Warsztat pracy matematyka

Transkrypt

1 Warsztat prac matematka Izabela Bondecka-Krzkowska Marcin Borkowski Jęzk matematki Teoria Jednm z podstawowch pojęc matematki jest pojęcie zbioru. Teorię opisującą zbior nazwa sie teorią mnogości. Definicja 1. Jęzk teorii mnogości (teorii zbiorów) zawiera wszstkie smbole rachunku zdań oraz następujące smbole specficzne dla tej teorii: smbol zbioru pustego, tzn. zbioru nie posiadającego żadnego elementu, smbol prznależności elementu do zbioru. Wrażenie A cztam jako jest elementem zbioru A lub należ do A. smbol inkluzji (zawierania się zbiorów). Wrażenie A B oznacza, że zbiór A zawiara się w zbiorze B, tzn., że każd element zbioru A jest również elementem zbioru B: A B ( A B). Definicja 2. Działania na zbiorach. Niech dane będą zbior A i B. Przjmujem następujące definicje (1) Suma zbiorów A i B jest to zbiór A B spełniając warunek A B A B, czli A B = { : A B}. (2) Przekrój (iloczn, część wspólna) zbiorów A i B jest to zbiór A B spełniając warunek A B A B, czli A B = { : A B}. (3) Różnica zbiorów A i B jest to zbiór A \ B spełniając warunek A \ B A B, czli A \ B = { : A B}. (4) Dopełnieniem zbioru A w zbiorze (względem zbioru) (uniwersum) U nazwam zbiór A spełniając warunek A = U \ A = { U : A}, 1

2 Zadania obowiązkowe Zadanie 1. Oblicz A B, A B, A \ B oraz B \ A dla następującch przedziałów: a) A = ( ; 2], B = (1; 4] b) A = ( 3; 2], B = (; 1] c) A = [ 2; 2], B = ( 1; 2) d) A = ( ; 2], B = (2; ) e) A = (3; ], B = {2, 3, 4} Odpowiedź: a)a B = (, 4], A B = (1, 2], A \ B = (, 1], B \ A = (2 4]; b)a B = A, A B = B, A \ B = ( 3, ] (1, 2], B \ A = ; c)a B = A, A B = B, A \ B = [ 2, 1], B \ A = ; d)a B = R, A B =, A \ B = A, B \ A = B; e)a B = {2} [3; ), A B = {4}, A \ B = (3, 4) (4 ), B \ A = {2, 3}. Zadanie 2. A jest zbiorem wszstkich czworokątów, B jest zbiorem wszstkich kwadratów ma płaszczźnie E. Jakimi figurami geometrcznmi są element następującch zbiorów:a B, A B, A \ B oraz B \ A? Zadanie 3. Spośród 1 studentów 24 ucz się jęzka niemieckiego, 41 - francuskiego, 6 - angielskiego i francuskiego, 9 -niemieckiego i francuskiego, 15 - tlko niemieckiego, 2 - niemieckiego, ale nie angielskiego, 32 - nie ucz się żadnego z wmienionch jęzków. Ilu studentów ucz się tlko jęzka angielskiego, a ilu tlko jęzka angielskiego i niemieckiego? Odpowiedź: Rozwiązanie zilustrować na diagramie Venna. Tlko jęzka angielskiego ucz się 12 studentów, nie ma studentów uczącch się tlko angielskiego i niemieckiego. Zadanie 4. Zapisz w jęzku teorii mnogości jakie związki zachodzą pomiędz zbiorami A, B i C określonmi następująco: a) A = zbiór osób z co najmniej podstawowm wkształceniem (takich które ukończł szkołę podstawową) B = zbiór osób z co najmniej średnim wkształceniem C = zbiór osób z wższm wkształceniem Odpowiedź: C A, B A, C B Uwagi metodologiczne. Warunki z rozwiązania można zapisać równoważnie inaczej np. zamiast C A można napisać C A = A. b) A = zbiór ludzi znającch co najmniej dwa jęzki B = zbiór osób znającch co najwżej dwa jęzki C = zbiór osób znajacch dokładnie dwa jęzki Odpowiedź: C A, C B, C = A B Uwagi metodologiczne. Wrażenie dokładnie dwa oznacza nie mniej niż dwa oraz nie więcej niż dwa. Jest to zatem koniunkcja dwóch warunków. Zadania dodatkowe Zadanie 5. Zaznacz na płaszczźnie zbior A = {(, ) R 2 : }, B = {(, ) R 2 : < 1}, C = {(, ) R 2 : + 1}, A B C, A \ (B C), (A \ B) \ C. Odpowiedź: 2

3 A B C A B C = A \ (B C) = = (A \ B) \ C Zadanie 6. Sprawdź za pomocą diagramów Venna, które z podanch niżej implikacji są prawdziwe. a) [(A C = ) (B A )] (B C ) b) [(B C = C) (A C )] (A B ) c) [(A \ B = ) (C \ B = )] (A \ C = ) d) [(A B ) (B C )] (A C = ). Szkic rozwiązania. Korzstam z diagramów Venna dla trzech zbiorów. Fakt, że dan obszar jest pust oznaczam przez jego zakreskowanie. Natomiast to, że jest niepsut przez umieszczenie w tm obszarze znaku X. Rozwiązania przedstawiają ilustracje: Uwagi metodologiczne. W przkładzie d) warto użć kolorów. Tm samm kolorem zaznaczam brzeg obszaru oraz X oznaczając, że obszar ten jest niepust. Odpowiedź: a) tak, b) tak, c) nie d) nie Zadania domowe Zadanie 7. Zapisz w jęzku teorii mnogości jakie związki zachodzą pomiędz zbiorami A, B i C określonmi następująco: A = zbiór liczb naturalnch podzielnch przez 2 lub przez 3 B = zbiór liczb podzielnch prez 2 a niepodzielnch przez 3 C = zbiór takich liczb, które spełniają warunek: jesli liczba dzieli się przez dwa, to dzieli się przez trz. Odpowiedź: B A, B C =, A C. Zadanie 8. A jest zbiorem wszstkich trójkatów równobocznch, B jest zbiorem wszstkich trójkatów równoramiennch, C jest zbiorem wszstkich trójkatów prostokatnch na płaszczźnie E. Jakimi figurami geometrcznmi są element następującch zbiorów: A B, A B, A\B, B\A, A C, A \ C, C \ A? Odpowiedź: A B = B, A B = A, A\B =, B\A- równoramienne ale nie równoboczne, A C =, A \ C = A, C \ A = C 3

4 Zadanie 9. Zapisz podane twierdzenia w postaci implikacji. Zapisz twierdzenia odwrotne, przeciwne i przeciwstawne do nich oraz oceń ich wartość logiczną. a) Pole prostokąta o bokach a i b wnosi ab. b) Liczba całkowita podzielna przez 12 jest podzielna przez 3 i przez 4. Dowod niekonstruktwne Dowód niekonstruktwn to rodzaj dowodu matematcznego, w którm wkazuje się istnienie pewnch obiektów (zbiorów, liczb, figur geometrcznch o pewnch własnościach), zwkle nie wprost, przez stwierdzeni, że nieprawdziwość tez twierdzenia prowadziłab do sprzeczności, bez podania sposobu ich konstruowania. Przkład 1. Twierdzenie. Istnieją liczb niewmierne a i b takie, że a b jest liczbą wmierną. Dowód. Przjmijm a = b = 2 (wiem, że 2 jest liczbą niewmierną). Mam do rozważenia dwie możliwości (co wnika z prawa logiki nazwanego prawem włączonego środka trzeciego wjścia nie ma ): a) 2 2 jest liczbą wmierną, Wted a i b spełniają tezę twierdzenia. b) 2 2 nie jest liczbą wmierną. Wted jednak wstarcz wziąć dwie liczb niewmierne a = 2 2 oraz b = 2, co daje a b = 2 a 2 jest liczbą wmierną. Koniec dowodu. Dowód ten jednak nie stwierdza wprost, któr przpadek zachodzi! Przkładami dowodów niekonstruktwnch są dowod twierdzeń opartch na zasadzie szufladkowej Dirichleta: Twierdzenie 1. Zasada szufladkowa Dirichleta. Jeżeli m przedmiotów włożm do n różnch szufladek, prz czm m n, to co najmniej w jednej szufladce znajdą się co najmniej dwa przedmiot. Przkład 2. Wśród mieszkańców Warszaw co najmniej dwie osob mają tę samą liczbę włosów na głowie. Dowód. Liczba włosów na głowie człowieka nie przekracza 5, natomiast liczba mieszkańców Warszaw przekracza 1. Weźm 5 szufladek ponumerowanch kolejnmi liczbami naturalnmi od 1 do 5 i wkładajm do szufladki o danm numerze osob, które mają taką liczbę włosów na głowie, jak numer szufladki. Ponieważ osób jest ponad 1, a szufladek 5, z zasad szufladkowej Dirichleta wnika, że w jednej lub więcej szufladkach musi się znaleźć więcej niż jedna osoba. Nie wiem jednak jakie są te szufladki, więc nie wiem jaka liczba włosów powtarza się! Przkład 3. W grupie 2 osób muszą bć co najmniej dwie, które urodził się w tm samm miesiącu. Dowód. Weźm 12 szufladek z nazwami miesięc i wkładajm do nich osob, które urodził się w danm miesiącu. Ponieważ osób jest 2, a szufladek 12, w jednej z nich muszą bć co najmniej dwie osob. Nie wiem o jaki miesiąc chodzi! Literatura 4

5 (a) Marciszewski W. [red.], Mała encklopedia logiki, Zakład Narodow Imienia Ossolińskich Wdawnictwo, Wrocław Warszawa Kraków, Gdańsk Łódź, (b) Murawski R., Świrdowicz K., Wstęp do teorii mnogości, Wdawnictwo Naukowe UAM, Poznań 25. (c) Chronowski A., Zadania z elementów teorii mnogości i logiki matematcznej, Wdawnictwo Dla szkoł, Wilkowice