Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Transkrypt

1 Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Funkcję taką oznaczamy przez : X Y. Wartość unkcji w punkcie x oznaczamy przez (x). Deinicja (dziedzina przeciwdziedzina zbiór wartości) Niech : X Y. Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną unkcji i oznaczamy przez D a zbiór Y nazywamy jej przeciwdziedziną. Ponad to zbiór { ( x) Y : x D } nazywamy zbiorem wartości unkcji. Jeżeli dany jest tylko wzór określający unkcję to zbiór tych elementów z dla których wzór ten ma sens nazywamy dziedziną naturalną unkcji. Przykład Określić dziedziny naturalne podanych unkcji a) ( x) log( x 1); b) ( x) 1 4 sin x. Deinicja (wykres unkcji) Wykresem unkcji : X Y nazywamy zbiór nazywamy dziedziną unkcji i oznaczamy przez {( x y) : x X y ( x)} Wtedy zbiór X D a zbiór Y Wykres unkcji Nie jest to wykres unkcji 1

2 Deinicja (unkcja na ) Funkcja odwzorowuje zbiór X na zbiór Y co notujemy : X Y wtedy i tylko wtedy gdy na y Y x X : ( x) y. Geometrycznie unkcja : X Y jest na gdy rzut prostokątny jej wykresu na oś OY pokrywa się ze zbiorem Y. Deinicja (unkcja okresowa) Funkcja : X jest okresowa jeżeli T x X x T X x T x 0 oraz ( ) ( ). Liczbę T nazywamy okresem unkcji. Najmniejszy okres unkcji nazywamy okresem podstawowym. Deinicja (unkcja parzysta) Funkcja : X jest parzysta jeżeli x x X ( x) ( x). Funkcja jest parzysta gdy oś OY jest osią symetrii jej wykresu. Deinicja (unkcja nieparzysta) Funkcja : X jest nieparzysta jeżeli x x X ( x) ( x). Funkcja jest nieparzysta gdy początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu. Deinicja (unkcja rosnąca) Funkcja jest rosnąca na zbiorze A D jeżeli x x A ( x x ) ( ( x ) ( x )) Deinicja (unkcja malejąca) Funkcja jest malejąca na zbiorze A D jeżeli x x A ( x x ) ( ( x ) ( x )) Deinicja (unkcja nierosnąca i niemalejąca) Funkcja jest na zbiorze A D

3 1) niemalejąca jeżeli x1 x A x1 x x1 x ) nierosnąca jeżeli x x A ( x x ) ( ( x ) ( x )). ( ) ( ( ) ( )) ; Deinicja (unkcja monotoniczna) Funkcja jest monotoniczna na zbiorze jeżeli jest rosnąca malejąca nierosnąca lub niemalejąca na tym zbiorze. Deinicja (unkcja złożona) Niech zbiory X Y Z W będą niepuste przy czym Y Z oraz niech : X Y g : Z W. Złożeniem unkcji g i nazywamy unkcję g : X W określoną wzorem ( g )( x) g( ( x)) dla x X. Uwaga Składanie unkcji nie jest przemienne. 3

4 Przykład Określić unkcje złożone g g g g ( x) x g( x) cos x. Deinicja (unkcja różnowartościowa) Funkcja jest różnowartościowa gdy każda prosta pozioma przecina jej wykres w co najwyżej w jednym punkcie. Deinicja (unkcja odwrotna) na Niech unkcja : X Y będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcją odwrotną do unkcji nazywamy unkcję Uwaga 1 : Y X określoną przez warunek 1 ( y) x y ( x) gdzie x X y Y. Wykres unkcji odwrotnej prostej y=x. 1 otrzymujemy z wykresu unkcji odbijając go symetrycznie względem Funkcje elementarne x x e e Funkcje hiperboliczne: 1) sinus hiperboliczny sh x gdzie x x x e e ) cosinus hiperboliczny ch x gdzie x 4

5 sh x 3) tangens hiperboliczny th x gdzie x ch x ch x 4) kotangens hiperboliczny cth x gdzie x. sh x Fakt (podstawowe tożsamości z unkcji hiperbolicznymi) 1. ch x sh x 1 dla każdego x ;. sh x sh x ch x dla każdego x ; 3. ch x sh x ch x dla każdego x ; 5