Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Transkrypt

1 Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

2 Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy przyporządkowanie, które każdej liczbie ze zbioru A przyporządkowuje pewną liczbę rzeczywistą, co zapisujemy D dziedzinafunkcji f, P -przeciwdziedzina f(d) zbiór wartości funkcji f f: D P. { } ( ) = : = ( ) f D y P x Dy f x

3 Obraz i przeciwobraz Niech C D. Obrazemzbioru C przy odwzorowaniu f nazywamy zbiór { } ( ) = : = ( ) f C y P x Cy f x Niech E P. Przeciwobrazemzbioru E przy odwzorowaniu f nazywamy zbiór { } ( ) : ( ) 1 f E = x D y E f x = y Zadanie: rozstrzygnąć czy zachodzą równości ( ( )), ( ) ( ) f 1 f C = C f f 1 E = E

4 Funkcja różnowartościowa Funkcja f: D Pjest różnowartościowa, jeżeli zachodzi implikacja ( ) ( ) x, x Df x = f x x = x Funkcja różnowartościowa ma funkcję odwrotną f 1 : P f( D) D, zdefiniowaną za pomocą równoważności ( ) 1, ( ) ( ) y f D x Df y = x f x = y

5 Złożenie funkcji Niech ( ) f: D P, g: f D E Q Złożeniemfunkcji f i g nazywamy funkcję g f: D Q, zdefiniowaną następująco: ( ) ( ): ( ) x Dg f x = g f x Zadanie: Udowodnić, że jeżeli f jest różnowartościowa, to ( ) 1 ( ) 1 ( ) x Dy, f D f f x = xf, f y = y

6 Funkcje monotoniczne Funkcja jest f: R D R rosnąca (czasem: ściśle rosnąca), jeżeli ( ) ( ) x, x Dx < x f x < f x niemalejąca, jeżeli x, x Dx < x f x f x ( ) ( ) malejąca (czasem: ściśle malejąca), jeżeli x, x Dx < x f x > f x ( ) ( ) nierosnąca, jeżeli x, x Dx < x f x f x ( ) ( )

7 Niech Działania na funkcjach rzeczywistych fg, : R D R Sumą, różnicą i iloczynem funkcji f i g nazywamy funkcje zdefiniowane odpowiednio x Df+ g( x) = f( x) + g( x) Jeżeli x Dg( x) 0 to można również zdefiniować iloraz funkcji x Df g( x) = f( x) g( x) Zadanie: udowodnić, że złożenie i suma funkcji monotonicznych jest funkcją monotoniczną

8 Funkcje ciągłe Funkcja f: R D Rjest ciągław punkcie x D jeżeli dla dowolnego ciągu x o wyrazach z dziedziny D, zbieżnego do 0 n zachodzi ( ) ( ) ( ) lim n f x n = f x Z własności granic wynika, że suma, różnica, iloczyn i iloraz (o ile x Dg( x) 0) funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą Zadanie: rozstrzygnąć czy złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą i czy funkcja odwrotna (o ile istnieje) jest funkcją ciągłą 0 x 0

9 Lemat Bolzano-Weierstrassa Twierdzenie Weierstrassa Lemat: z każdego nieskończonego i ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych można wybrać podciąg zbieżny R x, x ab,, min max x ab, f( x ) f( x) f( x ), min max Twierdzenie: jeżeli funkcja f : ab, R jest ciągła, to istnieją takie że co więcej, funkcja f przyjmuje wszystkie wartości z przedziału f x, f x ( ) ( ) min Przykład istnienie pierwiastka max

10 Funkcja exponencjalna Funkcję exp: R Rdefiniujemy za pomocą wzoru n x x R exp ( x) : = lim 1+ n n Zadanie: udowodnić, że ( ) ( ) ( ) xy, R expx+ y = expx expy (wskazówka nierówność Bernoulliego) Zadanie: udowodnić, że funkcja exp jest rosnąca, dodatnia i ciągła (wskazówka z równości powyżej wystarczy udowodnić ciągłość w 0)

11 Logarytm naturalny funkcja odwrotna do funkcji exp Funkcja exp jest rosnąca, zatem jest różnowartościowa i posiada funkcję odwrotną, zwaną logarytmem naturalnym ( R ) R ( ) 1 x = ( x) ln:exp, ln exp Zadanie: udowodnić, że logarytm naturalny jest funkcją rosnącą, ciągłą i jego dziedziną jest zbiór liczb dodatnich Zastosowanie definicja potęgi o dowolnym wykładniku

12 Funkcje monotoniczne, c. d. Mówimy, że funkcja f: R D R rośnie coraz szybciej, jeżeli jest rosnąca i,, x x x D ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x x < x < x Mówimy że funkcja f: R D R rośnie coraz wolniej, jeżeli jest rosnąca i Przykład: funkcja użyteczności x, x, x D ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x x < x < x

13 Funkcje monotoniczne, c. d. Mówimy, że funkcja f: R D R maleje coraz wolniej, jeżeli jest malejąca i,, x x x D ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x x < x < x Mówimy że funkcja f: R D R maleje coraz szybciej, jeżeli jest malejąca i x, x, x D ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x x < x < x

14 Funkcje wklęsłe i wypukłe x, x, x D Funkcja f jest wypukła, jeżeli ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x x < x < x Funkcja f jest wklęsła, jeżeli x, x, x D ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x x < x < x Zadanie: udowodnić, że funkcja exp jest wypukła

15 Obcięcie funkcji f: D P Niech i niech C D Obcięciemfunkcji f do zbioru C nazywamy funkcję f : C P zdefiniowaną wzorem C C ( ) ( ) x C f x = f x Funkcję f nazywamy różnowartościową (monotoniczną, wklęsłą, wypukłą) na zbiorze C Djeżeli funkcja f C jest różnowartościowa (monotoniczna, wklęsła, wypukła)

16 Wypukłość Zadanie: udowodnić, że funkcja f jest wypukła na odcinku [a,b] wtw., gdy x x ab t,, 0,1 1 2 f t x t x t f x t f x ( + ( 1 ) ) ( ) + ( 1 ) ( ) Zadanie: udowodnić, że jeżeli f jest wypukła na odcinku [a,b], to zbiór {(, ) R 2 : a x by, f( x) } A= xy jest wypukły (wraz z dowolnymi dwoma punktami zawiera cały odcinek łączący te punkty)

17 Wypukłość, c. d. Zadanie: z nierówności na poprzednim slajdzie wyprowadzić tzw. nierówość Jensena x, x,..., x ab, t,..., t 0,1, t... t n + + = 1 n 1 n f t x t x t f x t f x ( ) ( ) ( ) 1 1 n n 1 1 n n Zadanie: udowodnić nierówność x, x,..., x > 0 t,..., t 0,1, n 1 n t + + t = 1 n t t t t x 1 2 n x x x t x t x 1 2 n a stąd nierówność x x x n n x + x x 1 2 n,,..., > 0 nx x... x 1 2 n 1 2 n n