< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

Transkrypt

1 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że ( lub < ) Nieprawda, że ( > i ) < 5 5 > 7 5 > < 6 > 9 Zdanie p jest prawdziwe Ocenić wartość logiczną zdania: 7 (q r) p 8 p (q p) 9 p ( p q) 0 q (p q) Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: x R x = x x R x = x x N x = x R x > 0 Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory działania i własności Wzory skróconego mnożenia Procenty Wartość bezwzględna Iloczyn kartezjański zbiorów Obliczyć: 5 (5 6 + ) : ( ) (8 7 8 ) 8 0,5 + 0, 0, + 9,, 6 ( 8 :, 5 9 ) Daną liczbę zapisać jako potęgę liczby : ,5 ( ) ( 8 ) [ 9 + ( ) ][ 9 ( ) ] ( 6 ) 8 Obliczyć wartość wyrażenia: 9 + x x dla x = 0 a a + dla a = + Rozłożyć wyrażenie na czynniki: a + a 6 b 6 a 8 b 8 Usunąć niewymierność z mianownika: Uprościć wyrażenie: a a 9 0 a b a+b a +b a b x x +y y(x y) x y Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05

2 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Obliczyć: [a b(ab ) (a ) ] dla a =, b = ( a) ( + a) (a+ ab) a+ b, jeżeli a = Zapisać za pomocą przedziału lub sumy przedziałów zbiór: A = {x R : x < x } 5 B = {x R : x > 0 x < } 6 C = {x R : x > x > } 7 D = R \ [0, ) Wypisać wszystkie elementy zbioru: 8 A = {x N : x < 5 } 9 B = {x Z : x < } Wyznaczyć zbiory A B, A B, A \ B, B \ A jeżeli: 50 A = {x N : x < 5}, B = {x Z : x C 5 } 5 A = {, 5, 7, 8, 9}, B = {, 5, 7, 0} 5 A = N, B = Dane są zbiory A = {x R : x > }, B = (, 0) [, ) Wyznaczyć zbiór: 5 R \ B 5 A B 55 A B 56 A \ B 57 B \ A 58 A B Dane są zbiory A = {x R : x }, B = (, ] [, ) Wyznaczyć zbiór: 59 A B 60 A B 6 A \ B 6 B \ A 6 A B 6 A B Rozwiązać równanie: 65 x = 66 5 x + 6 = 0 67 x + = 0 Rozwiązać nierówność: 68 x 69 x 70 x 0 Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05

3 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Własności funkcji Na podstawie wykresu funkcji f opisać jej własności, takie jak: a) dziedzina, zbiór wartości, b) miejsca zerowe, c) monotoniczność, d) parzystość, nieparzystość, 7 e) różnowartościowość, f) okresowość, g) najmniejsza i największa wartość Na podstawie wykresu funkcji f, wyznaczyć te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości: Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05

4 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 77 ujemne 78 dodatnie Na podstawie wykresu funkcji f znaleźć rozwiązania nierówności: 79 f(x) < 0 80 f(x) 0 8 Narysować schematycznie wykres funkcji: a) parzystej o zbiorze wartości [, ] b) nieparzystej ograniczonej z góry i z dołu c) parzystej i jednocześnie nieparzystej d) nieparzystej, ale niemonotonicznej e) parzystej o dokładnie jednym miejscu zerowym f) parzystej o największej wartości, a najmniejszej g) okresowej o zbiorze wartości [0, ] h) ściśle rosnącej o zbiorze wartości [0, ] Na podstawie definicji ustalić, które z podanych funkcji są parzyste, a które nieparzyste: 8 f(x) = x + x x 8 f(x) = x x 8 f(x) = x x + x x + x+ x+ 85 f(x) = x(+x ) x Sprawdzić, czy poniższe funkcje są różnowartościowe: 86 f : R R, f(x) = x 87 f : R R, f(x) = x + Złożenie funkcji Funkcja odwrotna 88 Naszkicować wykres funkcji, a następnie na ten sam obrazek nanieść przybliżony wykres funkcji do niej odwrotnej Co to za funkcja? a) f(x) = x + b) f(x) = x + c) f(x) = x, x R + {0} d) f(x) = x e) f(x) = x / f) f(x) = x g) f(x) = 89 Niech h = g f, gdzie f(x) = x, g(x) = x + Obliczyć h(5) 90 Niech h = g f, gdzie f(x) = x +, g(x) = + x Obliczyć h( ) 9 Niech h = g f, gdzie f(x) = x, g(x) = x + Obliczyć h( 6) 9 Niech f, g : [, + ) [, + ), f(x) = x x +, g(x) = + x Dla x [, + ) wyznaczyć g(f(x)), f(g(x)) Czy funkcja f jest funkcją odwrotną do g? 9 Niech f, g : R R, f(x) = x + 6, g(x) = x Dla x R wyznaczyć g(f(x)), f(g(x)) Czy funkcja f jest funkcją odwrotną do g? Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05

5 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 5 Przekształcenia wykresów funkcji Na podstawie wykresu funkcji f naszkicować wykres funkcji: 9 g(x) = f(x + ) + 95 g(x) = f( x) 96 g(x) = f(x) 97 g(x) = f( x) 98 g(x) = f( x ) 99 g(x) = f(x) 00 Na jednym obrazku naszkicować wykresy funkcji, rozkładając je na złożenie funkcji elementarnych, według schematu: a) f(x) = x + ; b) f(x) = (x + ) ; c) f(x) = ( x + ) ; d) f(x) = x ; e) f(x) = x ; f) f(x) = x + ; g) f(x) = x + ; f(x) = x + : x x x + x + h) f(x) = x + ; i) f(x) = x ; j) f(x) = (x ) ; ( ) k) f(x) = ; x l) f(x) = + x; m) f(x) = x + 6 Funkcja liniowa Narysować wykres funkcji: 0 f(x) = x + 0 f(x) = x 0 f(x) = x 0 f(x) = x + x + 05 f(x) = x + x 06 f(x) = x + x + Rozwiązać równanie: 07 x + 0, = 0, 7x 5 08 x = x 09 0, 95x + =, 7 0 x + = x + x = x x + x = 5 x + = Rozwiązać nierówność: x > x + 6 x x + 0, 0, 5x 7 x + x 8 x + x > 9 x + + x 6 Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 5

6 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Rozwiązać układ równań: 0 { x y = x +9y = { 5x 6y = 0x +y = { x + y = x y = { x + y = x y = 5 { x = y x + y = 5 { x y = x + y = Rozwiązać algebraicznie i graficznie układ równań: 6 { x y = x + y = 7 { x y = x +y = 7 Geometria analityczna na płaszczyźnie 7 Punkt Obliczyć odległość punktów A i B, jeżeli: 8 A(7, ), B(, 7) 9 A( 0, 5), B(, 0) 0 A(, ), B(, 5) Wyznaczyć pole kwadratu ABCD, jeśli A(, ) i B(, ) Wyznaczyć pole kwadratu ABCD, jeśli A(, ) i C(, ) Na osi OX znaleźć punkt oddalony od punktu A(, ) o Na osi OY znaleźć punkt równo oddalony od początku układu i od punktu A(, 8) 5 Dla jakich wartości parametru m punkt A(m, 0) jest oddalony od punktu B(, ) o? 6 Wyznaczyć współrzędne środka odcinka AB, jeśli A(, 5) i B(, ) 7 Wyznaczyć współrzędne punktu B, jeśli A(, 6) i środek odcinka AB to punkt S(6, ) Dane są punkty A(, ) i B(, ) Wyznaczyć: 8 punkt symetryczny do A względem punktu B 9 punkt symetryczny do B względem punktu A 0 Punkty A(, ), B(, 5), C(, ), D(0, 0) są wierzchołkami kwadratu Wyznaczyć współrzędne środka symetrii kwadratu oraz obliczyć długość boku kwadratu Punkty A(0, 0), B(, ), C(a, b), D(, ) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku Wyznaczyć współrzędne wierzchołka C 7 Prosta Które z punktów A(, ), B(, ), C(, ) leżą na prostej x + y = 0? Wyznaczyć punkty przecięcia prostej x + y = 0 z osiami układu współrzędnych Dla jakich wartości parametru m prosta mx y + = 0 jest równoległa do osi OX? 5 Dla jakich wartości parametru m prosta x my + = 0 jest równoległa do osi OY? 6 Dla jakich wartości współczynników A i B prosta Ax + By + = 0 tworzy z osią OX kąt 5? 7 Przez punkt A(, 6) poprowadzić prostą odcinającą na osiach odcinki jednakowej długości 8 Przez punkt A(, ) przeprowadzić prostą tak, by punkt A był środkiem odcinka zawartego między prostymi y = x i y = x 9 Przez punkt A(, ) poprowadzić prostą równoległą do prostej x + y + = 0 50 Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(, ) i prostopadłej do prostej x + y 0 = 0 5 Znaleźć punkt symetryczny do A(, ) względem prostej x + y = 0 Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 6

7 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 5 Dla jakiej wartości parametru m proste (m )x + my 5 = 0, mx + (m )y 0 = 0 przecinają się w punkcie położonym na osi OX? 5 Wyznaczyć kąt między prostymi: x + y = 0, x y = 0 5 Wyznaczyć równania prostych przechodzących przez punkt (, ) i tworzących kąty 5 z prostą x y 6 = 0 55 Dany jest wierzchołek kwadratu A(, ) i jedna z jego przekątnych y = x Wyznaczyć równania boków kwadratu 56 Wyznaczyć odległość punktu A(, ) od prostej 8x 6y + 5 = 0 57 Przez początek układu współrzędnych poprowadzić prostą oddaloną od punktu (, ) o 5 58 Dla jakiej wartości m odległość punktu (, ) od prostej x + y m = 0 wynosi? 7 Okrąg 59 Napisać równanie okręgu o środku S(, ) i promieniu 5 60 Wyznaczyć środek i promień okręgu x + y + 8x 6y = 0 6 Napisać równanie okręgu o środku S(, ) i przechodzącego przez początek układu 6 Napisać równanie okręgu o środku S(0, 0) i stycznego do prostej 6x 8y + 0 = 0 6 Napisać równanie okręgu o środku leżącym na prostej x + y 7 = 0 i przechodzącego przez punkty A(0, 0) i B(, 7) 6 Przy jakim warunku równanie x + y + ax + by + c = 0 określa okrąg? 65 Dla jakiej wartości parametru m okrąg x + y 8y + m = 0 jest styczny do prostej x + y = 0? 66 Dla jakiej wartości parametru m prosta y = x + m jest styczna do okręgu x + y =? 67 Napisać równanie okręgu przechodzącego przez punkt (, 0) i stycznego do prostych x + y + = 0 oraz x + y 8 = 0 7 Elipsa 68 Znaleźć półosie elipsy danej równaniem: x 5 + y 9 = 69 Znaleźć półosie elipsy danej równaniem: x + 9y = 70 Znaleźć półosie elipsy danej równaniem: x + 9y = 6 7 Znaleźć półosie oraz środek symetrii elipsy danej równaniem: (x ) 6 + (y + ) = 7 Znaleźć półosie oraz środek symetrii elipsy danej równaniem: x + y + x + 6y + 6 = 0 8 Funkcja kwadratowa Narysować wykres funkcji: 7 f(x) = (x + ) 7 f(x) = x + x 75 f(x) = x 76 f(x) = x 77 f(x) = (x ) 78 f(x) = x + x Wykresy funkcji y = x + bx przedstawiają pewną rodzinę parabol Wyznaczyć parametr b tak by: 79 do wykresu należał punkt A(, ) 80 miejscem zerowym była liczba 8 funkcja miała tylko jedno miejsce zerowe Jaką figurę tworzą wszystkie wierzchołki tych parabol? Wykresy funkcji y = x + x + c przedstawiają pewną rodzinę parabol Wyznaczyć parametr c tak by: 8 do wykresu należał punkt A(, ) 8 miejscem zerowym była liczba 8 wykres był styczny do osi OX Jaką figurę tworzą wszystkie wierzchołki tych parabol? Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 7

8 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Jakie należy wykonać przesunięcie wykresu funkcji y = x, aby otrzymać wykres funkcji: 85 y = x 86 y = (x + ) 6 87 y = x + 6x 8 Zbadać liczbę pierwiastków równania w zależności od parametru m oraz podać graficzną ilustrację rozwiązania: 88 x = m 89 6x x = m 90 x x = m 9 Wyznaczyć współczynniki trójmianu y = ax + bx + c, jeśli do jego wykresu należy punkt A(, 0) i y max = dla x = 9 Wyznaczyć współczynniki trójmianu y = ax + bx + c, jeśli do jego wykresu należy punkt A(5, 5) i y min = dla x = 9 Wyznaczyć współczynniki trójmianu y = ax + bx + c, jeśli do jego wykresu należą punkty A(0, ) i B(, 9) oraz wiadomo, że funkcja ma jedno miejsce zerowe Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji dla x [0, ]: 9 y = x + x 95 y = x x y = x x + 97 y = x x 98 Daną liczbę rzeczywistą a przedstawić jako sumę dwóch liczb, których suma kwadratów jest najmniejsza 99 Siatką drucianą długości 60 m należy ogrodzić prostokątny plac przylegający jednym bokiem do muru Jakie wymiary powinien mieć plac, by jego pole było największe? 00 Przekrój osiowy stożka ma odwód 0 cm Czy można dobrać tak wymiary stożka, aby pole jego powierzchni bocznej było największe? Wyznaczyć znaki parametrów b i c w trójmianie kwadratowym y = x + bx + c, jeśli trójmian ma dwa miejsce zerowe, przy czym wiadomo, że: 0 x > 0, x > 0 0 x < 0, x > 0 0 x < 0, x < 0 0 x > 0, x = 0 Dane jest równanie x x 7 = 0 Nie wyznaczając rozwiązań tego równania x, x obliczyć: 05 x + x 06 x + x 07 x x 08 (x ) x + (x ) x Wiedząc, że x, x są rozwiązaniami równania x + 5x = 0, nie wyznaczając tych rozwiązań ułożyć równanie kwadratowe, którego rozwiązaniem będą liczby: 09 x i x, 0 x i x x i x x i x Rozwiązać równanie i zbadać liczbę rozwiązań w zależności od parametrów m i n: x m = mx + x mx + m = n 5 x + mx = n 6 x mx + mn = n Rozwiązać równanie wprowadzając pomocniczą niewiadomą: 7 x 0x + 9 = 0 8 (x + x + )(x + x + ) = 0 9 (x ) x = 0 0 x + 7 x 6 = 0 Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 8

9 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Sporządzić wykresy funkcji y = f(x) i y = g(x) i odczytać z wykresu rozwiązanie nierówności f(x) g(x) Następnie rozwiązać nierówność algebraicznie: f(x) = x + x 8, g(x) = x 8 f(x) = x, g(x) = x 5x + f(x) = x, g(x) = x Rozwiązać równanie: x = 5 5 x 9 + x = 9 6 x x = x 9 Funkcja potęgowa Narysować wykres funkcji: 7 f(x) = x 8 f(x) = (x + ) 9 f(x) = x + 0 f(x) = x Znaleźć pierwiastki równania: x = x + = x (x )( x) = 0 Rozwiązać nierówność: x x + 5 x 6 x x 0 > x 7 Dla jakich wartości parametru m R równanie x = x + m (x )(x+) ma rozwiązanie? 8 Wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji f(x) = + x x + 9 Wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji f(x) = x + x + x + + x x + 0 Wielomiany Wykonać dzielenie wielomianów: 0 (x + x x + ) : (x ) (x 5 + x + x) : (x + ) (x 5x + x 5x 6) : (x ) (x 6) : (x ) (a a a 80a 56) : (a ) 5 (t t 7 t 5 + ) : (t 7 ) Nie wykonując dzielenia podać resztę z dzielenia wielomianów: 6 (x 5x + 6x + ) : (x ) 7 (x 5x + 0x ) : (x 5) 8 (x + x x + ) : (x x) 9 (x 8 ) : (x ) 50 (x 6 ) : (x x x + ) 5 Dla jakich parametrów a, b wielomiany W (x) = ax + x + bx + x x, Q(x) = 6x + 8x x są równe? 5 Dla jakiej wartości parametru m przy dzieleniu wielomianu x + mx x + przez jednomian x otrzymamy resztę równą 6? 5 Rozłożyć wielomian x + 5x + x 9 na czynniki 5 Rozłożyć wielomian x na czynniki 55 Wyznaczyć a, b tak, aby wielomian x x + 6x + ax + b był podzielny przez x Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 9

10 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Rozłożyć na czynniki: 56 a + ab + ac + bc 57 a + a b + b 58 x xy + y 59 y + xy x Rozwiązać równanie: 60 x x x + = 0 6 x + 5x + x 9 = 0 Rozwiązać nierówność: 6 x (x ) < 0 6 (x + 5)( x) (x 5) (5 + x) 0 6 x 9 < x + x + 8x x 8 > 0 67 x 5 + x x x 0 68 x 6 x 5 x + x > 0 69 (x x) 9x 0 70 (x + ) 0 7 (x )(x x + )(x 6x + 8)(x + x + ) < 0 7 (x + x + )(x 9)(x x) 0 7 (x + )(x x 5)(x + x + 8) > 0 7 (x ) (x + ) (x + 5)(x + x + 6) (6 x ) 0 75 (x + ) 5 (x )(x + ) (x x + 7) > 0 Funkcja wymierna Narysować wykres funkcji: 76 f(x) = x+ x 77 f(x) = x+ x+ 78 f(x) = x + 79 f(x) = x+ 80 f(x) = x 5 6x+ 8 f(x) = x x+ 8 f(x) = x 5 x 8 Wyznaczyć dziedzinę oraz miejsca zerowe funkcji: 8 f(x) = x x +x 8 8 f(x) = x x x +x+6 Rozwiązać równanie: 89 x x+ = 90 x +x+ x x+8 = 9 x + x = Rozwiązać nierówność: 97 x x < x 98 (x +) (x+)( x) < 0 99 (x+)( x) x < 0 85 f(x) = x+ x x +x 86 f(x) = x x+ (x+)(x +) 9 x = x 9 x +6x+6 x + = 0 9 x x = x 00 x x x > 0 + x 6 x 0 +x x < x 87 f(x) = x x 88 f(x) = x 8x+ x +x 95 x x = x 96 x 6x+ 5 x 6x+ = 0 x x x x 05 x 5x+6 < 0 x 06 < x +x x +x+ 0 Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 0

11 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Funkcja wykładnicza Narysować wykres funkcji: 07 f(x) = e x + 08 f(x) = x + 09 f(x) = ( ) x 0 f(x) = x Rozwiązać równanie: 8 x = 6 x 6 = ( 6) x x + = 9 x 9 x 8 x = 9 5 ( ) x+ = 8 x 6 x + x + x = x = x 8 5 x + 5 x = 6 9 x + 6 = 0 x 0 (5 x) x x +x+6 = x+ x 5 x + x = 6 x 5 x + = 0 9 x + x = 0 x + x 6 = 0 5 Przy jakich wartościach m dwa różne pierwiastki równania x mx+ m = ( 8 ) m są dodatnie? Rozwiązać nierówność: 6 x > x x < ( )x 9 0, 5 x+ x > 0 x+ + 5 x 9 x x x ( ) x+ > ( ) x 7 x 7 x 5 x x + x x+ < x > 8 x x+ 7 x x Funkcja logarytmiczna Narysować wykres funkcji: 8 f(x) = log (x ) 0 f(x) = ln x 9 f(x) = log (x ) f(x) = log x Obliczyć: log 6 log log + log 50 log 5 log log 6 log ( ) 7 ln e 8 log 9 ( ) ( ) 9 log 50 5 log 5 5 log 5 5 log log 6 5 Obliczyć log 5, jeżeli log 6 = a, log 6 5 = b 5 Obliczyć log 5 + log 9 5, jeżeli log5 = a 55 Wiadomo, że log 9 x = Obliczyć log x Wyznaczyć dziedzinę funkcji: 56 f(x) = ln(x ) + ln( x) 57 f(x) = log (x x ) 58 f(x) = log(x + x ) 59 f(x) = log (x x ) 60 f(x) = ln( sin x ) Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05

12 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 6 f(x) = log ( x x) 6 f(x) = log (x x) 6 f(x) = log ( log (x ) ) 6 f(x) = log x (x + x x ) Rozwiązać równanie: 65 log (x ) = 0 66 log x + log (x + ) = 67 log (x ) = log 8 68 log(x ) = log(x) 69 log 8 x = 70 log(x + ) log(x 5) = log 7 log x = 7 log (x ) = log ( x) 7 9 log (x ) = 7 log x + log x = 5 75 ln x + ln x ln x = 76 9(ln x) + (ln x) + = 0 77 log ( log 8 x x x ) = 0 78 (ln x) (ln x) + = 0 79 (log x) (log x) = 0 80 (ln x) + (ln x) + = 0 Rozwiązać nierówność: 8 log (x + ) 0 8 log 6 x > log 6 (x ) 8 log ( + x ) > 8 log ( x + ) 85 log x log (6 x) x 86 log 87 log x > (x ) < log (x ) 88 log (x x) 89 log (9 x ) x 90 log x+ x < 9 log x ( x) < 9 log x + x log 9 ( )log (x ) 9 log 9 x x+ 95 log x x + Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne Narysować wykres funkcji: 96 f(x) = sin x + 97 f(x) = cos x 98 f(x) = ctg x 99 f(x) = tg x 00 f(x) = sin(x) 0 f(x) = cos x Podaną miarę kąta w stopniach wyrazić w radianach: Podaną miarę kąta w radianach wyrazić w stopniach: 06 9 π 07 5 π π π Dla jakich α (0, 60 ) zachodzą nierówności: 0 sin α cos α > 0 sin α > cos α tg α > ctg α Określić znak liczby: sin cos 5 ctg 5 6 tg( 0, 75) 7 tg 0 8 sin 9 cos(sin ) 0 cos(tg π ) Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05

13 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Obliczyć za pomocą wzorów redukcyjnych: sin 90 sin 5 cos 600 tg( 90 ) 5 sin 7π 6 6 sin π 7 cos π 8 tg π 9 ctg 6 π Obliczyć wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α [0, π] jeśli: 0 sin α = tg α = cos α = n n+ Obliczyć: arc sin 0 5 arc sin( arc sin 6 arc cos 0 ) 7 arc cos( ) 8 arc tg( ) Obliczyć bez użycia tablic (zadania z ): 9 sin 6 + sin 8 0 tg tg 5 tg 6 (sin 5 + cos 5 )(sin 5 cos 5 ) + sin 55 arc tg(tg 7 ( 8 π) arc sin 6 ) cos( arc sin 5 ) 5 arc cos(sin 5 7 π) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość wyrażeń: 6 sin x 7 + cos(x) 8 sin x Sprawdzić tożsamości: sin x+cos x sin x 9 + ctg x = 50 cos x sin x = sin x sin x 5 +cos x + +cos x sin x = sin x tg x+tg y 5 ctg x+ctg y = tg x tg y 5 (tg x + ctg x) = sin x cos x 5 sin x = tg x +tg x cos x cos(x) 55 sin(x) sin x = tg(x) 56 sin 6 x + cos 6 x = sin (x) 57 arc sin x + arc cos x = π, x [, ] 58 arc tg x + arc ctg x = π Wyznaczyć dziedzinę funkcji: 59 f(x) = sin x + 60 f(x) = sin x+ x + 6 f(x) = cos(x) 6 f(x) = arc sin( x + ) 6 f(x) = log(6 x ) sin x 6 f(x) = ln(sin x) 65 f(x) = log ( tg x) 66 f(x) = log 0 x tg x 67 f(x) = arc cos(log( x)) 68 f(x) = arc cos(x) 69 f(x) = arc sin x x 70 f(x) = arc tg(x ) + x 7 f(x) = arc cos(5x + ) 7 f(x) = log (cos x )( + x x ) + arc cos ( ) x Rozwiązać równania: 7 sin x = π 7 sin(x) = 75 sin x = 76 sin(x) = Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05

14 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 77 sin(x) = 78 sin(x) = 79 cos(x) = 80 tg(x) = 8 sin x cos x = 8 cos x = 8 (cos x + )( sin x )(sin (x) ) = 0 8 sin x + cos x = 85 cos x+ + 6 sin x = 0 86 log sin x = 87 sin x = + cos x 88 arc tg x = π 89 cos(x + ) = 90 sin(5 arc tg(x)) = 9 sin(x + ) = 9 cos(x + ) = Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05

15 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Rozwiązać nierówności: 9 sin x 9 sin x > 95 sin x < 96 ctg x 97 tg x > 0 98 cos x + tg x < + sin x, 0 < x < π 99 tg x ctg x > 500 sin x + sin 6x < 50 cos x 50 sin x > 50 sin x cos x 50 arc sin x > π 505 arc tg x π arc sin log x > 0 5 Ciągi liczbowe Napisać 5 pierwszych wyrazów ciągu o wyrazie ogólnym: 507 a n = n 509 c n = log n 508 b n = sin( nπ 6 ) 50 d n = n n! 5 Obliczyć cztery początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego, w którym a = i r = 5 W ciągu arytmetycznym a = 6, a 8 = 5 Obliczyć a i r 5 Między liczby i 6 wstawiono takie liczby x i y, by ciąg, x, y, 6 był arytmetyczny Jakie to liczby? 5 Znaleźć ciąg arytmetyczny o a =, jeśli suma czterech pierwszych wyrazów jest razy większa od sumy czterech następnych wyrazów 55 Znaleźć sumę 0 początkowych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 56 Dla jakich wartości x liczby log, log( x ), log( x + ) tworzą ciąg arytmetyczny? 57 Wyznaczyć ciąg arytmetyczny, którego suma n pierwszych wyrazów wynosi n dla wszystkich n N 58 Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny Wyznaczyć ten ciąg, jeśli suma wyrazów skrajnych wynosi 6, zaś suma wyrazów środkowych wynosi 59 Iloraz ciągu geometrycznego wynosi q = + 5 Wykazać, że każdy wyraz tego ciągu (poza pierwszym) jest równy różnicy wyrazów sąsiednich 50 Dla jakiego a suma a + a + a + wynosi? 5 Wyznaczyć cztery liczby, z których pierwsze tworzą ciąg geometryczny, ostatnie ciąg arytmetyczny oraz suma wyrazów skrajnych wynosi, zaś środkowych 5 Podać wzór na ogólny wyraz ciągu,, 9, 6, 5 Podać przykład ciągu rosnącego, który ma wszystkie wyrazy ujemne 5 Wykonano 0 m studnię Za pierwszy metr zapłacono zł, a za każdy następny metr płacono dwukrotnie więcej niż za poprzedni Ile kosztowała studnia? Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym: 55 a n = n 57 c n = log n n 59 e n = 56 b n = n n+ 58 d n = n n! 50 Dla ciągu o wyrazie ogólnym a n = n + obliczyć wartość wyrażenia a n a + a 5 Dla ciągu o wyrazie ogólnym a n = n + n obliczyć wartość wyrażenia a + a a 5 Dany jest ciąg (a n ), gdzie a n = n+5 n+ Wyznaczyć wszystkie wyrazy tego ciągu większe od 5 Wyznaczyć wszystkie wyrazy ciągu a n = n 5n + 9 mniejsze od 5 5 Wyznaczyć ciąg arytmetyczny mając dane a = 7, a = 9 55 Wyznaczyć ciąg arytmetyczny mając dane a = 7, a = 5 56 Dla ciągu arytmetycznego, 5, 8,, obliczyć sumę pierwszych 0 wyrazów 57 Obliczyć sumę liczb naturalnych parzystych od 0 do 80 n+ Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 5

16 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 58 Wyznaczyć x, jeżeli liczby, x + x, 8 są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego 59 Wyznaczyć a i q w ciągu geometrycznym, w którym a =, a 5 = 6 50 W ciągu geometrycznym (a n ) o wyrazach dodatnich dane są a = oraz a = Obliczyć sumę pierwszych czterech wyrazów tego ciągu 5 Wyznaczyć piąty wyraz ciągu geometrycznego mając dane a = oraz q = 5 Dla ciągu geometrycznego,,, 8, obliczyć sumę pierwszych 0 wyrazów 5 Wyznaczyć x, jeżeli liczby, x+, 9 są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego Obliczyć granicę ciągu: 5 a n = n + n n + 55 a n = n + + n 56 a n = n +n+ 6n +n 57 a n = n +n+ +n n 58 a n = n+ n+ n + 59 a n = n n+ n n 6 Granica, ciągłość, asymptoty funkcji Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f 550 Wyznaczyć dziedzinę funkcji f 55 Wyznaczyć granicę (o ile istnieje): a) lim f(x) x b) lim f(x) x c) lim x + f(x) d) lim x 0 + f(x) e) lim f(x) x f) lim f(x) x + g) lim x f(x) h) lim x + f(x) 55 Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f 55 Zbadać ciągłość funkcji f Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 6

17 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 55 Wyznaczyć dziedzinę funkcji f 555 Wyznaczyć granicę (o ile istnieje): a) lim f(x) x b) lim f(x) x c) lim f(x) x + d) lim f(x) x 0 e) lim f(x) x 0 + f) lim f(x) x 0 g) lim f(x) x h) lim f(x) x + i) lim f(x) x j) lim x + f(x) 556 Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f 557 Zbadać ciągłość funkcji f Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f 558 Wyznaczyć dziedzinę funkcji f 559 Wyznaczyć granicę (o ile istnieje): a) lim f(x) x b) lim f(x) x c) lim f(x) x + d) lim f(x) x e) lim f(x) x 0 f) lim f(x) x 0 + g) lim f(x) x 0 h) lim f(x) x i) lim f(x) x + j) lim x f(x) k) lim x + f(x) 560 Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f 56 Zbadać ciągłość funkcji f Obliczyć granicę (o ile istnieje): 56 lim x x 5x+ 56 lim x + x 5x+ x 56 lim x x x x+ x 565 lim +x x 566 lim x lim x π x+ x x+6 x tg x sin x cos x 568 lim arc ctg( x x ) 569 lim arc sin(x x + x 0 ) 570 lim ctg x x π x 57 lim x 0 x Zbadać ciągłość funkcji f : R R określonej następująco: { x x dla x, 57 f(x) = dla x = 0 dla x, 57 f(x) = x x + dla < x, x + dla x > 57 f(x) = 575 f(x) = { cos(x) dla x < 0, + sin x dla x 0 { x x 5x+ dla x <, x 0 x + 8 dla x Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji: Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 7

18 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 576 f(x) = x+ x 577 f(x) = x + + x 578 f(x) = x x 579 f(x) = x + x x 580 Sprawdzić, czy funkcja f(x) = x x +x 58 Sprawdzić, czy funkcja f(x) = x +x+ x +x 58 Sprawdzić, czy funkcja f(x) = x + x + x 58 Sprawdzić, czy funkcja f(x) = x+ x+ posiada asymptotę pionową w punkcie x = posiada asymptotę poziomą w posiada asymptotę ukośną w + + arc ctg x posiada asymptotę poziomą w + Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 8

19 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Odpowiedzi do zadań Fałsz Fałsz Prawda Prawda 5 Prawda 6 Fałsz 7 Prawda 8 Prawda 9 Fałsz 0 Prawda Fałsz Zaprzeczenie: x R x x Prawda Zaprzeczenie: x R x x Fałsz Zaprzeczenie: x N x Fałsz Zaprzeczenie: x R x ( a a + ) ( a + a + ) (a b)(a + b)(a ab + b )(a + ab + b ) (a b)(a + b)(a + b )(a + b ) a + a + 9 ( + )( + ) 0 ab b a x+y 5 5 A = (, ) [, + ) 5 B = (0, ) 6 C = (, + ) 7 D = (, 0) [, + ) 8 A = {,,, } 9 B = {,, 0,, } 5 (, ] [0, ) [, + ) 5 (, ) (, 0) [, + ) 55 (, ) 56 (, ) [, + ) 57 (, 0) [, ] 58 (, 0) [, ] 59 (, ) 60 [, ] [, ] 6 (, ) 6 (, ) (, ) 6 (, ] [, + ) 6 (, ) 65 x = x = 5 66 x 67 x = x = 7 68 x [ 5 6, ] 6 69 x (, ] [ 5, + ) 70 x R 7 7 a) D f = R \ {, }, ZW f = R b) Miejsca zerowe:, 0, c) Funkcja f jest silnie malejąca w przedziałach: (, ), (, ), (, ), (, ) Funkcja f jest silnie rosnąca w przedziałach: (, ), (, ), (, + ) d) Funkcja f jest nieparzysta e) Funkcja f nie jest różnowartościowa f) Funkcja f nie jest okresowa g) Nie istnieje najmniejsza i największa wartość funkcji f Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 9

20 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/ a) D f = R, ZW f = [, + ) b) Miejsca zerowe: 0, c) Funkcja f jest silnie malejąca w przedziale (, ) Funkcja f jest silnie rosnąca w przedziałach: (, ), (, ), (, + ) d) Funkcja f nie jest nieparzysta i nie jest parzysta e) Funkcja f nie jest różnowartościowa f) Funkcja f nie jest okresowa g) W punkcie funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą Największa wartość funkcji f nie istnieje a) D f = R, ZW f = [, ] [0, ] b) Miejsca zerowe: c) Funkcja f jest silnie malejąca w przedziale (, ) Funkcja f jest silnie rosnąca w przedziałach: (, ), (, ) Funkcja f jest stała w przedziałach: (, ), (, + ) d) Funkcja f nie jest nieparzysta i nie jest parzysta e) Funkcja f nie jest różnowartościowa f) Funkcja f nie jest okresowa g) W punkcie funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą, natomiast w punkcie największą wartość równą a) D f = (, ) [, + ), ZW f = R b) Miejsca zerowe: c) Funkcja f jest silnie malejąca d) Funkcja f nie jest nieparzysta i nie jest parzysta e) Funkcja f jest różnowartościowa f) Funkcja f nie jest okresowa g) Nie istnieje najmniejsza i największa wartość funkcji f a) D f = R \ {0}, ZW f = (, ] b) Miejsca zerowe:,,, c) Funkcja f jest silnie malejąca w przedziałach: (, ), (, 0, (, ), (, + ) Funkcja f jest silnie rosnąca w przedziałach: (, ), (, ), (0, ), (, ) d) Funkcja f jest parzysta e) Funkcja f nie jest różnowartościowa f) Funkcja f nie jest okresowa g) W punktach, funkcja f przyjmuje największą wartość równą Najmniejsza wartość funkcji f nie istnieje a) D f = R, ZW f = [0, ] b) Miejsca zerowe: + k, k Z c) Funkcja f jest silnie malejąca w przedziałach: ( + k, + k), k Z Funkcja f jest silnie rosnąca w przedziałach: ( + k, + k), k Z Funkcja f jest stała w przedziałach: (k, + k), k Z d) Funkcja f nie jest nieparzysta i nie jest parzysta e) Funkcja f nie jest różnowartościowa f) Funkcja f jest okresowa o okresie podstawowym T = g) W punktach + k, gdzie k Z funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą 0 W punktach należących do przedziałów postaci [k, + k], gdzie k Z funkcja f przyjmuje największą wartość równą 77 x (, ) (, ) (, + ) 78 x (, ) (, ) (, ) 79 x (, ) (, ) (, + ) 80 x (, ] { } [, ] 8 Funkcja f jest nieparzysta 8 Funkcja f jest parzysta 8 Funkcja f jest nieparzysta 85 Funkcja f jest parzysta 86 Nie 87 Tak 89 h(5) = 90 h( ) = h( 6) = 9 g(f(x)) = x, f(g(x)) = x Funkcja f jest funkcją odwrotną do g 9 g(f(x)) = x, f(g(x)) = x Funkcja f jest funkcją odwrotną do g 9 95 Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 0

21 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/ x x x - - Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05

22 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 0 x =, y = 0 lub x =, y = x =, y = lub x =, y = 6 x =, y = x (,) x x =, y = x - (,-) x x 07 x = 08 x = 09 x = 0 x = x = x = x = x = x = x = x = x < 5 5 x 5 6 x (, 7 ] [, + ) 7 x (, ] 8 x (, ) (, + ) 9 x [, ] 0 x =, y = x = 5, y = (, 0) (0, 5) 5 m = 0 lub m = 6 (, ) 7 (0, 0) 8 (, ) 9 (, ) 0 (, 5 ), 7 C = (, ) A, B (, 0), (0, ) m = 0 5 m = A = B 7 y = x + 0, y = x + 8 x y 5 = 0 9 x + y = 0 50 x y + 6 = 0 Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05

23 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 5 ( 5, 5 ) 5 m = x y 9 = 0 i x + 5y 7 = 0 55 x + y = 0, x y = 0, x + y + 0 = 0, x y 0 = x y = 0 i x y = x 58 m = ± 59 (x + ) + (y ) = 5 60 S(, ), R = 5 6 (x + ) + (y ) = 5 6 x + y = 6 (x ) + (y ) = a + b c 0 65 m = x - 66 m = ± 67 (x 5) + (y + ) = 0 68 a = 5, b = 69 a =, b = 70 a =, b = 7 a =, b =, S(, ) 77 7 a =, b =, S(, ) x x x x 79 b = 80 b = 8 b = 0 8 c = 5 8 c = 8 c = 9 88 Dla m = jedno rozwiązanie, dwa rozwiązania dla m > Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05

24 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 89 Dwa pierwiastki dla m > 5 lub m = 0, trzy pierwiastki dla m = 5 5, cztery dla m (0, ) 90 Dwa pierwiastki dla m > lub m = 0, trzy pierwiastki dla m =, cztery dla m (0, ) 9 a =, b = 6, c = 9 9 a =, b = 6, c = x 9 a =, b =, c = lub a =, b =, c = 9 y min = 7, y max = y min = 0, y max = 96 y min = 6, y max = 97 y min =, y max = 98 a = a + a 99 5 m i 0 m 00 Nie 0 b < 0, c > 0 0 c < 0 0 b > 0, c > 0 0 b < 0, c = x x + 0x = 0 0 x + 7x + = 0 x x + 9 = 0 x 5x = 0 pierwiastki dla każdego m pierwiastki dla m n i pierwiastek dla n = m 5 pierwiastki dla m > n, pierwiastek dla m = n 6 pierwiastki dla m n, pierwiastek dla m = n 7 x = ±, x = ± 8 x =, x = 9 x = x = lub x = 5 x =, x =, x =, x = 6 x =, x = x x x = x = 0 - x =, x = x (, + ) 5 x 6 x (, ] (, + ) 7 m - - Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05

25 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 8 D f = R, ZW f = [, + ) 9 D f = R, ZW f = [, + ) 76 y 0 x + x + + x x + x x x + x x 6 x + x + x + 8 a + a + 8a a x t x a =, b = 7 5 m = 5 (x )(x + ) 5 (x )(x + x + ) 55 a =, b = 7 56 (a + c)(a + b) 57 (a + b ) 58 (x y)(x y) 59 (y x)(y + x) 60 x =, x = 6 x =, x = 6 x (, 0) (0, ) 6 x (, ] {5} 6 x (, ) 65 x 66 x ( 5, + ) 67 x (, ] [, ] 68 x (, ) (0, ) (, + ) 69 x [0, 6] 70 x (, ] [, + ) 7 x (, ) (, ) 7 x (, ] [, ] [0, + ) 7 x 7 x [, ] [, + ) 75 x (, ) (, + ) x x x D f = R \ {, } Miejsce zerowe: 8 D f = R Miejsca zerowe:, 85 D f = R \ {0,, } Miejsce zerowe: 86 D f = R \ { } Brak miejsc zerowych 87 D f = R \ {, } Miejsce zerowe: 88 D f = R \ { } Miejsca zerowe:, 89 x = 5 Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 5

26 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 90 x = 9 x = x = 9 x = x = 9 x = 6 x = 9 x = x x = x = 6 96 x {,, 5, 7} 0 97 x (, ) (0, ) (, + ) 98 x (, ) (, + ) 99 x (, 0) (, + ) 00 x ( 5, ] 0 x (0, ) 0 x (0, ) [, ] 0 x (, ) (, ) 0 x (, ] (, + ) 05 x (, ) (, ) 06 x [, ) (, ] x x = 6 x = x = x = x = 5 x = x = 6 x = 7 x = 8 x = 0 x = 9 x = x = x 0 x {,,, 5} x = x = 0 x = x = 0 x = 5 m (, ) (6, + ) 6 x (, + ) 7 x (, ] 8 x (, 0) 9 x (, ) (, + ) 0 x (, ] x (0, ] x [, ] x (, + ) x - x (, ] (0, ] 5 x (, 0) 6 x (, + ) 09 7 x (0, ] (, + ) Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 6

27 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/ x 5 b a x x - 5 +a a D f = (, ) 57 D f = (0, ) 58 D f = (, ) (, + ) 59 D f = (, 0) (0, ) 60 D f = ( π + kπ, π + kπ), k Z 6 D f = (, ) (0, ) 6 D f = [, 0) (, ] 6 D f = (, ) (, ) 6 D f = (, ) (, ) (, ) (, + ) 65 x = x = 66 x = 67 x = 68 x = 69 x = 70 x = 9 7 x = x = 6 7 x = 7 x = 5 7 x = 0 75 x {e, e, e} 76 brak rozwiązań 77 x = x = 6 78 x = e 79 x = x = 6 80 x = e x 8 x (, 0] 8 x (, ) 8 x (, 0) 8 x (, ) 85 x [, 6) 86 x (, ) 87 x (, 6) 88 x [, 0) (, ] Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 7

28 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 89 x [0, ] 90 x (, ) \ {, 0} 9 x (0, ) (, ) 9 x (0, 00] 9 x [, ) (, ] 9 x [ ) 95 x (] 96 -π -π/ -π -π/ 0 π/ π π/ π x π -π -π -π 0 π π π π x -π -π/ -π -π/ 0 π/ π π/ π x / -π -π/ -π -π/ 0 π/ π π/ π x -/ 98 -π -π/ -π -π/ 0 π/ π π/ π x 99 -π -π/ -π -π/ 0 π/ π π/ π x π π 0 9 π 05 7 π α (0, 90 ) (80, 70 ) α (5, 5 ) α (5, 90 ) (5, 80 ) (5, 70 ) (5, 60 ) dodatni ujemny 5 ujemny 6 ujemny 7 dodatni 8 ujemny 9 dodatni 0 dodatni Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 8

29 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/ cos α = ± 8 5 7, tg α = ± 8 sin α = ± 7 5, cos α = ± 5 sin α = ± n n n+, tg α = ± n 0 π 6 5 π 6 π 7 π 8 π π π π 6 [0, ] 7 [,] 8 [0,] 59 R 60 R 6 R 6 [, ] 6 (, π) (0, π) 6 { π + kπ : k Z} 65 ( π + kπ; π + kπ), k Z 66 ( π, ) (, π ) (0, π ) (π, 0) 67 [ 9, 9 0 ] 68 [, ] 69 (, ] [, + ) 70 [, + ) 7 [ 06 0] 7 (, π ) 7 x 7 x = π + kπ, k Z 75 x = π + kπ, k Z 76 x = π + kπ, k Z 77 x 78 x = π + kπ, x = 5 π + kπ, k Z 79 x = kπ, k Z 80 x = π 8 + kπ, k Z 8 x = π + kπ, x = 5 π + kπ, k Z 8 x = π 8 + kπ, x = 5 8π + kπ, k Z 8 x = π + kπ, k Z 8 x = kπ, x = π + kπ, k Z 85 x = k π 6, k Z 86 x = π + kπ, x = π + kπ, k Z 87 x = π + kπ, k Z 88 x = 89 brak rozwiązań 90 x = tg π 0 9 x = π 8 + kπ k Z 9 x = kπ k Z 9 x [ π + kπ; 7 π + kπ], k Z 9 x ( 6 π + kπ; 5 6π + kπ), k Z 95 x ( 5 π + kπ; π + kπ), k Z 96 x (kπ; π + kπ], k Z 97 x ( π+kπ; π+kπ) ( π+kπ; π+kπ), k Z 98 x (0, π ) ( π, 5 π) ( π, π), k Z 99 x ( 6 π + kπ; π + kπ), k Z, wskazówka: skorzystać ze wzoru ctg α 500 x ( π + kπ; π + kπ), k Z 50 x [ π + kπ; π + kπ], k Z 50 x ( π + kπ; π + kπ), k Z 50 x [ π + kπ; 5 π + kπ], k Z 50 x (, ] 505 x (, ] 506 x (, 0] 507 0,, 8 9, 5 6, 5 508,,,, 509,, 5, 7, 9 50,,,, 5 5,,, 7 5 a = 6 i r = 0 5 x =, y = 5 r = x = log 5 57 a =, r = Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 9

30 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 58, 8, 6, lub, 6, 8, 50 a = 5,, 8, lub 5, 5, 9, 5 a n = n Rosnący 56 Rosnący 57 Malejący 58 Malejący 59 Rosnący a =, a = 7 5, a = a =, a = 5 a =, r = 55 a =, r = 56 S 0 = x = x = 59 a =, q = 50 S = 5 5 a 5 = 6 5 S 0 = 0 5 x = x = D f = R \ {, } 55a 0 55b + 55c 55d 55e + 55f 55g Nie istnieje 55h 55 x = asymptota pionowa, x = asymptota pionowa lewostronna, y = 0 asymptota pozioma w, y = asymptota pozioma w + 55 Funkcja f jest ciągła 55 D f = R \ {} 555a 555b 0 555c 555d 0 555e 555f Nie istnieje 555g 555h 555i Nie istnieje 555j x = asymptota pionowa prawostronna, y = 0 asymptota pozioma w Funkcja f jest ciągła dla x R \ {0, } 558 D f = R 559a + 559b 559c 559d 559e 559f 559g 559h 559i 559j Nie istnieje 559k y = x asymptota ukośna w + 56 Funkcja f jest ciągła dla x R \ {, 0, } π 569 π Nie istnieje 57 Funkcja f jest ciągła dla x R 57 Funkcja f jest ciągła dla x R \ { } Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05 0

31 Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 57 Funkcja f jest ciągła dla x R 575 Funkcja f jest ciągła dla x R 576 x = asymptota pionowa, y = asymptota pozioma 577 Asymptota pionowa x = 0, asymptota ukośna y = x Asymptoty pionowe x =, x =, asymptota ukośna y = x 579 Asymptota pionowa x =, asymptota ukośna y = x Nie 58 Tak, y = 58 Tak, y = x + 58 Tak, y = Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Rolniczy w Krakowie, 05