FINAŁ 10 marca 2007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut. x +

Transkrypt

1 FINAŁ 0 marca 007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut ZADANIE Największ wspóln dzielnik dwóch liczb naturalnch wnosi 6, a ich najmniejsza wspólna wielokrotność tch liczb równa jest 0. Znajdź te liczb. ZADANIE Uprość wrażenie: + + ZADANIE Narsuj wkres funkcji spełniającej równocześnie następujące własności: o dziedziną funkcji jest, 5, o zbiorem wartości funkcji jest,), 5, o miejscem zerowm funkcji jest -, o funkcja jest rosnąca w,. ZADANIE 4 Jeżeli samochód rusza spod świateł na skrzżowaniu A i jedzie ze średnią prędkością 50 km/h, to samochód ten płnnie przejedzie przez odległe o 600 m skrzżowanie B, bo na skrzżowaniu B kierowca będzie miał światło zielone. a) Oblicz, ile sekund będzie czekał na zielone światła na skrzżowaniu B samochód. Któr ze skrzżowania A jechał ze średnią prędkością 70 km/h. b) Oblicz z jaką prędkością jechał samochód ze skrzżowania A, jeżeli na skrzżowaniu B czekał 6 sekund na zielone światła. ZADANIE 5 W trójkącie ABC ( 90 ) C przedłużono bok AC poza punkt C o odcinek CB, CB CB oraz bok BC poza punkt C o odcinek CA, CA CA, i połączono punkt A i B. Wkaż, że przedłużenie wsokości CD trójkąta ABC jest środkową CE trójkąta A B C.

2 FINAŁ 0 marca 007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM ROZSZERZONY Czas pisania 90 minut ZADANIE Jeśli pewne działanie, oznaczm je, jest wkonalne w zbiorze A i istnieje taki element e A, że dla każdego a A spełnione są warunki a e a i e a a, to e nazwam elementem neutralnm działania. a) Jaka liczba jest elementem neutralnm mnożenia w zbiorze liczb rzeczwistch, a jaka dodawania w zbiorze liczb rzeczwistch? b) W zbiorze liczb rzeczwistch określone zostało działanie w następując sposób a b a + b. Oblicz ( 7 ) 5. Sprawdź, cz jest elementem neutralnm działania. c) Sprawdź, cz jest elementem neutralnm działania określonego w zbiorze liczb rzeczwistch następująco a b a b +. ZADANIE Wznacz wartość parametru a, tak ab funkcja a miała trz miejsca zerowe. ZADANIE Dzieląc liczbę przez, otrzmujem resztę, a dzieląc liczbę przez otrzmujem resztę 5. Uzasadnij, że dzieląc iloczn przez otrzmam resztę.

3 ZADANIE 4 Usuwając niewmierność z mianownika liczb a b - ( a b)( a + ab + b ) -. o Zauważm, że ( 7) ( 7) 7 ( ) ( 7) 0. o Mnożąc licznik i mianownik danej liczb przez ( ) ( ( 7) ) ( ) ( 7) ( 7) 0 ( ) skorzstam ze wzoru otrzmujem: Korzstając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, usuń niewmierność z mianownika liczb: a) b) 9 ZADANIE 5 Dwusieczna CD dzieli wsokość AE w stosunku :4 ma wsokość trójkąta ADC opuszczona z wierzchołka D. DE AD 4. AE. Jaką długość

4 Finał. Klasa druga, poziom podstawow. Czas pisania 60 min. Zadanie Liczb,, są pierwiastkami równania , ponadto wiadomo, że < <. Zbuduj równanie postaci + b + c + d 0, którego rozwiązaniami są liczb : a) +,, + b) + +,. 4 Zadanie Jedna z przekątnch trapezu dzieli go na dwa trójkąt, którch stosunek pól równ jest :. Znajdź stosunek pól trójkątów na jakie dzieli ten trapez druga przekątna. Zadanie Wkaż, że każda liczba postaci naturalnej. Zadanie 4 n zer n zer, gdzie n N, jest kwadratem liczb Funkcja f każdej liczbie całkowitej dodatniej przporządkowuje liczbę jej dzielników naturalnch. a) Oblicz f ( ). b) Funkcja g określona jest następująco : g ( n) f ( n) dla każdej liczb całkowitej dodatniej n. Ile miejsc zerowch należącch do zbioru {,,,...0} ma funkcja g? c) Jaką własność mają te liczb n, dla którch f ( n) jest liczbą nieparzstą? Zadanie 5 Zbior A i B określone są następująco : ( ) (, ) : R R < 9 { } {, : C R < } A, B. Zaznacz w układzie współrzędnch zbior A B, A B. Powodzenia!

5 Finał. Klasa druga, poziom rozszerzon. Czas pisania 60 min. Zadanie Zaznacz w układzie współrzędnch zbiór B A, :, R + 4 oraz B (, ) :, R a, gdzie a jest pierwiastkiem równania ( a )( a a + ) 0 Dana jest funkcja ( ) min(, 5 + 7) A jeśli ( ) Zadanie f, gdzie ( a,b) a) Oblicz wartość funkcji f dla argumentów 0, i 4. b) Wznacz zbiór wartości funkcji f. c) Dla ; 5 naszkicuj wkres tej funkcji. { } min oznacza nie większą z licz a, b. Zadanie Oblicz a + b + c wiedząc, że a + b + c 0 oraz abc. Zadanie 4 Liczba jest pierwiastkiem równania ( 4 p + ) + ( 8p 5) Wznacz wartość parametru p, wiedząc, że dan pierwiastek jest średnią artmetczną pozostałch. Zadanie 5 Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Prosta przechodząca przez punkt A i W przecina okrąg opisan na trójkącie ABC w punkcie D ( D A). Wkaż, ze trójkąt BDW jest równoramienn. Powodzenia!