Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Transkrypt

1 Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym dzielnikiem liczb n k Z gdy istnieje m n oraz m k; liczby n k Z są względnie pierwsze gdy liczba 1 jest ich największym wspólnym dzielnikiem. Zadanie 1. Uzasadnić że podane liczby są niewymierne: a) b) 7 c) p p - l. pierwsza d) 6 e) log f) log 5 g) h) 5 i). Definicja. Wartością bezwzględną (modułem) liczby x nazywamy liczbę x R zdefiniowaną wzorem { x gdy x 0 x = x gdy x < 0. Fakt 1. Dla dowolnych x y R oraz a > 0: 1. x 0. x = 0 x = 0. x a a x a 4. x < a a < x < a 6. x + y x + y 7. xy = x y 8. x y = x y jeśli y 0 9. x y x + y x + y 5. x = a x = a x = a 10. ( x+ x ) ( ) + x x = x 11. x y x y ; w szczególności x y x y. Zadanie. Udowodnić powyższe własności. 1

2 Zadanie. Rozwiązać równania (pamiętając o odpowiednich założeniach): a) x = (graficznie) b) x + 1 = (graficznie) c) 4x = x d) x = x e) x = x 1 f) x 8 = 10 g) 5x x = 6 h) x + 1 4x = 0 i) x 4 x = j) x + x = 6 k) x + 1 x 1 = 0 l) 4x + x = x m) x x = x n) x 1 + x x = x o) 1 x + x 6 = x p) x x + = 0 q) x x + 1 = 0 x r) x = x 1. s) x + 1 = x + 1 t) x π x + 1 = x 1 u) x + x x = x Odpowiedzi: a) x {1 5} b) x { 1} c) x = 0 d) x 0 e) x f) x { } g) x { 1 6} h) x { 1 6 } i) x = 1 j) x { } k) x { 1 0 } l) x m) x {1 } n) x = 1 o) x = 5 p) x { 1 1 } q) x { 1 1} r) x = 1 5 s) x { 0} t) x = 1 6 (π 1) u) x { }. Zadanie 4. Rozwiązać nierówności (pamiętając o odpowiednich założeniach): a) x b) 4x 1 i) x 5 x + 6 < 0 j) x < x x + c) x 5 1 d) x > x + e) x 4 x+1 f) x x+ < g) x 4 h) x + + x + 4 < x ( Odpowiedzi: a) x [0 ] b) x 1 [ ] 4 e) x 6 \ { 1} f) x k) x + < x x + 5 l) x x > x m) x + 1 < 0 n) lnx x > 0 o) x x +1 1 p) x 4 x +1 < 0. ] [ ) [ 4 c) x ] 8 d) x ( 1) ( ) ( 1 4 ) g) x ( 10] [14 ) h) x ( 5 1) i) x ( ) ( ) j) x ( 0) (1 ) k) x ( 1) ( ) l) x ( 1) (0 ) m) x n) x > 0 o) x 1 p) x. Definicja. Niech f : X Y X Y R. Wtedy: zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f zbiór ZW f = {f(x) Y : x D f } nazywamy zbiorem wartości funkcji f

3 zbiór tych elementów z R dla których wzór określający funkcję f ma sens nazywamy dziedziną naturalną tej funkcji. Zadanie 5. Znaleźć dziedzinę naturalną funkcji: a) f(n) = 5n n 6 n N b) g(x) = log(x 1) c) h(x) = log (1 + x ) d) f(x) = x e) g(x) = 1 x 4 f) h(x) = sin(x) g) f(x) = arcsin ( x ) h) g(x) = arccos ( x ) i) h(x) = x+1 log 1 x j) f(x) = (e x 1) 1 k) g(x) = log x (x+1) x 1 l) h(x) = e x. Odpowiedzi: a) D f = {n N : n } b) D g = ( 1) (1 ) c) D h = R d) D f = ( 1] [5 ) e) D g = ( ) [ ( ) ) f) D h = [kπ (k + 1)π] k Z g) D f = [ ] h) D g = ( 0] i) D h = 1 j) D f = (0 ) k) D g = (0 ) \ {1} l) D h = R. Definicja 4. Niech f : X Y X Y R będzie funkcją oraz A X B Y. Wówczas: obrazem zbioru A poprzez f nazywamy zbiór f(a) := {y Y : x A y = f(x)} przeciwobrazem zbioru B poprzez f nazywamy zbiór f 1 (B) := {x X : f(x) B}. Zadanie 6. Niech A = (0 1] B = ( 1 ) {8} oraz a) f : R R dana wzorem f(x) = 1 x b) f : R R dana wzorem f(x) = x c) f : R R dana wzorem f(x) = x d) f : R R dana wzorem f(x) = { x + gdy x 1 x + gdy x > 1. Naszkicować wykres funkcji f i wyznaczyć f(a) oraz f 1 (B). Odpowiedzi: a) f(a) = [0 1) f 1 (B) = ( ) b) f(a) = (0 1] f 1 (B) = ( 1 ) {} c) f(a) = [ ) f 1 (B) = { 5 11} (0 6) d) f(a) = [0 1) (/ ] f 1 (B) = ( 5 ). Definicja 5. Niech f : X Y i g : Y Z będą funkcjami. Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję g f : X Z zdefiniowaną wzorem (g f)(x) := g (f(x)).

4 Definicja 6. Mówimy że funkcja f : X Y jest odwracalna jeżeli istnieje funkcja g : Y X taka że x X g f(x) = x oraz y Y f g(y) = y. Funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f. Zadanie 7. Naszkicować wykres funkcji: a) f(x) = arcsin(x) b) f(x) = arccos(x) c) f(x) = arctg(x) d) f(x) = arcctg(x) e) g(x) = arcsin(sin(x)) f) g(x) = sin(arcsin(x)) g) g(x) = arccos(cos(x)) h) g(x) = cos(arccos(x)) i) g(x) = arctg(tg(x)) j) g(x) = ctg(arcctg(x)) k) g(x) = ctg(arctg(x)) l) f(x) = sin(x) m) f(x) = cos(x) n) f(x) = log 1 (x + 5) o) f(x) = ln(x) + ) x p) f(x) = ( 1 q) f(x) = e x r) f(x) = e x+. Zadanie 8. Obliczyć: a) arcsin ( 1 ) + arctg( 1) b) arcsin( 1 ) + arccos( 1 ) c) arcsin( 1 ) + arccos( ) + arctg( ) d) arccos( ) + arcsin( 1 ) + arctg( ) e) arcsin(1) + arccos(1) + arctg(1) f) arcsin( 1) + arccos( 1) + arcctg( 1). Odpowiedzi: a) 7 1 π b) 11 6 π c) 0 d) π e) 4 π f) π 4. Definicja 7. Funkcję f : X Y gdzie X Y R nazywamy: rosnącą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) < f(x )] niemalejącą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) f(x )] malejącą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) > f(x )] nierosnącą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) f(x )] stałą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) = f(x )] okresową o okresie T jeżeli T >0 x X f(x + T ) = f(x) dla x + T X parzystą jeżeli x X x X oraz f( x) = f(x) nieparzystą jeżeli x X x X oraz f( x) = f(x) różnowartościową injekcją lub 1-1 jeżeli x1 x X [(x 1 x ) f(x 1 ) f(x )] na lub surjekcją jeżeli y Y x X y = f(x) wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją. 4

