Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
|
|
- Magdalena Jóźwiak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
2 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest ograniczony z dołu, jeżeli m R x X x m 2 Zbiór X R jest ograniczony z góry, jeżeli M R x X x M Jeżeli zbór jest ograniczony z dołu i z góry mówimy po prostu, że jest ograniczony. Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 2 / 16
3 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Element najmniejszy i największy zbioru 1 Liczba a jest najmniejszym elementem zbioru X R, co zapisujemy a = min X, jeżeli a X oraz x X x a 2 Liczba b jest największym elementem zbioru X R, co zapisujemy b = max X, jeżeli b X oraz x X x b XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 3 / 16
4 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Kresy zbiorów 1 Niech zbiór X R będzie ograniczony z dołu. Liczba a jest kresem dolnym zbioru X, co zapisujemy a = inf X, gdy x X a x oraz ε > 0 x 0 X x 0 < a + ε 2 Niech zbiór X R będzie ograniczony z góry. Liczba b jest kresem górnym zbioru X, co zapisujemy b = sup X, gdy x X x b oraz ε > 0 x 0 X b ε < x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 4 / 16
5 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Kresy zbiorów 1 Niech zbiór X R będzie ograniczony z dołu. Liczba a jest kresem dolnym zbioru X, co zapisujemy a = inf X, gdy x X a x oraz ε > 0 x 0 X x 0 < a + ε 2 Niech zbiór X R będzie ograniczony z góry. Liczba b jest kresem górnym zbioru X, co zapisujemy b = sup X, gdy x X x b oraz ε > 0 x 0 X b ε < x 0 Aksjomat ciągłości Każdy niepusty zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny, a ograniczony z góry ma kres górny. Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 4 / 16
6 Funkcje Funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 5 / 16
7 Funkcje Definicja Definicja Funkcją f nazywamy odwzorowanie zbioru X w zbiór Y, które przyporządkowuje każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jeden element y = f(x) ze zbioru Y. Piszemy: f : X Y, y = f(x) dla x X XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 6 / 16
8 Funkcje Definicja Definicja Funkcją f nazywamy odwzorowanie zbioru X w zbiór Y, które przyporządkowuje każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jeden element y = f(x) ze zbioru Y. Piszemy: f : X Y, y = f(x) dla x X Dziedzina, zbiór wartości X = D f nazywamy dziedziną funkcji Dziedzina naturalna to zbiór tych x R, dla których wzór funkcji ma sens. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 6 / 16
9 Funkcje Definicja Definicja Funkcją f nazywamy odwzorowanie zbioru X w zbiór Y, które przyporządkowuje każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jeden element y = f(x) ze zbioru Y. Piszemy: f : X Y, y = f(x) dla x X Dziedzina, zbiór wartości X = D f nazywamy dziedziną funkcji Dziedzina naturalna to zbiór tych x R, dla których wzór funkcji ma sens. zbiór wartości lub przeciwdziedzina to zbiór W f = {y Y : y = f(x), x X} Y XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 6 / 16
10 Funkcje Wykres Definicja Wykresem funkcji nazywamy zbiór wszystkich punktów (x, y) na płaszczyźnie takich, że f(x) = y dla x X. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 7 / 16
11 Funkcje Wykres Definicja Wykresem funkcji nazywamy zbiór wszystkich punktów (x, y) na płaszczyźnie takich, że f(x) = y dla x X. Uwaga Nie każda krzywa na płaszczyźnie jest wykresem funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 7 / 16
12 Funkcje Symetria i monotoniczność Symetria i monotoniczność XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 8 / 16
13 Funkcje Symetria i monotoniczność Symetria i monotoniczność Definicja Funkcję f : X Y nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 8 / 16
14 Funkcje Symetria i monotoniczność Symetria i monotoniczność Definicja Funkcję f : X Y nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X Funkcję f : X Y nazywamy nieparzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 8 / 16
15 Funkcje Symetria i monotoniczność Symetria i monotoniczność Definicja Funkcję f : X Y nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X Funkcję f : X Y nazywamy nieparzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X Definicja Funkcję f : X Y nazywamy rosnącą (malejącą), jeżeli dla dowolnych x 1, x 2 X spełniających nierówność x 1 < x 2 mamy f(x 1 ) < f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(x 2 )) Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 8 / 16
16 Funkcje Złożenie funkcji Definicja Złożeniem funkcji f : Y Z i g : X Y nazywamy funkcję h : X Z daną wzorem h(x) = (f g)(x) = f(g(x)) Funkcję g nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję f funkcją zewnętrzną D f g = {x R : x D g g(x) D f } Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 9 / 16
17 Funkcje Injekcja, surjekcja, bijekcja Definicja Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową (injekcją), jeżeli różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, tj. dla dowolnych x 1, x 2 X x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) ozn. f : X 1 1 Y XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 10 / 16
18 Funkcje Injekcja, surjekcja, bijekcja Definicja Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową (injekcją), jeżeli różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, tj. dla dowolnych x 1, x 2 X x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) ozn. f : X 1 1 Y Funkcję f : X Y nazywamy na (surjekcją), jeżeli dowolny y Y jest wartością funkcji dla pewnego x X, tzn. W f = Y ozn. f : X na Y XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 10 / 16
19 Funkcje Injekcja, surjekcja, bijekcja Definicja Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową (injekcją), jeżeli różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, tj. dla dowolnych x 1, x 2 X x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) ozn. f : X 1 1 Y Funkcję f : X Y nazywamy na (surjekcją), jeżeli dowolny y Y jest wartością funkcji dla pewnego x X, tzn. W f = Y ozn. f : X na Y Funkcję, która jest jednocześnie 1 1 i na nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją). ozn. f : X 1 1 Y na XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 10 / 16
20 Funkcje Funkcja odwrotna Definicja Jeżeli f : X Y jest funkcją wzajemnie jednoznaczną, to jest ona odwracalna. Funkcją odwrotną, ozn. f 1 : Y X do f jest funkcja taka, że dla każdego x X, y Y f 1 (y) = x y = f(x) Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy z wykresu f(x) przez odbicie względem prostej y = x. Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 11 / 16
21 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16
22 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} { } p B = q : p, q N XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16
23 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} { } p B = q : p, q N C = {x R : x 7 15x = 0} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16
24 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} { } p B = q : p, q N C = {x R : x 7 15x = 0} D = {x R : sin x < 0} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16
25 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} { } p B = q : p, q N C = {x R : x 7 15x = 0} D = {x R : sin x < 0} { } 2n E = n + 3 : n N powrót XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16
26 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16
27 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 B = (0, 1) Q XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16
28 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 B = (0, 1) Q { } 1 C = : x (0, 1 x XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16
29 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 B = (0, 1) Q { } 1 C = : x (0, 1 x { } 8 D = 2 + x 2 : x R XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16
30 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 B = (0, 1) Q { } 1 C = : x (0, 1 x { } 8 D = 2 + x 2 : x R { 7 E = 10, , 777 } 1000,... { } 2 3 F = k n : k, n N powrót XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16
31 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16
32 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16
33 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g 1.26 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16
34 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g c XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16
35 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g c Czy złożenie funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją parzystą/nieparzystą? XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16
36 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g c Czy złożenie funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją parzystą/nieparzystą? Zadanie 4. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = 2 x, D f = (, 2 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16
37 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g c Czy złożenie funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją parzystą/nieparzystą? Zadanie 4. Zbadaj monotoniczność funkcji powrót f(x) = 2 x, D f = (, 2 g(x) = x + 4 x, D g = 2, ) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16
38 Zadanie 5. Określ f g, g f oraz ich dziedziny jeżeli f(x) = 3 x, g(x) = 1 x 2 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 15 / 16
39 Zadanie 5. Określ f g, g f oraz ich dziedziny jeżeli f(x) = 3 x, g(x) = 1 x 2 1 Zadanie 6. Czy złożenie funkcji malejącej i rosnącej jest funkcją malejącą czy rosnącą? powrót XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 15 / 16
40 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16
41 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 Zadanie 8. Jeżeli f jest ściśle monotoniczna to jest różnowartościowa. Czy twierdzenie odwrotne jest prawidziwe? Uzasadnij lub podaj kontrprzykład. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16
42 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 Zadanie 8. Jeżeli f jest ściśle monotoniczna to jest różnowartościowa. Czy twierdzenie odwrotne jest prawidziwe? Uzasadnij lub podaj kontrprzykład. Zadanie 9. Skonstruuj funkcje: f : 1, 2 na 0, 3 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16
43 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 Zadanie 8. Jeżeli f jest ściśle monotoniczna to jest różnowartościowa. Czy twierdzenie odwrotne jest prawidziwe? Uzasadnij lub podaj kontrprzykład. Zadanie 9. Skonstruuj funkcje: f : 1, 2 na 0, 3 g : (1, 2) na 0, 3 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16
44 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 Zadanie 8. Jeżeli f jest ściśle monotoniczna to jest różnowartościowa. Czy twierdzenie odwrotne jest prawidziwe? Uzasadnij lub podaj kontrprzykład. Zadanie 9. Skonstruuj funkcje: f : 1, 2 na 0, 3 g : (1, 2) na 0, 3 powrót h : 0, na (0, 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.
1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej
Funkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Zajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie
Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.
Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością
Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x
Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
FUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.
FUNKCJE Lekcja 61-6. Dziedzina i miejsce zerowe funkcji str. 140-14 Co to jest funkcja. Może przykłady. W matematyce funkcje najczęściej przedstawiamy za pomocą wzorów. Przykłady. Dziedzina to zbiór argumentów
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI
FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016
Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla
FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Ciągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 22 maja 2013 1 Podstawowe definicje i fakty 2 funkcji w punkcie Definicja Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty
Wstęp do analizy i algebry - II. Funkcje: podstawowe własności i przegląd funkcji elementarnych I. Funkcje - definicja, dziedzina, przeciwdziedzina, wykres, funkcje w ekonomii Matematyka pozwala nam opisywać
Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
3.Funkcje elementarne - przypomnienie
3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje
Zbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego
FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1
FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru
Ciągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Zbiory liczbowe i funkcje wykład 1
Zbiory liczbowe i funkcje wykład 1 dr Mariusz Grządziel 6 października 2008 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Ekstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Funkcja jest różnowartościowa w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom funkcja ta przyporządkowuje różne wartości.
Gdy mamy daną funkcję, poza określeniem jej dziedziny i miejsca zerowego możemy badad szczególne własności, takie jak: monotonicznośd, różnowartościowośd, parzystośd, nieparzystośd. Na temat monotoniczności
Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa
Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa 6 maja 2005 1 Pojęcia podstawowe. Definicja 1.1 (funkcja liniowa). Niech a i b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję f : R R daną wzorem: f(x) = ax + b nazywamy
Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 09 Spis treści Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina Wykres funkcji Przekształcanie wykresów funkcji Sposoby zadawania
Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest
< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Wykresy i własności funkcji
Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
Pojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza
Pojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza dr Mariusz Grządziel Wykład 1; 10 marca 2013 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry
020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0
Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II
Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.
Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g
1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym
1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Relacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji
Relacje 1 Iloczyn kartezjański W poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, D oznaczają zbiory. Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego):
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu
Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu
22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
7. Funkcje elementarne i ich własności.
Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Przekształcenia wykresów funkcji
Przekształcenia wykresów funkcji Przekształcenia wykresów funkcji Jerzy Rutkowski Teoria Niech f : R R będzie dowolną funkcją i niech liczby a, k R spełniają warunki: a > 0 i k 0. Związek między funkcją
Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej
Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/10 funkcje Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f X Y taka, że x X!y Y: (x,y) f. Dziedzinę i przeciwdziedzinę
RELACJE I ODWZOROWANIA
RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.
Elementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych