1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

Transkrypt

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n N mamy a n =. a n Własności wyrażeń potęgowych.. a m a n = a m+n 5. (a m ) n = a m n. a m a n = a m n 6. jeśli a > i m > n, to a m > a n. a m b m = (ab) m 7. jeśli < a < i m > n, to a m < a n 4. a m b m = ( ) m a b II. Pierwiastki i wyrażenia potęgowe (wykładnik wymierny). Dla a, n N pierwiastkiem arytmetycznym n-tego stopnia z liczby a nazywamy liczbę rzeczywistą b taką, że b n = a. Piszemy b = n a. Ponadto, dla a < i n NP ar przyjmujemy, że n a = n a. Zatem jeśli n jest parzyste, oraz a <, to pierwiastek arytmetyczny nie istnieje. Dla a > oraz m Z, n N mamy a m n = n a m. IV. Logarytmy. Dla a >, a oraz b > logarytmem przy podstawie a z liczby b nazywamy liczbę c taką, że a c = b. Zatem log a b = c a c = b.

2 W szczególności (gdy a = e) logarytm nazywamy naturalnym, piszemy wtedy log e b = ln b. Własności wyrażeń logarytmicznych.. log a b + log a c = log a (b c) 5. log a b = log b a, b. log a b log a c = log a (b/c) 6. log a n b = n log a b. log a b n = n log a b 7. log a ( a b ) = b 4. log a b = log d b log d a, d >, d 8. alog a b = b Zadania. Oblicz I. log / 7, log /9, log / 8, log /8, log 8, log / 8, II. 5 log 5, log, ( ) log, ( )+ log, III. log log 4 log 5 4 log 6 5. Ogólne własności funkcji. Niech dane będą niepuste zbiory X, Y. Jeśli każdemu elementowi zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru Y, to mówimy, że została określona funkcja (odwzorowanie) zbioru X w zbiór Y i piszemy f : X Y. Każdy element zbioru X nazywamy argumentem funkcji f, cały zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i piszemy D lub D f. Element zbioru Y, który fukcja f przyporządkowuje argumentowi oznaczamy przez f() i nazywamy wartością funkcji odpowiadającą argumentowi. Zbiór wszystkich wartości funkcji nazywamy przeciwdziedziną i piszemy R lub R f. Uwaga. Jeśli funkcję określa tylko wzór, bez jawnego określenia dziedziny, to zbiór elementów należących do X, dla których ten wzór ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji.

3 Uwaga. Podanie jawne dziedziny lub wyznaczenie dziedziny naturalnej jest częścią definicji funkcji, jest więc niezbędne. Jednak wyznaczenie przeciwdziedziny nie jest dla prawidłowego zdefiniowania funkcji potrzebne, często jest trudne. Przykład. I. f() = II. g() = 4 ( 4) D, R. 4 ( 4) + ( )( 5) D, R. Niech f : R X Y R, y = f() będzie funkcją rzeczywistą (jednej zmiennej). Definicja Zbiór {(, y) R : y = f(), X} nazywamy wykresem funkcji f w X. Uwaga. Każda prosta postaci = a, a R przecina wykres funkcji co najwyżej w jednym punkcie. Definicja Dwie funkcje f oraz f są równe, jeśli D f = D f oraz dla każdego należącego do dziedziny mamy f () = f (). Piszemy wtedy f f. Uwaga. Zatem dwie funkcje o różnych dziedzinach są różne. Na przykład f () = oraz f + () = są różne mimo, że dla każdego mamy f () = f (). Jest to konsekwencją tego, że D f = R \{ } = R = D f. Definicja Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową w zbiorze X gdy, X [ ] [f( ) f( )]. Uwaga. Funkcję różnowartościową nazywamy również funkcją wzajemnie jednoznaczną. Zapisujemy ten fakt symbolem :.

4 Przykład. Zbadaj różnowartościowość funkcji:. f() = +5,. g() =,. h() = +. Niech dane będą dwie funkcje f : X U oraz g : W Y. Niech ponadto R f D g. Zatem f : X u = f() R f oraz g : D g u y = g(u) Y. Można więc przyporządkować argumentowi X wartość y = g(u) = g(f()) Y. W ten sposób zdefiniowaliśmy nową funkcję h : X Y daną wzorem h() = g(f()). Funkcję h nazywamy złożeniem lub superpozycją funkcji f i g i piszemy h = g f. Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, a g funkcją zewnętrzną tego złożenia. Uwaga. Jeśli nie zachodzi warunek R f D g, to składać funkcje f i g można tylko w pewnym podzbiorze zbioru X, mianowicie takim A X, dla którego zawężenie funkcji f - oznaczmy je przez f - ma zbiór wartości R f zawarty w dziedzinie funkcji g. Uwaga. Złożenie funkcji na ogół nie jest przemienne, tzn. g f f g. Przykład. Wyznaczyć, o ile to możliwe, złożenia g f i f g dla funkcji. f() = i g() = + sin,. f() = log i g() =. 4

5 Definicja 4 Funkcję g : Y X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f : X Y jeśli dla każdego elementu X zachodzi równość g(f()) = oraz dla każdego elementu y Y zachodzi równość f(g(y)) = y. Uwaga. Funkcję odwrotną oznaczamy symbolem f. Twierdzenie Jeśli funkcja f : X Y jest różnowartościowa w X, to istnieje funkcja odwrotna do niej. Przykłady. Wyznacz funkcje odwrotne do. f() = +5,. h() = + w zbiorze (, ]. Uwaga. Zauważmy, że funkcja odwrotna do f() = wyznaczyć. istnieje, ale nie jesteśmy w stanie jej Uwaga. Jeśli funkcja g : Y X, g(y) = jest funkcją odwrotną do funkcji f : X Y, f() = y, to w prostokątnym układzie współrzędnych XOY wykresy obu funkcji są identyczne, gdyż równania g(y) = i f() = y wyznaczają ten sam zbiór. Jeśli jednak w definicji funkcji odwrotnej g zamienimy y i rolami, po to by argumentem funkcji g był zgodnie z naszymi przyzwyczajeniami, to wykres funkcji g będzie obrazem wykresu funkcji f w symetrii osiowej względem prostej y =. Przykład. Funkcją odwrotną do f() = jest g(y) = y. Wykresem obu funkcji jest krzywa jak na rysunku. Zamieniając y na w definicji funkcji odwrotnej g otrzymujemy g() =, której wykres jest odbiciem wykresu funkcji f względem prostej y =. 5

6 Definicja 5 Funkcję f : X Y nazywamy rosnącą w przedziale (a, b), jeśli [ < ] [f( ) f( )]., (a,b) Definicja 6 Funkcję f : X Y nazywamy ściśle rosnącą w przedziale (a, b), jeśli [ < ] [f( ) < f( )]., (a,b) Definicja 7 Funkcję f : X Y nazywamy malejącą w przedziale (a, b), jeśli [ < ] [f( ) f( )]., (a,b) Definicja 8 Funkcję f : X Y nazywamy ściśle malejącą w przedziale (a, b), jeśli [ < ] [f( ) > f( )]., (a,b) Definicja 9 Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale (a, b), jeśli jest w tym przedziale rosnąca lub malejąca. Przykład. Funkcja f : tg rośnie w każdym z przedziałów postaci ( π + kπ, π + kπ), k Z, nie rośnie jednak w sumie przedziałów tej postaci. Np. dla = < π = 4 mamy f( ) = > = f( ). Twierdzenie Niech funkcja g : (c, d) (a, b) będzie funkcją odwrotną do funkcji f : (a, b) (c, d). Wtedy. jeśli f jest rosnąca, to g jest rosnąca,. jeśli f jest malejąca, to g jest malejąca. Twierdzenie Złożenie dwóch funkcji, które są jednocześnie rosnące lub jednocześnie malejące jest funkcją rosnącą. Złożenie funkcji rosnącej i malejącej (w dowolnej kolejności) jest funkcją malejąca. 6

7 Uwaga. W szczególności dla > mamy. jeśli f() jest rosnąca, to f(/) jest malejąca,. jeśli f() jest malejąca, to f(/) jest rosnąca. Zadanie. Zbadać monotoniczność funkcji f() = + +4, Definicja Funkcję f : X Y nazywamy parzystą, jeśli ( X f() = f( )). X Definicja Funkcję f : X Y nazywamy nieparzystą, jeśli ( X f() = f( )). X Przykłady. Zbadać parzystość funkcji I. f() = ( )( 5 ) +4+, II. f() = +, Definicja Funkcję f : X Y nazywamy okresową, jeśli ( ± T X f( + T ) = f()). T > X Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. Najmniejszą z liczb T, o których mowa w powyższej definicji nazywamy okresem podstawowym funkcji f. Przykłady. I. f() = sin X = R, T = π lub dowolna wielokrotność π, II. g() = ctg X = R \{kπ : k Z}, T = π lub dowolna wielokrotność π, 7

8 Funkcje elementarne. Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje algebraiczne, logarytmiczne, cyklometryczne) oraz wszystkie funkcje otrzymywane w wyniku skończenie wielu działań arytmetycznych lub złożeń tych funkcji.. Przegląd funkcji elementarnych. I. Funkcja potęgowa. R +, r R \ Z, D f = R \{}, r Z \ N, R, r N. f : r, r R r= r=/ r= r= - r=- r=pi Własności funkcji potęgowej.. funkcja potęgowa jest parzysta dla r = k, k Z i nieparzysta dla r = k +, k Z.. zawężenie funkcji potęgowej f : r, r R do zbioru R + jest zatem funkcją różnowartościową dla dowolnego r.. funkcją odwrotną do funkcji potęgowej f : R + r = y, r jest funkcja potęgowa g : R + y y /r. 8

9 4. jeśli r = k +, k Z, to funkcja f : R r jest różnowartościowa w całej dziedzinie, zatem funkcją odwrotną do niej jest g : y y /r, przy czym D g = R f. Uwaga. Funkcja wartość bezwzględna (moduł), =, < jest funkcją elementarną gdyż =, R - jest więc złożeniem funkcji kwadratowej i funkcji do niej odwrotnej.,5,5, ,5 II. Wielomian. Wyrażenie a n, gdzie a jest pewną stałą rzeczywistą, n jest ustaloną liczbą całkowitą nieujemną, a zmienną nazywamy jednomianem zmiennej, zaś n - stopniem, a a - współczynnikiem jednomianu a n. Wielomian (funkcja wielomianowa): f : a + a a n n. D f = R. Jeśli a n, to mówimy, że f jest wielomianem stopnia n. 9

10 W szczególności: gdy n =, to mówimy, że f jest wielomianem stopnia lub funkcją kwadratową, gdy n =, to mówimy, że f jest wielomianem stopnia lub funkcją liniową, gdy n =, to mówimy, że f jest wielomianem stopnia lub funkcją stałą. Własności wielomianów.. Wielomian jest funkcją parzystą k N a k+ =. Wielomian jest funkcją nieparzystą k N a k =.. Wielomian stopnia n ma co najwyżej n miejsc zerowych.. Wielomian stopnia n ma co najwyżej n ekstremów. 4. Suma, różnica, iloczyn, złożenie dwóch wielomianów jest wielomianem. 5. lim f() = lim a n n = + gdy a n >, gdy a n <. III. Funkcja wymierna. Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów, zatem przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. D f = R \{ : Q() = }. f() = P () Q() W szczególnych przypadkach: gdy Q() c, c R \{}, to funkcja wymierna jest wielomianem, gdy P () = a + b, Q() = c + d, ad bc, to funkcja wymierna jest postaci f() = a + b c + d i nazywamy ją funkcją homograficzną patrz własności funkcji homograficznej.

11 Własności funkcji wymiernej.. Jeśli P i Q z definicji funkcji wymiernej nie mają wspólnych dzielników, to każda prosta postaci = c, gdzie c { : Q() = } jest asymptotą pionową funkcji f.. Jeśli st P < st Q, to prosta y = jest asymptotą poziomą funkcji f. Jeśli st P = st Q = n oraz P () = a a n n, Q() = b b n n to prosta y = a n bn jest asymptotą poziomą funkcji f. Jeśli st P = st Q +, to funkcja f posiada asymptotę ukośną.. Suma, różnica, iloczyn, iloraz, złożenie dwóch funkcji wymiernych jest funkcją wymierną. Własności funkcji homograficznej f() = a+b c+d. Funkcję homograficzną można przedstawić w postaci f() = c ( a + ) bc ad c + d jest więc złożeniem funkcji liniowej i funkcji odwrotność.. D f = R \{ d c }, R f = R \{ a c }, ad bc, c.. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola (równoosiowa), której asymptotą poziomą jest prosta y = d c, zaś pionową prosta = a c. 4. Funkcja homograficzna jest różnowartościowa w całej swojej dziedzinie. 5. Funkcją odwrotną do f : a+b c+d g : y dy+b cy a., = y, ad bc jest funkcja homograficzna 6. Funkcja homograficzna jest bądź malejąca bądź rosnąca w każdym z przedziałów (, d c ) oraz ( d c, ).

12 f() = 4 g() = + Uwaga. Jeśli f jest malejąca (rosnąca) w każdym z przedziałów (, d) oraz ( d, ), to nie znaczy to, c c że f jest malejąca (rosnąca) w całej dziedzinie! Dla przykładu funkcja f() = maleje osobno w (, ) oraz w (, ), ale nie maleje w zbiorze (, ) (, ), gdyż np. dla = < = nie jest prawdą, że f( ) = > = f( ). IV. Funkcja wykładnicza. D f = R, R f = R + f : R a, a >, a a= a=e a=/ a= a=/e

13 Własności funkcji wykładniczej.. Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa w całej dziedzinie.. Funkcją odwrotną do f : a = y, a >, a jest funkcja g : y log a y.. Jeśli a >, to funkcja f : a jest rosnąca w R. Jeśli < a <, to funkcja f : a jest malejąca w R. 4. Prosta y = jest aymptotą poziomą funkcji wykładniczej. W szczególności (gdy a = e) funkcję f() = e również f() = ep(). nazywamy funkcją eponens, piszemy V. Funkcja logarytmiczna. D f = R +, R f = R f : R + log a, a >, a a= a=e a= a=/ a=/e Własności funkcji logarytmicznej.. Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa w całej dziedzinie.. Funkcją odwrotną do f : log a = y, a >, a jest funkcja g : y a y.. Jeśli a >, to funkcja f : log a jest rosnąca w R +. Jeśli < a <, to funkcja f : log a jest malejąca w R +.

14 4. Prosta = jest aymptotą pionową funkcji logarytmicznej. VI. Funkcje trygonometryczne. Funkcje sin, cos, tg, ctg definiuje się jako funkcje zmiennej rzeczywistej będącej łukową miarą kąta skierowanego. W przypadku kąta ostrego funkcje trygonometryczne można określić jako proporcje boków w trójkącie prostokątnym. Własności funkcji trygonometrycznych. sin cos tg ctg dziedzina R R R \{ π + kπ} R \{kπ} przeciwdziedzina [, ] [, ] R R Parzystość/Nieparzystość N P N N okresowość T = π T = π T = π T = π różnowartościowość [ π + kπ, π + kπ] [kπ, π + kπ] ( π + kπ, π + kπ) (kπ, π + kπ) π ekstrema + kπ kπ asymototy pionowe = π + kπ = kπ różnowartościowość w każdym z przedziałów k Z Uwaga. Funkcje trygonometryczne nie są różnowartościowe w swych dziedzinach. Nie posiadają więc funkcji odwrotnych. Jeżeli jednak zawęzimy te funkcje do odpowiednich przedziałów, to otrzymamy funkcje różnowartościowe. Tak uzyskane zawężenia funkcji trygonometrycznych mają już funkcje odwrotne zwane funkcjami cyklometrycznymi. funkcja dziedzina zawężona funkcja odwrotna sin [ π, π ] arc sin cos [, π] arc cos tg ( π, π) arctg ctg (, π) arcctg wzory trygonometryczne (w tym wzory redukcyjne) 4

15 VII. Funkcje cyklometryczne. Funkcje cyklometryczne są funkcjami odwrotnymi do odpowiednio zawężonych funkcji trygonometrycznych. funkcja prosta f D f R f funkcja odwrotna g D g R g f : sin = y [ π, π ] [, ] g : y arc sin y [, ] [ π, π ] f : cos = y [, π] [, ] g : y arc cos y [, ] [, π] f : tg = y ( π, π ) R g : y arctg y R ( π, π ) f : ctg = y (, π) R g : y arcctg y R (, π) Wartości funkcji cyklometrycznych są więc łukowymi miarami kątów odpowiadających w zawężonej dziedzinie wartości stosownej funkcji trygonometrycznej.,5,5,5 -,5 - -,5 -,5,5,5 - -,5 -,5, ,5 y = sin() y = arc sin() 5

16 ,5,5 -,5,5,5,5,5 -,5 - -,5,5 y = cos() y = arc cos(),5,5 -,5- -,5,5, , ,5 - y = tg() y = arctg(),5 -,5,5,5,5, y = ctg() y = arcctg() 6

17 Przykład. Mamy arc cos = π, bo cos π =, arctg( ) = π, bo tg( π) =, 4 4 arc sin = π, bo sin π =. Należy pamiętać o przeciwdziedzinie funkcji cyklometrycznej. Np. cos( π ) =, ale arc cos = π, sin π =, ale arc sin =, ctg( π 4 ) =, ale arcctg( ) = π 4, sin( π 6 + 4π) =, ale arc sin = π 6. monotoniczność w całej dziedzinie Funkcje cyklometryczne są różnowartościowe w swych dziedzinach, posiadają więc funkcje odwrotne - są nimi odpowiednie funkcje trygonometryczne. Mamy więc wzory sin(arc sin ) =,, arc sin(sin ) =, π, oraz analogiczne wzory dla pozostałych funkcji cyklometrycznych. Zadania. I. Oblicz a) arctg( sin(arc cos( ))), b) sin(arctg(cos )), c) arc cos(sin(arcctg )). II. Udowodnić, że a) arc sin + arc cos = π, [, ], b) arctg + arcctg = π, [, ]. 7

18 VIII. Funkcje hiperboliczne. Definicja Funkcję f : (e e ), której dziedziną jest zbiór R, nazywamy funkcją sinus hiperboliczny i oznaczamy sinh. Funkcję f : (e + e ), której dziedziną jest zbiór R, nazywamy funkcją cosinus hiperboliczny i oznaczamy cosh. R sinh = R, R cosh = [, ) y = sinh() - - y = cosh() Definicja 4 Funkcję f : sinh, której dziedziną jest zbiór R, nazywamy funkcją tangens hiperboliczny i oznaczamy tgh. cosh Funkcję f : cosh, której dziedziną jest zbiór R \{}, nazywamy funkcją cotangens sinh hiperboliczny i oznaczamy ctgh. 8

19 4, , y = tgh() y = ctgh() R tgh = (, ), R ctgh = (, ) (, ). Wykres funkcji f() = cosh lub g() = a cosh, a nazywamy krzywą łańcuchową. a Wybrane wzory dotyczące funkcji hiperbolicznych.. cosh sinh =. sinh = sinh cosh. cosh = cosh + sinh 4. sinh( + y) = sinh cosh y + cosh sinh y 5. cosh( + y) = cosh cosh y + sinh sinh y IX. Przykłady funkcji nieelementarnych.. Funkcja signum., > sgn =, =, <, D = R, R = {,, }. 9

20 ,5, ,5 - -,5 Zauważmy, że, sgn =, =.. Funkcja całość. D = R, R = Z. [] = Ent() = największa liczba całkowita nie większa od Dla k Z i dowolnego R zachodzi: k k + [] = k. Na przykład: [97] = 97, [π] =, [ ] =, [.5] =, [ π] = 4.

21 . Wielomiany i funkcje wymierne - dalsze własności. I. Funkcja kwadratowa. postać ogólna f() = a + b + c, a postać kanoniczna f() = a ( ) + b a = 4a a ( p) + q p = b, q = są wpółrzędnymi wierzchołka paraboli będącej a 4a wykresem funkcji f postać iloczynowa f() = a( ) = b a, gdy = f() = a( )( ) = b a gdy >, = b+ a, Twierdzenie 4 Jeśli, są pierwiastkami równania kwadratowego a +b+c = (zatem a, > ), to + = b c, = c c wzory Viete a II. Wielomiany. Dwa wielomiany P () = a a n n i Q() = b b m m są równe wtedy i tylko wtedy gdy st P = st Q =: s oraz a j = b j. j s Wielomian W () jest podzielny przez niezerowy wielomian P () (piszemy wtedy P () W ()) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje wielomian Q() taki, że W () = P () Q(). Ogólnie, jeśli W () i P () są wielomianami (P () - wielomian niezerowy), to istnieją wielomiany Q() i R() takie, że st R < st P =: s oraz W () = P () Q() + R(). W powyższych równościach Q() nazywamy ilorazem wielomianu W () przez P (), zaś R() - resztą z dzielenia W () przez P (). Powyższe wzory można zapisać w postaci W () P () = Q() oraz W () P () = Q() + R() P () dla D P.

22 algorytm dzielenia pisemnego wielomianów Przykład. I. Wielomian W () = + 6 jest podzielny przez P () = + +. Mamy W () = lub W () = P ()( ). P () II. Wielomian W () = 4 + nie jest podzielny przez P () = + +. Ilorazem z dzielenia W () przez P () jest Q() =,a resztą R() = +. Zatem 4 + = Twierdzenie 5 (o rozkładzie wielomianu) Każdy wielomian jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego. Zastosowanie np. rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach Twierdzenie 6 (Bezout) Liczba jest pierwiastkiem wielomianu W () wtedy i tylko wtedy gdy W () jest podzielny przez. Twierdzenie 7 (o pierwiastkach całkowitych wielomianu) Jeśli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu W () = a a n n o współczynnikach całkowitych, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego a. Twierdzenie 8 (o pierwiastkach wymiernych wielomianu) Jeśli liczba wymierna p q, p, q Z \{} jest pierwiastkiem wielomianu W () = a +...+a n n o współczynnikach całkowitych, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a, a q jest dzielnikiem współczynnika a n. Przykład. I. Rozwiąż równanie =. Zauważmy, że = jest pierwiastkiem wielomianu W () = Zatem ( + ) W () i mamy W () = ( + )( + + ).

23 Stąd W () = jest równoważne + = + + =, więc = jest jedynym pierwiastkiem równanie =. II. Znaleźć rozkład iloczynowy wielomianu W () = Ponieważ W () =, więc Ale W () = ( )V (), V () = V () = ( ) ( 4 + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) ( ). Stąd W () = ( + ) ( ). Zadanie. Znaleźć rozkład iloczynowy wielomianu. W () = 4 + 4,. W () = Uwaga. Liczbę nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W () wtedy i tylko wtedy gdy W () jest podzielny przez ( ) k, ale nie jest podzielny przez ( ) k+. III. Funkcje wymierne. Szczególnymi przypadkami funkcji wymiernej są funkcje A ( a) n oraz B + C ( + p + q) n, zwane ułamkami prostymi odpowiednio I i II typu. W powyższych ułamkach n N, zaś A, B, C, a, p, q są stałymi rzeczywistymi, przy czym zakładamy, że p 4q <. Niech dana będzie funkcja wymierna P (), Q nie jest wielomianem zerowym. Q()

24 Mówimy, że funkcja wymierna jest ułamkiem właściwym, jeśli st P < st Q. W przeciwnym razie funkcja wymierna jest ułamkiem niewłaściwym. Każdy ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci ułamka właściwego i wielomianu (wykonując dzielenie P () przez Q()): P () Q() = V () + R() Q(). Twierdzenie 9 (o rozkładzie funkcji wymiernej) Każda funkcja wymierna P () Q(), gdzie Q nie jest wielomianem zerowym, będąca ułamkiem właściwym, jest sumą ułamków prostych. Aby uzyskać taki rozkład należy przedstawić Q() w postaci iloczynowej. Następnie każdemu czynnikowi rozkładu postaci ( a) n przypisujemy n ułamków I typu, zaś każdemu czynnikowi rozkładu postaci ( +p+q) n, p 4q < przypisujemy n ułamków II typu, według zasady: czynnik rozkładu mianownika a odpowiadający mu ułamek prosty A a ( a) n A a + A ( a) A n ( a) n + p + q B+C +p+q ( + p + q) n B +C +p+q B n+c n ( +p+q) n gdzie n N, n. Na koniec wyznaczamy nieznane współczynniki rozkładu metoda współczynników nieoznaczonych. Przykład. Wyznacz rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste:. f() = Ponieważ + + = ( + )( + ) przewidujemy, że f() = A + B + C + wyznaczamy A, B, C. Jest A = B = C =, skąd f() = f() = i 4