁKOY I KOLOKIUM Zadanie 1.1 Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami: (1.5 pkt): a)p [( q q) (r p)], (1.5 pkt): b)[(p q)] [ p q]. Symbol p oznacza zaprzeczenie zdaniap.
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 for Economists Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowoFunkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoZał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW 33/01 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna 1.1 A Nazwa w języku angielskim: Mathematical Analysis 1.1
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna Mathematical analysis. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Analiza matematyczna Mathematical analysis A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr do ZW KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoLista 2 - Granica. 2n d) dn = ( 1 1 ) n 2. 2n+1 n; 1+x
Lista - Logika. Każde z poniższych twierdzeń wyraź w postaci p = q. Wskaż założenie i tezę twierdzenia. A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x
Bardziej szczegółowoLista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza
Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Matematyka I Rok akademicki: 2014/2015 Kod: MME-1-106-s Punkty ECTS: 11 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Metalurgia Specjalność: Poziom studiów: Studia I stopnia
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowoWykresy i własności funkcji
Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Materiały pomocnicze dla studentów do wykładów Opracował (-li): 1 Prof dr hab Edward Smaga dr Anna Gryglaszewska 3 mgr Marta Kornafel 4 mgr Fryderyk Falniowski 5 mgr Paweł Prysak Materiały przygotowane
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoLISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Analiza matematyczna Nazwa modułu w języku angielskim Mathematical analysis
Bardziej szczegółowoAiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 AiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 3 4 Granice funkcji, ciągłość 4 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Analiza matematyczna Nazwa modułu w języku angielskim Calculus Obowiązuje
Bardziej szczegółowoTeresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie siódme uzupełnione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie siódme uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2013 Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2000
Bardziej szczegółowo