Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
|
|
- Helena Kozieł
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym dzielnikiem liczb n k Z gdy istnieje m n oraz m k; liczby n k Z są względnie pierwsze gdy liczba 1 jest ich największym wspólnym dzielnikiem. Zadanie 1. Uzasadnić że podane liczby są niewymierne: a) b) 7 c) p p - l. pierwsza d) 6 e) log f) log 5 g) h) 5 i). Definicja. Wartością bezwzględną (modułem) liczby x nazywamy liczbę x R zdefiniowaną wzorem { x gdy x 0 x = x gdy x < 0. Fakt 1. Dla dowolnych x y R oraz a > 0: 1. x 0. x = 0 x = 0. x a a x a 4. x < a a < x < a 6. x + y x + y 7. xy = x y 8. x y = x y jeśli y 0 9. x y x + y x + y 5. x = a x = a x = a 10. ( x+ x ) ( ) + x x = x 11. x y x y ; w szczególności x y x y. Zadanie. Udowodnić powyższe własności. 1
2 Zadanie. Rozwiązać równania (pamiętając o odpowiednich założeniach): a) x = (graficznie) b) x + 1 = (graficznie) c) 4x = x d) x = x e) x = x 1 f) x 8 = 10 g) 5x x = 6 h) x + 1 4x = 0 i) x 4 x = j) x + x = 6 k) x + 1 x 1 = 0 l) 4x + x = x m) x x = x n) x 1 + x x = x o) 1 x + x 6 = x p) x x + = 0 q) x x + 1 = 0 x r) x = x 1. s) x + 1 = x + 1 t) x π x + 1 = x 1 u) x + x x = x Odpowiedzi: a) x {1 5} b) x { 1} c) x = 0 d) x 0 e) x f) x { } g) x { 1 6} h) x { 1 6 } i) x = 1 j) x { } k) x { 1 0 } l) x m) x {1 } n) x = 1 o) x = 5 p) x { 1 1 } q) x { 1 1} r) x = 1 5 s) x { 0} t) x = 1 6 (π 1) u) x { }. Zadanie 4. Rozwiązać nierówności (pamiętając o odpowiednich założeniach): a) x b) 4x 1 i) x 5 x + 6 < 0 j) x < x x + c) x 5 1 d) x > x + e) x 4 x+1 f) x x+ < g) x 4 h) x + + x + 4 < x ( Odpowiedzi: a) x [0 ] b) x 1 [ ] 4 e) x 6 \ { 1} f) x k) x + < x x + 5 l) x x > x m) x + 1 < 0 n) lnx x > 0 o) x x +1 1 p) x 4 x +1 < 0. ] [ ) [ 4 c) x ] 8 d) x ( 1) ( ) ( 1 4 ) g) x ( 10] [14 ) h) x ( 5 1) i) x ( ) ( ) j) x ( 0) (1 ) k) x ( 1) ( ) l) x ( 1) (0 ) m) x n) x > 0 o) x 1 p) x. Definicja. Niech f : X Y X Y R. Wtedy: zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f zbiór W f = {f(x) Y : x D f } nazywamy zbiorem wartości funkcji f
3 zbiór tych elementów z R dla których wzór określający funkcję f ma sens nazywamy dziedziną naturalną tej funkcji. Zadanie 5. Znaleźć dziedzinę naturalną funkcji: a) f(n) = 5n n 6 n N b) g(x) = log(x 1) c) h(x) = log (1 + x ) d) f(x) = x e) g(x) = 1 x 4 f) h(x) = sin(x) g) f(x) = arcsin ( x ) h) g(x) = arccos ( x ) i) h(x) = x+1 log 1 x j) f(x) = (e x 1) 1 k) g(x) = log x (x+1) x 1 l) h(x) = e x. Odpowiedzi: a) D f = {n N : n } b) D g = ( 1) (1 ) c) D h = R d) D f = ( 1] [5 ) e) D g = ( ) ( ) f) D h = [kπ (k + 1)π] k Z g) D f = [ ] h) D g = ( 0] i) D h = [1 ) j) D f = (0 ) k) D g = (0 ) \ {1} l) D h = R. Zadanie 6. Naszkicować wykres funkcji: a) f(x) = arcsin(x) b) f(x) = arccos(x) c) f(x) = arctg(x) d) f(x) = arcctg(x) e) g(x) = arcsin(sin(x)) f) g(x) = sin(arcsin(x)) g) g(x) = arccos(cos(x)) h) g(x) = cos(arccos(x)) i) g(x) = arctg(tg(x)) j) g(x) = ctg(arcctg(x)) k) g(x) = ctg(arctg(x)) l) f(x) = sin(x) m) f(x) = cos(x) n) f(x) = log 1 (x + 5) o) f(x) = ln(x) + ) x p) f(x) = ( 1 q) f(x) = e x r) f(x) = e x+. Zadanie 7. Obliczyć: a) arcsin ( 1 ) + arctg( 1) b) arcsin( 1 ) + arccos( 1 ) c) arcsin( 1 ) + arccos( ) + arctg( ) d) arccos( ) + arcsin( 1 ) + arctg( ) e) arcsin(1) + arccos(1) + arctg(1) f) arcsin( 1) + arccos( 1) + arcctg( 1). Odpowiedzi: a) 7 1 π b) 11 6 π c) 0 d) π e) 4 π f) π 4. Definicja 4. Niech f : X Y X Y R będzie funkcją oraz A X B Y. Wówczas: obrazem zbioru A poprzez f nazywamy zbiór f(a) := {y Y : x A y = f(x)} przeciwobrazem zbioru B poprzez f nazywamy zbiór f 1 (B) := {x X : f(x) B}.
