FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI

Transkrypt

1 FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie jednego elementu zbioru. Mówimy wtedy, że na zbiorze jest określona funkcja zmiennej, co zapisujemy w postaci: lub = () dla, gdzie symbol () oznacza wartość funkcji w punkcie. Zbiór X nazywamy dziedziną odwzorowania (funkcji) lub obszarem określoności funkcji i oznaczamy przez. Elementy x zbioru X nazywamy argumentami funkcji lub zmienną niezależną.

2 Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną i oznaczamy symbolem. Elementy y zbioru Y nazywamy wartościami funkcji lub zmienną zależną i oznaczamy przez =(). Zbiorem wartości () funkcji nazywamy zbiór tych wszystkich, dla których istnieje taki argument, że = (). = { = (), }. Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór tych argumentów, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji.

3 WCH ZTM dr Anna Niewulis Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych Ernst Mach

4 WCH ZTM dr Anna Niewulis Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych Ernst Mach

5 Wykresem funkcji, gdzie,, nazywamy zbiór wszystkich punktów postaci (,()), gdzie. UWAGA Wykres funkcji ma następującą własność: Każda prosta =, przecina wykres funkcji dokładnie w jednym punkcie. Miejscem zerowym funkcji, gdzie, nazywamy taką wartość argumentu, dla której () = 0. Znak funkcji Mówimy, że funkcja przyjmuje znak dodatni wtedy, gdy jej wykres leży nad osią, natomiast znak ujemny w przeciwnym przypadku.

6 WCH ZTM dr Anna Niewulis Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych Ernst Mach

7 Monotoniczność funcji Niech!. Funkcję : nazywamy: rosnącą w zbiorze!, jesli dla dowolnych argumentów, #! zachodzi: $ < & ( $ ) < ( & ). malejącą w zbiorze!, jesli dla dowolnych argumentów, #! zachodzi: $ < & ( $ ) > ( & ). nierosnącą w zbiorze!, jesli dla dowolnych argumentów, #! zachodzi: $ < & ( $ ) ( & ). niemalejącą w zbiorze!, jesli dla dowolnych argumentów, #! zachodzi: $ < & ( $ ) ( & ). stałą w zbiorze!, jesli istnieje taka liczba +, że dla dowolnego! zachodzi równość () =,. Funkcję nazywamy rosnącą (malejącą, nierosnącą, niemalejącą, stałą), gdy jest ona rosnąca (malejąca, nierosnąca, niemalejąca, stała) w swojej dziedzinie.

8 PRZESUWANIE WYKRESU FUNKCJI Wykres funkcji = () otrzymujemy przez odbicie symetryczne wykresu funkcji f względem osi. Wykres funkcji = ( ) otrzymujemy przez odbicie symetryczne wykresu funkcji f względem osi. Wykres funkcji = (.)+0 otrzymujemy przez przesuniecie wykresu funkcji y = f(x) o 1 jednostek w prawo dla 1 > 0 ( w lewo dla 1 < 0) oraz o 2 jednostek w górę dla 2>0 (w dół dla 2 < 0). Wykres funkcji = () otrzymujemy przez odbicie symetryczne względem osi OX fragmentu wykresu funkcji = (), który znajduje sie pod osią OX. Część wykresu nad osią OX zostawiamy bez zmian. Wykres funkcji = ( ) otrzymujemy przez odbicie symetryczne względem osi OY wykresu funkcji =() narysowanego dla 0.

9 DEFINICJA (funkcji różnowartościowej) Funkcja jest różnowartościowa na zbiorze, jezeli: $, & 5( $ & ) ( $ ) ( & )7 UWAGA Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze X, gdy każda prosta pozioma przecina fragment wykresu leżący nad lub pod zbiorem X co najwyżej w jednym punkcie. DEFINICJA (funkcja na ) Funkcja odwzorowuje zbiór na zbiór, co zapisujemy : 89 :;, wtedy i tylko wtedy, gdy =, tzn. ()=

10 DEFINICJA (funkcja odwrotna) Niech funkcja : 89 :; będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję : określoną następująco: $ (), = (), gdzie, UWAGA Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy z wykresu funkcji odbijając go symetrycznie względem prostej =.

11 DEFINICJA (funkcja złożona) Niech,,?, będą podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych, przy czym? oraz niech Złożeniem funkcji nazywamy : określoną wzorem: (@ dla

12 DEFINICJA (ilorazu różnicowego) Niech oraz niech funkcja będzie określona w pewnym otoczeniu punktu. Niech będzie przyrostem takim, że = + należy do tego otoczenia. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie odpowiadajacym przyrostowi, zmiennej niezależnej nazywamy liczbę: DEFINICJA ( C+ ) ( C ) Niech oraz niech funkcja będzie określona w pewnym otoczeniu punktu. Pochodną właściwą funkcji w punkcie nazywamy granicę właściwą ( C ) DEF C ( C G )( C ) UWAGA: ( C )=HIJ gdzie K oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji w punkcie L(,( )) i dodatnią częścią osi.

13 TWIERDZENIE Niech! oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego! funkcja f spełnia warunek 1. ()=0, to jest stała na A; 2. ()>0, to jest rosnaca na A; 3. () 0, to jest niemalejaca na I; 4. ()<0, to jest malejaca na A; 5. () 0, to jest nierosnaca na A.