Funkcja. Poj cie funkcji i podstawowe wªasno±ci. Dziedzina
|
|
- Marek Zawadzki
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci Alina Semrau-Giªka Uniwerstet Technoloiczno-Przrodnicz 30 stcznia 209 Funkcj ze zbioru X w zbiór Y nazwam odwzorowanie, które ka»demu elementowi ze zbioru X przporz dkowuje dokªadnie jeden element ze zbioru Y. Funkcj tak oznaczam : X Y, = (), nazwam arumentem unkcji, warto±ci unkcji, X dziedzin unkcji oznaczan D, a Y przeciwdziedzin unkcji. Podana denicja unkcji nie jest ormaln, matematczn denicj. Jest to denicja szkolna, ªatwa do zrozumienia. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci /24 : R R, () = 2 unkcja, która ka»dej liczbie rzeczwistej przporz dkowuje jej kwadrat. : R R R, (, 2 ) = 2 unkcja, która ka»dej parze liczb rzeczwistch przporz dkowuje ich iloczn. Czas t pokonania przez pojazd droi o ustalonej dªuo±ci s jest unkcj pr dko±ci teo pojazdu, d» Mo»na te» to zapisa t(v) = s v. t = s v. Dziedzina ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 3/24 Je»eli dziedzina unkcji nie jest dokªadnie wskazana, to nale» przj,»e jest ni zbiór wszstkich liczb, dla którch wzór okre±laj c unkcj ma sens. Zbiór ten nazwam dziedzin naturaln. () = Zaªo»enie: 0 D = (, ) () = 2 Zaªo»enie: D = [0, 4) (4, + ) Wkres ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 4/24 Wkresem unkcji nazwam zbiór wszstkich punktów o wspóªrzednch (, ()), dzie jest elementem dziedzin unkcji. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 5/24 Jak maj c wkres stwierdzi,»e przedstawia on unkcj? () = 3 () = 2-0 () -4-2 Tu lepiej nie rsowa tabelki, bo to mo»e prowadzi do bª dów. Je±li ju», to dla wielu punktów. unkcja to nie jest unkcja Wkres unkcji ma tlko jeden punkt wspóln z dowoln lini pionow poprowadzon przez punkt dziedzin. Zbiór warto±ci ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 6/24 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 9/24 Przeciwdziedzina a zbiór warto±ci Zbiorem warto±ci unkcji nazwam zbiór tch wszstkich Y, które s warto±ciami unkcji dla pewneo X. Zbiór ten b dziem oznacza (X ) lub ZW. : [0, 2π] R, () = sin () Zbiór warto±ci unkcji mo»em odczta z wkresu rzutuj c o na o± O. [ ZW = 3 ] 2, 2 () π 2 π 3π 2 2π Przeciwdziedzina to R, a zbiór warto±ci to [, ]. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 0/24 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci /24
2 Przeksztaªcanie wkresów unkcji Przeksztaªcanie wkresów () = ( + a), a > 0 Przeksztaªcanie wkresów Jak otrzma wkres unkcji przeksztaªcaj c wkres unkcji? Mam wkres unkcji () = 2. Mam wkres () = 2. Jak otrzma wkres () = ( + ) 2? Wkres unkcji przesuwam o a w lewo. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 2/24 Przeksztaªcanie wkresów () = ( a), a > 0 Mam wkres () = 2. Jak otrzma wkres () = ( ) 2? ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 3/24 Przeksztaªcanie wkresów () = () + a, a > 0 Mam wkres () = 2. Jak otrzma wkres () = 2 +? Wkres unkcji przesuwam o a w prawo. Wkres unkcji przesuwam o a w ór. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 4/24 Przeksztaªcanie wkresów () = () a, a > 0 Mam wkres () = 2. Jak otrzma wkres () = 2? () = () ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 5/24 Przeksztaªcanie wkresów Mam wkres () = 2. Jak otrzma wkres () = ( 2 )? Wkres unkcji przesuwam o a w dóª. Wkres unkcji odbijam smetrcznie wzl dem osi O. () = ( ) ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 6/24 Przeksztaªcanie wkresów Mam wkres () = ( ) 2. Jak otrzma wkres () = ( ) 2? () = () ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 7/24 Przeksztaªcanie wkresów Mam wkres () = 2. Jak otrzma wkres () = 2? Wkres unkcji odbijam smetrcznie wzl dem osi O. Cz ± wkresu unkcji znajduj c si pod osi O odbijam smetrcznie wzl dem tej osi, pozostaª cz ± zostawiam bez zmian. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 8/24 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 9/24
