Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa."

Transkrypt

1 Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X takich, że x 1 < x 2 zachodzi f(x 1 ) < f(x 2 ). To znaczy, że większym argumentom odpowiada większa wartość funkcji. Definicja 2 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy malejącą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X takich, że x 1 < x 2 zachodzi f(x 1 ) > f(x 2 ). To znaczy, że większym argumentom odpowiada mniejsza wartość funkcji. Definicja 3 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy niemalejącą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X takich, że x 1 < x 2 zachodzi f(x 1 ) f(x 2 ). To znaczy, że większym argumentom odpowiada nie mniejsza wartość funkcji. Definicja 4 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy nierosnącą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X takich, że x 1 < x 2 zachodzi f(x 1 ) f(x 2 ). Tzn. że większym argumentom odpowiada nie większa wartość funkcji. Definicja 5 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy stałą w zbiorze X, gdy dla dowolnych x 1, x 2 X zachodzi f(x 1 ) = f(x 2 ). To znaczy że funkca f przyjmuje taką samą wartość na wszystkich elementach ze zbioru X. Jeśli funkcja jest w swojej dziedzinie rosnąca albo malejąca albo niemalejąca albo nierosnąca albo stała, to mówimy, że funkcja jest monotoniczna (w swojej dziedzinie). Definicja 6 Funkcję f : X R, X R nazywamy różnowartościową, jeśli x 1, x 2 X x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). To znaczy, że różnym argumentom odpowiadają różne wartości funkcji. Uwaga. Każda funkcja rosnąca albo malejąca jest różnowartościowa. Jak zbadać monotoniczność funkcji? Przez zbadanie znaku wyrażenia f(x 2 ) f(x 1 ), jeśli x 2 > x 1, x 2, x 1 X. Niech x 1, x 2 X, x 2 > x 1. Jeśli f(x 2 ) f(x 1 ) > 0, to funkcja f jest rosnąca, Jeśli f(x 2 ) f(x 1 ) < 0, to funkcja f jest malejąca, Jeśli f(x 2 ) f(x 1 ) 0, to funkcja f jest nierosnąca, Jeśli f(x 2 ) f(x 1 ) 0, to funkcja f jest niemalejąca.

2 Jak zbadać czy funkcja jest różnowartościowa? Musimy sprawdzić, czy z równości f(x 1 ) = f(x 2 ), gdzie x 1, x 2 X R wynika równość x 1 = x 2, to znaczy, czy zachodzi implikacja: x 1, x 2 X (f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 ). Przykład 1. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = x 3. Rozwiązanie. Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych R. Załóżmy, że x 1, x 2 są dowolnymi argumentami funkcji f tzn. x 1, x 2 R oraz, że x 2 > x 1. Aby zbadać monotoniczność funkcji f zbadamy, czy wyrażenie f(x 2 ) f(x 1 ) jest większe czy mniejsze od 0. Ze wzoru na różnicę sześcianów ( a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) ) mamy f(x 2 ) f(x 1 ) = x 3 2 x 3 1 = (x 2 x 1 )(x x 2 x 1 + x 2 1). ( ) Jak wynika z założenia o x 2 i x 1, pierwszy z czynników iloczynu ( ) jest liczbą dodatnią. Znak drugiego czynnika w ( ) nie jest oczywisty, bo iloczyn x 2 x 1 może być zarówno dodatni jak i ujemny (z uwagi na dowolność znaków x 2 i x 1 ). Zapiszemy zatem ten czynnik w innej postaci. Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy ((a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ) przedstawimy go jako sumę kwadratów: ( (x x 2 x 1 + x 2 1) = x ) 2 2 x x2 1. ( ) Widoczne jest już teraz, że wyrażenie ( ) jest nieujemne ( 0), przy czym ( x ) 2 2 x x2 1 = 0 ( x ) 2 2 x 3 1 = 0 i 4 x2 1 = 0 x 2 = 1 2 x 1 i x 1 = 0. Zatem wyrażenie ( ) byłoby równe 0 tylko dla x 2 = 0 i x 1 = 0, ale to oznaczałoby, że x 2 = x 1, co jest sprzeczne z założeniem. Stąd wyrażenie( ) jest jest liczbą dodatnią ( 0). Wobec tego z ( ) i ( ) wynika, że x 3 2 x 3 1 > 0 x 2, x 1 R, x 2 > x 1, czyli, że funkcja f(x) = x 3 jest rosnąca w (całej) swojej dziedzinie. Przykład 2. Zbadaj czy funkcja f : R \ { 1} R, gdzie f(x) = x dziedzinie. 1+x jest malejąca w swojej Rozwiązanie. Załóżmy, że x 1, x 2 są dowolnymi argumentami funkcji f, tzn. x 1, x 2 R \ { 1} należącymi do zbioru A = ( 1; ) oraz że x 2 > x 1. To znaczy, że x 2 > x 1 > 1. Zbadajmy znak wyrażenia f(x 2 ) f(x 1 ) dla tak wybranych argumentów x 2, x 1. Mamy f(x 2 ) f(x 1 ) = x x 2 x x 1 = x 1 x 2 (1 + x 2 )(1 + x 1 ). ( ) Można łatwo sprawdzić, że ponieważ x 2, x 1 > 1 więc (1 + x 2 )(1 + x 1 ) > 0. Oczywiście licznik x 1 x 2 wyrażenia ( ) jest mniejszy od 0, co wynika z założenia x 2 > x 1. Zatem iloraz ( ) jest ujemny, czyli x x 2 x x 1 < 0 dla x 2 > x 1 > 1, a funkcja f(x) = x 1+x jest malejąca w zbiorze A = ( 1; ). x Podobnie dla 1 > x 2 > x 1 mamy 1 x 2 (1+x 2 )(1+x 1 ) < 0, zatem funkcja f jest też malejąca w zbiorze B = { ; 1}. Należy jeszcze sprawdzić czy f jest funkcją malejącą w (całej) swej dziedzinie, czyli na zbiorze

3 A B. Niech x 1 < 1 < x 2 wówczas w ( ) mamy (1 + x 2 )(1 + x 1 ) < 0 ale jednocześnie różnica x 1 x 2 < 0 stąd f(x 2 ) f(x 1 ) > 0! Stąd funkcja f nie jest malejąca w swojej dziedzinie, nie jest tam też rosnąca. Jest malejąca na podzbiorach A i B dziedziny. Przykład 3. Zbadaj czy funkcja f(x) = 1 x 2 jest różnowartościowościowa na zbiorach A = ( ; 0), B = R \ {0}. Rozwiązanie. Dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R \ {0}. Załóżmy, że x 1, x 2 A = ( ; 0) oraz że f(x 1 ) = f(x 2 ), wówczas 1 x 2 1 = 1 x 2 2 x 2 1 = x 2 2 x 1 = x 2 (bo x 1, x 2 < 0) Zatem funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze A. Sprawdzimy teraz, czy funkcja jest różnowartościowa na zbiorze R \ {0}. Jeśli weźmiemy np. x 1 = 3 i x 2 = 3, to f(x 2 ) = f(x 1 ) = 1 9. Zatem ta sama wartość funkcji odpowiada różnym argumentom z dziedziny, stąd funkcja nie jest różnowartościowa na zbiorze B i co za tym idzie nie jest różnowartościowa. Zadania 1. Które z funkcji o wykresach przedstawionych poniżej są monotoniczne? Określ rodzaj monotoniczności, a dla funkcji niemonotonicznych wskaż przedziały monotoniczności. a) b)

4 c) d) e)

5 f) g) h) 2. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = x Korzystając z definicji uzasadnij, że funkcje są monotoniczne na wskazanych zbiorach: a) f(x) = 4x x 2, [2; ); b) f(x) = 3 x, R; c) f(x) = 1 x + x 2, [1; ) Zbadaj różnowartościowość funkcji g(x) = x

6 5. Uzasadnij, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach: a) f(x) = x 4, [0; ) b) f(x) = x x, [ 1 4 ; ). Odpowiedzi 1. a) - niemalejąca; b) - nie jest monotoniczna, malejąca dla x 4, rosnąca dla x 4, ; c) - monotoniczna, (rosnąca); d) - nie jest monotoniczna, rosnąca dla x 3 i dla x > 3; e) - monotoniczna (stała); f) - monotoniczna (malejąca); g) - nie jest monotoniczna, malejąca dla x 4, rosnąca dla 4 x 2, nierosnąca dla x 2; h) nie jest monotoniczna, malejąca dla x < 0 i dla x > Malejąca na zbiorze ( ; 0], rosnąca na zbiorze [0; ), nie jest monotoniczna. 3. a)- malejąca; b)- rosnąca; c)- rosnąca. 4. Funkcja jest różnowartościowa. Funkcja okresowa, parzysta, nieparzysta. Definicja 7 Funkcja f : X R, gdzie X R, jest okresowa, jeśli: ( ) T > 0, T R x X x + T X i f(x + T ) = f(x). Uwagi. 1) Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. 2) Jeśli istnieje najmniejszy okres funkcji, to nazywamy go okresem podstawowym. 3) Funkcja jest okresowa, gdy jej wykres po przesunięciu o wektor (T, 0) nałoży się na siebie. Przykład 1. Znajdź okres podstawowy funkcji f(x) = sin(3x) i naszkicuj jej wykres. Rozwiązanie. Okres podstawowy funkcji sinus wynosi 2π (patrz rozdział: Funkcje trygonometryczne), zatem sin(3x + 2π) = sin(3x). Naszym zadaniem jest ustalić czy istnieje takie T > 0, że sin(3(x + T )) = sin(3x), a jeśli istnieje, to wskazać jego najmniejszą możliwą wartość. Przekształcimy nieco wyrażenie sin(3x + 2π), mianowicie ( sin(3x) = sin(3x + 2π) = sin 3 ( x π)). Zatem 2 3π jest okresem funkcji f(x) = sin(3x). Jest to jednocześnie najmniejszy z możliwych okresów tej funkcji, bo 2π jest okresem podstawowym funkcji sinus. Wobec tego okres podstawowy funkcji f(x) = sin(3x) wynosi 2 3 π, zatem T = 2 3 π. Uwaga. Można oczywiście powyższe rozważania uogólnić na dowolną funkcję f(x) okresową o okresie podstawowym T. Wtedy funkcja f(ax), gdzie a > 0 jest też funkcją okresową o okresie podstawowym T 1 = T a. Przykład 2. Znajdź okres podstawowy funkcji f(x) = 1 + x [x] i naszkicuj jej wykres, jeśli [x] oznacza część całkowitą z x. Rozwiązanie. Przez część całkowitą [x] liczby rzeczywistej x rozumiemy największą liczbę całkowitą k, która jest nie większa niż x. To znaczy, że x 1 < k x i k Z, Z - zbiór liczb całkowitych. Zauważmy, że jeśli liczbę rzeczywistą x powiększymy o całość tzn. dodamy do x liczbę całkowitą, to część całkowita wzrośnie też o tę całość, [x + l] = [x] + l, gdzie l Z. Zatem f(x + l) = 1 + x + l [x + l] = 1 + x + l ([x] + l) = 1 + x [x]. Widać stąd, że każda liczba całkowita dodatnia jest okresem funkcji f. Najmniejszy spośród tych okresów całkowitych

7 wynosi 1. Musimy odpowiedzieć sobie na pytanie, czy funkcja f nie ma innych okresów. Niech T będzie dowolnym (T R, T > 0) okresem funkcji f. Stąd f(x + T ) = f(x) 1 + x + T [x + T ] = 1 + x [x] [x + T ] [x] = T. Różnica, występująca z lewej strony ostatniej z ciągu powyższych równości, jest różnicą dwóch liczb całkowitych, a więc T jest liczbą całkowitą (suma, różnica, iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą). Pokazaliśmy zatem, że jeśli T jest okresem funkcji f, to T Z. Wcześniej pokazaliśmy, że każda liczba całkowita dodatnia jest okresem funkcji f, zatem funkcja f nie ma innych okresów, jak wśród liczb całkowitych. Okresem podstawowym funkcji f jest wobec tego 1 ( T = 1). Zadania 1. Znajdź okres podstawowy funkcji f(x) = 1 sin x, g(x) = sin x, h(k) = ( 1)k, gdzie k Z, Z - zbiór liczb całkowitych. 2. Czy suma dowolnych dwóch funkcji okresowych o wspólnej dziedzinie jest funkcją okresową? 3. Czy kwadrat funkcji okresowej jest funkcją okresową? Czy funkcja i jej kwadrat muszą mieć taki sam okres podstawowy? Odpowiedzi 1. Okres funkcji f wynosi 2π, okres funkcji g wynosi π, okres funkcji h wynosi Nie. Na przykład f 1 (x) = sin 2 x, f 2 (x) = cos 2 x są funkcjami okresowymi (okres wynosi π), a funkcja f(x) = sin 2 x + cos 2 x nie ma okresu podstawowego (bo jest to funcja stała f(x) = 1). 3. Kwadrat funkcji okresowej jest funkcją okresową, bo każdy okres funkcji jest jednocześnie okresem (nie koniecznie podstawowym) jej kwadratu. Funkcja i jej kwadrat nie muszą mieć takiego samego okresu podstawowego (np. f(x) = cos x ma okres T = 2π, a f 2 (x) = cos 2 x ma T = π). Definicja 8 Funkcję f : X R, gdzie X R, nazywamy parzystą, jeśli ( ) x X x X i f( x) = f(x). Przykładem funkcji parzystej jest funkcja f(x) = x 2, bo f( x) = ( x) 2 = x 2 = f(x). Definicja 9 Funkcję f : X R, gdzie X R, nazywamy nieparzystą, jeśli ( ) x X x X i f( x) = f(x). Przykładem funkcji nieparzystej jest g(x) = x 3, bo f( x) = ( x) 3 = x 3 = f(x). Uwagi. 1)Dziedzina funkcji parzystej albo nieparzystej jest zbiorem symetrycznym względem punktu 0 na osi liczbowej. 2) Oś OY jest osią symetrii wykresu funkcji parzystej, początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii wykresu funkcji nieparzystej. 3) Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. f(x) = x ) Łatwo zauważyć, że każdą funkcję można przedstawić jako sumę funkcji parzystej i funkcji nieparzystej. Ponadto ten rozkład jest jednoznaczny. Mianowicie f(x) = f(x) + f( x) 2 + f(x) f( x). 2 Przykład 1. Uzasadnij, że funkcja f(x) = x 4 3x jest parzysta.

8 Rozwiązanie. Oczywiście dziedziną funkcji f jest R, zatem jeśli x należy do dziedziny funkcji f, to x też do niej należy. Musimy teraz pokazać, że spełniony jest warunek f(x) = f( x) dla dowolnych argumentów x funkcji f. Wyznaczmy najpierw wartość f( x). Mamy f( x) = ( x) 4 3 ( x) = x 4 3x = f(x) dla x R, zatem funkcja f jest parzysta. Przykład 2. Zbadaj parzystość funkcji g(x) = 2 x 2 x i h(x) = (x 1) 2. Rozwiązanie. Podobnie jak w poprzednim przykładzie wyznaczmy dla funkcji g(x) = 2 x 2 x najpierw g( x) a potem postaramy się zapisać to wyrażenie w takiej postaci, by ułatwić porównanie tej wielkości z g(x). Mamy zatem ( g( x) = 2 x 2 x = 2 x 2 x) = g(x) dla x R. stąd funkcja g jest nieparzysta. Podobnie postępujemy z funkcją h(x) = (x 1) 2. Mamy tu h( x) = ( x 1) 2 = (x + 1) 2. Porównajmy wyrażenie h( x) = (x + 1) 2 z h(x) = (x 1) 2 oraz z h(x) = (x 1) 2. Mamy oraz (x + 1) 2 = (x 1) 2 x 2 + 2x + 1 = x 2 2x + 1 x = 0. (1) (x + 1) 2 = (x 1) 2 x + 1 = x 1 = 0 sprzeczność. (2) Z (1) widać, że h( x) = h(x) tylko dla jednej wartości argumentu x, mianowicie dla x = 0, a nie dla wszystkich możliwych argumentów x funkcji h (x R), zatem funkcja h nie jest funkcją parzystą. Z (2) wynika, że dla żadnej wartości argumentu x R nie zachodzi równość h( x) = h(x), zatem funkcja h nie jest funkcją nieparzystą. Mamy tu przykład funkcji, która nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Zadania 1. Zbadaj, czy podana funkcja jest parzysta, czy nieparzysta, czy też nie jest ani parzysta ani nieparzysta: f(x) = x2 +2 x 5, g(x) = sin x, h(x) = x x + cos(x). 2. Pokaż, że iloczyn dwóch funkcji parzystych lub dwóch funkcji nieparzystych o wspólnej dziedzinie jest funkcją parzystą. 3. Pokaż, że iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej o wspólnej dziedzinie jest funkcją nieparzystą. 4. Pokaż, że funkcja g 1 (x) = f(x)+f( x) 2 z punktu 4) Uwagi po Def. 9, jest parzysta, a g 2 (x) = f(x) f( x) 2 nieparzysta, przy dowolnej funkcji f : R R. 5. Uzasadnij, że funkcja f(x) = x x jest nieparzysta. 6. Uzasadnij, że funkcja g(x) = sin x x jest parzysta. Odpowiedzi 1. Funkcja f jest nieparzysta, funkcja g jest parzysta, funkcja h nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

9 Funkcja liniowa. Definicja 10 Funkcja liniowa, to funkcja f : R R, postaci f(x) = ax + b, gdzie a, b R. Uwagi. 1) Wykresem funkcji liniowej jest prosta. 2) Jeśli współczynnik a nazywany współczynnikiem kierunkowym prostej jest dodatni tzn. a > 0, to funkcja liniowa jest rosnąca. 3) Jeśli współczynnik kierunkowy a < 0, to funkcja liniowa jest malejąca. 4) Współczynnik kierunkowy a jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej będącej wykresem funkcji f do dodatniej części osi OX. 5) Dwie proste: l 1 : y = a 1 x + b 1 i l 2 : y = a 2 x + b 2 są równoległe, jeśli ich współczynniki kierunkowe są równe, tzn. gdy a 1 = a 2. Przy czym jeśli dodatkowo b 1 = b 2, to proste te pokrywają się. 6) Dwie proste: l 1 : y = a 1 x + b 1 i l 2 : y = a 2 x + b 2, a 1, a 2 0 są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe są odwrotnie proporcjonalne i przeciwnych znaków tzn. a 1 = 1 a 2. Przykład 1. Znajdź funkcję liniową f(x) = ax + b, jeśli wiadomo, że 1. f(0) = 2, a x = 3 jest miejscem zerowym tej funkcji. 2. a = 3, a f(2) = 5. Rozwiązanie. Aby znaleźć funkcję f, trzeba wyznaczyć wartości współczynników a oraz b. 1 Ponieważ f(0) = 2, więc 2 = a 0 + b. Funkcja f ma miejsce zerowe w punkcie x = 3, to znaczy, że f( 3) = 0, czyli 0 = 3a + b. Aby wyznaczyć wartości a i b wystarczy rozwiązać układ dwóch równań { 0 = 3a + b. 2 = b Zatem a = 2 3 i b = 2, a poszukiwana funkcja liniowa ma równanie f(x) = 2 3 x W drugim przykładzie znany jest już współczynnik kierukowy funkcji a = 3. Musimy zatem wyznaczyć b. Ponieważ f(2) = 5, więc 5 = b. Stąd b = 1, a poszukiwana funkcja ma postać f(x) = 3x 1. Przykład 2. O funkcji liniowej f wiemy, że f(2) = 13 i f(4) = 23. Znajdź f(10) f(2). Rozwiązanie. Sposób 1. Można wyznaczyć wartości współczynników a i b funkcji f z układu równań { 13 = 2a + b 23 = 4a + b. Następnie trzeba wyznaczyć wartości f(10) i f(2). Wyznaczymy niewiadomą b z pierwszego równania i podstawimy ją do równania drugiego. { b = 13 2a 23 = 4a + b { b = 13 2a 23 = 4a a { b = 13 2a 10 = 2a { b = 3 a = 5. Funkcja f ma zatem postać f(x) = 5x + 3, stąd f(10) = 53 i f(2) = 13, więc f(10) f(2) = = 40. Sposób 2. Nie musimy znać dokładnej postaci funkcji liniowej f, aby wyznaczyć wartość różnicy f(10) f(2). Ponieważ f jest funkcją liniową, to dla dowolnych x 1, x 2 iloraz f(x 2 ) f(x 1 ) przez

10 x 2 x 1 jest stały i nie zależy od doboru x 1 i x 2. Co więcej, iloraz ten jest równy współczynnikowi kierunkowemu a funkcji f. Mamy bowiem f(x 2 ) f(x 1 ) = a(x 2 x 1 ) + b b = a(x 2 x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) = a(x 2 x 1 ), czyli f(x 2 ) f(x 1 ) = a x 1, x 2 R. (3) x 2 x 1 Uwaga. Równość ta wynika także z twierdzenia o tangensie kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Z warunków zadania wynika zatem, że współczynnik a = 5, bo a = f(4) f(2) 4 2 Zatem z (3) dla x 2 = 10 i x 1 = 2 mamy Zadania = = 10 2 = 5. f(10) f(2) = a(10 2) = 5 8 = Dopasuj wzory funkcji liniowych do odpowiednich wykresów: a) f(x) = 1 2 x + 2, g(x) = 2x 1, h(x) = 3 x 3, k(x) = 1 + x 3, l(x) = 2. b)

11 c) d) e) Odpowiedzi 1) f(x) e); g(x) a); h(x) c); k(x) d); l(x) b).

12 Zadania o nierównościach (dodatkowe) 1.* Udowodnić, że jeśli x, y, z 0, to 3(xy + yz + xz) (x + y + z) 2. 2.* Udowodnić, że jeśli x, y, z 0, x + y + z = 3, to 3.* Udowodnić, że jeśli x, y, z > 0, xyz = 1, to 3xyz xy + yz + xz x + y + z. x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + xz 2( x + y + z). Kiedy w powyższej nierówności zachodzi równość? 4.* Niech a 1,..., a n 0. Udowodnić, że 5.* Udowodnić, że jeśli x, y, z > 0, xyz = 1, to n (1 + a i ) (1 + n a 1... a n ) n. i=1 (x + 2y)(y + 2z)(z + 2x) * Niech a, b, c będą długościami boków pewnego trójkąta, h a, h b, h c długościami wysokości opuszczonych na odpowiedznie boki, r długością okręgu wpisanego w ten trójkąt, a p połową jego obwodu. Udowodnić, że h a ah b bh c c (3r) 2p. 7.* Przy oznaczeniach z poprzedniego zadania udowodnić, że ( ) a + b + c a+b+c a a b b c c. 3 8.* Niech a i, b i > 0 (i = 1,..., n), n i=1 a i = n i=1 b i. Udowodnić, że n i 1 a 2 i a i + b i 1 2 n a i. i=1 9.* Udowodnić, że dla x 1,..., x n > 0 spełniona jest nierówność n x1... x n x x n n korzystając z wypukłości funkcji wykładniczej. 10.* Udowodnić, że dla a, b 0 spełniona jest nierówność a 4 + b 4 a6 b 2 + b6 a * Udowodnić, że dla a, b > 0 spełniona jest nierówność a + b a 2 b + b 2 a

13 12.* Udowodnić, że dla a, b, c [0, 1], a 2 + b 2 + c 2 = 2, spełniona jest nierówność a + b + c abc * Udowodnić, że dla a, b, c 0 spełniona jest nierówność 2(a 3 + b 3 + c 3 ) ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c). 14.* Udowodnić, że dla a, b, c > 0 spełniona jest nierówność a + b + c a2 + b 2 2c + a2 + c 2 2b + b2 + b 2 2a a3 bc + b3 ac + c3 ab. 15.* Udowodnić, że dla a, b, c > 0 spełniona jest nierówność a b + c + b a + c + c a + b * Udowodnić, że dla a, b, c > 0 spełniona jest nierówność a 3 b + b 3 c + c 3 a abc(a + b + c). 17.* Udowodnić, że jeśli a, b > 0, a 2 + b 2 = 1, to a 3 + b 3 2ab. 18.* Przy oznaczeniach z zadania 6 udowodnić, że: 1 p a + 1 p b + 1 ( 1 p c 2 a + 1 b + 1 ). c 19.* (25 IMO) Udowodnić, że jeśli x, y, z 0, x + y + z = 1, to 0 xy + yz + zx 2xyz * Udowodnić, że jeśli a > b > 0 i n N to a 2n+1 b + na n b n+2 > ab 2n+1 + na n+2 b n.

14 Przekształcanie wykresu funkcji. Przykład 1. Dany jest wykres funkcji y = f(x), której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Narysuj wykres funkcji g będącej obrazem funkcji f a)wprzesunięciuowektor[2,0], b)wprzesunięciuowektor[0,1], c)wprzesunięciuowektor[2,1], d)wsymetriiwzględemosiox, e)wsymetriiwzględemosioy, f) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Jakim wzorem jest opisana funkcja g? Rozwiązanie. a) Przesuńmy najpierw wykres funkcji f o dany wektor. Mamynp.g(3)=f(1),g(5)=f(3).Funkcjęgopisujewzórg(x)=f(x 2). b)poprzesunięciuowektor[0,1]otrzymamyfunkcjęg(x)=f(x)+1.

15 c)poprzesunięciuowektor[2,1]otrzymamyfunkcjęg(x)=f(x 2)+1. d)obrazemfunkcjifwsymetriiwzględemosioxjestfunkcjag(x)= f(x). e)obrazemfunkcjifwsymetriiwzględemosioyjestfunkcjag(x)=f( x).

16 f) Obrazem funkcji f w symetrii względem początku układu współrzędnych jest funkcja g(x) = f( x)(symetria środkowa względem początku układu współrzędnych jest złożeniemdwóchsymetriiosiowychwzględemosioxioy). Ogólnie,jeślichcemyprzesunąćwykresfunkcjiy =f(x)owektor[a,b],topunktp o współrzędnych(x P,y P )należącydowykresufunkcjif zostanieprzesuniętydopunktup o współrzędnych(x P,y P ),gdziex P =x P+a,y P =y P+b.Mamyy P =f(x P ),czyliy P b=f(x P a).stądy P =f(x P a)+b,zatemkrzywagbędącaprzesunięciemwykresu funkcjifowektor[a,b]opisanajestrównaniemy=f(x a)+b.wpodobnysposóbmożna wyprowadzić równania krzywych będących obrazami danej funkcji w symetriach względem osi układy współrzędnych i punktu O. Przykład 2. Dany jest wykres funkcji y = f(x), której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.

17 Narysuj wykres funkcji a)y=f(2x), b)y=f( 1 2 x), c)y=2f(x). Rozwiązanie. a) Łatwo zauważyć, że czynnik 2 przy x odpowiada za ściśnięcie wykresu. b)czynnik 1 2 przyxpowoduje rozciągnięcie wykresuwzdłużosiox. c) W tym przypadku przez 2 mnożymy wartości funkcji.

18 Przykład 3. Dany jest wykres funkcji y = f(x), której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Narysujwykresfunkcjiy= f(x),y=f( x )orazy= f( x ). Rozwiązanie. Narysujmy najpierw wykres funkcji y = f(x). Tam, gdzie funkcja f przyjmowaławartościnieujemne,wykresfunkcjiy= f(x) pokrywasięzwykresemfunkcjif.dla tychx,dlaktórychf(x)<0mamy f(x) = f(x),czylimusimyzastąpićodpowiedniączęść wykresu jego obrazem w symetrii względem osi OX. Pozostałedwawykresysąnakolejnymrysunku.Wykresfunkcjif( x )dlax 0pokrywasię zwykresemf(x).dlax<0mamyf( x )=f( x),więctaczęśćwykresujestobrazemfunkcji fwsymetriiwzględemosioy.

19 Zadanie 1. Dana jest funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych Narysujwykresyfunkcjiy=2f(x),y=2f( x ),y=2f( x ) 3,y= 2f( x ) 3. Zadanie 2. Dana jest funkcja, której dziedziną jest przedział[ 5, 5]. Narysujwykresyfunkcjiy= f( 3x)+2,y=f( x +1) 1,y= f( x 3),y= 2f( x ) 3.

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje

FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Przygotowanie do poprawki klasa 1li

Przygotowanie do poprawki klasa 1li Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8].

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8]. Zadania 1 28 stanowią przykłady spełniające kryteria na ocenę 3. Zadanie 1 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f() określonej dla [-7, 8]. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Repetytorium z matematyki ćwiczenia Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie: Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1 1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb f(42), f(44), f(45), f(48) A. f(42) B. f(44) C. f(45)

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Funkcje elementarne. Matematyka 1 Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.

FUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę. FUNKCJE Lekcja 61-6. Dziedzina i miejsce zerowe funkcji str. 140-14 Co to jest funkcja. Może przykłady. W matematyce funkcje najczęściej przedstawiamy za pomocą wzorów. Przykłady. Dziedzina to zbiór argumentów

Bardziej szczegółowo

Funkcja jest różnowartościowa w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom funkcja ta przyporządkowuje różne wartości.

Funkcja jest różnowartościowa w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom funkcja ta przyporządkowuje różne wartości. Gdy mamy daną funkcję, poza określeniem jej dziedziny i miejsca zerowego możemy badad szczególne własności, takie jak: monotonicznośd, różnowartościowośd, parzystośd, nieparzystośd. Na temat monotoniczności

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43

Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa

Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa 6 maja 2005 1 Pojęcia podstawowe. Definicja 1.1 (funkcja liniowa). Niech a i b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję f : R R daną wzorem: f(x) = ax + b nazywamy

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.

Bardziej szczegółowo

XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy

XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy klasy I i II szkół ponadgimnazjalnych 1. Liczba 2015 2017 + 2 2015 2016 + 2015 2015 jest podzielna przez: A. 2017 B. 2016 C. 2015 2. Układ równań 8 >

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz x argumenty funkcji y wartości funkcji a współczynnik kierunkowy prostej ( a = tg, gdzie osi OX) - kąt nachylenia wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5)

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5) Lista nr 1 LICZBY RZECZYWISTE Zad.1 Udowodnij równość: 5 3 10 27 = 10 3 5 9. Zad.2 Wartość wyrażenia (3 1 3 27 2 3 9 1 ) 3 4 zapisz w postaci pierwiastka z liczby wymiernej. Zad.3 Oblicz wartość wyrażenia:

Bardziej szczegółowo

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D) FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

7. Funkcje elementarne i ich własności.

7. Funkcje elementarne i ich własności. Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych - na ocenę dopuszczającą (2) uczeń potrafi: zamieniać ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych podać przybliżenie dziesiętne

Bardziej szczegółowo

Wykresy i własności funkcji

Wykresy i własności funkcji Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Troszkę przypomnienia

Troszkę przypomnienia Troszkę przypomnienia Przesunięcie o wektor Przesunięcie funkcji o wektor polega na przesunięciu jej w układzie współrzędnych o określoną ilośc jednostek w poziomie oraz w pionie. Pierwsza współrzędna

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI

FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie

Bardziej szczegółowo

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = + Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02 Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. Liczby naturalne definicja dzielnika

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x. Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28 Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n

Bardziej szczegółowo

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 1b, 2016/2017r.

Plan wynikowy matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 1b, 2016/2017r. Jolanta Pająk Plan wynikowy matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 1b, 016/017r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Uczeń: Elementy logiki matematycznej rozpoznaje spójniki logiczne, zna wartości logiczne

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Funkcja wymierna.

Wartość bezwzględna. Funkcja wymierna. Wartość bezwzględna. Funkcja wymierna. Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt 31 marca 2006 Spis treści 1 Wartość bezwzględna 2 1.1 Własności wartości bezwzględnej..................

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym

ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym S t r o n a ZBIÓR ZADAŃ Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym Każdy uczeń, który kończy szkołę ponadgimnazjalną i chce przystąpić do matury, zobowiązany jest do zdawania egzaminu z matematyki

Bardziej szczegółowo

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY 1 www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I PODSTAWA Z ROZSZERZENIEM (90 godz.)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I PODSTAWA Z ROZSZERZENIEM (90 godz.) WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA I ODSTAWA Z ROZSZERZENIEM (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY DRUGIEJ M. zakres rozszerzony

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY DRUGIEJ M. zakres rozszerzony WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY DRUGIEJ M. zakres rozszerzony Funkcje i ich własności. -podać przykład funkcji; -rozpoznać funkcję, wskazać jej dziedzinę i zbiór

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

Matematyka kompendium 2

Matematyka kompendium 2 Matematyka kompendium 2 Spis treści Trygonometria Funkcje trygonometryczne Kąt skierowany Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o

Bardziej szczegółowo

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:. Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 1. Plan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające - dopuszczający;

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo