sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),

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1 WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa wypukªa.. Wyznacz dziedzin funkcji: ) f) = + ) f) = ) f) = 4) f) = 5+6 5) f) = + 7) 5 + ) 7 ) 5/ 9) 9/5 6) f) = + ) + 4 ) 5 7) f) = log p + ) p > 0 p 8) f) = log p ) p > 0 p 9) f) = log p 8) p > 0 p 0) f) = log [ log 5 + 6)] ) f) = tg + sin +cos.. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: ) f) = sin 5 ) f) = tg ) f) = cos 4) f) = sin π 5) f) = ctg 4 6) f) = cos4π + ) 7) f) = sin 8) f) = cos 9) f) = tg π. 4. Dla funkcji f) = znajd¹ nast puj ce obrazy i przeciwobrazy: ) f 0 4)) ) f 0 4)) 4) f [ 9]) 5) f [ ]) ) f [ ]) 6) f [ ]). 5. Zbadaj czy ci g jest monotoniczny i okre±l rodzaj monotoniczno±ci: ) a n = n n ) a n = n + 4 n ) a n = n! n n 4) a n = n+ n 5) a n = n 6) a n = ctg n 7) a n = n n +.

2 6. Udowodnij z denicji»e: ) n+5 0 ) n n + 0 n+ ) n Wyznacz granice ci gów: ) n ) + n ) n 4) + n) n) 5) n 00 + n) 6) 8 n + 5 n 7) n+ 5n 8) n 9) 0 n 0) n ) ) n ) ) n ) n n 4) n 00) n 5) ) 00 n n 6) + n) 00 7) + 00) n 8) 00) n 9) 0 n 0) ) n 0 n 0n ) 00n n 00 ) 00n n! 4) 00n ) n n 5) n 00n 6) 0n 00n 7) 0000n n! 8) n! n n 9) 00n + n 4 0) 6n5 n n 5 + ) 6n5 n n 6 + ) 9n + n +4 ) 5n n+ + 4) n+) n ) n+) +n ) 5) n + 4 n 6) n + n 5 n 7) n + 5 n + 8) n + 5 n + 9) n n + n) 40) n + n 4) n+ n 4) n+ 5n+ n++ n+. 8. Korzystaj c z twierdzenia o trzech ci gach wyznacz granic ci gu: ) ) n n + n n 5 + n 9. Korzystaj c z równo±ci lim n + n wyznacz granice ci gów: ) ) n sin nπ 4 4) n + ) n 4 n. = e lim ) = n n e ) n+ ) + n) ) n+ n ) + n n)

3 4) + n) n 5) + n) n 6) + 7) n) 5n + n+) n 8) + n) n+ 0. Zbadaj zbie»no± szeregów: 9) + n+) n+ 0) + 5n) n ) 5n) n ) n) n ) n ) n 4) 5) 6) 7) n n+ ) n + n ) 4n+ ) n n+5 ) n + + n +n+. ) n= ) n n= n n ) log n n= n 4) n= n+ n 5) sin n n= n 6) n= n sin π n 7) n= n! 00 n 8) n= n! n n 9) n= n+ n+ 0) n= ) n n 5 ) n+)5 n n= n n+ ) n ) n= )n n ) ) n= )n+ n 4) n 4) ) n n= n log n 5) n= ln n + n 6) n= n0 0 n 7) 0n n= )n+ n! 8) + ) n n= 9) n= 0) n= n n sin n n n+ n) ) n= nn+)n+) ) n= n + 4 n) ) n= 4) n= n n +n n n sin n tg n 5) n= n00 99 n 00 n 6) n= n ln n 7) n= 000)n 8) n= n n +4 9) n= n! 0) n= n ln n ) n= n e n ) arc tg n n= n

4 . Oblicz granice ) lim ) lim ) lim 4 + 4) lim 5) lim 6+5 6) lim ) lim + 0 +)+)+) 8) lim 0 9) lim 4 ) 4 0) lim ) ) lim 0 +) +) ) lim + ) lim 4 + 4) lim ) lim ) 0 +6) 0 6) lim 0 7) lim 0 8) lim + 9) lim ) lim ) lim 0 e e ) lim + ) lim + ln 4) lim 0 a b a > 0 b > 0 5) lim 0 a a a > 0 6) lim a a+ a a+ a a > 0 7) lim 0 e e sin 8) lim 0 sin cos 9) lim 0 ctg 0) lim ) lim π 4 tg tg π 4 +) ) lim sin ) lim lnln ) 4) lim ln ln ) 5) lim ) ln ) 6) lim 0 sin ) +)+)+) 7) lim 0 8) lim 4 ) 4 9) lim ) 40) lim 0 ln+) 4) lim 0 + ln ln sin 4) lim ) lim ) 44) lim e ) ) π arctg 45) lim ln+) ln 46) lim 0 sin ). 4

5 . Oblicz pochodne nast puj cych funkcji: ) f) = a + b + c ) f) = 4 ) f) = 4) f) = 5) f) = + ) 7 6) f) = + ) na dwa sposoby 7) f) = +) 8) f) = ) + ) 9) f) = 4. Oblicz pochodne f f f funkcji 0) f) = a + b + c ) f) = ) f) = + ) ) f) = + + 4) f) = u) v) w) 5) f) = cos 4 6) f) = arcsin ) 7) f) = sin f) g) ). ) f) = ) f) = e. 4. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odci tej 0 dla ) f) = = ) f) = sinπ) 0 = 4 ) f) = tg π 4 0 = 4) f) = arcsin 0 = 5) f) = e tg 0 = π 4 6) f) = + 0 = 7) f) = ln + e) 0 = Oblicz z denicji pochodn funkcji ) f) = + ) f) = 4 R ) f) = + 0 = Wielomian p) = przedstaw w postaci wielomianu zmiennej ). 5

6 7. Wielomian p) = ) ) + ) przedstaw w postaci wielomianu zmiennej + ). 8. Napisz rozwini cie funkcji do wyra»enia zawieraj cego. f) = Korzystaj c ze wzoru Taylora wyka» nast puj ce to»samo±ci: ) e = n=0 n n! ) sin = ) n n+ n=0 n+)! ) cos = ) n n n=0 n)!. 0. Wyznacz asymptoty krzywej: ) y = + 4+ ) y = + + ) y = +. Zbadaj przebieg zmienno±ci funkcji: ) f) = + ) f) = +) ) f) = ln. Oblicz caªki ) ) d ) + 4 d ) ) a + a + a d 4) ) a + a + a da 5) ) d 6) ) d 4) y = ) y = e. 4) f) = ln e + ) 5) f) = e. 7) d 8) + d 9) sin d 0) ) + 4 ) d d d 6

7 ) + ) + ) d 4) ) 5) 4 6) + ) d d d 7) 8 d 8) 5 8 ) 6 d 9) + 5 d 0) d 4 + ) cos sin d ) cos 5 sin d ) arctg ) + d 4) d arcsin ) 4 5) ln 6) d ln d 7) cos ) d 8) d +4 9) d 0) tg d ) sin +cos d ) e sin cos d ) e d 4) e d 5) d 4+ 6) d 5+ 7) d 4 9 8) +9 d 9) d 40) + d 4) d + 4) + d 4) + d 44) d ) d ++ 46) d 5 47) d ) d +) 49) d 4 50) d ) sin d 5) arctg d 5) e sin d 54) e d 55) + d 56) sin d 57) arctg ) d 58) ln d 59) ln d 60) cos d 6) d 5 + d 6) +) d ++ 6) 5) d ) 5) d ) ) + d 66) d +) +4) 67) d + 68) d 4 69) d +) +) 70) ) d ) +5) 7) ) d +5 7) + ++ d 7) sin cos 5 d 74) cos 5 sin 4 d 75) cos d 76) sin 4 d. 7

8 . Oblicz caªki:. ln d;. e sin e d;. e e d; 4. e d; 5. cos d; 6. d ln ; 7. arcsin ) d; 8. d; 9. d; 0. cos d sin ;. tan d;. tan ) d;. sin cos d; 4. sin ) 5 cos d; 5. cos ) d; 6. cos d; 7. e d; 8. ln d; 9. ln d; 0. arccos d;. arctan d;. e d;. cos d; d; d; 7. e e +)e ) d; 8. e e 4 d; 9. d e ; 0. d ) ; d;. cos sin sin ) d;. d; ) +). d; d; 5. cos d; 6. tan d; 7. e d; 8. ln + + ) d; 9. +) d; 40. arctan d; 4. arctan d; 4. arctan d; 4. ln+) d; d; 45. sin d; 46. d ; ) 47. cos sin 4 d; 48. sin cos d. Odpowiedzi.. ln + C;. cos e ) + C;. e + C; 4. e + C; 5. sin + C; 6. ln ln + C; 7. 4 arcsin )4 + C; 8. ) +C; 9. +C; 0. sin +C;. ln cos + C;. tan + C;. sin + C; 4. 6 sin )6 + C; 5. sin sin ) + C; 6. cos + sin + C; 7. e e + C; 8. ln + C; 9. ln + C; 0. arccos + C;. arctan ln + ) + C;. e e ) + C;. cos + sin ) + C; 4. + arctan + C; 5. ln + + ) + C; 6. + ln + + ) + C; 7. ln e ln e + ) + C; 8. 4 ln e 4 ln e + ) + C; 9. ln e + C; 0. ln ln ) + C;. ln sin ln sin sin + C;. arctan + C;. ln + C; 4. arctan +C 5. tan +ln cos +C; 6. tan +ln cos + 8

9 C; 7. e ) arctan e ) + C; 8. ln + + ) + ; 9. arctan + C; 40. arctan + arctan + C; 4. arctan + arctan +C; 4. ln + arctan +C; 4. ln ln + ) ln+) ; 44. arcsin + + C; 45. ± + sin + C; 46. arcsin + C 47. cot + C. 48. cos + cos + C 4. Oblicz caªki:. π 0 sin d.. 6 d + t = 4. e ln 0 9. π d ln d t = ln 9 d = sin t d t = + e d +e 8. π 0 sin ecos d sin d. Odpowiedzi.. ;. ln ;. ln 5 ; 4. ; 5. 9π 4 ; ); 7. π ; 8. e 4 π e ; 9. 4 ; 5. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi. y = ) ) ) y = 0. y = y =. y = y = 4. y = y =. y = y = 0 4. y = y = 4 y = y = 4 4. y = y = 5. y = 4 + y = 5 5. y = y = y = e y = e = 0 6. y = y = 5 7. y = e y = e y = e 7. y = y = + 8. y = 4 y = 0 8. y = y = 4 4 = 0 9. y = y = 0 9. y = y = y = + y = 0 = = 0. y = y = 0. y = ln y = 0. y = y = 4 y = ln y = Odpowiedzi ln 5. 8 ln π 0. ln e. 6. Oblicz dªugo±ci ªuków krzywych: ) y = ) y = 4 ln 4 9

10 7. Oblicz dªugo± ªuku krzywej:. y = + arcsin 4. y = +. y = ) arccos 5. y = ln ) gdzie 0. y = e + e ) gdzie 0 6. y = gdzie 0. Odpowiedzi.... ) e e 4. π 5. ln Oblicz pola powierzchni bryª obrotowych powstaªych z obrotu nast puj cych krzywych wokóª osi OX: ) y = sin 0 π ) y = 4 0 ) y = 0 4) y = + + arcsin 0 5) y = cos π π. Skorzystaj ze wzoru: + t dt = t ) + t + arcsinh t +C = t + t + ln t + + t )+C. 9. Oblicz pole powierzchni obrotowej powstaªej przez obrót dookoªa osi OX obszaru ograniczonego krzywymi:. y = e +e gdzie 0. + y 0y + 75 = 0.. y = ) gdzie Odpowiedzi.. π e4 + e 4 ). 9 π. 00 π. 0. Oblicz obj to± bryªy powstaªej przez obrót dookoªa osi OX obszaru ograniczonego krzywymi:. y = y = 0. ) + y = 4. y = y = 4. + y 0y + 75 = 0 Odpowiedzi.. π 5 5. π 0. π π.. Znajd¹ obj to±ci bryª powstaªych z obrotu nast puj cych krzywych: ) y = b ) a wokóª osi OX ) y = wokóª osi OX ) y = wokóª osi OY 4) y = sin wokóª osi OX 5) y = sin wokóª osi OX 6) y = sin wokóª osi OY.. Znajd¹ ekstrema lokalne funkcji 0

11 ) f y) = + y ) e ) f y) = y + ) + + y 4) ) f y) = cos + cos y) + sin + sin y) 4) f y) = y + + y =.