O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.

Transkrypt

1 1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej pisząc:! (,) ()= : II definicja: Niech i będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Jeśli każdemu elementowi zbioru został przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru, to mówimy wówczas, że zostało określone odwzorowanie (przekształcenie) zbioru w zbiór. Możemy też powiedzieć w takiej sytuacji, że została określona funkcja odwzorowująca (przekształcająca) zbiór w zbiór. Będziemy to zapisywać w postaci :. Jeśli :, to element zbioru przyporządkowany przez przekształcenie elementowi zbioru będziemy nazywać wartością funkcji dla argumentu lub obrazem elementu przy przekształceniu (odwzorowaniu) i będziemy oznaczać (). Definiując funkcję wyznaczamy następujące zbiory: zbiór tych elementów, dla których funkcja została zdefiniowana, zwany zbiorem argumentów funkcji lub dziedziną funkcji przeciwdziedzina czyli zbiór, do którego należą wartości funkcji zbiór () wartości funkcji, tzn. zbiór tych elementów zbioru, dla których istnieje, takie że =(); O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze. Jeżeli przeciwdziedzina funkcji pokrywa się ze zbiorem wartości (), czyli gdy ()=, to będziemy mówić, że funkcja : przekształca zbiór na zbiór. Przykład: :, ()= dziedzina: zbiór wartości: [0, ) przeciwdziedzina: 2. Definicja funkcji monotonicznej 1 Niech, oraz :. Mówimy, że funkcja jest rosnąca, gdy dla dowolnych, takich, że < zachodzi ()<(). Mówimy, że funkcja jest malejąca, gdy dla dow., takich, że < zachodzi ()> (). 1 Niektórzy autorzy zdefiniowaną poniżej funkcję rosnącą nazywają ściśle rosnącą, malejącą - ściśle malejącą, zaś funkcje niemalejącą i nierosnącą rosnącą i malejącą odpowiednio.

2 Mówimy, że funkcja jest nierosnąca, gdy dla dow., takich, że < zachodzi () (). Mówimy, że funkcja jest niemalejąca, gdy dla dow., takich, że < zach. () (). Definicja funkcji różnowartościowej Funkcja : jest różnowartościowa jeśli różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości tzn. lub równoważnie: Definicja funkcji na, ( () ()), (()=() =) Mówimy, że funkcja : odwzorowuje zbiór X na zbiór Y lub jest funkcją na, co zapisujemy : )* +,, gdy spełniony jest warunek: Używa się też następującej terminologii: : nazywamy: ()= injekcją, gdy jest różnowartościowa, suriekcją: gdy jest na, bijekcją, gdy jest różnowartościowa i na. Przykłady Funkcja rosnąca: ()=2+3 Funkcja malejąca: /()=, ale funkcja :\{0} określona wzorem ()= 4 5 nie jest ani rosnąca, ani malejąca. Jest to natomiast funkcja malejąca przedziałami, tzn. (78,9) oraz (9,8) są funkcjami malejącymi. Podobnie funkcja 1 ()=: ;<= <0> 2 2 ;<= 0

3 jest nierosnąca przedziałami. Funkcja różnowartościowa. :,()==+?,= 0, Suriekcja funkcja logarytmiczna 3. Definicja wykresu funkcji Niech,. Wykresem funkcji : nazywamy zbiór: A B ={(,) ;,=() } Przykład ()= +1, = {0}, = 5 A B ={(,) ;,= 2 +1 } 4. Definicja funkcji odwrotnej. Przykłady. Niech, będą niepustymi zbiorami. Funkcję 74 : nazywamy funkcją odwrotną do bijekcji :, gdy (()= 74 ()=). Dla każdej bijekcji : istnieje dokładnie jedna funkcja odwrotna Przykłady: Niech : będzie funkcją określoną wzorem ()= 2; jest to funkcja różnowartościowa przekształcająca zbiór liczb rzeczywistych R na R; funkcja odwrotna określona jest wzorem: 74 ()=1/2 Niech /: G G będzie funkcją przekształcającą zbiór G liczb rzeczywistych nieujemnych w G określoną wzorem /()= ; funkcja g jest różnowartościowa i funkcja odwrotna / 74 określona jest wzorem / 74 ()=. 5. Definicja złożenia funkcji (superpozycji) Niech,,I będą niepustymi zbiorami. Niech dane będą funkcje :, /: I. Dla każdego elementu istnieje wówczas dokładnie jeden element J I taki, że J= /(()). Funkcje i / wyznaczają więc nową funkcję h: I określoną w następujący sposób: h()=/(()) dla każdego. Funkcję h nazywamy superpozycją lub złożeniem funkcji i / i oznaczamy symbolem /. Z definicji mamy więc: Przykłady (/ )=/M()N ;<= O=ż;P/@ ()=+1, /()=

4 ( /)()=M/()N=(2+1)=(2+1) +2= Definicja obrazu Niech :, R. Obrazem zbioru R wyznaczonym przez funkcję nazywamy zbiór Przykład ()= Własności Niech :, R, T (R)={ : ( R S =() )}. R={1},(R)={1} T={ 1,1}, (T)={1} 1. Monotoniczność R T (R) (T) 2. (R T)=(R) (T) 3. (R T) (R) (T) 4. Jeżeli jest różnowartościowa, to (R T)= (R) (T) 5. (R)\(T) (R\T) 6. Jeżeli jest różnowartościowa, to (R)\(T)= (R\T) Kontrprzykłady. Ad 4. ()= Dla 6. ()= > > R={1}, (R)={1} T={ 1}, (T)={1} (R T)=({1} { 1})=({ })= (R) (T)={1} {1}={1} R={3}, (R)={3} T={ 3}, (T)={3} (R)\(T)=({3})\({ 3})={3}\{3}= ({3}\{ 3})=({3})={3} 7. Definicja i własności przeciwobrazu zbioru za pomocą funkcji W:X Y. Przykłady. Niech :, Z. Przeciwobrazem zbioru Z wyznaczonym przez funkcję nazywamy zbiór 74 (Z)={ :() Z} Przykład:

5 , 74 ({132 : : 13201,13 Własności: :, Z, [ 1) Z [ 74 Z 74 [ [monotoniczność] 2 74 Z [ 74 Z 74 [ 3 74 Z [ 74 Z 74 [ 4 74 Z/[ 74 Z/ / 74 [ 5 74 /[/ 74 [ [ Własności obrazu i przeciwobrazu: Niech : 1 dla dowolnego zbioru R,R 74 R 2) jeżeli jest różnowartościowa, to R01R 3) dla dowolnego zbioru Z, 74 Z Z 4) jeżeli zbiór Z, to 74 ZZ Funkcje elementarne Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne. Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji nazywamy funkcjami elementarnymi (np. wielomianu, funkcje wymierne, moduł). Własności Funkcja stała Niech, będą niepustymi zbiorami. Funkcją stałą nazywa się funkcję taką, że Funkcja potęgowa Funkcja postaci *, gdzie a jest daną liczbą rzeczywistą. Dla =0 funkcja jest określona dla 0; poza tym warto wyróżnić kilka przypadków: =0 wykładnik = dodatni, parzysty,

6 wykładnik = dodatni, nieparzysty wykładnik = ujemny, parzysty wykładnik = ujemny, nieparzysty Funkcja wykładnicza Funkcja postaci:, gdzie. Dla Jeśli funkcja wykładnicza o podstawie funkcja jest stała. jest rosnąca, dla jest malejąca.

7 Funkcja logarytmiczna funkcja ustalonego, określona wzorem (dla pewnego ). Jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Funkcja logarytmiczna jest ściśle monotoniczna: dla malejąca, różnowartościowa. ciągła, różniczkowalna funkcja ta jest rosnąca, dla Logarytmy o różnych podstawach: funkcja jest jasnoniebieski ma podstawę 1/2, czerwony ma podstawę 2, zielony podstawę,ciemnoniebieski ma podstawę 10 Funkcje trygonometryczne Funkcje sinus i cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej. Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać, gdzie jest liczbą całkowitą. Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci, gdzie jest liczbą całkowitą. Tangens ma asymptoty pionowe w punktach postaci postaci., a cotangens w punktach Sinus i cosinus są ograniczone: przyjmują wartości z przedziału. Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste Wykresy Sinus: Cosinus:

8 Tangens: Cotangens Funkcje cyklometryczne Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów. Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest, a zbiorem wartości Arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest, a zbiorem wartości

9 Arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest, a zbiorem wartości Arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest, a zbiorem wartości