Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Transkrypt

1 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

2 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest ograniczony z dołu, jeżeli m R x X x m 2 Zbiór X R jest ograniczony z góry, jeżeli M R x X x M Jeżeli zbór jest ograniczony z dołu i z góry mówimy po prostu, że jest ograniczony. Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 2 / 16

3 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Element najmniejszy i największy zbioru 1 Liczba a jest najmniejszym elementem zbioru X R, co zapisujemy a = min X, jeżeli a X oraz x X x a 2 Liczba b jest największym elementem zbioru X R, co zapisujemy b = max X, jeżeli b X oraz x X x b XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 3 / 16

4 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Kresy zbiorów 1 Niech zbiór X R będzie ograniczony z dołu. Liczba a jest kresem dolnym zbioru X, co zapisujemy a = inf X, gdy x X a x oraz ε > 0 x 0 X x 0 < a + ε 2 Niech zbiór X R będzie ograniczony z góry. Liczba b jest kresem górnym zbioru X, co zapisujemy b = sup X, gdy x X x b oraz ε > 0 x 0 X b ε < x 0 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 4 / 16

5 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Kresy zbiorów 1 Niech zbiór X R będzie ograniczony z dołu. Liczba a jest kresem dolnym zbioru X, co zapisujemy a = inf X, gdy x X a x oraz ε > 0 x 0 X x 0 < a + ε 2 Niech zbiór X R będzie ograniczony z góry. Liczba b jest kresem górnym zbioru X, co zapisujemy b = sup X, gdy x X x b oraz ε > 0 x 0 X b ε < x 0 Aksjomat ciągłości Każdy niepusty zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny, a ograniczony z góry ma kres górny. Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 4 / 16

6 Funkcje Funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 5 / 16

7 Funkcje Definicja Definicja Funkcją f nazywamy odwzorowanie zbioru X w zbiór Y, które przyporządkowuje każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jeden element y = f(x) ze zbioru Y. Piszemy: f : X Y, y = f(x) dla x X XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 6 / 16

8 Funkcje Definicja Definicja Funkcją f nazywamy odwzorowanie zbioru X w zbiór Y, które przyporządkowuje każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jeden element y = f(x) ze zbioru Y. Piszemy: f : X Y, y = f(x) dla x X Dziedzina, zbiór wartości X = D f nazywamy dziedziną funkcji Dziedzina naturalna to zbiór tych x R, dla których wzór funkcji ma sens. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 6 / 16

9 Funkcje Definicja Definicja Funkcją f nazywamy odwzorowanie zbioru X w zbiór Y, które przyporządkowuje każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jeden element y = f(x) ze zbioru Y. Piszemy: f : X Y, y = f(x) dla x X Dziedzina, zbiór wartości X = D f nazywamy dziedziną funkcji Dziedzina naturalna to zbiór tych x R, dla których wzór funkcji ma sens. zbiór wartości lub przeciwdziedzina to zbiór W f = {y Y : y = f(x), x X} Y XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 6 / 16

10 Funkcje Wykres Definicja Wykresem funkcji nazywamy zbiór wszystkich punktów (x, y) na płaszczyźnie takich, że f(x) = y dla x X. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 7 / 16

11 Funkcje Wykres Definicja Wykresem funkcji nazywamy zbiór wszystkich punktów (x, y) na płaszczyźnie takich, że f(x) = y dla x X. Uwaga Nie każda krzywa na płaszczyźnie jest wykresem funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 7 / 16

12 Funkcje Symetria i monotoniczność Symetria i monotoniczność XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 8 / 16

13 Funkcje Symetria i monotoniczność Symetria i monotoniczność Definicja Funkcję f : X Y nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 8 / 16

14 Funkcje Symetria i monotoniczność Symetria i monotoniczność Definicja Funkcję f : X Y nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X Funkcję f : X Y nazywamy nieparzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 8 / 16

15 Funkcje Symetria i monotoniczność Symetria i monotoniczność Definicja Funkcję f : X Y nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X Funkcję f : X Y nazywamy nieparzystą, jeżeli dla każdego x X f( x) = f(x) x X Definicja Funkcję f : X Y nazywamy rosnącą (malejącą), jeżeli dla dowolnych x 1, x 2 X spełniających nierówność x 1 < x 2 mamy f(x 1 ) < f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(x 2 )) Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 8 / 16

16 Funkcje Złożenie funkcji Definicja Złożeniem funkcji f : Y Z i g : X Y nazywamy funkcję h : X Z daną wzorem h(x) = (f g)(x) = f(g(x)) Funkcję g nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję f funkcją zewnętrzną D f g = {x R : x D g g(x) D f } Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 9 / 16

17 Funkcje Injekcja, surjekcja, bijekcja Definicja Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową (injekcją), jeżeli różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, tj. dla dowolnych x 1, x 2 X x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) ozn. f : X 1 1 Y XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 10 / 16

18 Funkcje Injekcja, surjekcja, bijekcja Definicja Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową (injekcją), jeżeli różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, tj. dla dowolnych x 1, x 2 X x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) ozn. f : X 1 1 Y Funkcję f : X Y nazywamy na (surjekcją), jeżeli dowolny y Y jest wartością funkcji dla pewnego x X, tzn. W f = Y ozn. f : X na Y XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 10 / 16

19 Funkcje Injekcja, surjekcja, bijekcja Definicja Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową (injekcją), jeżeli różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, tj. dla dowolnych x 1, x 2 X x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) ozn. f : X 1 1 Y Funkcję f : X Y nazywamy na (surjekcją), jeżeli dowolny y Y jest wartością funkcji dla pewnego x X, tzn. W f = Y ozn. f : X na Y Funkcję, która jest jednocześnie 1 1 i na nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją). ozn. f : X 1 1 Y na XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 10 / 16

20 Funkcje Funkcja odwrotna Definicja Jeżeli f : X Y jest funkcją wzajemnie jednoznaczną, to jest ona odwracalna. Funkcją odwrotną, ozn. f 1 : Y X do f jest funkcja taka, że dla każdego x X, y Y f 1 (y) = x y = f(x) Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy z wykresu f(x) przez odbicie względem prostej y = x. Zadanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 11 / 16

21 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16

22 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} { } p B = q : p, q N XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16

23 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} { } p B = q : p, q N C = {x R : x 7 15x = 0} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16

24 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} { } p B = q : p, q N C = {x R : x 7 15x = 0} D = {x R : sin x < 0} XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16

25 Zadanie 1. Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu/z góry. A = {sin p : p Z} { } p B = q : p, q N C = {x R : x 7 15x = 0} D = {x R : sin x < 0} { } 2n E = n + 3 : n N powrót XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 12 / 16

26 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16

27 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 B = (0, 1) Q XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16

28 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 B = (0, 1) Q { } 1 C = : x (0, 1 x XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16

29 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 B = (0, 1) Q { } 1 C = : x (0, 1 x { } 8 D = 2 + x 2 : x R XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16

30 Zadanie 2. Znajdź kresy dolne i górne oraz elementy największe i najmniejsze (o ile istnieją). A = ( 2, 6 B = (0, 1) Q { } 1 C = : x (0, 1 x { } 8 D = 2 + x 2 : x R { 7 E = 10, , 777 } 1000,... { } 2 3 F = k n : k, n N powrót XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 13 / 16

31 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16

32 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16

33 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g 1.26 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16

34 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g c XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16

35 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g c Czy złożenie funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją parzystą/nieparzystą? XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16

36 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g c Czy złożenie funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją parzystą/nieparzystą? Zadanie 4. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = 2 x, D f = (, 2 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16

37 Zadanie 3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = x x 1.29 e, f, g c Czy złożenie funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją parzystą/nieparzystą? Zadanie 4. Zbadaj monotoniczność funkcji powrót f(x) = 2 x, D f = (, 2 g(x) = x + 4 x, D g = 2, ) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 14 / 16

38 Zadanie 5. Określ f g, g f oraz ich dziedziny jeżeli f(x) = 3 x, g(x) = 1 x 2 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 15 / 16

39 Zadanie 5. Określ f g, g f oraz ich dziedziny jeżeli f(x) = 3 x, g(x) = 1 x 2 1 Zadanie 6. Czy złożenie funkcji malejącej i rosnącej jest funkcją malejącą czy rosnącą? powrót XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 15 / 16

40 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16

41 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 Zadanie 8. Jeżeli f jest ściśle monotoniczna to jest różnowartościowa. Czy twierdzenie odwrotne jest prawidziwe? Uzasadnij lub podaj kontrprzykład. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16

42 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 Zadanie 8. Jeżeli f jest ściśle monotoniczna to jest różnowartościowa. Czy twierdzenie odwrotne jest prawidziwe? Uzasadnij lub podaj kontrprzykład. Zadanie 9. Skonstruuj funkcje: f : 1, 2 na 0, 3 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16

43 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 Zadanie 8. Jeżeli f jest ściśle monotoniczna to jest różnowartościowa. Czy twierdzenie odwrotne jest prawidziwe? Uzasadnij lub podaj kontrprzykład. Zadanie 9. Skonstruuj funkcje: f : 1, 2 na 0, 3 g : (1, 2) na 0, 3 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16

44 Zadanie 7. Czy funkcja jest 1 1, na? Jeżeli tak to znajdź f 1 (x). f(x) = x 2 x + 3 Zadanie 8. Jeżeli f jest ściśle monotoniczna to jest różnowartościowa. Czy twierdzenie odwrotne jest prawidziwe? Uzasadnij lub podaj kontrprzykład. Zadanie 9. Skonstruuj funkcje: f : 1, 2 na 0, 3 g : (1, 2) na 0, 3 powrót h : 0, na (0, 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 16 / 16