3 () = ( ) Przeksztaªcanie wkresów Skªadanie unkcji Budowanie nowch unkcji Skªadanie Mam wkres () = ( ) 2. Jak otrzma wkres () = ( ) 2? Dane s unkcje : X U i : W Y oraz zbiór warto±ci unkcji zawiera si w dziedzinie unkcji, tzn. ZW D. Zªo»eniem unkcji i nazwam unkcj h : X Y oznaczan h = i okre±lon wzorem Cz ± wkresu unkcji znajduj c si po prawej stron osi O zostawiam niezmienion, ale jednocze- ±nie odbijam j równie» smetrcznie wzl dem tej osi na lew stron. h() = ( )() = ( ()). ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 20/24 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 2/24 Budowanie nowch unkcji Skªadanie Budowanie nowch unkcji Skªadanie () = cos, () = () = 3 +, () =, D = R, ZW = [, ], D = R, ZW = R D = R, ZW = R, D = R +, ZW = R + Poniewa» ZW D, wi c istnieje zªo»enie wra»a si wzorem ( )() = ( ()) = 5 cos + 4. Poniewa» ZW D, wi c zªo»enie nie istnieje. Poniewa» ZW D, wi c istnieje zªo»enie wra»a si wzorem Poniewa» ZW D, wi c istnieje zªo»enie wra»a si wzorem ( )() = (()) = cos(5 + 4). ( )() = (()) = ( ) 3 + = +. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 22/24 Budowanie nowch unkcji Skªadanie ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 23/24 h() = 2 jest unkcj zªo»on Na kalkulatorze najpierw wliczam warto± 2, a potem pierwiastek z tej warto±ci. Zatem h() = ( ()), dzie () = 2, () =. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 24/24
4 Budowanie nowch unkcji Ró»nowarto±ciowo± unkcji Budowanie nowch unkcji Ró»nowarto±ciowo± unkcji : X Y jest ró»nowarto±ciowa, je±li ró»nm arumentom ze zbioru X przporzadkowuje ró»ne warto±ci w zbiorze Y, tzn., 2 X ( 2 ( ) ( 2 )). : X Y jest ró»nowarto±ciowa, je±li ró»nm arumentom ze zbioru X przporzadkowuje ró»ne warto±ci w zbiorze Y, tzn., 2 X ( ( ) = ( 2 ) = 2 ). ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 2/35 Budowanie nowch unkcji Jak maj c wkres unkcji stwierdzi,»e jest ona ró»nowarto±ciowa? ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 2/35 Budowanie nowch unkcji () = 2 () = sin jest ró»nowarto±ciowa nie jest ró»nowarto±ciowa Z wkresu unkcji mo»na ªatwo odczta, cz jest ona ró»nowarto±ciowa, cz nie. jest ró»nowarto±ciowa, je±li jej wkres z ka»d prost poziom ma co najw»ej jeden punkt wspóln. Funkcje () = 2 i () = sin nie s ró»nowarto±ciowe. na ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 4/35 Budowanie nowch unkcji ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 5/35 Budowanie nowch unkcji : R R, () = 2 : R R + {0}, () = 2 : X Y jest na, je±li ka»d element ze zbioru Y jest warto±ci unkcji dla pewneo ze zbioru X, tzn. Y X = (). Te unkcje maja identczn wkres, ale nie jest na, a jest! odwrotna ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 6/35 Budowanie nowch unkcji : X Y jest na, je±li jej przeciwdziedzina jest równa zbiorowi warto±ci. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 7/35 Budowanie nowch unkcji Funkcj odwrotna do unkcji : X Y nazwam tak unkcj : Y X,»e: dla ka»deo X ( ()) =, dla ka»deo Y (()) =. Funkcj odwrotn do oznaczam cz sto. Cz unkcja : [0, + ) [0, + ), () = jest unkcj odwrotn do unkcji : [0, + ) [0, + ), () = 2? ( ()) = 2 = =, bo [0, + ) (()) = ( ) 2 =. Zatem jest odwrotna do. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 8/35 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 9/35