4 Zadanie 8. Niech A = (0 1] B = ( 1 ) {8} oraz a) f : R R dana wzorem f(x) = 1 x b) f : R R dana wzorem f(x) = x c) f : R R dana wzorem f(x) = x d) f : R R dana wzorem f(x) = { x + gdy x 1 x + gdy x > 1. Naszkicować wykres funkcji f i wyznaczyć f(a) oraz f 1 (B). Odpowiedzi: a) f(a) = [0 1) f 1 (B) = ( ) b) f(a) = (0 1] f 1 (B) = ( 1 ) {} c) f(a) = ( ] f 1 (B) = { 5 11} (0 6) d) f(a) = [0 1) (/ ] f 1 (B) = ( 5 ). Definicja 5. Funkcję f : X Y gdzie X Y R nazywamy: rosnącą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) < f(x )] niemalejącą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) f(x )] malejącą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) > f(x )] nierosnącą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) f(x )] stałą na zbiorze A X jeżeli x1 x A [(x 1 < x ) f(x 1 ) = f(x )] okresową o okresie T jeżeli T >0 x X f(x + T ) = f(x) dla x + T X parzystą jeżeli x X x X oraz f( x) = f(x) nieparzystą jeżeli x X x X oraz f( x) = f(x) różnowartościową injekcją lub 1-1 jeżeli x1 x X [(x 1 x ) f(x 1 ) f(x )] na lub surjekcją jeżeli y Y x X y = f(x) wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją. Definicja 6. Niech f : X Y i g : Y Z będą funkcjami. Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję g f : X Z zdefiniowaną wzorem (g f)(x) := g (f(x)). Definicja 7. Mówimy że funkcja f : X Y jest odwracalna jeżeli istnieje funkcja g : Y X taka że x X g f(x) = x oraz y Y f g(y) = y. Funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f. 4
5 Zadanie 9. Zbadać monotoniczność funkcji: a) f(x) = x + 4 b) f(x) = x c) f(x) = x + 1 d) f(x) = x e) f(x) = x f) f(x) = 1 x x R \ {0} g) f(x) = 1 x x (0 ) h) f(x) = 1 x x R \ {0} i) f(x) = 1 x x (0 ) j) f(x) = 1 x x ( 0) k) f(x) = 1 x x (0 ) l) f(x) = 1 x x R \ {0} m) f(x) = x n) f(x) = x x 0 o) f(x) = x + 4 x ( 4] p) f(x) = x x ( ). Odpowiedzi: a) rosnąca b) rosnąca c) malejąca d) rosnąca e) rosnąca f) nie jest monotoniczna g) malejąca h) nie jest monotoniczna i) malejąca j) rosnąca k) rosnąca l) nie jest monotoniczna m) nie jest monotoniczna n) rosnąca o) malejąca p) rosnąca. Zadanie 10. Sprawdzić czy funkcja f : R R jest różnowartościowa. a) f(x) = 1 x x R \ {0} b) f(x) = x 5 x+ x R \ { } c) f(x) = x x [0 ) d) f(x) = x 4 x R \ { } e) f(x) = x x ( 0] f) f(x) = x 4 g) f(x) = x 4 x [0 ) h) f(x) = x 8. Odpowiedzi: a) tak b) tak c) tak d) nie e) tak f) nie g) tak h) tak. Zadanie 11. Sprawdzić czy funkcja f : R R jest bijekcją. Jeśli tak znaleźć funkcję do niej odwrotną (f 1 ). { x+1 a) f(x) = x+ gdy x gdy x = x gdy x 0 b) f(x) = x gdy x (0 1) x gdy x 1 c) f(x) = 4 x x [0 ) d) f(x) = x + 1 x [ 0) e) f(x) = x f) f(x) = ln(x 1) g) f(x) = 1 x h) f(x) = x + i) f(x) = 1 + e x j) f(x) = x + 1 k) f(x) = x 4 sgn(x) l) f(x) = log (x + 1) m) f(x) = ax+b cx d f : R \ { a c } R \ { a c } n) f(x) = arccos(x + 1) x + gdy x R \ { 1 0} o) f(x) = gdy x = 1 1 gdy x = 0 p) f(x) = x x + x x x 0. Odpowiedzi: a) tak b) nie c) nie d) nie e) nie f) nie g) nie h) tak i) nie j) tak k) tak l) tak m) tak n) nie o) tak p) nie. 5
6 Zadanie 1. Czy funkcja f jest bijekcją? Jeśli tak narysować wykres funkcji do niej odwrotnej. a) f : R [ 1 1] f(x) = sin x b) f : [ π/ π/] [ 1 1] f(x) = sin x c) f : R [ 1 1] f(x) = cos x d) f : [0 π] [ 1 1] f(x) = cos x e) f : ( π/ π/) R f(x) = tg(x) f) f : (0 π) R f(x) = ctg(x). Odpowiedzi: a) nie b) tak c) nie d) tak e) tak f) tak. Zadanie 1. Sprawdzić czy funkcja f : R \ { } { a c R \ a } c f(x) = ax+b cx a gdzie a + bc 0 jest odwrotna względem siebie. Zadanie 14. Sprawdzić czy funkcja jest okresowa i wyznaczyć jej okres podstawowy. Które z tych funkcji są parzyste/nieparzyste? a) f(x) = cos x b) f(x) = sin x c) f(x) = sin x d) f(k) = ( 1) k k Z e) f(x + 1) = 1+f(x) 1 f(x). f) f(x) = 4 tg x. Odpowiedzi: a) T = π parzysta b) nie parzysta c) T = π parzysta d) T = parzysta e) T = 4 f) T = π nieparzysta. Zadanie 15. Dane są funkcje f oraz g: a) f(x) = x g(x) = x + b) f(x) = arccos(x) g(x) = cos(x) c) f(x) = e x g(x) = ln(x + 4) d) f(x) = cos(x) g(x) = x i) f(x) = { x + 1 gdy x [0 1] x + gdy x (1 ] g(x) = e) f(x) = log x g(x) = x f) f(x) = x g(x) = x g) f(x) = x g(x) = x 4 h) f(x) = 1 x g(x) = x { x + gdy x [0 1) 1 x + gdy x [1 ]. Wykonać wszystkie możliwe złożenia funkcji f oraz g tzn. f g f f g f g g (o ile są możliwe - w przeciwnym wypadku uzasadnić). Definicja 8. Mówimy że funkcja f : X Y jest: ograniczona z dołu na zbiorze A X jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z dołu tzn. m R x A f(x) m ograniczona z góry na zbiorze A X jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z góry tzn. M R x A f(x) M ograniczona na zbiorze A X jeżeli jest ograniczona z dołu i z góry na tym zbiorze. 6
7 Zadanie 16. Zbadać ograniczoność funkcji: a) f(x) = 4 cos(x) b) f(x) = log (x) c) f(x) = 1 x+1 d) f(x) = 1 x +1 x ( 1 1) e) f(x) = x 1 x +1 f) f(x) = x1 x 4 +1 g) f(x) = 1 x +1 h) f(x) = tg(x) x ( π π ) i) f(x) = x x (0 ) j) f(x) = x x ( 0] k) f(x) = 1 + x l) f(x) = x x m) f(x) = log x x (0 ) n) f(x) = 1 x o) f(x) = x x [ ). Odpowiedzi: a) ograniczona b) nieograniczona c) ograniczona d) ograniczona e) ograniczona f) ograniczona z dołu g) ograniczona h) nieograniczona i) ograniczona z dołu j) ograniczona k) ograniczona z dołu l) ograniczona z góry m) nieograniczona n) ograniczona z góry o) ograniczona z dołu. Twierdzenie 1 (Indukcja matematyczna (zupełna)). Niech T (n) oznacza formę zdaniową zmiennej n określoną w dziedzinie N. Jeżeli: istnieje taka liczba naturalna n 0 że T (n 0 ) jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n n 0 prawdziwa jest implikacja T (n) T (n + 1) to T (n) jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n n 0. Zadanie 17. Wykazać metodą indukcji matematycznej prawdziwość poniższych faktów dotyczących ciągów: a) wzór na ciąg arytmetyczny (a n = a 1 + r(n 1) dla n 1) b) wzór na sumę ciągu arytmetycznego (a 1 + a a n = (a 1+a n)n dla n 1) c) wzór na ciąg geometryczny (a n = a 1 q n 1 dla n 1) d) wzór na sumę ciągu geometrycznego (a 1 + a a n = a 1 1 q n 1 q dla n 1). Zadanie 18. Wykazać metodą indukcji matematycznej prawdziwość poniższych równości i nierówności: a) n = n(1+n) b) n = n(1+n)(n+1) 6 c) n = ( n(1+n) ) d) n 4 = n(1+n)(n+1)(n +n 1) 0 e) n 1 = n 7
8 f) (n 1) = n(4n 1) g) (n 1) = n (n 1) h) (n 1) 4 = n(4n 1)(1n 7) 15 i) n 1 = (n+)(n 1) 4n(n+1) dla n j) (n + 1) = (n + 1) 4 (n + 1) dla n 1 k) (n) = ( n) dla n 1 l) n > n dla n m) n n 1 > n 1 dla n n) ( n)( n ) n dla n 1 o) n n+1 > (n + 1) n dla n > 4 Zadanie 19. Wykazać metodą indukcji matematycznej prawdziwość poniższych faktów dotyczących podzielności: a) n n dla n b) 6 n n dla n c) 6 n(n + 1)(n + 1) dla n 1 d) 7 n 7 n dla n e) 7 10 n+1 ( 1) n dla n f) 9 10 n 1 dla n 1 g) 9 4 n + 6n 10 dla n h) 10 n 6 dla n i) n ( 1) n dla n 1 j) 1 10 n 4 dla n 1 k) 0 n 5 n dla n l) 4 n 7 n dla n m) (x 1) (4n + )x n+ (7n + 6)x n+1 + (n + )x n + 1 = w n (x) dla n 0. Zadanie 0. Wyznaczyć wzór na liczbę przekątnych w n-kącie foremnym i wykazać jego prawdziwość metodą indukcji matematycznej. Bibliografia: 1. J. Banaś S. Wędrychowicz Zbiór zadań z analizy matematycznej WNT Warszawa M. Gewert Z. Skoczylas Analiza matematyczna 1. Definicje twierdzenia wzory GiS Wrocław 00.. M. Gewert Z. Skoczylas Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania GiS Wrocław K. Jankowska T. Jankowski Zbiór zadań z matematyki PG Gdańsk W. Krysicki L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach część 1 PWN Warszawa W. Kryszewski Wykład analizy matematycznej cz. 1 - Funkcje jednej zmiennej UMK Toruń F. Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych PWN Warszawa
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0
Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II
Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu
Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Funkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest
1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016
Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla
Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Repetytorium. Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan
Repetytorium Zajęcia w semestrze zimowym 01/013 Ewa Cygan Wersja z 15 stycznia 013 Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia Na najbliższe zajęcia (11.10.) proszę o rozwiązanie (bądź powtórzenie sobie rozwiązań
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Imię i nazwisko... suma punktów... ocena... Grupa 1
Imię i nazwisko suma punktów ocena Grupa 1 Logika Zbiory Funkcje Granice mon i ogr ciągów nr zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 B C Punktacja: nr zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 5 3 3 B
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
WSTEP ¾ DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
st ep do analizy matematycznej STEP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty katory Zad. Udowodnić nastepujace prawa rachunku zdań (tautologie): a) p _ (s q) b) p, s (s p) c) (
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.
1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej
Analiza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
Zasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Analiza matematyczna 1
Analiza matematyczna 1 Marcin Styborski Katedra Analizy Nieliniowej pok. 610E (gmach B) marcins@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/marcins () 28 września 2010 1 / 10 Literatura podstawowa R. Rudnicki,
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Funkcją sinus kąta α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, i opisujemy jako:
1. Trygonometria 1.1Wprowadzenie Jednym z podstawowych działów matematyki który wykorzystywany jest w rozwiązywaniu problemów technicznych jest trygonometria. W szkole średniej wprowadzone zostały podstawowe
6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
ANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Marian Gewert Wydział Matematyki
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
ANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Literatura podstawowa
1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.
1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Analiza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Sprawdzian nr 2: 25..204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -48) Sprawdzian nr 3: 9.2.204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -88) Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego
Lista 0 wstęp do matematyki
dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]
Strona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec
Strona z 403 Przedmowa Do wydania pierwszego Podręcznik przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku studiów w Szkole Głównej Handlowej. Składa się dziesięciu rozdziałów zawierających teorię (definicje,
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Zajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Pytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Matematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI
FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej
22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
7. Funkcje elementarne i ich własności.
Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.
WYKŁAD 7 3 Podstawowe własności unkcji Funkcje cklometrczne, hiperboliczne Deinicję unkcji o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mam w 3A5 3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna) Często się zdarza, że unkcja
Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 09 Spis treści Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina Wykres funkcji Przekształcanie wykresów funkcji Sposoby zadawania
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty
Wstęp do analizy i algebry - II. Funkcje: podstawowe własności i przegląd funkcji elementarnych I. Funkcje - definicja, dziedzina, przeciwdziedzina, wykres, funkcje w ekonomii Matematyka pozwala nam opisywać
Zbiory liczbowe i funkcje wykład 1
Zbiory liczbowe i funkcje wykład 1 dr Mariusz Grządziel 6 października 2008 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w
Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x
1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Pojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza
Pojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza dr Mariusz Grządziel Wykład 1; 10 marca 2013 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry
Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 09 Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autor: Anna
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,
WPROWADZENIE DO MATEMATYKI WYŻSZEJ
WPROWADZENIE DO MATEMATYKI WYŻSZEJ. Elementy logiki i teoria zbiorów Zad... Rozpatrzmy wartościowanie w takie, że w(p) = i w(q) = 0. Oblicz: a) w( (p p)), b) w( ( p p)), c) w( (q q)), d) w( p q), e) w(
Funkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska
Dr Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska Definicja Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy relację, która każdemu elementowi x X przyporzadkowuje dokładnie jeden element y Y.
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y