Indukcja matematyczna

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Indukcja matematyczna"

Transkrypt

1 Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / /R). Zadanie. Obliczyć (a) N n= ( + n); (b) M (c) N k= n= (n + ) M ( k (d) n l= sl. k+) ; k= k; Zadanie. Które z następujących własności są prawdziwe? (a) n i= a i = n i= a n i; (b) n j= b i = nb i. Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie 4. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n wyrażenie n n jest podzielne przez 6. (Rozwiązać zadanie na dwa sposoby: korzystając z zasady indukcji matematycznej oraz jakimś innym sposobem). Zadanie 5. Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność Zadanie 6. Spróbować udowodnić, że 6n + 6 < n? (a) n i= i = n ; (b) dla dowolnej liczby naturalnej 5n + jest podzielne przez 5. Zadanie 7. Stosując indukcję matematyczną wykazać, że (a) n i= i = n ; (b) n k= k (k + ) = n(n+)(n+7) 6 ; (c) n! > n dla n > ; (d) n i= i > n. Zadanie 8. Udowodnij, stosując zasadę indukcji matematycznej, że liczba n + ( 4) n + dzieli się przez 0 dla każdego n naturalnego.

2 Indukcja matematyczna Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Zapisać za pomocą symboli i następujące wyrażenia (a) suma liczb naturalnych mniejsza lub równa od n N; (b) x n + ( ) n n x n ( ) n x + ( n ) x +. Zadanie D.. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia d(n) (liczba dzielników liczby naturalnej n). Zadanie D.. Które z następujących własności są prawdziwe? (a) n i= a i = n i=0 a n i; (b) n i= a i = [n/] j= a j + [(n )/] k=0 a k+ ; (c) n l= b l = n+ l= b l ; (d) m h=0 (a h + b h ) = m j=0 a j + m g=0 b g. Zadanie D.4. Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko n + n + < n? Zadanie D.5. Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność n < n? Zadanie D.6. Stosując indukcję matematyczną wykazać, że (a) n i= i = n(n+)(n+) 6 ; (b) (a + b) n = n ( n k=0 k) a k b n k ; (c) n+ > 5n dla n ; (d) wielomian x n nx n + n jest podzielny przez x (w jaki inny sposób można rozwiązać to zadanie?); (e) n i=0 ai = an+ a dla dowolnego n N, gdzie a jest liczbą rzeczywistą ; (f) n > n + 4 dla n ; n (g) 4k = n(n ); (h) (i) k= n (p) = n (n + ) ; p= m s (s + ) = s= m(m + )(m + )(m + 5). Zadanie D.7. Dany jest ciąg {a n } określony wzorem: a = 4, a n+ = a n n + 4. Udowodnij, że a n = n + n dla n N. Zadanie D.8. Udowodnić, że dla ciągu określonego rekurencyjnie zachodzi wzór a =, a n+ = a n n +, n > a n = n, n. n! Zadanie D.9. Uzasadnić (korzystając z zasady indukcji matematycznej), że (a) 4n+ + jest podzielne przez 0; (b) n+ + n+ jest podzielne przez 7; (c) 6 n + n+ + n jest podzielna przez.

3 Indukcja matematyczna Zadanie D.0. Niech ciąg {f n } dany będzie wzorem: f n+ = f n + f n+, f 0 = 0, f =. Ciąg {f n } nazywa się ciągiem Fibonacciego. Uzasadnić, że (a) n k=0 f k ( = f n+ ; (b) f n = + ) n ( ) n. 5 Zadanie D.. Niech {f n } będzie ciągiem Fibonacciego określonym w zadaniu D.0. Uzasadnić, że (a) n k=0 f k = f nf n+ ; (b) n k=0 f k+ = f n+ ; (c) n k=0 f k = f n+. Z powyższych równości wyciągnąć wywnioskować, że Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko n f k = f n+. k=0

4 Funkcje trygonometryczne Zadanie. Znajdź pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta β, wiedząc, że Zadanie. Wyznacz kąt α wiedząc, że Zadanie. Oblicz (a) sin 9π 6. (b) tg π. (c) cos( 5π 9π 6 ) + sin 6. Zadanie 4. Rozwiąż równania: tg β = 5. sin α cos α = ( 4, α 0, π ). Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) sin x + sin x = 0; (b) cos x + sin x = ; (c) sin 4 x + sin x + = 0; (d) sin x sin x = 0. Zadanie 5. Sprawdź tożsamości trygonometryczne (a) (b) tg cos x sin x cos( x+sin x = cos( x π π 4 + x ) tg tg x; 4 x ) = tg x. Zadanie 6. Uzasadnij, że wyrażenie nie jest tożsamością. cos x sin x cos x = tg x + tg x Zadanie 7. Wyprowadź wzory na sin α, cos α ze wzorów na sinus i cosinus sumy kątów. Zadanie 8. Rozwiąż nierówności trygonometryczne (a) cos x + tg x + sin x; (b) sin x sin x. Zadanie 9. Wyznacz zbiór wartości funkcji f danej wzorem f(x) = 4 sin x 4 sin x + 5. Zadanie 0. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = (sin x + cos x). Zadanie. Dane jest równanie z niewiadomą x: x cos α + x sin α = cos α. Wykaż, że jeśli α jest kątem ostrym, to równanie ma dwa rozwiązania. Znajdź te wartości parametru α, dla których dane równanie ma dwa rozwiązania takie, że suma ich odwrotności jest większa od.

5 Funkcje trygonometryczne Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Oblicz (a) sin 75 cos 75. (b) 8 sin π tg 5π. Zadanie D.. Rozwiąż równania: (a) tg x = sin x; (b) sin x + cos x = ; (c) sin x cos x + tan x =,5 sin x. Zadanie D.. Sprawdź tożsamości trygonometryczne (a) sin ( 7π x) + cos x sin x = (cos x sin x) ; (b) sin 7x tg,5x + cos 7x =. Zadanie D.4. Rozwiąż nierówności trygonometryczne Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) 8 sin x 4 sin x sin x + > 0; (b) sin x > cos x. Zadanie D.5. Niech Wyznacz A B. A = Zadanie D.6. Naszkicuj wykres funkcji (a) cos x sin x; (b) f(x) = (cos x) cos x. { x [0, 4π]; sin x > } {, B = x [0, ]; cos x < }. Zadanie D.7. Zbadaj dla jakich parametrów m istnieje rozwiązanie równania sin x + cos x = m.

6 Funkcje wykładnicze i logarytmiczne Zadanie. Omów podstawowe własności funkcji wykładniczej (dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe). Zadanie. Rozwiąż następujące równości i nierówności (a) ( ) x = 9 ; (b) 5 x 5 x = 5 x+ 5 ; (c) cos x = cos x ; (d) ( 8 9) 8x 9 ( 9 8) 9x 8 ; (e) 7 x 7 x+ > 4; (f) x+ x x. Zadanie. Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 5 x 0 5 x + 9. Zadanie 4. Omów podstawowe własności funkcji logarytmicznej (dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe). Zadanie 5. Oblicz Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) log 4 6; (b) 9 log 5 ; (c) log 5 log 5 7 log 7 9. Zadanie 6. Oblicz log ab wiedząc, że log 0a = 00 i log 0 b = 00. Zadanie 7. Sporządź wykresy funkcji (a) log x + (b) log x Zadanie 8. Czym się różni wykres funkcji y = log x 4 od wykresu funkcji y = 4 log x? Zadanie 9. Rozwiąż następujące równości i nierówności (a) log x = ; (b) 9 log (p ) = 4; (c) ln(5x e) = ; (d) x log log x = 98; ( (e) log log5 x ) 0. Zadanie 0. Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste a spełniające równanie log a (a + 7) =. Zadanie. Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór {(x, y) : log x y = }. Zadanie. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f(x) = log (8x x ). Zadanie. Dla jakiej wartości x poniższy ciąg jest ciągiem arytmetycznym? log, log( x ), log( x + 0) Zadanie 4. Dla jakich wartości parametrów a i b dziedziną funkcji f(x) = log( x + ax + b) jest przedział (, 4)? Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

7 Funkcje wykładnicze i logarytmiczne Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Rozwiąż następujące równości i nierówności (a) 4 x = (x+) ; (b) (0, 5) x ( ( ) x+ = (c) ( ) x 9 ; x (d) log x+ = ; (e) 8 log x x x ; (f) log tg x <, Zadanie D.. Oblicz ) x; 4 x [ π, π]. (a) log 0, 00 + log 5 5; (b) 6 log log +. Zadanie D.. Rozwiąż równanie Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko log 5 ( log4 (log x) ) = 0. Zadanie D.4. Naszkicuj wykres funkcji f : [, ] R danej wzorem f(x) = ( ) x+ x. Zadanie D.5. Naszkicuj wykres i podaj zbiór wartości funkcji Zadanie D.6. Sporządź wykresy funkcji (a) log x log x ; (b) log ( x). f(x) = log (x 5x + 6) log (x ). Zadanie D.7. Liczby x i x są różnymi rozwiązaniami równania mx mx + = 0. Dla jakich wartości m spełniona jest równość log x + log x >? Zadanie D.8. Dane jest równanie x + x + + log m = 0. Funkcja f(x) = x x określona jest na zbiorze tych m, dla których dane równanie ma różne pierwiastki x i x. Wyznacz dziedzinę funkcji f i określ zbiór jej wartości.

8 Równania i nierówności Zadanie. Rozwiąż równanie: x 4 = x. Zadanie. Rozwiąż nierówność: 4x + x x. Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie. Rozwiąż układ równań: (x + 5) (y + ) = (x + y) (a) x 5( + y) = 4(x + 8) x y + 4 = x (b),5x y x = Zadanie 4. Rozwiąż układ równań i przeprowadź dyskusję istnienia i liczby rozwiązań w zależności od parametru: x ay = (a) x + ay = 9 ax + y = a (b) x + ay = a Zadanie 5. Rozwiąż układ równań: x + y = (a) x y = 5 x y = 0 (b) x 4x + (y )(y ) = x + y = (c) ( x ) + (y ) = 4 Zadanie 6. Przedstaw ilustrację graficzną zbioru rozwiązań układu: y x < x + y 6 < 0 y = x + Zadanie 7. Rozwiąż układ równań: x y + z = 7 (a) x y = 5 x z = x + y 6z = 8 (b) x + y + 7z = x 4y + z = 0

9 Równania i nierówności Zadanie D.. Rozwiąż równanie: (a) x + x + = 4x ; (b) x x + =. Zadanie D.. Rozwiąż nierówność: (a) x + x x; (b) x + x +. Zadania do samodzielnego rozwiązania Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie D.. Rozwiąż układ równań: x y (a) = x y 4 x+y = 4, 5 + y ( ) y + x 5 (x + ) =, (b) x y + 8 = [ ( )] 4 x + y x (c) = y x+6 + (y ) = 0 Zadanie D.4. Rozwiąż układ równań i przeprowadź dyskusję istnienia i liczby rozwiązań w zależności od parametru: 4x + (a + )y = a (a) x y = x + ay = (b) x + y = b Zadanie D.5. Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu x y = k x y = k jest: (a) parą liczb ujemnych, (b) parą liczb dodatnich, (c) parą liczb o przeciwnych znakach. Zadanie D.6. Rozwiąż układ równań: y + x = 0 (a) y x = 0 x y = (b) x + y = + y x y = (c) ( x ) + ( y ) = Zadanie D.7. Przedstaw ilustrację graficzną zbioru rozwiązań układu: x + y 0 y + 5x 0 5x y 0 0

10 Równania i nierówności Zadanie D.8. Rozwiąż układ równań: m + n = (a) m + k = n + 4k = 0 (x ) + (y ) + (z 7) = 8 (b) x + y + 7z = 0 x y = 0 x y z = 4 (c) x + y 5z = x y + z = 0 Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie D.9. Wiedząc, że układ równań ay + bx = c cx + az = b bz + cy = a ma dokładnie jedno rozwiązanie wykaż, że abc 0 i znajdź to rozwiązanie.

11 Funkcja kwadratowa Zadanie. Wyznacz funkcję kwadratową f(x) = ax + bx + c, dla której (a) wykres posiada wierzchołek w punkcie P (, 4) i przechodzi przez punkt A(, 0) (b) wykres przechodzi przez punkt A(, 8) i jest styczny do osi OX w punkcie B(4, 0) (c) wykres przechodzi przez punkty A(0, ) i B(, 9) i jest styczny do osi OX (d) wykres jest symetryczny względem osi OY oraz przechodzi przez punkty A(0, ) i B(, ) (e) suma pierwiastków wynosi 8, suma odwrotności pierwiastków jest równa / oraz wykres przechodzi przez punkt A(0, 4) (f) a = oraz miejsca zerowe x, x spełniają warunki x + x = 5, x x =. Zadanie. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji (a) f(x) = x + 4x + dla x 0, (b) f(x) = x + 4 dla x,. Zadanie. Rozwiąż równanie: Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) x 5 x + 4 = 0 (b) 4 x + = x (c) x x = a w zależności od parametru a. Zadanie 4. Rozwiąż nierówność: (a) x 5x + 6 > 0 (b) x > x. Zadanie 5. Dla jakich wartości parametru m (a) liczba zawiera się między różnymi rozwiązaniami równania (m 4)x 4x + m = 0 (b) równanie x = m 4m ma dwa pierwiastki dodatnie (c) wartość najmniejsza funkcji f(x) = x x + m m + 4 należy do przedziału, 4 (d) nierówność (m )x m x + > 0 jest spełniona dla każdego x? Zadanie 6. Funkcja f dana jest wzorem f(x) = x 6x + 9(x ). Narysuj wykres funkcji f. Wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od parametru m. Zadanie 7. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x + x + m m = 0, ma dwa różne pierwiastki takie, że suma ich sześcianów jest równa 9. Zadanie 8. Dla jakich wartości parametru x funkcja f(x) = x kx + k + ma dwa miejsca zerowe większe od? Zadanie 9. Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań nierówności zawiera się w przedziale (, )? x mx m + < 0 Zadanie 0. Znajdź te wartości parametru m, dla których liczba nie należy do zbioru rozwiązań nierówności x + (m + )x 6m 8m + 44 > 0. Zadanie. Dla jakich wartości m funkcja f(x) = (m 4)x 4x+m ma dwa miejsca zerowe, z których jedno jest mniejsze od a drugie większe od? Zadanie. Suma dwóch liczb jest równa 6. Znajdź te liczby, jeśli wiadomo, że suma podwojonego kwadratu jednej z nich i kwadratu drugiej jest najmniejsza z możliwych. Zadanie. Znajdź tę wartość parametru m, dla której iloczyn pierwiastków równania x mx + m 4m + = 0 jest najmniejszy.

12 Funkcja kwadratowa Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Wyznacz funkcję kwadratową f(x) = ax + bx + c, dla której (a) wykres przechodzi przez punkty O(0, 0) i A(, ) i jest styczny do prostej y = 0 (b) wykres jest symetryczny względem początku układu i przechodzi przez punkty A(0, ) i B(, ) (c) a = oraz miejsca zerowe x, x spełniają warunki x x =, x x = (d) a = oraz miejsca zerowe x, x spełniają warunki x + x =, + = 5. x x Zadanie D.. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji (a) f(x) = x 4x + dla x 0,. Zadanie D.. Rozwiąż równanie: (a) x 9 + x 4 = 5 (b) x + x(x 4) = ( + x). Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie D.4. Rozwiąż nierówność: (a) x 5x + 4 > x (b) x <. Zadanie D.5. Dla jakich wartości parametru m (a) pierwiastki równania x + (m )x + m + = 0 spełniają warunek x + x > (b) trójmian x mx + przyjmuje wartości ujemne dla x (, )? Zadanie D.6. Suma wszystkich współczynników równania kwadratowego jest równa zero. Wykaż, że każde równanie kwadratowe o tej własności ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste. Zadanie D.7. Funkcja f dana jest wzorem: f(x) = x x +. Uzasadnij, że funkcja f ma dwa dodatnie miejsca zerowe. Zadanie D.8. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c funkcja: ma co najmniej jedno miejsce zerowe. f(x) = (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) Zadanie D.9. Pierwiastkami równania x + px + p = 0 są dwie różne liczby x, x. Zbadaj, czy istnieje taka wartość parametru p, przy której wyrażenie (x + x ) (x + x ) osiąga wartość. Zadanie D.0. Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem f(m) = x x, gdzie x, x są różnymi pierwiastkami równania (m + )x (m + ) x + m + = 0, w którym m R \ {}. Zadanie D.. Dla jakich wartości parametru k funkcja f(x) = (k + )x kx + k nie przyjmuje wartości dodatnich? Zadanie D.. Dla jakich wartości parametru k liczby x = i x = należą do zbioru rozwiązań nierówności x + k k x + k > 0? Zadanie D.. Dla jakich wartości parametru m równanie x x m + m pierwiastki? = 0 ma dwa Zadanie D.4. Rozwiąż równanie x = x +.

13 Funkcja kwadratowa Zadanie D.5. Rozwiąż równanie x x = x +. Zadanie D.6. Wyznacz te wartości m, dla których równanie (k + )x x + k = 0 ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (0, ). Zadanie D.7. Wyznacz tę wartość parametru k, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x + kx + k 6k = 0 jest największa z możliwych. Zadanie D.8. Dla jakich wartości parametru a do zbioru rozwiązań nierówności x +(a+)x a < 0 należą tylko ujemne liczby? Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko

14 Wielomiany i funkcje wymierne Repetytorium z matematyki elementarnej - 00Z Rozdział 7 wielomiany i funkcje wymierne Zadanie. Dla jakich wartości parametrów a, b, p, q następujące wielomiany zmiennej x są równe: W (x) = (ax + b)(x x + 4) i V (x) = (x + px + q)(x )? Zadanie. Wyznacz wielomian czwartego stopnia, którego podwójnym pierwiastkiem jest liczba, a pojedynczym liczba i który przy dzieleniu przez x daje resztę 4. Zadanie. Wykonać następujące dzielenia z resztą : (a) x 4 9x + x 6x + przez x 5; (b) x 5 + 8x 4 + 7x + x + 5 przez x + 7x + 5x +. Zadanie 4. Rozwiąż równanie: Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) x 6x + x 6 = 0; (b) x 6 9x + 8 = 0 (c) x 4 + x + x = 0. Zadanie 5. Dla jakich wartości współczynników a i b wielomian P (x) = x 5 +ax+b jest podzielny przez x? Zadanie 6. Dla jakiej wartości parametru m przy dzieleniu wielomianu x + mx 4x + przez x otrzymujemy resztę 6? Zadanie 7. Przy dzieleniu wielomianu P (x) przez x otrzymujemy resztę, przy dzieleniu przez x resztę 4. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez wielomian x x +. Zadanie 8. Rozwiąż nierówność: (a) x 5x + 0x < 0; (b) x 5 + x 4 9x x 0x 4 < 0; (c) x 4 x 5 x. Zadanie 9. Rozwiąż równania i nierówności (a) x 4x x 7x+0 = 0; (b) x x 4x+6 x+ = 0; (c) x x x+ 4x ; (d) x 5x+4 x 4 (e) ; x +8 x > x. Zadanie 0. Dla jakich wartości parametru m (a) równanie x x = m ma dokładnie jeden pierwiastek (b) równanie x x = m ma dwa pierwiastki rzeczywiste (c) równanie x(+x ) x = m nie ma pierwiastków x y = m (d) układ równań ma rozwiązanie? y mx = 0

15 Wielomiany i funkcje wymierne Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Wykonać następujące dzielenia z resztą : (a) x 4 + x + x + x + przez x + x + 4 (b) x 5 + 4x 4 + x + przez x + x + 4; (c) x 5 + x 4 + 5x + przez x +. Zadanie D.. Rozwiąż równanie: (a) x 4 + 4x 5x 6x + 84 = 0; (b) x 5 4x 4 6x + 6x + 9x + = 0. Zadanie D.. Dany jest wielomian W (x) = x 4 x + x + mx + zmiennej x z parametrem m R. Wyznacz wszystkie wartości m, dla których wielomian W jest podzielny przez trójmian Q(x) = x x +. Zadanie D.4. Rozwiąż nierówność: Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) (x 5)(x 4)(x + 8) 0; (b) x 4 x ; (c) x x + x +. Zadanie D.5. Rozwiąż równania i nierówności ( ) ( ) (a) x + x 9 x + x + 0 = 0 (b) x = 6 x+ 4x (c) x + x > x x+ (d) (x+) (x +x+) (4 x)x 0 4 (e) x 5x+6 < 0 x. Zadanie D.6. Reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q(x) = x 4 + x x jest równa x + x + x +. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez x. Zadanie D.7. Dany jest wielomian postaci x + ax + bx + 6r, gdzie r jest różnicą ciągu arytmetycznego, którego pierwsze trzy wyrazy są pierwiastkami tego wielomianu. Drugi wyraz tego ciągu jest równy. Oblicz pierwiastki tego wielomianu. Zadanie D.8. Wielomiany W (x) = x ax + 4 oraz V (x) = x + x a mają wspólny pierwiastek. Oblicz a oraz pierwiastki tych wielomianów. Zadanie D.9. Udowodnij, że jeżeli reszta z dzielenia wielomianu P (x) = x + 4x + ax + b przez wielomian Q(x) = x + x jest wielomianem stałym, to a = 7. Zadanie D.0. Zbadaj liczbę pierwiastków wielomianu x 4 +( m)x +m m = 0 w zależności od parametru m. Zadanie D.. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez x + wynosi, a przy dzieleniu przez x reszta wynosi. Jaka jest reszta z dzielenia tego wielomianu przez x + x 6?

16 Podstawowe własności funkcji Zadanie. Zbadaj parzystość i nieparzystość następujących funkcji (a) f(x) = x +x x (b) f(x) = cos x + + x (c) f(x) = n ( ) k k+ xk+ k=0 0, x < (d) f(x) =, x x Zadanie. Wykaż, że dla dowolnej funkcji f funkcja g(x) = f(x)+f( x) jest parzysta, a funkcja h(x) = f(x) f( x) jest nieparzysta. Następnie pokaż, że każda funkcja jest sumą funkcji parzystej i nieparzystej. Zadanie. Zbadaj monotoniczność następujących funkcji Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) f(x) = 4 x + x, x 0 (b) f(x) = x, x > 0 (c) f(x) = x (d) f(x) = x Zadanie 4. Zbadaj okresowość następujących funkcji (a) f(x) = [x], gdzie [x] oznacza największą liczbę całkowitą mniejszą niż x (b) f(x) = [x] x (c) f(x) = x [x ] (d) f(x) = sin x + cos x (e) f(x) = + sin x (f) f(x) = tg πx Zadanie 5. Wykaż, że funkcja x +x jest odwrotna względem siebie. Sporządź wykres. Zadanie 6. Sprawdź różnowartościowość następujących funkcji i wyznacz funkcję odwrotną, o ile to możliwe (a) f(x) = x +x (b) f(x) = x x x, x (c) f(x) = x, x > Zadanie 7. Narysuj wykres funkcji (a) x + 4x (b) x + 8x 6 (c) x 5 (d) x x + (e) x +x (f) sin(x + ) (g) sin((x + )) Zadanie 8. Opisz podstawowe własności funkcji f(x) = ax + b w zależności od parametrów a, b R. Zadanie 9. Znaleźć funkcję, której wykres jest prostą prostopadłą (równoległą) do prostej y x + 0 = 0 i przechodzącą przez punkt (, ). Zadanie 0. Zilustruj zbiór liczb x, y R takich, że x + y =.

17 Elementy geometrii Zadanie. Napisz równanie okręgu stycznego do dwóch prostych o równaniach: i przechodzącego przez punkt P = (, 0). x + y = 0, x + y + = 0 Zadanie. Wyznacz liczbę punktów wspólnych okręgu o równaniu x + y + x 6y + 4 = 0 z prostą o równaniu y = x + m w zależności od wartości parametru m. Zadanie. Wyznacz równanie stycznych do okręgu x + y + 4x + = 0 (a) przechodzących przez początek układu współrzędnych, (b) równoległych do prostej y = x 7. Zadanie 4. Wyznacz pole trójkąta o wierzchołkach A = (0, x), B = (x, ), C = (, ) jako funkcję f zmiennej x i naszkicuj jej wykres. Wyznacz liczbę rozwiązań równania f( x ) = m w zależności od wartości parametru m R. Zadanie 5. Dane są punkty A = (, ) i B = (5, 4). Na prostej o równaniu y = 5 wyznacz punkt C tak, aby łamana ACB miała jak najmniejszą długość. Odpowiedź uzasadnij. Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie 6. Dany jest okrąg i prosta odpowiednio o równaniach: x + y + x 4y 5 = 0, x + y 9 = 0 Znajdź najmniejszą z odległości AB, gdzie A jest punktem na okręgu, a B punktem na prostej. Zadanie 7. Przez środek okręgu prowadzimy dwie różne średnice AC i BD. Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest prostokątem. Zadanie 8. Rozważmy dwa okręgi współśrodkowe: jeden o promieniu, drugi o promieniu 5. Znajdź długość odcinka stycznej do mniejszego okręgu, zawartego w większym okręgu. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Znajdź równanie okręgu o środku w punkcie S = (, ), wiedząc, że:. początek układu współrzędnych należy do tego okręgu;. do okręgu należy punkt A = (, );. okrąg jest styczny do prostej x =. Zadanie D.. Okrąg, którego środek należy do osi OY i promień ma długość r = 5 jest styczny do prostej o równaniu x + y = 0. Napisz równanie tego okręgu. Zadanie D.. Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC, gdzie A = (, ), B = (0, ) i C = (4, ). Zadanie D.4. Okrąg o równaniu (x ) + (y + ) = 4 jest opisany na pewnym trójkącie równobocznym ABC. Znajdź równanie okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zadanie D.5. Promień okręgu wpisanego w romb ABCD jest równy r =, a współrzędne końców przekątnej AC są następujące: A = (, ), C = (4, ). Oblicz współrzędne punktów B i D. Zadanie D.6. Dany jest okrąg o równaniu: x + y x y + = 0 i prosta x y = 0. Oblicz długość cięciwy tego okręgu zawartej w danej prostej i jej odległość od środka. Zadanie D.7. W trójkąt równoramienny o obwodzie 40 wpisano okrąg, którego promień jest równy 5 wysokości poprowadzonej do podstawy. Obliczyć długości boków tego trójkąta.

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log )

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log ) ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr LICZBY RZECZYWISTE Zad. Wskaż liczby wymierne: 4 9 ; 7; 6; π;, 333...; 3, (); 3 5; ( ) 0 ; 7 9 ; 4, 000000...; 3 7 7 3 ; 3 3 3. Zad. Dane są liczby

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5)

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5) Lista nr 1 LICZBY RZECZYWISTE Zad.1 Udowodnij równość: 5 3 10 27 = 10 3 5 9. Zad.2 Wartość wyrażenia (3 1 3 27 2 3 9 1 ) 3 4 zapisz w postaci pierwiastka z liczby wymiernej. Zad.3 Oblicz wartość wyrażenia:

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Repetytorium z matematyki ćwiczenia Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY)

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY) ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY) wersja robocza - 19.03.2019 Edukacja Karol Suchoń Korepetycje, zajęcia, przygotowanie do egzaminu www.karolsuchon.pl kontakt: kontakt@karolsuchon.pl

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym

ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym S t r o n a ZBIÓR ZADAŃ Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym Każdy uczeń, który kończy szkołę ponadgimnazjalną i chce przystąpić do matury, zobowiązany jest do zdawania egzaminu z matematyki

Bardziej szczegółowo

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna

Bardziej szczegółowo

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny. Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12 168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4 Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Zadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 }

Zadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 } Zadanie 0 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y } oraz B = { (x, y) ; x R i y R i 4x + 4y 4x 5 } Zaznacz osobno zbiór B-A ( ) Niech m N. Oznaczmy zbiory : A m = { (x,

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa Zadania na plusy Maria Małycha. Funkcja kwadratowa. Zadanie 7

Funkcja kwadratowa Zadania na plusy Maria Małycha. Funkcja kwadratowa. Zadanie 7 Funkcja kwadratowa Zadanie 1 Podaj wzór funkcji P(x), opisującej pole kwadratowej działki budowlanej w zależności od długości przekątnej x. Zadanie 2 Podaj wzór funkcji P(x), opisującej pole prostokątnej

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5

Bardziej szczegółowo

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y= Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY (TECHNIKUM) 7 MARCA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) ( 5 Liczba

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE DO MATEMATYKI WYŻSZEJ

WPROWADZENIE DO MATEMATYKI WYŻSZEJ WPROWADZENIE DO MATEMATYKI WYŻSZEJ. Elementy logiki i teoria zbiorów Zad... Rozpatrzmy wartościowanie w takie, że w(p) = i w(q) = 0. Oblicz: a) w( (p p)), b) w( ( p p)), c) w( (q q)), d) w( p q), e) w(

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r.

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r. Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 011 r. 1. Mamy 6 elementów. Ile jest możliwych permutacji tych elementów jeśli: a) wszystkie elementy są różne, b) dwa elementy wśród nich są identyczne, a wszystkie

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3

ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3 ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny.

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY 1 www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Funkcje elementarne. Matematyka 1 Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje

Bardziej szczegółowo

PRACA KONTROLNA nr 1

PRACA KONTROLNA nr 1 XXXV KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 005r. 1. Niech f(x) = x + bx + 5. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru b, dla których: a) wykres funkcji f jest symetryczny względem

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A06 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Wartość wyrażenia 1 3 + 1 + 3

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 1. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 1. (0 1) Liczba 8 3 3 2 3 9 jest równa A. 3 3 B. 32 3 9 C. 3 D. 5 3 Zadanie 2.

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ KOD ZDAJĄCEGO WPISUJE ZDAJĄCY symbol klasy symbol zdającego PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 Ekonomik w Zielonej Górze KLASA III fl POZIOM PODSTAWOWY I. Funkcja kwadratowa narysować wykres funkcji

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

Wykresy i własności funkcji

Wykresy i własności funkcji Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1 KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 17 KWIETNIA 2010 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Jeżeli liczba 3b

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 2014 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) ( Liczba 9 3 6 4 27) jest

Bardziej szczegółowo

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D. Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92

Bardziej szczegółowo

Suma dziewięciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu poczatkowych

Suma dziewięciu poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu poczatkowych www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI CIAGI ARYTMETYCZNE ZADANIE 1 Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ciagu arytmetycznego jest równa 42, zaś suma kwadratów wyrazów drugiego

Bardziej szczegółowo

Kod ucznia: Wodzisław Śl., 11 kwietnia 2018r.

Kod ucznia: Wodzisław Śl., 11 kwietnia 2018r. Kod ucznia: Wodzisław Śl., 11 kwietnia 018r. XVI POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH POD PATRONATEM STAROSTY POWIATU WODZISŁAWSKIEGO ORGANIZOWANY PRZEZ POWIATOWY OŚRODEK

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 14 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 30 2 3 5

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 13 KWIETNIA 013 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Liczba 3 ( 1 8) 1

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC 2019 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 180 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12

Bardziej szczegółowo

Równania kwadratowe. Zad. 4: (profil matematyczno-fizyczny) Dla jakich wartości parametru m równanie mx 2 + 2x + m 2 = 0 ma dwa pierwiastki mniejsze

Równania kwadratowe. Zad. 4: (profil matematyczno-fizyczny) Dla jakich wartości parametru m równanie mx 2 + 2x + m 2 = 0 ma dwa pierwiastki mniejsze Równania kwadratowe Zad : Dany jest wielomian W(x) = x mx + m m + a) Dla jakich wartości parametru m wielomian ten ma dwa pierwiastki, których suma jest o jeden większa od ich iloczynu? *b) Przyjmij, Ŝe

Bardziej szczegółowo

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

ARKUSZ DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI A-1 ARKUSZ DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 15 stron. W zadaniach 1. do 5. są podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo