II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2
|
|
|
- Rafał Czech
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 1 / 34
2 1 Funkcje logarytmiczne 2 Funkcje cyklometryczne 3 Dziedzina funkcji elementarnej - podsumowanie 4 Wklęsłość i wypukłość funkcji 5 Rzeczywiste funkcje nieelementarne 6 Funkcje wielu zmiennych - przykłady rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 2 / 34
3 Funkcje logarytmiczne Naturalnym przykładem funkcji odwrotnej jest funkcja logarytmiczna log a x, jako odwrotna do funkcji wykładniczej a x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 3 / 34
4 Funkcje logarytmiczne Naturalnym przykładem funkcji odwrotnej jest funkcja logarytmiczna log a x, jako odwrotna do funkcji wykładniczej a x. Powinni Państwo sobie przypomnieć wszystko o definicji, wykresie i własnościach (różnowartościowość, monotoniczność, dziedzina, zbiór wartości) funkcji logarytmicznej. Ponadto wzory związane z logarytmami (logarytm iloczynu, logarytm potęgi, wartość logarytmu w 1 i w a) oraz rozwiązywanie równań i nierówności logarytmicznych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 3 / 34
5 Liczba Eulera i logarytm naturalny Szczególną funkcją logarytmiczną jest ln x. ln, czyli logarytm naturalny, jest to logarytm, którego podstawą jest tzw. liczba Eulera - liczba niewymierna (tak jak π), oznaczana przez e 2, 72. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 4 / 34
6 Liczba Eulera i logarytm naturalny Szczególną funkcją logarytmiczną jest ln x. ln, czyli logarytm naturalny, jest to logarytm, którego podstawą jest tzw. liczba Eulera - liczba niewymierna (tak jak π), oznaczana przez e 2, 72. Wkrótce poznamy ciekawe - zarówno z punktu widzenia zarówno matematyki, jak i zastosowań, własności tej liczby, oraz funkcji e x i ln x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 4 / 34
7 Funkcje logarytmiczne - zastosowanie Zadanie Na lokacie o stopie procentowej 5% rocznie i kapitalizacji rocznej umieszczono 5000 PLN. Po ilu latach będzie można wyciągnąć z konta 8000 PLN? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 5 / 34
8 Funkcje logarytmiczne - zastosowanie Zadanie Na lokacie o stopie procentowej 5% rocznie i kapitalizacji rocznej umieszczono 5000 PLN. Po ilu latach będzie można wyciągnąć z konta 8000 PLN? Rozwiązanie: Kapitał K N po N latach na lokacie można obliczyć ze wzoru: K N = 5000 (1 + 0, 05) N. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 5 / 34
9 Funkcje logarytmiczne - zastosowanie Zadanie Na lokacie o stopie procentowej 5% rocznie i kapitalizacji rocznej umieszczono 5000 PLN. Po ilu latach będzie można wyciągnąć z konta 8000 PLN? Rozwiązanie: Kapitał K N po N latach na lokacie można obliczyć ze wzoru: K N = 5000 (1 + 0, 05) N. Zatem rozwiązujemy równanie 8000 = 5000(1, 05) N Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 5 / 34
10 Funkcje logarytmiczne - zastosowanie Zadanie Na lokacie o stopie procentowej 5% rocznie i kapitalizacji rocznej umieszczono 5000 PLN. Po ilu latach będzie można wyciągnąć z konta 8000 PLN? Rozwiązanie: Kapitał K N po N latach na lokacie można obliczyć ze wzoru: K N = 5000 (1 + 0, 05) N. Zatem rozwiązujemy równanie 8000 = 5000(1, 05) N 1, 6 = (1, 05) N Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 5 / 34
11 Funkcje logarytmiczne - zastosowanie Zadanie Na lokacie o stopie procentowej 5% rocznie i kapitalizacji rocznej umieszczono 5000 PLN. Po ilu latach będzie można wyciągnąć z konta 8000 PLN? Rozwiązanie: Kapitał K N po N latach na lokacie można obliczyć ze wzoru: K N = 5000 (1 + 0, 05) N. Zatem rozwiązujemy równanie 8000 = 5000(1, 05) N 1, 6 = (1, 05) N N = log 1,05 1, 6 9, 6. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 5 / 34
12 Funkcje logarytmiczne - zastosowanie Zadanie Na lokacie o stopie procentowej 5% rocznie i kapitalizacji rocznej umieszczono 5000 PLN. Po ilu latach będzie można wyciągnąć z konta 8000 PLN? Rozwiązanie: Kapitał K N po N latach na lokacie można obliczyć ze wzoru: K N = 5000 (1 + 0, 05) N. Zatem rozwiązujemy równanie 8000 = 5000(1, 05) N 1, 6 = (1, 05) N N = log 1,05 1, 6 9, 6. Stąd wniosek, że 8000 będzie na koncie dopiero po 10 latach (po 9 jest jeszcze za mało, a pomiędzy nie ma kapitalizacji). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 5 / 34
13 Odwracalność funkcji trygonometrycznych Generalnie, funkcje trygonometryczne nie są odwracalne: skoro są okresowe, nie mogą być różnowartościowe. Dlatego, zanim skonstruujemy funkcje odwrotne do nich, musimy zawęzić ich dziedziny. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 6 / 34
14 Odwracalność funkcji trygonometrycznych Generalnie, funkcje trygonometryczne nie są odwracalne: skoro są okresowe, nie mogą być różnowartościowe. Dlatego, zanim skonstruujemy funkcje odwrotne do nich, musimy zawęzić ich dziedziny. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 6 / 34
15 Konstrukcja funkcji arkus sinus Funkcją odwrotną do sin [ π/2,π/2] jest arc sin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 7 / 34
16 Konstrukcja funkcji arkus sinus Funkcją odwrotną do sin [ π/2,π/2] jest arc sin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ]. Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie z zasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyli arc sin x = y sin y = x y [ π 2, π 2 ]. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 7 / 34
17 Konstrukcja funkcji arkus sinus Na przykład arc sin( 1) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 8 / 34
18 Konstrukcja funkcji arkus sinus Na przykład arc sin( 1) = π 2, bo sin( π 2 ) = 1, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 8 / 34
19 Konstrukcja funkcji arkus sinus Na przykład arc sin( 1) = π 2, bo sin( π 2 ) = 1, arc sin 1 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 8 / 34
20 Konstrukcja funkcji arkus sinus Na przykład arc sin( 1) = π 2, bo sin( π 2 ) = 1, arc sin 1 2 = π 6, bo sin π 6 = 1 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 8 / 34
21 Konstrukcja funkcji arkus kosinus Funkcją odwrotną do cos [0,π] jest arc cos : [ 1, 1] [0, π]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 9 / 34
22 Konstrukcja funkcji arkus kosinus Funkcją odwrotną do cos [0,π] jest arc cos : [ 1, 1] [0, π]. Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie z zasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyli arc cos x = y cos y = x y [0, π]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 9 / 34
23 Konstrukcja funkcji arkus kosinus Funkcją odwrotną do cos [0,π] jest arc cos : [ 1, 1] [0, π]. Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie z zasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyli arc cos x = y cos y = x y [0, π]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 9 / 34
24 Konstrukcja funkcji arkus kosinus Na przykład arc cos( 1) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 10 / 34
25 Konstrukcja funkcji arkus kosinus Na przykład arc cos( 1) = π, bo cos π = 1, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 10 / 34
26 Konstrukcja funkcji arkus kosinus Na przykład arc cos( 1) = π, bo cos π = 1,arc cos 1 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 10 / 34
27 Konstrukcja funkcji arkus kosinus Na przykład arc cos( 1) = π, bo cos π = 1,arc cos 1 2 = π 3, bo cos π 3 = 1 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 10 / 34
28 Konstrukcja funkcji arkus tangens Funkcją odwrotną do tg ( π/2,π/2) jest arctg : R ( π 2, π 2 ) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 11 / 34
29 Konstrukcja funkcji arkus tangens Funkcją odwrotną do tg ( π/2,π/2) jest arctg : R ( π 2, π 2 ) Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie z zasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyli arctg x = y tg y = x y ( π 2, π 2 ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 11 / 34
30 Konstrukcja funkcji arkus tangens Funkcją odwrotną do tg ( π/2,π/2) jest arctg : R ( π 2, π 2 ) Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie z zasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyli arctg x = y tg y = x y ( π 2, π 2 ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 11 / 34
31 Konstrukcja funkcji arkus tangens Na przykład arctg( 1) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 12 / 34
32 Konstrukcja funkcji arkus tangens Na przykład arctg( 1) = π 4, bo tg( π 4 ) = 1, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 12 / 34
33 Konstrukcja funkcji arkus tangens Na przykład arctg( 1) = π 4, bo tg( π 4 ) = 1,arctg 3 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 12 / 34
34 Konstrukcja funkcji arkus tangens Na przykład arctg( 1) = π 4, bo tg( π 4 ) = 1,arctg 3 = π 3, bo tg π 3 = 3. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 12 / 34
35 Funkcja arctg - potencjalne zastosowania Funkcja arctg jest o tyle ciekawa, że choć jest stale rosnąca, to nie rośnie do nieskończoności, lecz jest ograniczona od góry. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 13 / 34
36 Funkcja arctg - potencjalne zastosowania Funkcja arctg jest o tyle ciekawa, że choć jest stale rosnąca, to nie rośnie do nieskończoności, lecz jest ograniczona od góry. Dlatego np. lepiej niż funkcja wykładnicza nadawałaby się do ulepszonego modelu Malthusa jako model wzrostu populacji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 13 / 34
37 Konstrukcja funkcji arkus kotangens Funkcją odwrotną do ctg (0,π) jest arcctg : R (0, π) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 14 / 34
38 Konstrukcja funkcji arkus kotangens Funkcją odwrotną do ctg (0,π) jest arcctg : R (0, π) Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie z zasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyli arcctg x = y ctg y = x y (0, π). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 14 / 34
39 Konstrukcja funkcji arkus kotangens Funkcją odwrotną do ctg (0,π) jest arcctg : R (0, π) Wartość tej funkcji w danym punkcie można obliczyć zgodnie z zasadami obliczania wartości funkcji odwrotnej, czyli arcctg x = y ctg y = x y (0, π). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 14 / 34
40 Konstrukcja funkcji arkus kotangens Na przykład arcctg( 1) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 15 / 34
41 Konstrukcja funkcji arkus kotangens Na przykład arcctg( 1) = 3π 4, bo ctg 3π 4 = 1, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 15 / 34
42 Konstrukcja funkcji arkus kotangens Na przykład arcctg( 1) = 3π 4, bo ctg 3π 4 = 1,arcctg 3 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 15 / 34
43 Konstrukcja funkcji arkus kotangens Na przykład arcctg( 1) = 3π, bo ctg 3π 4 4 ctg π = 3. 6 = 1,arcctg 3 = π 6, bo rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 15 / 34
44 Własności funkcji cyklometrycznych Funkcje arkus, czyli odwrotne do trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi. Warto zapamiętać ich następujące własności: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 16 / 34
45 Własności funkcji cyklometrycznych Funkcje arkus, czyli odwrotne do trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi. Warto zapamiętać ich następujące własności: Dziedzina: Dla funkcji arctg i arcctg dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a dziedziną arc sin i arc cos jest zbiór [ 1, 1]. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 16 / 34
46 Własności funkcji cyklometrycznych Funkcje arkus, czyli odwrotne do trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi. Warto zapamiętać ich następujące własności: Dziedzina: Dla funkcji arctg i arcctg dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a dziedziną arc sin i arc cos jest zbiór [ 1, 1]. Zbiór wartości: Dla funkcji arc sin zbiorem wartości jest [ π, π], 2 2 dla funkcji arc cos zbiorem wartości jest [0, π], dla arctg zbiorem wartości jest ( π, π ), dla arcctg zbiorem wartości jest (0, π). 2 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 16 / 34
47 Własności funkcji cyklometrycznych Funkcje arkus, czyli odwrotne do trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi. Warto zapamiętać ich następujące własności: Dziedzina: Dla funkcji arctg i arcctg dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a dziedziną arc sin i arc cos jest zbiór [ 1, 1]. Zbiór wartości: Dla funkcji arc sin zbiorem wartości jest [ π, π], 2 2 dla funkcji arc cos zbiorem wartości jest [0, π], dla arctg zbiorem wartości jest ( π, π ), dla arcctg zbiorem wartości jest (0, π). 2 2 Funkcje arc sin i arctg są nieparzyste. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 16 / 34
48 Własności funkcji cyklometrycznych Funkcje arkus, czyli odwrotne do trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi. Warto zapamiętać ich następujące własności: Dziedzina: Dla funkcji arctg i arcctg dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a dziedziną arc sin i arc cos jest zbiór [ 1, 1]. Zbiór wartości: Dla funkcji arc sin zbiorem wartości jest [ π, π], 2 2 dla funkcji arc cos zbiorem wartości jest [0, π], dla arctg zbiorem wartości jest ( π, π ), dla arcctg zbiorem wartości jest (0, π). 2 2 Funkcje arc sin i arctg są nieparzyste. Funkcje arc sin i arctg są rosnące, a arc cos i arcctg są malejące w swojej dziedzinie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 16 / 34
49 Własności funkcji cyklometrycznych Funkcje arkus, czyli odwrotne do trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi. Warto zapamiętać ich następujące własności: Dziedzina: Dla funkcji arctg i arcctg dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a dziedziną arc sin i arc cos jest zbiór [ 1, 1]. Zbiór wartości: Dla funkcji arc sin zbiorem wartości jest [ π, π], 2 2 dla funkcji arc cos zbiorem wartości jest [0, π], dla arctg zbiorem wartości jest ( π, π ), dla arcctg zbiorem wartości jest (0, π). 2 2 Funkcje arc sin i arctg są nieparzyste. Funkcje arc sin i arctg są rosnące, a arc cos i arcctg są malejące w swojej dziedzinie. Wszystkie te funkcje są różnowartościowe (więc są bijekcjami na swój obraz) i odwracalne. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 16 / 34
50 Równości cyklometryczne Dodatkowo mamy przydatne równości: Równości cyklometryczne arc sin x + arc cos x = π 2 ; arctg x + arcctg x = π 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 17 / 34
51 Dziedzina - wstęp Wszystkie do tej pory przedstawione funkcje rzeczywiste oraz ich sumy, iloczyny, złożenia itp. są tzw. funkcjami elementarnymi. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 18 / 34
52 Dziedzina - wstęp Wszystkie do tej pory przedstawione funkcje rzeczywiste oraz ich sumy, iloczyny, złożenia itp. są tzw. funkcjami elementarnymi. Dużą część kursu analizy przeznaczymy na metody badania zachowania się takich funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 18 / 34
53 Dziedzina - wstęp Wszystkie do tej pory przedstawione funkcje rzeczywiste oraz ich sumy, iloczyny, złożenia itp. są tzw. funkcjami elementarnymi. Dużą część kursu analizy przeznaczymy na metody badania zachowania się takich funkcji. Prawie zawsze (a przynajmniej, jeśli nie jest powiedziane inaczej), takie badanie musi być poprzedzone obliczeniem dziedziny odpowiedniej funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 18 / 34
54 Badanie dziedziny - kryteria Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniu dziedziny: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 19 / 34
55 Badanie dziedziny - kryteria Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniu dziedziny: Ułamki (mogą być zakamuflowane jako funkcje potęgowe ujemnych stopni). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 19 / 34
56 Badanie dziedziny - kryteria Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniu dziedziny: Ułamki (mogą być zakamuflowane jako funkcje potęgowe ujemnych stopni). Pierwiastki parzystych stopni lub funkcje potęgowe o parzystych mianownikach wykładników. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 19 / 34
57 Badanie dziedziny - kryteria Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniu dziedziny: Ułamki (mogą być zakamuflowane jako funkcje potęgowe ujemnych stopni). Pierwiastki parzystych stopni lub funkcje potęgowe o parzystych mianownikach wykładników. Funkcje trygonometryczne (tangens i kotangens). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 19 / 34
58 Badanie dziedziny - kryteria Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniu dziedziny: Ułamki (mogą być zakamuflowane jako funkcje potęgowe ujemnych stopni). Pierwiastki parzystych stopni lub funkcje potęgowe o parzystych mianownikach wykładników. Funkcje trygonometryczne (tangens i kotangens). Funkcje logarytmiczne. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 19 / 34
59 Badanie dziedziny - kryteria Podsumujmy zatem, na co musimy zwracać uwagę, przy badaniu dziedziny: Ułamki (mogą być zakamuflowane jako funkcje potęgowe ujemnych stopni). Pierwiastki parzystych stopni lub funkcje potęgowe o parzystych mianownikach wykładników. Funkcje trygonometryczne (tangens i kotangens). Funkcje logarytmiczne. Funkcje cyklometryczne (arkus sinus i arkus kosinus). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 19 / 34
60 Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34
61 Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34
62 Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34
63 Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1 zatem musi być x + 1 0, czyli x 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34
64 Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1 zatem musi być x + 1 0, czyli x 1. Następnie widzimy logarytm: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34
65 Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1 zatem musi być x + 1 0, czyli x 1. Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1 x, zatem 1 x > 0, czyli x < 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34
66 Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1 zatem musi być x + 1 0, czyli x 1. Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1 x, zatem 1 x > 0, czyli x < 1. W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34
67 Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1 zatem musi być x + 1 0, czyli x 1. Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1 x, zatem 1 x > 0, czyli x < 1. W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1 x) 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34
68 Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1 zatem musi być x + 1 0, czyli x 1. Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1 x, zatem 1 x > 0, czyli x < 1. W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1 x) 0,stąd ln(1 x) ln 1, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34
69 Badanie dziedziny - przykład Uwzględniając dziedziny tych funkcji, możemy sobie poradzić z dziedziną nawet bardzo złożonej funkcji. Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Najpierw zwracamy uwagę na ułamek: w mianowniku mamy x + 1 zatem musi być x + 1 0, czyli x 1. Następnie widzimy logarytm: pod logarytmem mamy 1 x, zatem 1 x > 0, czyli x < 1. W kolejnym kroku sprawdzamy pierwiastek kwadratowy: wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne. Zatem ln(1 x) 0,stąd ln(1 x) ln 1,czyli (na podstawie faktu, że ln jest funkcją rosnącą) 1 x 1, czyli x 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 20 / 34
70 Badanie dziedziny - przykład Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Wiemy już, że x 1, x < 1, x 0. Do rozważenia pozostał jeszcze arc sin. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 21 / 34
71 Badanie dziedziny - przykład Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Wiemy już, że x 1, x < 1, x 0. Do rozważenia pozostał jeszcze arc sin. Argumenty arc sin są z przedziału [ 1, 1] zatem musimy rozwiązać 1 ln(1 x) 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 21 / 34
72 Badanie dziedziny - przykład Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Wiemy już, że x 1, x < 1, x 0. Do rozważenia pozostał jeszcze arc sin. Argumenty arc sin są z przedziału [ 1, 1] zatem musimy rozwiązać 1 ln(1 x) 1. Pierwiastek kwadratowy (jeśli ma sens) jest zawsze większy od 1, zatem rozważamy tylko ln(1 x) 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 21 / 34
73 Badanie dziedziny - przykład Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Wiemy już, że x 1, x < 1, x 0. Do rozważenia pozostał jeszcze arc sin. Argumenty arc sin są z przedziału [ 1, 1] zatem musimy rozwiązać 1 ln(1 x) 1. Pierwiastek kwadratowy (jeśli ma sens) jest zawsze większy od 1, zatem rozważamy tylko ln(1 x) 1. Z monotoniczności pierwiastka mamy ln(1 x) 1, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 21 / 34
74 Badanie dziedziny - przykład Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Wiemy już, że x 1, x < 1, x 0. Do rozważenia pozostał jeszcze arc sin. Argumenty arc sin są z przedziału [ 1, 1] zatem musimy rozwiązać 1 ln(1 x) 1. Pierwiastek kwadratowy (jeśli ma sens) jest zawsze większy od 1, zatem rozważamy tylko ln(1 x) 1. Z monotoniczności pierwiastka mamy ln(1 x) 1,a z monotoniczności logarytmu 1 x e, czyli x 1 e. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 21 / 34
75 Badanie dziedziny - przykład Zadanie Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = arc sin ln(1 x) x+1. Wiemy już, że x 1, x < 1, x 0. Do rozważenia pozostał jeszcze arc sin. Argumenty arc sin są z przedziału [ 1, 1] zatem musimy rozwiązać 1 ln(1 x) 1. Pierwiastek kwadratowy (jeśli ma sens) jest zawsze większy od 1, zatem rozważamy tylko ln(1 x) 1. Z monotoniczności pierwiastka mamy ln(1 x) 1,a z monotoniczności logarytmu 1 x e, czyli x 1 e. Podsumowując wszystkie założenia o x jakie znaleźliśmy otrzymujemy D f = [1 e, 0] \ { 1}. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 21 / 34
76 Wklęsłość i wypukłość - definicja Kolejna, bardzo istotna w modelowaniu matematycznym zagadnień ekonomicznych własność to wypukłość/wklęsłość. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 22 / 34
77 Wklęsłość i wypukłość - definicja Kolejna, bardzo istotna w modelowaniu matematycznym zagadnień ekonomicznych własność to wypukłość/wklęsłość. Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 22 / 34
78 Wklęsłość i wypukłość - definicja Kolejna, bardzo istotna w modelowaniu matematycznym zagadnień ekonomicznych własność to wypukłość/wklęsłość. Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) > αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 22 / 34
79 Wklęsłość i wypukłość - definicja Kolejna, bardzo istotna w modelowaniu matematycznym zagadnień ekonomicznych własność to wypukłość/wklęsłość. Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) > αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Jeśli w powyższych definicjach mamy do czynienia ze słabymi nierównościami, mówimy o słabej wypukłości/wklęsłości. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 22 / 34
80 Wklęsłość i wypukłość - interpretacja geometryczna Dla funkcji wypukłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży ponad wykresem. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 23 / 34
81 Wklęsłość i wypukłość - interpretacja geometryczna Dla funkcji wypukłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży ponad wykresem. Dla funkcji wklęsłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży pod wykresem. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 23 / 34
82 Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 24 / 34
83 Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: otóż wypukłość oznacza, że funkcja ma tendencję wzrostową, a wklęsłość, że ma tendencję spadkową. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 24 / 34
84 Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: otóż wypukłość oznacza, że funkcja ma tendencję wzrostową, a wklęsłość, że ma tendencję spadkową. Innymi słowy: jeśli funkcja jest rosnąca i wypukła, to znaczy, że rośnie coraz szybciej, jeśli jest rosnąca i wklęsła, to rośnie coraz wolniej, jeśli jest malejąca i wypukła to maleje coraz wolniej, a jeśli jest malejąca i wklęsła to maleje coraz szybciej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 24 / 34
85 Wklęsłość i wypukłość - przykłady f (x) = x 2 jest wypukła w całej dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 25 / 34
86 Wklęsłość i wypukłość - przykłady f (x) = x 2 jest wypukła w całej dziedzinie. f (x) = x jest wklęsła w całej dziedzinie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 25 / 34
87 Wklęsłość i wypukłość - przykłady f (x) = x 3 jest wklęsła w (, 0], wypukła w [0, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 26 / 34
88 Wklęsłość i wypukłość - przykłady f (x) = x 3 jest wklęsła w (, 0], wypukła w [0, + ). Punkt zmiany funkcji wypukłej we wklęsłą (lub na odwrót) - w tym przypadku x = 0 nazywa się punktem przegięcia. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 26 / 34
89 Funkcje elementarne i wklęsłość/wypukłość rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 27 / 34
90 Funkcje elementarne i wklęsłość/wypukłość Jeśli funkcja f jest wypukła, to funkcja ( f ) jest wklęsła. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 27 / 34
91 Funkcje elementarne i wklęsłość/wypukłość Jeśli funkcja f jest wypukła, to funkcja ( f ) jest wklęsła. Wielomiany i funkcje wymierne nie są zazwyczaj wklęsłe ani wypukłe w całej dziedzinie (jedynie przedziałami), choć czasem się to zdarza (x 2 ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 27 / 34
92 Funkcje elementarne i wklęsłość/wypukłość Jeśli funkcja f jest wypukła, to funkcja ( f ) jest wklęsła. Wielomiany i funkcje wymierne nie są zazwyczaj wklęsłe ani wypukłe w całej dziedzinie (jedynie przedziałami), choć czasem się to zdarza (x 2 ). Funkcje wykładnicze są wypukłe. Funkcje logarytmiczne są wklęsłe, jeśli podstawa logarytmu jest większa od 1, a w przeciwnym wypadku są wypukłe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 27 / 34
93 Funkcje elementarne i wklęsłość/wypukłość Jeśli funkcja f jest wypukła, to funkcja ( f ) jest wklęsła. Wielomiany i funkcje wymierne nie są zazwyczaj wklęsłe ani wypukłe w całej dziedzinie (jedynie przedziałami), choć czasem się to zdarza (x 2 ). Funkcje wykładnicze są wypukłe. Funkcje logarytmiczne są wklęsłe, jeśli podstawa logarytmu jest większa od 1, a w przeciwnym wypadku są wypukłe. Funkcje cyklometryczne i trygonometryczne nie są wklęsłe ani wypukłe w całej dziedzinie (jedynie przedziałami). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 27 / 34
94 Wklęsłość/wypukłość - znaczenie ekonomiczne Warunek wypukłości pojawia się często w modelach ekonomicznych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 28 / 34
95 Wklęsłość/wypukłość - znaczenie ekonomiczne Warunek wypukłości pojawia się często w modelach ekonomicznych. Zazwyczaj, dla funkcji rosnących, zakłada się, że są one wypukłe, jeśli są niekorzystne (np. często funkcja kosztu wydobycia surowców) i wklęsłe, jeśli są korzystne (funkcja przychodu od nakładów). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 28 / 34
96 Wklęsłość/wypukłość - znaczenie ekonomiczne Warunek wypukłości pojawia się często w modelach ekonomicznych. Zazwyczaj, dla funkcji rosnących, zakłada się, że są one wypukłe, jeśli są niekorzystne (np. często funkcja kosztu wydobycia surowców) i wklęsłe, jeśli są korzystne (funkcja przychodu od nakładów). Wynika to z różnych ekonomicznych praw takich jak prawo malejącej użyteczności krańcowej, prawo malejącej produktywności krańcowej itp. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 28 / 34
97 Sklejenia funkcji Najbardziej popularne (i chyba jedyne pojawiające się na tym kursie) funkcje, które nie są ani funkcjami elementarnymi, ani nie powstają za pomocą przedstawionych w podrozdziale VI działań na funkcjach, to tzw. sklejenia funkcji, które polegają na tym, że funkcja jest zdefiniowana różnymi wzorami elementarnymi na różnych przedziałach. Czasem funkcje tego typu są na tyle użyteczne, że uzyskują własne oznaczenie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 29 / 34
98 Wartość bezwzględna i signum f (x) = x : funkcja modułu (wartości bezwzględnej). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 30 / 34
99 Wartość bezwzględna i signum f (x) = x : funkcja modułu (wartości bezwzględnej). g(x) = sgn x: funkcja signum (wartość 1 dla liczb dodatnich, 1 dla ujemnych i 0 w zerze). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 30 / 34
100 Funkcje wielu zmiennych Żeby Państwa nie przyzwyczajać zanadto do myśli, że wszystkie funkcje muszą zależeć od jednej zmiennej, przedstawię kilka przykładów, że tak nie jest. W istocie, nieczęsto się zdarza, by jakiekolwiek zjawisko, ekonomiczne, czy inne, było zależne tylko od jednego bodźca. Dlatego używanie funkcji wielu zmiennych jest często konieczne, by stworzyć właściwy model. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 31 / 34
101 Kanoniczny iloczyn skalarny Zapewne pojawił się już na wykładzie z algebry. Kanoniczny iloczyn skalarny Rozważmy dwa wektory w przestrzeni R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) i y = (y 1, y 2,..., y n ). Definiujemy odwzorowanie <, >: R n R n R zdefiniowane wzorem < x, y >= x 1 y 1 + x 2 y x n y n nazywamy kanonicznym iloczynem skalarnym. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 32 / 34
102 Kanoniczny iloczyn skalarny w ekonomii Iloczyn skalarny jest często wykorzystywany w ekonomii. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 33 / 34
103 Kanoniczny iloczyn skalarny w ekonomii Iloczyn skalarny jest często wykorzystywany w ekonomii. Najbardziej trywialna interpretacja, to wartość koszyka dóbr. Załóżmy, że pewien gracz rynkowy posiada następujące zasoby: x 1 jednostek dobra 1, x 2 jednostek dobra 2 itd. (liczby te mogą być ujemne, gdyż uwzględniamy możliwe zadłużenie). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 33 / 34
104 Kanoniczny iloczyn skalarny w ekonomii Iloczyn skalarny jest często wykorzystywany w ekonomii. Najbardziej trywialna interpretacja, to wartość koszyka dóbr. Załóżmy, że pewien gracz rynkowy posiada następujące zasoby: x 1 jednostek dobra 1, x 2 jednostek dobra 2 itd. (liczby te mogą być ujemne, gdyż uwzględniamy możliwe zadłużenie). Ceny tych dóbr to: y 1 za jednostkę dobra 1, y 2 za jednostkę dobra 2 itd. (ceny mogą być ujemne, jeśli dobro jest niepożądane np. odpady produkcyjne). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 33 / 34
105 Kanoniczny iloczyn skalarny w ekonomii Iloczyn skalarny jest często wykorzystywany w ekonomii. Najbardziej trywialna interpretacja, to wartość koszyka dóbr. Załóżmy, że pewien gracz rynkowy posiada następujące zasoby: x 1 jednostek dobra 1, x 2 jednostek dobra 2 itd. (liczby te mogą być ujemne, gdyż uwzględniamy możliwe zadłużenie). Ceny tych dóbr to: y 1 za jednostkę dobra 1, y 2 za jednostkę dobra 2 itd. (ceny mogą być ujemne, jeśli dobro jest niepożądane np. odpady produkcyjne). Wtedy wartość wszystkich zasobów gracza rynkowego (jego koszyka dóbr) wynosi < x, y >. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 33 / 34
106 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa Funkcje Cobba-Douglasa oryginalnie dotyczyły relacji między produkcją, a jej nakładami: kapitałem i pracą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 34 / 34
107 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa Funkcje Cobba-Douglasa oryginalnie dotyczyły relacji między produkcją, a jej nakładami: kapitałem i pracą. Są one postaci: F (K, L) = ak α L β, gdzie K to nakład kapitału, a L to nakład pracy prowadzące do wyprodukowania F (K, L) jednostek produktu. a, α i β są liczbami rzeczywistymi. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 34 / 34
108 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa Funkcje Cobba-Douglasa oryginalnie dotyczyły relacji między produkcją, a jej nakładami: kapitałem i pracą. Są one postaci: F (K, L) = ak α L β, gdzie K to nakład kapitału, a L to nakład pracy prowadzące do wyprodukowania F (K, L) jednostek produktu. a, α i β są liczbami rzeczywistymi. Jak widać: F : R + R + R. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 34 / 34
109 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa Funkcje Cobba-Douglasa oryginalnie dotyczyły relacji między produkcją, a jej nakładami: kapitałem i pracą. Są one postaci: F (K, L) = ak α L β, gdzie K to nakład kapitału, a L to nakład pracy prowadzące do wyprodukowania F (K, L) jednostek produktu. a, α i β są liczbami rzeczywistymi. Jak widać: F : R + R + R. Obecnie funkcje tej postaci rozważa się w wielu kontekstach, niekoniecznie związanych z nakładami pracy i kapitału oraz produkcją. Często też uogólnia się tę funkcję na więcej niż dwie zmienne. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 34 / 34
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty
Wstęp do analizy i algebry - II. Funkcje: podstawowe własności i przegląd funkcji elementarnych I. Funkcje - definicja, dziedzina, przeciwdziedzina, wykres, funkcje w ekonomii Matematyka pozwala nam opisywać
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu
3.Funkcje elementarne - przypomnienie
3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje
1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Funkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej
Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest
Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.
1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Repetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane
Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
7. Funkcje elementarne i ich własności.
Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne
Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
![Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )](/thumbs/62/48086093.jpg "Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )")
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje
Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Pochodna i jej zastosowania
Pochodna i jej zastosowania Andrzej Musielak Str Pochodna i jej zastosowania Definicja pochodnej f( Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu 0 jeśli istnieje skończona granica 0+h)
Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
TRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych
TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane
Rozdział 2. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej
Rozdział. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Rodzaje funkcji elementarnych Kiedy mamy do czynienia z pojęciem funkcji? Każdy używany samochód ma swój nr rejestracyjny. Oczywiście niektóre tablice rejestracyjne
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania
Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Literatura podstawowa
1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Analiza matematyczna - 1. Granice
Analiza matematyczna - Granice Celem tej części wykładu jest uściślenie, co rozumiemy przez stwierdzenie, że jakaś zmienna ekonomiczna zachowuje się w pewien sposób w przybliżeniu bądź w granicy Przykład
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, Pochodna funkcji
SIMR 03/4, Analiza, wykład 5, 0--6 Pocodna funkcji Definicja: Niec będzie dana funkcja f : D R oraz punkt intd. Wtedy pocodną funkcji f w punkcie nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona): f f(
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy
Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic
1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji -
Funkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska
Dr Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska Definicja Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy relację, która każdemu elementowi x X przyporzadkowuje dokładnie jeden element y Y.
Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Zajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Funkcje. Część pierwsza. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Funkcje Część pierwsza Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? Funkcja dla każdego argumentu ma określoną dokładnie jedną
Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 09 Spis treści Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina Wykres funkcji Przekształcanie wykresów funkcji Sposoby zadawania
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x
Funkcją sinus kąta α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, i opisujemy jako:
1. Trygonometria 1.1Wprowadzenie Jednym z podstawowych działów matematyki który wykorzystywany jest w rozwiązywaniu problemów technicznych jest trygonometria. W szkole średniej wprowadzone zostały podstawowe
W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 09 Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autor: Anna
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.
MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)
Rozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Ćwiczenia z matematyki. Zeszyt 1 Funkcje i ciągi liczbowe
Ćwiczenia z matematyki Janusz Górczyński Zeszyt Funkcje i ciągi liczbowe Zeszyt ten jest pierwszą pozycją w serii materiałów dydaktycznych Ćwiczenia z matematyki W najbliższym czasie ukażą się kolejne
Podstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań