Zbiory liczbowe i funkcje wykład 1

Transkrypt

1 Zbiory liczbowe i funkcje wykład 1 dr Mariusz Grządziel 6 października Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w 16 i 17 wieku: -opis zjawisk takich jak: ruch jednostajnie przyśpieszony; Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie g 9,81 m s 2 ; eliptyczne trajektorie, po których poruszają się planety; wychylenie wahadła w zależności od czasu (przy małym kącie wychylenia początkowego). Czy można metody matematyczne z równym powodzeniem zastosować do opisu np. zależności pomiędzy temperaturą ciała a pulsem u zdrowych ludzi? Przykład W zbiorze normtemp.dat zapisano wyniki 130 pomiarów temperatury i pulsu u zdrowych osób. Dane te są przedstawione graficznie na wykresie ("wykresie rozproszenia tych danych"). Do tej chmury punktów "dopasowano" prostą puls = 166, ,4432 temp - wg. zasady najmniejszych kwadratów (prostą MNK Metoda Najmniejszych Kwadratów zostanie przedstawiona później). Zbiór danych jest dostępny pod adresem Opis zbioru: Problem 1. Czy uzasadniony wniosek o istotności (statystycznej) tej zależności funkcyjnej por. Rys. 1. Tematyka wykładów 1. Elementy analizy -pojęcie funkcji; pojęcie ciągu; ciągłość funkcji; pochodna funkcji; całka oznaczona z funkcji przedziałami ciągłej; całka nieoznaczona; twierdzenie Newtona-Leibniza; zastosowania twierdzenia Newtona-Leibniza w naukach przyrodniczych; całka niewłaściwa i definicja dystrybuanty rozkładu normalnego. 1

2 puls temp Rysunek 1: Wykres rozproszenia dla danych dotyczących pomiarów temperatury i pulsu losowo wybranych zdowych ludzi; do wykresu dołączona jest prosta MNK dopasowana do danych; temperatura (temp) jest wyrażona w stopniach Fahrenheita 2. Elementy statystyki -pojęcie zmiennej losowej; rozkład zmiennej losowej; wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej; estymacja parametrów w rozkładzie normalnym; testowanie hipotez- porównanie średniej z normą, metoda najmniejszych kwadratów i analiza regresji. 3. Funkcje wielu zmiennych -pochodna cząstkowa, pochodna kierunkowa, układy równań liniowych, pojęcie macierzy. Polecana literatura Książki Repetytorium z matematyki D. i M. Zakrzewskich [ZZ02] i Matematyka. Matura na 100 % D. i M. Zakrzewskich i T. Żaka [ZZŻ05] zawierają przystępny wykład pojęć: funkcji, ciągu, pochodnej. Ksiązka D. Wrzoska [Wrz08] zawiera przystępny wykład podstaw analizy matematycznej oraz elementów logiki, kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. W części wykładu Elementy statystyki będę nawiązywał do sposobu wykładu zaprezentowanego w książce T. Bednarskiego [Bed04]. Jako lekturę uzupełniającą można polecić podręcznik A. Łomnickiego [Łom03]. Podczas wykładów będą prezentowane obliczenia i wykresy wykonane w środowisku R. Odpowiednie oprogramowanie jest dostępne na stronie domowej Projektu R [R08]. Literatura [Bed04] [Bod08] [Łom03] [R08] Bednarski, T. Elementy matematyki w naukach ekonomicznych. Oficyna ekonomiczna. Kraków Bodnar, D., Zbiór zadań z matematyki dla biologów. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa Łomnicki, A. Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników. PWN. Wraszawa The R Project for Statistical Computing. Strona WWW 2

3 [Wrz08] [ZZ02] [ZZŻ05] Wrzosek, D., Matematyka dla biologów. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa Zakrzewscy, D. i M. Repetytorium z matematyki. Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa Zakrzewscy, D. i M. Żak, T. Matematyka. Matura na 100 %. Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych, całkowitych,... N = {1, 2,...} : zbiór liczb naturalnych; Z = {..., 2, 2, 0, 1, 2,...} :- zbiór liczb całkowitych; Q- zbiór liczb wymiernych: { p } Q = q : p Z, q N ; R- zbiór liczb rzeczywistych. Przykłady Liczby rzeczywiste, które nie są wymierne: 2, 3,.... Dla dowolnej liczby wymiernej s liczba rzeczywista 2 + s nie jest jest wymierna. Definicja 1. Przedziałem otwartym (a, b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniajacych podwójna nierówność a < x < b: Definicja 2. Zbiór nazywamy przedziałem domkniętym. (a, b) = {x R : a < x < b}. [a, b] = {x R : a x b}. Definicja 3. Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, r) = (x 0 r, x 0 + r). Zbiór O(x 0, ε), gdzie ε > 0, nazywany jest często "epsilonowym otoczeniem punktu x 0 ". Definicja 4. Sasiedztwem o promieniu r > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r). 3 Pewne użyteczne tożsamości Potęgi sumy Dla dowolnych a, b R spełnione są równości: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 n ( ) n (a + b) n = a n k b k, gdzie k k=0 ( ) n n! = k k!(n k)!. 3

4 Uwaga. Ostatnia tożsamość (wzór Newtona) może być zapisana bez użycia symbolu sumy "Σ" w następujący sposób: ( ) ( ) ( ) n n n (a + b) n = a n b a n k b k a 0 b n. (1) 0 k n Suma potęg n poczatkowych liczb naturalnych n = n(n + 1), n 2 = n(n + 1)(2n + 1), n 3 = n2 (n + 1) 2. 4 dla sum 4-tych, 5-tych itd. poteg n początkowych liczb naturalnych można znaleźć analogiczne tożsamości. 4 Funkcje Funkcje podstawowe pojęcia Definicja 5 (funkcji). Funkcja określona na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporzadkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Funkcję taka oznaczamy f : X Y. Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f(x). Definicja 6 (dziedziny i przeciwdziedziny). Niech f : X Y. Wtedy zbiór X nazywamy dziedzina funcji f i oznaczamy przez D f, a zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy przez W f. Jeżeli dany jest tylko wzór określajacy funkcję, to zbiór tych elementów z R, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzina naturalna funkcji. Definicja 7 (równości funkcji). Mówimy, że dwie funkcje sa sobie równe, jeśli: (i) ich dziedziny sa sobie równe; (ii) dla wszystkich elementów (wspólnej) dziedziny przybieraja równe wartości. Przykłady. (i) funkcje f(x) = 1 + x, g(x) = 1 x2 1 x nie są sobie równe- ponieważ ich dziedziny naturalne D f i D g nie są sobie równe. (ii) funkcje f(x) = x 2 i g(x) = x 4 są sobie równe. Definicja 8 (wykresu funkcji). Wykresem funkcji f : X Y nazywamy zbiór par (x, f(x)) utworzony dla wszystkich elementów x zbioru X. Przykład. Dla funkcji f : [ 1, 1] R określonej wzorem f(x) = 1 x 2 wykresem jest górna połówka okręgu o środku w początku układu współrzędnych i o promieniu 1 4

5 sqrt(1 x^2) x Rysunek 2: Wykres funkcji f(x) = 1 x 2 Definicje podstawowych funkcji elementarnych W książkach D. i M. Zakrzewskich [ZZ00], D. i M. Zakrzewskich i T. Żaka [ZZZ05] i D. Wrzoska [Wrz08] można znaleźć definicje podstawowych funkcji elementarnych: funkcji liniowej: [ZZ02, rozdz. 2.3]; [ZZŻ05, str. 36], [Wrz08, str. 68] wielomianu: [ZZ02, rozdz. 4.1]; [ZZŻ05, str. 58], [Wrz08, str. 73] funkcji potęgowej: [ZZ02, rozdz. 6]; [ZZŻ05, str. 222], [Wrz08, str. 70,73], funkcji wykładniczej i logarytmicznej: [ZZ02, rozdz. 6];[Wrz08, str ], funkcji trygonometrycznych: [ZZ02, 7.1]; [ZZŻ05, 4 ]. Do podstawowych funkcji elementarnych zaliczamy także funkcje cyklometryczne (arc sin, arc cos, itd.). Własności funkcji parzystość,nieparzystość Definicja 9 (funkcji parzystej). Funkcja f : X Y jest parzysta, jeśli dla każdego x X x X oraz f( x) = f(x). Interpretacja geometryczna: funkcja jest parzysta, gdy oś Oy jest osia symetrii jej wykresu. Definicja 10 (funkcji nieparzystej). Funkcja f : X Y jest nieparzysta, jeśli dla każdego x X x X oraz f( x) = f(x). Interpretacja graficzna: funkcja jest nieparzysta, jeśli początek układu wspołrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu. Przykłady Funkcje f 1 (x) = cos x, f 2 (x) = cos x + x 2 są parzyste; funkcje f 3 (x) = sin x, f 4 (x) = 2x 3 są nieparzyste. 5

6 Definicja 11 (funkcji okresowej). Funkcja f : X R jest okresowa, jeśli istnieje T > 0 takie, że dla każdego x X x ± T X oraz f(x + T ) = f(x). Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. Jeżeli istnieje najmniejszy okres funkcji f, to nazywamy go okresem podstawowym. Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne sinus i kosinus są funkcjami okresowymi. Ich okres podstawowy jest równy 2π sin cos x Rysunek 3: Wykresy funkcji sinus i kosinus Definicja 12. Zbiór A R będziemy nazywać: ograniczonym z dołu, jeśli istnieje dla niego ograniczenie dolne, tj. jeśli dla każdego m R istnieje x A taki, że m x. ograniczonym z góry, jeśli istnieje dla niego ograniczenie górne, tj. jeśli tj. jeśli dla każdego m R istnieje x A taki, że M x. ograniczonym, jeśli jest ograniczony z góry i z dołu. Definicja 13 (funkcji ograniczonej). Funkcja f jest na zbiorze (będacym podzbiorem jej dziedziny D f : ograniczona z dołu, jeśli jej zbiór wartości jest ograniczony z dołu, tj. istnieje m R taki, że dla każdego x A m f(x). ograniczona z góry, jeśli jej zbiór wartości jest ograniczony z góry; ograniczona, jeśli jest zarówno ograniczona z dołu jak i z góry. Przykłady. (i) Funkcja f(x) = 1 x na zbiorze (0, ) jest ograniczona z dołu, ale nie jest ograniczona z góry; (ii) funkcja g(x) = x 2 jest ograniczona na zbiorze [1, 2]. Definicja 14 (funkcji rosnącej). Funkcja f jest rosnaca na zbiorze A D f, jeśli dla każdych x 1, x 2 A [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) < f(x 2 ))] Definicja 15 (funkcji malejącej). Funkcja f jest malejaca na zbiorze A D f, jeśli dla każdych x 1, x 2 A [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) > f(x 2 ))] 6

7 Funkcje rosace,malej ace Definicja 16 (funkcji rosnącej). Funkcja f jest rosnaca na zbiorze A D f, jeśli dla każdych x 1, x 2 A [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) < f(x 2 ))] Definicja 17 (funkcji malejącej). Funkcja f jest malejaca na zbiorze A D f, jeśli dla każdych x 1, x 2 A Przykłady [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) > f(x 2 ))] Funkcja f(x) = x 2 jest rosnąca na [0, ); funkcja g(x) = 1 1+2x 2 jest malejąca na [1, 2]. Definicja 18 (funkcji niemalejącej). Funkcja f jest niemalejaca na zbiorze A D f, jeśli dla każdych x 1, x 2 A [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) f(x 2 ))] Definicja 19 (funkcji nierosnącej). Funkcja f jest nierosnaca na zbiorze A D f, jeśli dla każdych x 1, x 2 A [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) f(x 2 ))]. Definicja 20 (funkcji monotonicznej). Funkcja f jest monotoniczna na zbiorze A D f, jeśli jest nierosnaca lub niemalejaca na tym zbiorze; funkcję f nazywamy ściśle monotoniczna, jeśli jest malejaca lub rosnaca na tym zbiorze. Złożenie funkcji Definicja 21. Niech X, Y, Y 1, Z będa podzbiorami R, Y 1 Y oraz niech f : X Y, g : Y 1 Z. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję (g f): X Z określona wzorem: (g f)(x) = g(f(x)) dla x R. Przykłady. (i) Dla f(x) = 2x+1 i g(x) = 2x (dziedziny D f i D g są równe R) złożenie g f będzie równe funkcji h(x) = 4x + 2, D h = R. (ii) funkcja h(x) = sin(x 2 ) może być wyrażona jako złożenie funkcji f(x) = x 2 i g(x) = sin(x) : h(x) = (g f)(x), D h = R; (iii) złożenie h(x) = g f(x) funkcji g(x) = log 2 (x), gdzie dziedzina D g jest równa zbiorowi liczb dodatnich i f(x) = 2 x, D f = R, jest równa funkcji identycznościowej: h(x) = (g f)(x) = x, D h = R. Uwaga Funkcja g(x) = log 2 (x) jest funkcją odwrotną do funkcji f(x) = 2 x. Krótkie omówienie tego faktu można znaleźć w książce Zakrzewskich (str. 116 i 117). 7

8 Funkcje elementarne Definicja 22. Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: (a) stała, potęgowa, wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczne,...; (b) wszystkie funkcje które można otrzymać z funkcji wymienionych w (a) za pomoca skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia. Przykłady. Funkcjami elementarnymi sa: funcja f(x) = x cos x + 1+x 1 x ; funkcja zdefiniowana przez x = { x, x 0, x x < 0; zauważmy, że funkcja może być przedstawiona jako złożenie h = g f funkcji f(x) = x 2 oraz g(x) = x. 8