Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Transkrypt

1 Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszeo roku kierunku zamawianeo Biotecnoloia w ramac projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera pewna lokata na przszłość jest współinansowan przez Unię Europejską w ramac Europejskieo Funduszu Społeczneo

2 6. Funkcję postaci = a, dzie a R \ {0} nazwam unkcją potęową. 6.. Przkład () a = 2k, k N \ {0} Rsunek. Wkres unkcji () =, () = 3, () = D = R, zbiór wartości R, unkcja rosnąca, unkcja nieparzsta. - (2) a = 2k, k N \ {0} Rsunek 2. Wkres unkcji () = 2, () = 4, () = 6. D = R, zbiór wartości R + {0}, unkcja parzsta. - 0 (3) a = 2k, k Z {0} Rsunek 3. Wkres unkcji () =, () = 3, () = D = R \ {0}, zbiór wartości R \ {0}, unkcja nieparzsta, unkcja różnowartościowa. 29

3 (4) a = 2k, k Z Rsunek 4. Wkres unkcji () = 2, () = 4, () = 6. D = R \ {0}, zbiór wartości R \ {0}, unkcja parzsta (5) a = k, k = {2, 4,... } Rsunek 5. Wkres unkcji () = 2, () = 3, () = (6) a = k, k = {3, 5,... } Rsunek 6. Wkres unkcji () = 3, () = 5, () = Działania na potęac Zakładam, że a 0. a 0 = a = a a n+ = a n a 30

4 Jeśli m, n R, a, b R +, to a m a n = a m+n a m a n = a m n (a b) n = a n b n ( a b )n = an b n (a m ) n = a m n a n = a n n N, a R \ {0} a m n = n a m n N \ {0}, m N, a Działania na pierwiastkac Jeśli m, n N, m, n >, a, b > 0, to n a b = n a n b a b = n a n n b m n a = m n a a ( n a) p = n a p n b = n a n b 6.4. Funkcje pierwiastkowe Funkcją odwrotną do unkcji : [0, + ) [0, + ), () = 2 jest unkcja pierwiastek kwadratow : [0, + ) [0, + ),. n = 2k, k Z + Funkcją odwrotną do unkcji potęowej : [0, + ) [0, + ), () = n jest unkcja n [0, + ), n. : [0, + ) n = 2k +, k Z + Funkcją odwrotną do unkcji : R R, () = n jest unkcja pierwiastek n : R R, n Równania i nierówności pierwiastkowe a,b 0 a = b a 2 = b 2 a,b<0 a = b a 2 = b 2 a,b 0 a b a 2 b 2 a,b<0 a b a 2 b Przkładowe zadania. Rozwiązać równanie + 3 = +. Pierwiastek kwadratow jest określon dla liczb nieujemnc, więc + 3 0, czli 3. Podnosim obie stron do kwadratu. ( + 3) 2 = ( + ) = = 0 = 9, = 2, 2 = 3

5 Ponieważ operacja podnoszenia stron równania do kwadratu nie jest przekształceniem równoważnm i może spowodować wprowadzenie tzw. pierwiastków obcc, sprawdzam, cz otrzmane wniki są aktcznie rozwiązaniami wjścioweo równania. Odpowiedź: { 2, }. 2. Rozwiązać równanie 3 = 3 2. Pierwiastek kwadratow jest określon dla liczb nieujemnc, więc 0, czli oraz 3 2 0, czli 2 3. Zatem D = [, + ). Wrażenie to podnosim do kwadratu. (3 ) 2 = ( 3 2) = = = 5 Równanie podnosim po raz kolejn do kwadratu. (3 ) 2 = (5 ) 2 9( ) = = 0, = 225, = 2, 2 = 7 Ponieważ operacja podnoszenia stron równania do kwadratu nie jest przekształceniem równoważnm i może spowodować wprowadzenie tzw. pierwiastków obcc, sprawdzam, cz otrzmane wniki są aktcznie rozwiązaniami wjścioweo równania. Odpowiedź: = Rozwiązać nierówność Pierwiastek kwadratow jest określon dla liczb nieujemnc, więc 4 2 0, czli [0, 4]. Dla [0, 2) prawa strona nierówności jest ujemna, lewa natomiast jest dodatnia. Czli nierówność zacodzi w sposób oczwist dla każdeo [0, 2). Dla [2, 4] obie stron nierówności są nieujemne, więc można je podnieść do kwadratu (zacowując kierunek nierówności). ( 4 2 ) 2 ( 2) = 8, = 2 2, 2 = 2 + 2, czli [2 2, 2 + 2] Uwzlędniając warunek wstępn [2, 4] otrzmujem [2, 2, + 2]. Bierzem sumę odpowiedzi z obu przpadków, czli [0, 2) lub [2, 2, + 2]. Odpowiedź: [0, 2 + 2]. 4. Rozwiązać nierówność Pierwiastek kwadratow jest określon dla liczb nieujemnc, więc + 0, czli oraz 2 0, czli 2. Stąd D = [2, + ). Obie stron nierówności są dodatnie, więc możem podnieść obie stron nierówności do kwadratu. 32

6 ( + ) 2 ( + 2) Podnosim równanie do kwadratu po raz kolejn. 2, więc 3 Odpowiedź: [3, + ) Zadania Znaleźć dziedzinę unkcji:. () = () = () = () = () = () = 7. () = () = () = Rozwiązać równanie: = = = = = = = ( + ) = = = = = = = = = = =. Rozwiązać nierówność: > ( + 2) < ( 4) + < < > < ( + 4)( 3) < >. 33

7 Sporządzić wkres unkcji: 40. () = () =. 42. () = () = () = () = Rozwiązać równanie k + 2 = 0 z parametrem k. 47. Dla jakic wartości parametru m równanie 2 = + m ma rozwiązanie? ( )(+) Rozwiązać układ równań (nierówności): { + = 4 { = = = = = 4 { 4 > 3( 2 + )