Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.

Transkrypt

1 Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością funkcji. Zbiór nazywamy dziedziną funkcji. Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:. Uwaga Do definicji funkcji trzeba podać trzy rzeczy:,,. Dwie funkcje: oraz, dla których sposób przyporządkowania jest taki sam, ale lub, uważamy za różne! Np. oraz, uważamy za różne, mimo iż recepta przyporządkowania jest ta sama! Injekcja Injekcją nazywamy odwzorowanie o własności: (innymi słowy, jest to odwzorowanie różnowartościowe) Surjekcja Surjekcją nazywamy takie odwzorowanie, że każdy jest obrazem pewnego. Zapiszmy to używając kwantyfikatorów:. W tym przypadku mówimy też, że jest odwzorowaniem "na". Bijekcja Bijekcją nazywamy odwzorowanie, które jest jednocześnie injekcją i surjekcją. Rozważmy trzy funkcje : ; ;. nie jest iniekcją ani surjekcją;

2 nie jest injekcją, ale jest surjekcją; wreszcie jest zarówno injekcją jak i surjekcją. ten pokazuje, w jak dużym (decydującym!) stopniu własności funkcji (injektywność, surjektywność itp.) zależą od zbioru, na którym są określone. Odwzorowanie odwrotne Bijekcje są ważną klasą odwzorowań, gdyż można dla nich określić odwzorowanie odwrotne: Jeśli jest bijekcją, to odwzorowaniem odwrotnym do (oznaczanym jako jest odwzorowanie, definiowane tak: Jeśli, to. Weźmy z powyższego przykładu. Mamy tu, więc. Obraz Obrazem zbioru przy odwzorowaniu nazywamy zbiór oznaczany jako i określony jako Przeciwobraz Przeciwobrazem zbioru przy odwzorowaniu nazywamy zbiór, oznaczany jako i określony jako Rozważmy funkcję z powyższego przykładu:. Mamy:, zaś. Poziomica Poziomicą punktu nazywamy przeciwobraz punktu. Rozważmy funkcję, określoną jako:. Wtedy, dla, poziomica to zbiór punktów płaszczyzny spełniających równanie:, w czym rozpoznajemy równanie

3 okręgu o promieniu. Dla poziomicą jest punkt, a dla zbiór pusty. Wykres funkcji Jako że zmysłem człowieka, odbierającym zdecydowaną większość bodźców jest wzrok, nic dziwnego, że łatwiej dostrzeżemy różne aspekty funkcji patrząc na jej wykres. Def. Wykresem funkcji nazywamy następujący podzbiór iloczynu kartezjańskiego :. W sytuacjach, z którymi teraz będziemy mieć do czynienia (tzn. wykresami funkcji rzeczywistych o argumentach rzeczywistych), wykres jest podzbiorem płaszczyzny, tzn. zbiorem par poziomej zaznaczamy argumenty, a na osi pionowej wartości funkcji. Miejsce zerowe. Na osi Miejscem zerowym funkcji nazywamy argument taki, że =0. Używając dopiero co wprowadzonej terminologii mówimy, że zbiorem miejsc zerowych funkcji poziomica:. jest Własności funkcji Następujące właściwości funkcji rzeczywistych (tzn., gdzie są podzbiorami ) są często ważne w zastosowaniach. Monotoniczność funkcji nazywamy rosnącą na zbiorze nazywamy malejącą na zbiorze nazywamy stałą na zbiorze Parzystość nazywamy parzystą. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi. Funkcja jest parzysta na

4 Nieparzystość nazywamy nieparzystą. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem punktu. Funkcja jest nie parzysta na Ograniczenie z dołu nazywamy ograniczoną z dołu Ograniczenie z góry nazywamy ograniczoną z góry

5 Ograniczenie nazywamy ograniczoną jeśli jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu. Funkcja jest ograniczona z dołu; jest ograniczona z góry; Największa wartość jest ograniczona. nie jest ograniczona; a funkcja Funkcja przyjmuje największą wartość dla oraz. Najmniejsza wartość Analogicznie: Def. Funkcja przyjmuje najmniejszą wartość dla oraz. Przekształcenia wykresu funkcji Symetria względem osi : Przekształcając wykres funkcji przez symetrię względem osi, otrzymamy wykres funkcji. Symetria względem osi : Przekształcając wykres funkcji przez symetrię względem osi, otrzymamy wykres funkcji. Symetria względem punktu : Przekształcając wykres funkcji przez symetrię względem punktu, otrzymamy wykres funkcji. Wykres funkcji i Wykres funkcji i Przesunięcie równoległe wykresu o wektor : W wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji o wektor otrzymujemy wykres funkcji. Skalowanie wykresu funkcji: wykresy oraz.

6 Symetria względem prostej otrzymamy wykres funkcji odwrotnej. : Przekształcając w ten sposób wykres funkcji Skalowanie wykresu funkcji postaci do Wykres funkcji odwrotnej. i funkcji do niej y funkcji Funkcja liniowa Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem, gdzie. Wykres Wykresem funkcji liniowej jest prosta o równaniu, nachylona do osi pod kątem takim, że. Prosta o równaniu nachylona do osi OX pod kątem takim, że. Monotoniczność Funkcja liniowa jest: rosnąca, malejąca, stała.

7 Jak uwzględnić proste pionowe Jak powiedziano, wykresem funkcji liniowej jest prosta. Patrząc na wszystkie możliwe proste na płaszczyźnie, widzimy, że postać obejmuje prawie wszystkie przypadki, z wyjątkiem jednej klasy prostych pionowych. Aby uwzględnić także tę sytuację, dogodnie jest przyjąć ogólniejszą postać równań prostej, a mianowicie: Warunki równoległości wykresów funkcji liniowych Proste zadane jako wykresy funkcji: oraz są równoległe. Proste zadane w postaci ogólnej oraz są równoległe. Równanie liniowe z jedną niewiadomą Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie postaci, gdzie. Mogą zachodzić następujące sytuacje dotyczące rozwiązalności takiego równania: Jeśli, to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jeśli i, to rozwiązaniem równania jest dowolna liczba rzeczywista. Jeśli i, to równanie nie posiada rozwiązań Układ dwu równań liniowych z dwiema niewiadomymi Niech będzie dany układ dwu równań liniowych z dwiema niewiadomymi : Zdefiniujmy jako: ; ; ; Mogą zachodzić następujące sytuacje dotyczące rozwiązalności układu (1):

8 Jeśli, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie:,. Układ taki nazywamy układem oznaczonym. Jeśli, to układ (1) posiada nieskończenie wiele rozwiązań; rozwiązaniem jest każda para liczb spełniająca dowolne równanie danego układu. Układ taki nazywamy układem nieoznaczonym. Jeśli i co najmniej jeden z wyznaczników jest różny od zera, to układ nie posiada rozwiązań. Układ taki nazywamy układem sprzecznym. Funkcja kwadratowa Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję:,,. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o, gdzie wierzchołku w punkcie, gdzie nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa : ma dwa różne miejsca zerowe (pierwiastki):,, gdy ; ma jedno miejsce zerowe, gdy

9 ; nie ma miejsc zerowych, gdy. rzut pionowy Z miejsca znajdującego się 2 m nad podłogą rzucamy w górę piłkę z prędkością początkową 3 m s. Po jakim czasie piłka upadnie na podłogę? Założyć wartość przyspieszenia ziemskiego 10 m. Rozwiązanie Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym określona jest wzorem: s(t)= a 2 +, gdzie przyspieszenie, prędkość początkowa, droga w chwili. Pytamy zatem, jakiej chwili czasu będzie odpowiadała wysokość. Mamy więc równanie: skąd:. Piłka upadnie na podłogę po upływie 1 sekundy.

10 (Czemu odpowiada drugi pierwiastek?) Pożyteczne są: Postaci funkcji kwadratowej Postać kanoniczna:, gdzie,. Postać iloczynowa: Istnieje. Jeśli tak jest, to: Wzory Viète'a gdy, gdy. Gdy równanie kwadratowe ma pierwiastki, to zachodzą wzory Viète'a Funkcje wymierne homografie postaci:, gdzie oraz, nazywamy homografią. Dziedziną homografii jest Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola: wykres funkcji Napiszmy równanie funkcji homograficznej: odpowiednio poprzesuwany: Widać, iż ogólną homografię powstaje ze "standardowej" przez: przesunięcie poziome o ; przeskalowanie o czynnik ; przesunięcie pionowe o. Asymptoty Prostą (poziomą) o równaniu nazywamy asymptotą poziomą; prostą (pionową) o równaniu

11 nazywamy asymptotą pionową.