5 Zadanie 9. Zbadać monotoniczność funkcji: a) f(x) = x + 4 b) f(x) = x c) f(x) = x + 1 d) f(x) = x e) f(x) = x f) f(x) = 1 x x R \ {0} g) f(x) = 1 x x (0 ) h) f(x) = 1 x x R \ {0} i) f(x) = 1 x x (0 ) j) f(x) = 1 x x ( 0) k) f(x) = 1 x x (0 ) l) f(x) = 1 x x R \ {0} m) f(x) = x n) f(x) = x x 0 o) f(x) = x + 4 x ( 4] p) f(x) = x x ( ). Odpowiedzi: a) rosnąca b) rosnąca c) malejąca d) rosnąca e) rosnąca f) nie jest monotoniczna g) malejąca h) nie jest monotoniczna i) malejąca j) rosnąca k) rosnąca l) nie jest monotoniczna m) nie jest monotoniczna n) rosnąca o) malejąca p) rosnąca. Zadanie 10. Sprawdzić czy funkcja f : R R jest różnowartościowa. a) f(x) = 1 x x R \ {0} b) f(x) = x 5 x+ x R \ { } c) f(x) = x x [0 ) d) f(x) = x 4 x R \ { } e) f(x) = x x ( 0] f) f(x) = x 4 g) f(x) = x 4 x [0 ) h) f(x) = x 8. Odpowiedzi: a) tak b) tak c) tak d) nie e) tak f) nie g) tak h) tak. Zadanie 11. Czy funkcja f jest bijekcją? Jeśli tak narysować wykres funkcji do niej odwrotnej. a) f : R [ 1 1] f(x) = sin x b) f : [ π/ π/] [ 1 1] f(x) = sin x c) f : R [ 1 1] f(x) = cos x d) f : [0 π] [ 1 1] f(x) = cos x e) f : ( π/ π/) R f(x) = tg(x) f) f : (0 π) R f(x) = ctg(x). Odpowiedzi: a) nie b) tak c) nie d) tak e) tak f) tak. Zadanie 1. Sprawdzić czy funkcja f : D f R R jest bijekcją. Jeśli tak znaleźć funkcję do niej odwrotną (f 1 ). { x+1 a) f(x) = x+ gdy x gdy x = x gdy x 0 b) f(x) = x gdy x (0 1) x gdy x 1 c) f(x) = 4 x x [0 ) d) f(x) = x + 1 x [ 0) e) f(x) = x f) f(x) = ln(x 1) g) f(x) = 1 x h) f(x) = x + i) f(x) = 1 + e x j) f(x) = x + 1 k) f(x) = x 4 sgn(x) l) f(x) = log (x + 1) m) f(x) = ax+b cx a f : R \ { a c } R \ { a c } n) f(x) = arccos(x + 1) 5

6 x + gdy x R \ { 1 0} o) f(x) = gdy x = 1 1 gdy x = 0 p) f(x) = x x + x x x 0. Odpowiedzi: a) tak b) nie c) nie d) nie e) nie f) tak g) nie h) tak i) nie j) tak k) tak l) tak m) tak n) nie o) tak p) nie. Zadanie 1. Sprawdzić czy funkcja jest okresowa i wyznaczyć jej okres podstawowy. Które z tych funkcji są parzyste/nieparzyste? a) f(x) = cos x b) f(x) = sin x c) f(x) = sin x d) f(k) = ( 1) k k Z e) f(x + 1) = 1+f(x) 1 f(x). f) f(x) = 4 tg x. Odpowiedzi: a) T = π parzysta b) nie parzysta c) T = π parzysta d) T = parzysta e) T = 4 f) T = π nieparzysta. Zadanie 14. Dane są funkcje f oraz g: a) f(x) = x g(x) = x + b) f(x) = arccos(x) g(x) = cos(x) c) f(x) = e x g(x) = ln(x + 4) d) f(x) = cos(x) g(x) = x i) f(x) = { x + 1 gdy x [0 1] x + gdy x (1 ] g(x) = e) f(x) = log x g(x) = x f) f(x) = x g(x) = x g) f(x) = x g(x) = x 4 h) f(x) = 1 x g(x) = x { x + gdy x [0 1) 1 x + gdy x [1 ]. Wykonać wszystkie możliwe złożenia funkcji f oraz g tzn. f g f f g f g g (o ile są możliwe - w przeciwnym wypadku uzasadnić). Definicja 8. Mówimy że funkcja f : X Y jest: ograniczona z dołu gdy m R x A f(x) m ograniczona z góry gdy M R x A f(x) M ograniczona na zbiorze A X jeżeli jest ograniczona z dołu i z góry na tym zbiorze. Zadanie 15. Zbadać ograniczoność funkcji: a) f(x) = 4 cos(x) b) f(x) = log (x) c) f(x) = 1 x+1 d) f(x) = 1 x +1 x ( 1 1) e) f(x) = x 1 x +1 f) f(x) = x1 x 4 +1 g) f(x) = 1 x +1 h) f(x) = tg(x) x ( π π ) i) f(x) = x x (0 ) 6

7 j) f(x) = x x ( 0] k) f(x) = 1 + x l) f(x) = x x m) f(x) = log x x (0 ) n) f(x) = 1 x o) f(x) = x x [ ). Odpowiedzi: a) ograniczona b) nieograniczona c) ograniczona d) ograniczona e) ograniczona f) ograniczona z dołu g) ograniczona h) nieograniczona i) ograniczona z dołu j) ograniczona k) ograniczona z dołu l) ograniczona z góry m) nieograniczona n) ograniczona z góry o) ograniczona z dołu. Twierdzenie 1 (Indukcja matematyczna (zupełna)). Niech T (n) oznacza formę zdaniową zmiennej n określoną w dziedzinie N. Jeżeli: istnieje taka liczba naturalna n 0 że T (n 0 ) jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n n 0 prawdziwa jest implikacja T (n) T (n + 1) to T (n) jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n n 0. Zadanie 16. Wykazać metodą indukcji matematycznej prawdziwość poniższych faktów dotyczących ciągów: a) wzór na ciąg arytmetyczny (a n = a 1 + r(n 1) dla n 1) b) wzór na sumę ciągu arytmetycznego (a 1 + a a n = (a 1+a n)n dla n 1) c) wzór na ciąg geometryczny (a n = a 1 q n 1 dla n 1) d) wzór na sumę ciągu geometrycznego (a 1 + a a n = a 1 1 q n 1 q dla n 1). Zadanie 17. Wykazać metodą indukcji matematycznej prawdziwość poniższych równości i nierówności: a) n = n(1+n) b) n = n(1+n)(n+1) 6 c) n = ( n(1+n) ) d) n 4 = n(1+n)(n+1)(n +n 1) 0 e) n 1 = n f) (n 1) = n(4n 1) g) (n 1) = n (n 1) h) (n 1) 4 = n(4n 1)(1n 7) 15 i) n 1 = (n+)(n 1) 4n(n+1) dla n j) (n + 1) = (n + 1) 4 (n + 1) dla n 1 k) (n) = ( n) dla n 1 7

8 l) n > n dla n m) n n 1 > n 1 dla n n) ( n)( n ) n dla n 1 o) n n+1 > (n + 1) n dla n > 4 Zadanie 18. Wykazać metodą indukcji matematycznej prawdziwość poniższych faktów dotyczących podzielności: a) n n dla n b) 6 n n dla n c) 6 n(n + 1)(n + 1) dla n 1 d) 7 n 7 n dla n e) 7 10 n+1 ( 1) n dla n f) 9 10 n 1 dla n 1 g) 9 4 n + 6n 10 dla n h) 10 n 6 dla n i) n ( 1) n dla n 1 j) 1 10 n 4 dla n 1 k) 0 n 5 n dla n l) 4 n 7 n dla n m) (x 1) (4n + )x n+ (7n + 6)x n+1 + (n + )x n + 1 = w n (x) dla n 0. Zadanie 19. Wyznaczyć wzór na liczbę przekątnych w n-kącie foremnym i wykazać jego prawdziwość metodą indukcji matematycznej. Bibliografia: 1. J. Banaś S. Wędrychowicz Zbiór zadań z analizy matematycznej WNT Warszawa M. Gewert Z. Skoczylas Analiza matematyczna 1. Definicje twierdzenia wzory GiS Wrocław 00.. M. Gewert Z. Skoczylas Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania GiS Wrocław K. Jankowska T. Jankowski Zbiór zadań z matematyki PG Gdańsk W. Krysicki L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach część 1 PWN Warszawa W. Kryszewski Wykład analizy matematycznej cz. 1 - Funkcje jednej zmiennej UMK Toruń F. Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych PWN Warszawa