5 Wkres Budowanie nowch unkcji Uwaa! Budowanie nowch unkcji, : [0, + ) [0, + ) () = 2, () = = Fakt Wkres unkcji powstaje przez odbicie wkresu unkcji smetrcznie wzl dem prostej o równaniu =. Nie ka»d unkcje mo»na odwróci, np. : R [0, + ), () = 2. () = 2 = to nie jest unkcja ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 0/35 Budowanie nowch unkcji Kied jest odwracalna? Jak znale¹? ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci /35 Budowanie nowch unkcji Twierdzenie jest odwracalna wted i tlko wted, d jest ró»nowarto±ciowa i na. Dana jest unkcja = (), która jest ró»nowarto±ciowa i na.. Zamieniam rolami zmienne i, otrzmuj c równanie = (). 2. Wznaczam z otrzmaneo równania. Otrzmane wra»enie to. Dziedzin unkcji jest zbiór warto±ci unkcji, a zbiorem warto±ci - dziedzina. : R R Ta unkcja jest ró»nowarto±ciowa i na. Jest wi c odwracalna. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 2/35 Budowanie nowch unkcji ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 3/35 Budowanie nowch unkcji : R R, () = 3 + : R \ {2} R \ {}, () = + 2 Zatem = 3 + = = = 3 3 : R R, () = 3 3 = + 2 = + 2 ( 2) = + 2 = + = 2 + ( ) = 2 + = 2 + Zatem : R \ {} R \ {2} () = 2 + Oraniczono± ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 4/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Oraniczono± ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 5/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Oraniczono± jest oraniczona: z doªu, je±li istnieje liczba rzeczwista m taka,»e warto±ci tej unkcji s wi ksze lub równe m, tzn. () = 2 () = m R X m, z ór, je±li istnieje liczba rzeczwista M taka,»e warto±ci tej unkcji s mniejsze lub równe M, tzn. m R X M. Funkcje jest oraniczona z doªu np. przez m = 0, a unkcja - oraniczona z ór np. przez M = 2. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 6/35 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 7/35
6 Specjalne wªasno±ci unkcji Oraniczono± Parzsto± Specjalne wªasno±ci unkcji Parzsto± h() = sin Funkcj nazwam parzst, je±li jej dziedzina X jest zbiorem smetrcznm wzl dem 0 i dla ka»deo X ( ) = (). h jest oraniczona z doªu np. przez m = i z ór np. przez M =. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 8/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Parzsto± : R R, () = 2 jest parzsta, ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 9/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Parzsto± Uwaa Wkres unkcji parzstej jest smetrczn wzl dem osi OY. () = 2 ( ) = () ( 2) = (2) ( 3) = (3) itd. d» dla ka»deo R ( ) = ( ) 2 = 2 = (). Nieparzsto± ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 20/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Parzsto± ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 2/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Parzsto± : R R, () = 3 jest nieparzsta, () = 3 Funkcj nazwam nieparzst, je±li jej dziedzina X jest zbiorem smetrcznm wzl dem 0 i dla ka»deo X () = ( ) = ( ) = (). (2) = 8 ( 2) = 8 (3) = 27 ( 3) = 27 d» dla ka»deo R ( ) = ( ) 3 = 3 = (). ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 22/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Parzsto± Uwaa Wkres unkcji parzstej jest smetrczn wzl dem punktu O = (0, 0). ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 23/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Parzsto± Istniej unkcje, które nie s ani parzste, ani nieparzste, np. : R R, () = ( ) 2. () = 2 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 24/35 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 25/35
7 Specjalne wªasno±ci unkcji Monotoniczno± Która z unkcji jest rosn ca? Która malej ca? Która nierosn ca? A która niemalej ca? rosn ca Specjalne wªasno±ci unkcji Monotoniczno± jest rosn ca na przedziale I, je±li dla ka»dch, 2 I z teo,»e < 2 wnika,»e ( ) < ( 2 ), czli wraz ze wzrostem arumentów warto±ci unkcji rosn. jest rosn ca, je±li poruszaj c si w prawo wzdªu» jej wkresu idziem caª czas pod órk. niemalej ca ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 26/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Monotoniczno± malej ca ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 27/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Monotoniczno± jest niemalej ca na przedziale I, je±li dla ka»dch, 2 I z teo,»e < 2 wnika,»e ( ) ( 2 ), czli wraz ze wzrostem arumentów warto±ci unkcji nie malej (rosn lub s staªe). jest malej ca na przedziale I, je±li dla ka»dch, 2 I z teo,»e < 2 wnika,»e ( ) > ( 2 ), czli wraz ze wzrostem arumentów warto±ci unkcji malej. Na wkresie idziem caª czas pod ór lub prosto. nierosn ca ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 28/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Monotoniczno± Na wkresie idziem caª czas z órki. monotoniczna ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 29/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Monotoniczno± jest nierosn ca na przedziale I, je±li dla ka»dch, 2 I z teo,»e < 2 wnika,»e ( ) ( 2 ), czli wraz ze wzrostem arumentów warto±ci unkcji nie rosn (malej lub s staªe). jest monotnoniczna na przedziale I, je±li jest rosn ca, malej ca, nierosn ca lub niemalej ca na tm przedziale. Na wkresie idziem caª czas z órki lub prosto. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 30/35 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 3/35 Specjalne wªasno±ci unkcji Specjalne wªasno±ci unkcji nazwam okresow, je±li istnieje taka liczba t 0,»e dla ka»deo D liczba + t D i zachodzi równo± Liczb t nazwam okresem unkcji. ( + t) = (). Je»eli liczba t jest okresem unkcji, to ka»da jej wielokrotno± jest tak»e okresem unkcji. Najmniejsz dodatni okres unkcji (je±li istnieje) nazwam okresem podstawowm lub zasadniczm. : Z {0,, 2, 3, 4}, (n) = n (mod 5) ka»dej liczbie caªkowitej przporz dkowuje jej reszt z dzielenia przez 5. (0) = 0 (5) = 0 (0) = 0 () = (6) = () = (2) = 2 (7) = 2 (2) = 2 (3) = 3 (8) = 3 (3) = 3 (4) = 4 (9) = 4 (4) = 4 jest okresowa o okresie 5. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 32/35 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 33/35
8 Specjalne wªasno±ci unkcji Specjalne wªasno±ci unkcji : R R, () = {}, {} cz ± uªamkowa liczb {} = [], dzie [] jest cz ±ci caªkowit liczb 2 () (0.5) = 0.5 (.6) = 0.6 (7) = 0 ( 0.25) = 0.75 ( 6.2) = 0.8 (.) = 0.9 jest okresowa o okresie Funkcje sinus i cosinus s okresowe o okresie 2π, a unkcje tanens i cotanens - o okresie π. ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 34/35 ASG Poj cie unkcji i podstawowe wªasno±ci 35/35
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowo3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.
WYKŁAD 7 3 Podstawowe własności unkcji Funkcje cklometrczne, hiperboliczne Deinicję unkcji o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mam w 3A5 3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna) Często się zdarza, że unkcja
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoOba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Bardziej szczegółowof(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 3 Funkcje 18 pa¹dziernika 2012 Deniowanie funkcji Funkcje caªkowite i cz ±ciowe Denicja wprost: f (x) = x + y f = λx. x + y Denicja warunkowa: { n/2, je±li n
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.
FUNKCJE Lekcja 61-6. Dziedzina i miejsce zerowe funkcji str. 140-14 Co to jest funkcja. Może przykłady. W matematyce funkcje najczęściej przedstawiamy za pomocą wzorów. Przykłady. Dziedzina to zbiór argumentów
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoZbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoMatematyka 1 (Wydziaª Architektury) Lista 1 - funkcje elmenetarne. 2. Rozwi za nast puj ce równania lub nierówno±ci:
Matematka (Wdziaª Architektur) Lista - funkcje elmenetarne UWAGA: Umiej tno±ci potrzebne do rozwi zwania zada«z tej list b d równie» niezb dne prz rozwi zwaniu wszstkich problemów matematcznch, z jakimi
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f
IMIE I NAZWISKO ZADANIE Poniżej znajduje się fragment wkresu funkcji = f (). -7 -- - - 6 7 Dorsuj brakujac a część wkresu wiedzac, że dziedzina funkcji f jest przedział,, a wkres jest smetrczn względem
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoSzkice rozwi za«zada«z egzaminu 1
Egzamin - szkic rozwi za«sem. zimowy 06/07 AM, Budownictwo, IL PW Szkice rozwi za«zada«z egzaminu. Poda denicj granicy oraz ci gªo±ci funkcji. Def. (Heinego) Liczb g nazywamy granic funkcji f : D R w unkcie
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoMatematyka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowych
Matematka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowch. Znale¹ ekstrema lokalne funkcji f(, ) = ( 2 + 2 2 )e (2 + 2 ) Odp. Jedno minimum (w p. (, )),
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszeo roku kierunku zamawianeo Biotecnoloia w ramac projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera pewna lokata
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMatematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 1 Pochodne cząstkowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tlko jedna jest prawdziwa). Ptanie 1 Funkcja dwóch zmiennch a)
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoFunkcje. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Funkcje Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Uzasadnij,»e równanie x 3 + 2x 2 3x = 6 ma dwa niewymierne pierwiastki. Funkcja f dana jest wzorem f (x) = 2x + 1. Rozwi» równanie f (x +
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoWielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowo( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb
Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego,
Bardziej szczegółowoFUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI
FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 7 Modele nieliniowe (7) Ekonometria 1 / 19 Plan wicze«1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 2 / 19 Plan prezentacji 1 Nieliniowo±
Bardziej szczegółowoFunkcje. Krzysztof Piszczek. Teoria
Funkcje Krzsztof Piszczek Teoria Definicja. Niech dane będą zbior X oraz Y. Funkcją f ze zbioru X do (w) zbiór Y nazwam przporządkowanie każdemu elementowi zbioru X jednego i tlko jednego elementu zbioru
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoKolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona
Kolokwium 3 0.0. Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e,
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoSemestr letni 2014/15
Wst p do arytmetyki modularnej zadania 1. Jaki dzie«tygodnia byª 17 stycznia 2003 roku, a jaki b dzie 23 sierpnia 2178 roku? 2. Jaki dzie«tygodnia byª 21 kwietnia 1952 roku? 3. W jaki dzie«odbyªa si bitwa
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoII. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
Bardziej szczegółowoFunkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowosin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),
WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPodzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska
Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Zasady zaliczenia przedmiotu Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to
Bardziej szczegółowoMierzalne liczby kardynalne
czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow
Bardziej szczegółowoi, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoBADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ
Bardziej szczegółowoFunkcje. Krzysztof Piszczek. Teoria
Funkcje Krzsztof Piszczek Teoria Definicja. Niech dane będą zbior X oraz Y. Funkcją f ze zbioru X do (w) zbiór Y nazwam przporządkowanie każdemu elementowi zbioru X jednego i tlko jednego elementu zbioru
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowo