1 Funkcje elementarne

Transkrypt

1 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N dziedziną funkcji jest R. 6 x 5 x x 1 1 a < 0, oraz a Z dziedziną funkcji jest R\{0} 10 x 1 x x Wykres takiej funkcji nazywa się hiperbolą. 1

2 a R (tutaj rozważmy przypadki kiedy potęga jest liczbą wymierną), dziedzina funkcji to R + (dla 1/p, gdzie p - parzyste) i R dla p nieparzystych. Dla ujemnych potęg zero nie znajduje x 1 x x 1 się w dziedzinie, natomiast, kiedy mamy dodatnie potęgi, zero jest uwzględnione w dziedzinie. 1. Funkcje wykładnicze a x a > 0, dziedzina funkcji to R. Dla a = 1 funkcja jest stała. Dla a > 1 jest funkcją rosnącą dla 5 5 x x 3 1. x 1

3 a < 1 mamy funkcję malejącą x x 3 3 x 1 Właściwości: a x+y = a x a y a x y = ( a x) y a x b x = (a b) x Najbardziej powszechną i najczęściej stosowaną funkcją wykładniczą w fizyce jest e x exp(x), gdzie e jest podstawą logarytmy naturalnego. Dla a > 0 oraz a 1 funkcja wykładnicza jest różnowartościowa i na (czyli jest bijekcją). Dlatego istnieje funkcja odwrotna. Definicja 1. Funkcja f : X Y jest na zbiór Y o ile jest spełniony warunek y Y x X y = f(x) (Nazywana suriekcją) 3

4 Definicja. Funkcja f : X Y jest różnowartościowa o ile spełniony jest warunek ( x1,x X x1 x f(x 1 ) f(x ) ) ( ) x1,x X f(x1 ) = f(x ) x 1 = x Czyli różnym argumentom odpowiadają różne wartości. (Nazywana iniekcją) 1.3 Funkcje logarytmiczne Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną dla funkcji wykładniczej. f(x) = log a x (1.1) gdzie a jest podstawą logarytmu i a > 0, a 0. Jeżeli log a x = b a b = x. Dziedziną funkcji logarytmicznej jest (0, + ), f : (0, + ) R. Dla a > 1 jest funkcją rosnącą, natomiast dla a (0, 1) jest malejąca. Własności: log a (xy) = log a (x) + log a (y) log a x α = α log a x log a x = log c x log c a 1. Funkcje trygonometryczne Funkcjami trygonometrycznymi nazywamy funkcje: sin x, cos x, tan x, cot x. Funkcje trygonometryczne dla trójkąta przedstawionego na powyższym rysunku zdefiniowane są jako: sin α = y r cos α = x r tan α = y x cot α = x y = 1 tan α (1.)

5 f x log a x a= 1 a=5 a= f x log a x a a a 1 5 5

6 6

7 Wartości funkcji trygonometrycznych dla podstawowych kątów przedstawione są w poniższej tabeli. Funkcje sinus i cosinus są określone na całej dziedzinie liczb rzeczywistych. Są okresowe i ograniczone. Funkcja sinus jest nieparzysta, natomiast cosinus jest przysty. Funkcja tangens i sin x cos x cotangens nie są określone na całej dziedzinie. Dla tangensa jest to D tan = R\{ π + kπ; k Z}, natomiast dziedzina cotangensa to: D cot = R\{kπ; k Z}. Funkcje tangens i cotangens określone są przy użyciu funkcji sinus i cosinus. Funkcja tangens jest rosnąca w każdym przedziale swojej dziedziny i jest nieparzysta. Funkcja cotangens jest malejąca w każdym przedziale swojej dziedziny i jest parzysta. Obie funkcje są okresowe, o okresie π. Tożsamości trygonometryczne: tan α = sin α cos α cot α = cos α sin α 7

8 tan x cot x

9 sin x + cos x = Funkcje cyklometryczne sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y sin(x y) = sin x cos y sin y cos x cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y sin x + sin y = sin x + y cos x y sin x sin y = sin x y cos x + y cos x + cos y = cos x + y cos x y cos x cos y = sin x + y sin x y Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Funkcja arcus sinus, arcsin: [ 1, 1] [ π, π ]. Funkcja arcus cosinus arccos: [ 1, 1] [0, π]. Funkcja arcus tangens arctan: R ( π, π ). Funkcja arcus cotangens arc ctg: R (0, π). 9

10 10

11 1.6 Zadania z funkcji elementarnych Zadanie 1. Oblicz pierwiastki funkcji. f(x) = x 3x + 1 (1.3) Liczymy. Delta dla trójmianu kwadratowego postaci ax + bx + c wyraża się wzorem = b ac (1.) Miejsca zerowe funkcji oblicza się podług x 1, = b ± a (1.5) W naszym przykładzie = ( 3) 1 = 9 8 = 1, więc pierwiastkami są x 1 = ( 3) + 1 = = 1, x = ( 3) 1 = 1 (1.6) 11

12 Zadanie. Oblicz log 3 8 log 81 = (1.7) log 9 5 log 5 7 = (1.8) log 5 = (1.9) 3 log 5 5+log 5 = (1.10) Pierwsze zadanie jak i drugie rozwiązujemy poprzez zamianę podstawy, czyli korzystamy z wzoru: log a b = log c b (1.11) log c a W pierwszym mamy: log 3 8 log 81 = log 8 log 3 log 81 log = log 3 log 3 1 Drugie zadanie robimy analogicznie =1 log 3 log = 3 {}}{ log 1log 3 / log/ 3 log }{{} =1 = 1 (1.1) =1 log 9 5 log 5 7 = log 3 5 log 3 7 log 3 9 log 3 5 = log 3 5 log log 3 3 log 3 5 = log/ {}}{ log 3 3 log 3 3 log/ }{{} 3 5 = 3 =1 (1.13) Trzeci i czwarty przykład bazuje wyłącznie na definicji logarytmu. log 5 = ( ) log 5 = log 5 = 5 = 5 (1.1) Skorzystano z własności logarytmu log a b + log a c = log a (bc). Zadanie 3. Rozwiąż równanie 3 log 5 5+log 5 = 3 log 3 10 = 10 (1.15) log (x 1) = 3 log 3 x log 3 x 3 = 0 (1.16) Pierwsze równanie rozwiązujemy poprzez sprowadzenie prawej strony do postaci logarytmicznej i korzystamy z faktu, że logarytm jest funkcją różnowartościową. (Trzeba tutaj nadać założenia na x, tzn. x 1 0). log (x 1) = 3 = log 8 (1.17) dlatego x 1 = 8, to x = 9 1

13 Drugie równanie traktujemy jak równanie kwadratowe postaci t 3t = 0 (1.18) gdzie t = log 3 x i szukamy rozwiązania tego równania. Więc liczymy deltę t = 9 8 = 1. To miejsca zerowe są dane przez t 1 = 3 1 = 1, t = = (1.19) Mamy obecnie do rozwiązania dwa równania log 3 x = 1 lub log 3 x =, z jednego wynika, że x = 3, z drugiego x = 9. Oba wyniki należą do dziedziny. Zadanie. Wiedząc, że cos x 0 = 3 i x 0 ( π, π) oblicz sin x 0, tan x 0, cot x 0. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, żeby policzyć sinus. sin x 0 + ( 3 ) = 1 sin x 0 = = 7 16 (1.0) Więc sin x 0 = 7 lub sin x 0 = 7. Ponieważ sinus jest funkcją dodatnią w drugiej ćwiartce, tzn. w przedziale ( π, π), więc odrzucamy drugą opcję. Mając sinus obliczony, wystarczy skorzystać z definicji tangensa i cotangensa, żeby wyznaczyć wartości tych funkcji. tan x 0 = sin x 0 7 = = (1.1) cos x 0 3 natomiast cotangens jest odwrotnością tangensa 7 3 Zadanie 5. Przedstaw tożsamości trygonometryczne: tan(x + y) cot x 0 = 3 7 (1.) cot(x + y) tan(x + y) = sin(x + y) cos(x + y) = sin x cos y + sin y cos x cos x cos y sin x sin y podzielmy licznik i mianownik przez cos x cos y, otrzymamy wtedy tan(x + y) = Analogicznie postępujemy w przypadku cotangensa cot(x + y) = tan x + tan y 1 tan x tan y cos x cos y sin x sin y sin x cos y + sin y cos x = cot x cot y 1 cot y + cot x tym razem pomnożyliśmy i podzieliliśmy licznik i mianownik przez sin x sin y (1.3) (1.) (1.5) 13

14 Zadanie 6. Ile wynosi tan x? Podstawiamy do wcześniej otrzymanego wzoru y = x: tan x = Zadanie 7. Oblicz sin( 5 π 1) + sin( 3 π + 1). Należy skorzystać z wzoru na sumę sinusów tan x 1 tan x (1.6) sin( 5 5 π 1) + sin(3 π + 1) = sin π π 1 }{{ } sin π=0 cos 5 π 1 3π + 1 = 0 (1.7) Zadanie 8. Wykazać, że arcsin x + arccos x = π (1.8) Wskazówla: Wykorzystać wzór sin α = cos( π α), w którym należy przyjąć α = arcsin x. Rozwiązanie: α = arcsin x sin α = x (1.9) x [ π, π ]. Mamy więc sin α = cos( π α) czyli x = cos( π α). Jeżeli x [ π, π ] to 0 π α π. Ze względu na określenie α mamy x = cos( π α) 0 π α π arccos x = π α (1.30) Ponieważ α = arcsin x stąd zachodzi nasza tożsamość. Zadanie 9. Wykazać, że arcsin x = arccos 1 x (1.31) dla x [0, 1]. Wskazówka: Wykorzystać jedynkę trygonometryczną i przyjąć α = arcsin x. Rozwiązanie: α = arcsin x sin α = x, α [ π, π ] (1.3) czyli mamy czyli cos α = ± 1 x, zostawiamy plus, ponieważ α [ π, π]. Jeżeli x [0, 1] to α [0, π ]. Mamy teraz x + cos α = 1 (1.33) 1 x = cos α α [ π, π ] α [0, π ] arccos 1 x = α α [0, π ] (1.3) stąd arcsin x = arccos 1 x x [0, 1] (1.35) 1

15 Zadanie 10. Ile wynosi sin(arccos x)? Podnosimy do kwadratu i dodajemy cosinus tego samego argumentu, żeby skorzystać z jedynki trygonometrycznej. sin (arccos x) + cos (arccos x) = 1 (1.36) }{{} =x więc sin (arccos x) = 1 x sin(arccos x) = 1 x (1.37) Zadanie 11. Ile wynosi sin(arctan x)? Ponieważ tangens z arcusa tangensa wynosi x, czyli tan(arctan x) = x = sin(arctan x) cos(arctan x) = sin(arctan x) 1 sin (arctan x) = x (1.38) więc stąd x = sin(arctan x) 1 sin (arctan x) sin (arctan x) = x x sin (arctan x) (1.39) sin (arctan x)(1 + x ) = x sin(arctan x) = x 1 + x (1.0) 15