Literatura podstawowa

Transkrypt

1 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 2, Analiza funkcji jednej zmiennej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Analiza matematyczna 1: definicje, twierdzenia, wzory., Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas: Algebra liniowa 1: Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław Literatura uzupełniająca 1. Erich Steiner : Matematyka dla chemików, Warszawa, Wydaw. Naukowe PWN, Halina Pidek Łopuszańska: Matematyka dla chemików, Wiedza Powszechna, Warszawa Wiadomości wstępne. 2. Przegląd funkcji elementarnych. 3. Ciągi. Granice ciągów. 4. Granice funkcji. Ciągłość funkcji. Program wykładu 5. Obliczanie pochodnych. Zastosowanie pochodnych. Reguła de L Hospitala. 6. Macierze i działania na macierzach. Wyznaczniki. 7. Macierz odwrotna. Rozwiązywanie układów równań liniowych. 8. Całka nieoznaczona i oznaczona. Zastosowanie całek. Zasady zaliczenia Egzamin testowy po zakończeniu wykładów, warunkiem przystąpienia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń, na ocenę pozytywną wymagane jest uzyskanie powyżej 50% punktów, ocena 4, 5 lub 5 z zaliczenia ćwiczeń zwalnia z egzaminu (zostanie wpisana ocena z ćwiczeń). dr Aleksandra Nowel Instytut Matematyki Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki UG Wita Stwosza 57, Gdańsk pokój 317 (IIIp.) tel. (58) olanowel/ Aleksandra.Nowel@mat.ug.edu.pl Prowadzący

2 konsultacje zostaną ustalone w drugim tygodniu zajęć 2 Funkcje elementarne Definicja 1 Funkcją (odwzorowaniem) f : X Y ze zbioru X do zbioru Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f, a zbiór Y przeciwdziedziną funkcji f. Niech D R, dana jest funkcja f : D R. Definicja 2 Jeśli dla dowolnych x 1, x 2 D zachodzi: x 1 < x 2 x 1 < x 2 x 1 x 2 f(x 1 ) < ( ) f(x 2 ), to f jest funkcją rosnącą (niemalejącą); f(x 1 ) > ( ) f(x 2 ), to f jest funkcją malejącą (nierosnącą); f(x 1 ) f(x 2 ), to f jest funkcją różnowartościową. 3 Funkcja liniowa 1. Funkcja liniowa: f : R R, f(x) = ax + b, wykresem jest prosta. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym funkcji f, a = tg α, gdzie α oznacza kąt nachylenia wykresu funkcji f do osi odciętych; b = f(0) wyznacza punkt przecięcia wykresu z osią rzędnych, nazywany jest wyrazem wolnym. Jeśli a = 0 to wykresem f jest prosta równoległa do osi odciętych, a f nazywamy funkcją stałą. Wykresy dwóch funkcji liniowych f 1 (x) = a 1 x + b 1, f 2 (x) = a 2 x + b 2 są równoległe jeśli a 1 = a 2, prostopadłe jeśli a 1 a 2 = 1. 2

3 4 Funkcja kwadratowa 2. Funkcja kwadratowa: f : R R, f(x) = ax 2 + bx + c, a 0, wykresem jest parabola. Niech = b 2 4ac, liczbę tę nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ( ax 2 +bx+c. b Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie 2a, ). 4a Jeśli > 0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe: x 1 b +. 2a = b, x 2 = 2a Jeśli = 0, to funkcja kwadratowa ma jedno (podwójne) miejsce zerowe: x 0 = b 2a. Jeśli < 0, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych. 3

4 5 Wielomiany 3. Wielomian (funkcja wielomianowa): f(x) = a n x n +a n 1 x n 1...+a 1 x+a 0, n N, a n 0. Liczbę n nazywamy stopniem wielomianu. Funkcja kwadratowa jest więc wielomianem stopnia 2, funkcja liniowa jest wielomianem stopnia 1 lub, gdy jest funkcją stałą, stopnia 0. Wielomian nieparzystego stopnia ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych daje się rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia 1 i (nierozkładalnych) wielomianów stopnia 2. 4

5 Dzielenie wielomianów Dane są wielomiany W (x) i P (x). Ilorazem wielomianu W (x) przez wielomian P (x) nazywamy taki wielomian Q(x), że spełniona jest równość W (x) = Q(x) P (x). Jeśli taki wielomian istnieje, to mówimy, że W (x) jest podzielny przez P (x). Wielomian P (x) nazywamy wtedy dzielnikiem wielomianu W (x). Dla wielomianów, podobnie jak dla liczb całkowitych, określa się dzielenie z resztą. Jeżeli W (x) i P (x) są wielomianami oraz P (x) 0, to istnieją takie dwa wielomiany Q(x) i R(x), że W (x) = Q(x) P (x) + R(x), przy czym albo wielomian R(x) = 0 i wtedy W (x) jest podzielny przez P (x), albo stopień wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P (x). Wielomian R(x) nazywamy resztą z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian P (x). Algorytm dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian P (x): 1. Uporządkować dwa wielomiany (zapisać ich wyrazy w kolejności od największej do najmniejszej potęgi zmiennej). 2. Podzielić pierwszy wyraz dzielnej W (x) przez pierwszy wyraz dzielnika P (x). 3. Otrzymany jednomian pomnożyć przez dzielnik i odjąć od dzielnej. W wyniku odejmowania powstaje reszta R 1 (x). 4. Pierwszy wyraz reszty R 1 (x) należy podzielić przez pierwszy wyraz dzielnika P (x). 5

6 5. Otrzymany jednomian należy pomnożyć przez dzielnik i odjąć od reszty R 1 (x). W wyniku odejmowania powstaje reszta R 2 (x). 6. Punkty 4 5 powtarzamy do uzyskania reszty równej zero lub reszty, której stopień jest niższy od stopnia dzielnika P (x). Równania i nierówności wielomianowe Definicja 3 Liczbę a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), jeśli W (a) = 0. Twierdzenie 4 Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez (x a). Definicja 5 Liczbę a nazywamy pierwiastkiem k krotnym wielomianu W (x), jeśli W (x) jest podzielny przez (x a) k i nie jest podzielny przez (x a) k+1. Twierdzenie 6 Jeżeli współczynniki wielomianu W (x) = a n x n +a n 1 x n 1...+a 1 x+a 0, n N, a n 0 są liczbami całkowitymi i liczba wymierna p (ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem q tego wielomianu, to p jest dzielnikiem a 0, a q jest dzielnikiem a n. Algorytm rozwiązywania równania W (x) = 0 lub nierówności W (x) > (, <, ) 0 1. Rozkładamy W (x) na czynniki (wyłączanie wspólnego czynnika, grupowanie wyrazów, wzory skróconego mnożenia, twierdzenie o pierwiastku wielomianu i o pierwiastkach wymiernych oraz wykorzystanie algorytmu dzielenia wielomianów). 2. Znajdujemy pierwiastki wielomianu rozwiązanie równania. 3. Określamy krotność pierwiastków. 4. Zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej. 5. Określamy znak współczynnika a n przy najwyższej potędze x. 6. Szkicujemy wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony, od góry jeśli a n > 0, od dołu jeśli a n < 0; wykres przecina oś odciętych w pierwiastkach o nieparzystej krotności, styka się i odbija od osi odciętych w pierwiastkach o parzystej krotności. 7. Odczytujemy rozwiązanie nierówności z wykresu. 6 Funkcja wymierna Dane są wielomiany P (x), Q(x) 0 oraz zbiór Z miejsc zerowych wielomianu Q(x). 4. Funkcja wymierna: f : R \ Z R, f(x) = P (x) Q(x). Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna. Jest to odwzorowanie postaci f(x) = ax + b cx + d, gdzie c 0, ad bc 0. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola. Posiada ona dwie asymptoty: pionową o równaniu x = d c oraz poziomą o równaniu y = a c. 6

7 7 Funkcja wykładnicza 5. Funkcja wykładnicza: f(x) = a x, a 1, a > 0. Liczbę a nazywamy podstawą funkcji wykładniczej f. Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, tzn. a x = a y x = y. Własności funkcji wykładniczej: a x a y = a x+y ax a y = ax y (a x ) y = a xy (ab) x = a x b x Często podstawą funkcji wykładniczej będzie liczba e (o niej później), oznacza się exp x = e x. 7

8 Równania, nierówności wykładnicze Równania i nierówności wykładnicze rozwiązujemy, korzystając z różnowartościowości i monotoniczności funkcji wykładniczej. Najpierw, korzystając z własności funkcji wykładniczej, sprowadzamy równanie lub nierówność do najprostszej postaci: a x = a y x = y dla 0 < a < 1: a x a y x y dla a > 1: a x a y x y (analogicznie dla pozostałych nierówności <, >, ). 8 Logarytm, funkcja logarytmiczna Definicja 7 Dane są liczby rzeczywiste a, a > 0, a 1 oraz x > 0. Liczbę y nazywamy logarytmem przy podstawie a z x (oznaczamy y = log a x) wtedy i tylko wtedy, gdy a y = x. Oznaczamy: log x = log 10 x, ln x = log e x. Przykład 8 log 2 4 = 2, log 1000 = 3, log = 2, ln 1 = 1, log 4 e a 1 = 0 8

9 6. Funkcja logarytmiczna: f : (0; + ) R, f(x) = log a x, a 1, a > 0. Liczbę a nazywamy podstawą funkcji logarytmicznej f. Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Jest to funkcja różnowartościowa, tzn. log a x = log a y x = y. Własności funkcji logarytmicznej: log a xy = log a x + log a y log a x y = log a x log a y log a x y = y log a x log b x = log a x log a b a log a x = x log a a x = x Odczyn ph roztworu określa się wzorem ph= log[h 3 O + ], gdzie [H 3 O + ] oznacza stężenie jonów hydroniowych H 3 O + w roztworze, mierzone w molach na dm 3. Woda ma odczyn obojętny, ph= 7. Roztwory o ph mniejszym od 7 są kwasowe, roztwory o ph większym od 7 są zasadowe. Przykład 9 Sprawdzić, jaki odczyn (kwasowy czy zasadowy) mają: wino (stężenie jonów H 3 O + jest równe ) woda morska (stężenie jonów H 3 O + jest równe 2, ) 9

10 Równania, nierówności logarytmiczne Równania i nierówności logarytmiczne rozwiązujemy, korzystając z różnowartościowości i monotoniczności funkcji logarytmicznej. Najpierw wyznaczamy dziedzinę równania lub nierówności. Następnie, korzystając z własności funkcji logarytmicznej, sprowadzamy równanie lub nierówność do najprostszej postaci: log a x = log a y x = y dla 0 < a < 1: log a x log a y x y dla a > 1: log a x log a y x y (analogicznie dla pozostałych nierówności <, >, ) 9 Funkcje trygonometryczne 7. Funkcje trygonometryczne: Własności: (a) f : R 1; 1, f(x) = sin x, funkcja sinus; funkcja okresowa o okresie 2π (b) f : R 1; 1, f(x) = cos x, funkcja cosinus; funkcja okresowa o okresie 2π (c) f : R \ { π + kπ, k Z} R, f(x) = tg x, funkcja tangens; funkcja okresowa o 2 okresie π (d) f : R\{kπ, k Z} R, f(x) = ctg x, funkcja cotangens; funkcja okresowa o okresie π sin 2 x + cos 2 x = 1 tg x = sin x cos x ctg x = 1 tg x sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1 = 1 2 sin 2 x 10

11 10 Funkcje cyklometryczne 8. Funkcje cyklometryczne (odwrotne do funkcji trygonometrycznych obciętych do pewnych przedziałów): (a) f : 1; 1 π; π, f(x) = arcsin x, funkcja arcus sinus 2 2 (b) f : 1; 1 0; π, f(x) = arccos x, funkcja arcus cosinus (c) f : R ( π; π ), f(x) = arctg x, funkcja arcus tangens 2 2 (d) f : R (0; π), f(x) = arcctg x, funkcja arcus cotangens 11

12 12

13 Przykład 10 arcsin 1 2 = π 6, bo π 6 π 2 ; π 2 i sin π 6 =

14 arcsin 3 = π, bo π π; π i sin π = arccos 1 = 0, bo 0 0; π i cos 0 = 1 arctg 1 = π 4, bo π 4 ( π 2 ; π 2 ) i tg π 6 = 1 2 arctg( 1) = π 4, bo π 4 ( π 2 ; π 2 ) i tg ( π 4 ) = 1 Przykład 11 Uwaga: arcctg( 1) = 3π 4 (nie π 4 ), bo 3π 4 (0; π) i ctg 3π 4 = 1; π 4 (0; π)! 14