WYKŁAD 7 3 Podstawowe własności unkcji Funkcje cklometrczne, hiperboliczne Deinicję unkcji o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mam w 3A5 3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna) Często się zdarza, że unkcja liczbowa określona jest tlko wzorem, gdzie dziedzina nie jest wraźnie wskazana W takim wpadku dziedzina tej unkcji (nazwam dziedziną ( ) naturalną) jest zbiorem wszstkich liczb rzeczwistch, dla którch prawa strona () tego wzoru ma określoną wartość Przkład: 1) ( ) ln, D { : 0} ; ) D D k k ( ) cos 1, { ; } 3A38 (Deinicja: iloczn kartezjański dwóch zbiorów) Iloczn kartezjański X Y zbiorów X i Y jest zbiorem uporządkowanch par elementów zbiorów X, Y Z deinicji mam zatem: X Y {(, ): X, Y} Ćwiczenie: 1) ; ) de 3 ; 3) n n1 ; 4) [0,1)(0,1]-? 3A39 (Deinicja: zbiór wartości i wkres unkcji) Niech : X Y Wted de de zbiór W ( X ) { Y : ( ), X D } nazwam zbiorem wartości unkcji Wkresem unkcji : X Y nazwam zbiór de GR {(, ) X Y : ( ), X } Przkład: 1) ( ), X D [ 1,1], Y W Y GR ; ) [0,1], {(, ) :, [ 1,1]} D Y W GR k k Z ; ( ) cos 1,, {0}, {(,0): } 0 3) ( ) ln D { ; 0, }, W
3A40 (Uwaga) Funkcje : D Y i g : Dg Y są równe D Dg oraz ( ) g( ), D Podzbiór płaszczzn 0 jest wkresem pewnej unkcji ( ), X, gd każda prosta pionowa przecina go co najwżej w jednm punkcie (przkład: okrąg o środku (0,0) i promieniu 1 nie jest wkresem unkcji) 3A41 (Deinicja: unkcja złożona) Niech : X Y, g : Y Z 1, gdzie zbior X, Y, Y, Z 1 są niepuste, prz czm (dokładniej ) Wted złożeniem unkcji g i nazwam unkcję (złożoną) g : X Z określoną wzorem de ( g )( ) g( ( )) dla X Y Y 1 W Y Przkład (A+B): 1) ) z {, 0;, 0, ; 1 z E( ) arcctg ( ctg),, 3A4 (Deinicja) Funkcja jest różnowartościowa na zbiorze X D, jeżeli ( 1, X )[( 1 ) ( ( 1) ( ))] (1) Wted unkcja jest różnowartościowa na X, gd każda prosta pozioma przecina ragment wkresu unkcji odpowiadając X co najwżej w jednm punkcie (ćwiczenie: podać interpretację geometrczną (A+B)) 3A+B43 (Uwaga) Warunek (1) w 3A4 jest równoważn następującemu: ( 1, X )(( ( 1) ( ) ( 1 )), z którego wgodnie jest korzstać prz sprawdzaniu różnowartościowości unkcji Przkład: 1) unkcja ( ) jest różnowartościowa na zbiorze [0, ) lub (,0], ale nie jest taką na ; 3 ) ( ), 3A44 (Deinicja: unkcja odwrotna) Niech unkcja : X Y będzie różnowartościowa na dziedzinie Funkcję odwrotną do unkcji, jeśli 1 ( ( )) oraz 1 ( ( )) de 1 : Y X nazwam unkcją 1 ( ) ( ), gdzie X, Y czli dla Y, X
3A+B45 (Uwaga) Zauważm, że zbior X i Y (osi 0 i 0) zamieniają się rolami gd zamiast unkcji rozpatrujem unkcję 1 ( ) i ( ) 1 Wted wkres unkcji będą nawzajem smetrczne względem prostej 3A+B46 (Uwaga: sposob określania unkcji): 461) tablicow za pomocą tabeli: 0 1 3 5 0 1 4 9 000 46) wkresow za pomocą wkresu; 0 463) analitczn za pomocą wzoru: ( ), X1 1) jawn: ( ), X ; lub, na przkład, ; g( ), X ) niejawn za pomocą równania (unkcja uwikłana) F(, ) 0, tzn unkcja ( ), X, taka że F(, ( )) 0, X : przkład: X Y 1, [ 1,1], [0,1] (ćwiczenie: jaka ilość unkcji uwikłanch jest określona wzorem: 1?); 3) parametrczn za pomocą unkcji zależnej od parametru (za pomocą ( t) układu równań): : X Y t T ( t( )), gdzie () t X, ( t) tt( ) () t Y i dla unkcji ( t) : T X istnieje unkcja odwrotna t t( ) ( X T) ; 464) komputerow wnika z poprzednich 3A+B47 (Klasikacja unkcji względem własności): : X gdzie X : 471) unkcje okresowe i nieokresowe: unkcja jest okresowa, jeżeli ( T 0)( X )( T X oraz ( T) ( )) Liczbę T nazwam wted okresem unkcji (przkład: sin, cos 1); 47) unkcje parzste i które nie są parzste: unkcja jest parzsta, jeżeli ( X )( X oraz ( ) ( )), to znacz, że oś O jest osią smetrii wkresu unkcji (przkład:, cos 1, );
0 473) unkcje nieparzste i które nie są nieparzste: unkcja jest nieparzsta, jeżeli ( X ) ( X oraz ( ) ( )), to znacz, że początek układu współrzędnch jest środkiem smetrii wkresu unkcji (przkład:,, ); 1 0 474) unkcje ograniczone i nieograniczone: unkcja jest ograniczona na zbiorze X, jeżeli ( m, M ) ( X ) ( m ( ) M) czli ( ( ) ma{ m, M }) N, tzn wkres unkcji jest położon międz dwiema prostmi poziommi o równaniach, N (przkład: ); 475) unkcje ograniczone z dołu i nieograniczone z dołu: unkcja jest ograniczona z dołu na zbiorze X, jeżeli ( m ) ( X )( ( ) m), tzn wkres unkcji leż nad pewną prostą poziomą o równaniu = m (przkład:, ); 476) unkcje ograniczone z gór i nieograniczone z gór: unkcja jest ograniczona z gór na zbiorze X jeżeli ( M ) ( X )( ( ) M) sin sin N (przkład:, sin ); 477) unkcje monotoniczne i niemonotoniczne: na zbiorze X unkcja jest: 1) rosnąca, jeżeli (, X ) [( ) 1 1 ( ( 1 ) ( ))], tzn gd poruszając się w prawo po wkresie unkcji wznosim się do gór (przkład: = 3 ); ) malejąca, jeżeli (, X )[( ) 1 1 ( ( 1 ) ( ))], tzn gd poruszając się w prawo po wkresie opadam na dół (przkład: ); 3) niemalejąca, jeżeli ( 1, X )[( 1 ) ( ( 1 ) ( ))], tzn gd poruszając się w prawo po wkresie unkcji wznosim się lub pozostajem na tm samm poziomie (przkład: = () = E() część całkowita liczb ); 4) nierosnąca, jeżeli ( 1, X )[( 1 ) ( ( 1 ) ( ))], tzn gd poruszając się w prawo po wkresie opadam lub pozostajem na tm samm poziomie (przkład: ()=, ); 4) monotoniczna na zbiorze, jeżeli jest rosnąca, malejąca, nierosnąca lub niemalejąca na tm zbiorze Ćwiczenie (A+B): podać interpretację geometrczną dla 3A+B47 3A+B48 (Fakt: warunek wstarczając różnowartościowości unkcji) Jeżeli unkcja jest rosnąca albo malejąca na zbiorze, to jest różnowartościowa na tm zbiorze Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa (sprawdzić (A+B))
3A+B49 (Deinicja) Funkcję : X Y nazwam: 491) iniekcją, jeżeli jest różnowartościowa na X (przkład:, X [0, ), Y ); 49) suriekcją, czli unkcją «na», jeżeli, tzn ( Y) ( X ) ( ( ) ) (przkład:, X, Y [0, )); 493) bijekcją, jeżeli jest jednocześnie iniekcją i suriekcją (mówim też, że jest wzajemnie jednoznaczna, przkład: 3, X, Y ) Ćwiczenie (A+B): podać interpretację geometrczną dla 3A+B48 ( X ) 3A+B50 (Fakt) Funkcja jest odwracalna (tzn posiada unkcję odwrotną) wted i tlko wted, gd jest bijekcją 3A+B51 (Uwaga: unkcje cklometrczne) Funkcja określona wzorem sin cos odpowiednio w dziedzinie [, ] [0, ] ( tg, Y ctg () ) (0, ) (X) ma odpowiednio przeciwdziedzinę [-1, 1] [-1, 1] (Y) i jest różnowartościowa W zbiorach (Y) określone są zatem unkcje odwrotne do unkcji określonch wzorami () o dziedzinach (X) Nazwam je unkcjami cklometrcznmi (kołowmi): arcsin (arkussinus), arccos (arkuskosinus), arctg (arkustangens) i arcctg (arkuskotangens) Mam zatem: Deinicja: = arcsin = sin i [, ]; Deinicja: = arccos = cos i [0, ]; Deinicja: = arctg = tg i (, ); Deinicja: = arcctg = ctg i ) Uwaga Funkcją arkussinus (arkuscosinus, arkustangens, arkuscotangens) nazwam unkcję odwrotną do unkcji sinus (do kosinus, tangens, kotangens) (0, obciętej do przedziału [, ] (do przedziału [0, ], (, ), (0, )) o dziedzinie [-1, 1] (odpowiednio o dziedzinie [-1, 1],, ) / = arcsin = arccos 1 0 1 /
/ / 1 0 1 0 / / 0 arctg arcctg 3B5 (Ćwiczenie) Uzasadnić, że 1) arcsin + arccos = ) arctg + arcctg = dla [ 1,1] ; dla 3A53 (Deinicja) Funkcje hiperboliczne sh (sinus hiperboliczn), ch (kosinus hiperboliczn), th (tangens hiperboliczn), cth (kotangens hiperboliczn) określam wzorami: de de e e e e a) sh gdzie ; b) ch gdzie ; de de sh ch c) th gdzie ; d) cth gdzie \{0} ch sh 3A+B54 (Fakt: podstawowe tożsamości z unkcjami hiperbolicznmi): 541) ch sh 1 dla ; 54) sh = sh ch dla ; 543) ch = sh + ch dla 3A55 (Deinicja: unkcje elementarne) Funkcjami elementarnmi nazwam podstawowe unkcje: stałe, potęgowe, wkładnicze, logartmiczne, trgonometrczne i cklometrczne (o dziedzinie naturalnej) oraz unkcje, które
można otrzmać z podstawowch unkcji elementarnch za pomocą skończonej liczb działań artmetcznch oraz operacji złożenia unkcji 3A+B+C56 (Przkład) 561 Funkcje elementarne: 1) wartość bezwzględna (moduł): ) wielomian W :, W() = n {0}, a dla i=1,,n, oraz i, 0,, 0; n n1 a a a a, gdzie n a n 0 n1 1 0 ; liczbę n nazwam stopniem wielomianu; 3) unkcją wmierną nazwam unkcję, którą można zapisać w postaci ilorazu dwóch wielomianów; itd (A+B); 56 Funkcje nieelementarne (tak uważa się): 1) unkcja część całkowita E :, E() część całkowita liczb jest to największą liczbą całkowitą nie większą niż : E() = k, gdzie k k 1 dla pewnego k, k, (zbadać za pomocą 3A41); ) unkcją signum nazwam unkcję sgn:, 1, 0, de de sign sgn 0, 0, 1, 0 Ćwiczenie (A) Dla unkcji sgn podać D, W oraz narsować jej wkres 3A57 (Ćwiczenie) Zbadać własności podstawowch unkcji elementarnch i narsować ich wkres 3C58 (Ćwiczenie) Cz istnieje bijekcja : [0, 1] (0, 1) odwzorowująca odcinek [0, 1] na odcinek (0, 1)? Podać wzór analitczn dla