Funkcje. Krzysztof Piszczek. Teoria

Transkrypt

1 Funkcje Krzsztof Piszczek Teoria Definicja. Niech dane będą zbior X oraz Y. Funkcją f ze zbioru X do (w) zbiór Y nazwam przporządkowanie każdemu elementowi zbioru X jednego i tlko jednego elementu zbioru Y. Zbiór X nazwam dziedziną funkcji f i oznaczam D f, zaś Y przeciwdziedziną i oznaczam. Zbiorem wartości funkcji f nazwam zbiór f (D f ) := { f (): X}. Element dziedzin nazwam argumentami funkcji, zaś element zbioru wartości wartościami funkcji. D f Przkład. (i) Funkcje f, g: R R, zdefiniowane wzorami f () := (+) 2 oraz g() := są równe. (ii) Funkcje f, g: R R, zdefiniowane wzorami f () := 2 oraz g() := nie są równe. (iii) Funkcje sin: R R oraz sin: R [, ] są równe bądź różne, w zależności od rozumienia pojęcia równości funkcji patrz uwagi powżej. Przkład 2. Przporządkowanie każdemu wielomianowi jego wartości w zerze jest odwzorowaniem ze zbioru wielomianów w zbiór liczb rzeczwistch. Przkład 3. Na powierzchni sfer wbieram wielki okrąg i wpisujem w niego prostokąt. Następnie tworzm ostrosłup o podstawie prostokąta, brakując wierzchołek obierając na powierzchni sfer. Każdemu wcześniej ustalonemu prostokątowi przpisujem objętość tak otrzmanego ostrosłupa. Tak zdefiniowane przporządkowanie ze zbioru prostokątów wpisanch w okrąg w zbiór liczb dodatnich nie jest funkcją. Przkład 4. Zbiór par uporządkowanch {(3, 5), (7, 2), (8, 3), (8, 7), ( 3 254, 0)} nie definiuje funkcji. Przkład 5. Sposob definiowania funkcji. (i) wzór: f () := 2 + sin 3, (ii) tabela: f () ,

2 (iii) wkres: (iv) graf: F D B E C A (v) zbiór par uporządkowanch: {(, 5), (4, 8), (5, 3), ( 3 254, 0)}, (vi) opis słown: każdemu wielokątowi na płaszczźnie przporządkowujem jego obwód odwzorowanie to jest funkcją, której dziedziną jest zbiór wielokątów płaszczzn, zaś przeciwdziedziną zbiór liczb rzeczwistch. Uwaga. Gd dziedzina nie jest wraźnie określona, mam zawsze na mśli dziedzinę naturalną, tj. największ zbiór, na którm wartość funkcji ma sens matematczn. Oczwiście zakładam tutaj, że znam już przeciwdziedzinę. Definicja 2. Funkcja liniowa (afiniczna), to odwzorowanie f : R R, dane wzorem f () := 2

3 a + b, a, b R. Parametr a nazwam współcznnikiem kierunkowm, zaś b wrazem wolnm. b α Uwaga 2. Wkresem funkcji liniowej jest prosta, nachlona do osi OX pod kątem α [0, π) spełniającm równanie tg α = a. Zauważm, że funkcja liniowa jest jednoznacznie określona przez współcznnik kierunkow i wraz woln. Do tego potrzeba i wstarcza znajomość współrzędnch dwóch punktów, które należą do wkresu funkcji liniowej. Prostą można przedstawić na wiele sposobów. Oprócz postaci kierunkowej, użtej w definicji, wmienim jeszcze postać ogólną A + B + C = 0, A, B, C R, prz czm zakładam, że bądź A, bądź B nie jest zerem. Gd B = 0, to równanie A + C = 0 przedstawia prostą, która nie jest wkresem żadnej funkcji zmiennej, ale jest wkresem funkcji liniowej zmiennej. Definicja 3. Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratow), to odwzorowanie f : R R, dane wzorem f () := a 2 + b + c, a, b, c R, a 0. Jest to postać ogólna. Wkres trójmianu nazwam parabolą. Poniższe rsunki przedstawiają możliwe położenia wkresu funkcji kwadratowej. > 0 a > 0 > 0 a < 0 W = 0 a > W W 3

4 = 0 a < 0 < 0 a > 0 < 0 a < 0 W W W (i) wróżnik trójmianu: := b 2 4ac; (ii) gd 0, to możem obliczć pierwiastki trójmianu: =, 2 = b 2a ; gd = 0, to pierwiastki są równe (mówim wted o pierwiastku podwójnm), tzn. = 2 = b 2a ; (iii) postać kanoniczna: f () = a ( + b 2a) 2 4a ; (iv) postać ilocznowa (dla 0): f () = a( )( 2 ); (v) wierzchołek paraboli: W := ( b 2a, 4a). Twierdzenie. Gd wróżnik trójmianu kwadratowego a 2 + b + c, a 0 jest nieujemn, to pierwiastki, 2 tegoż trójmianu cznią zadość tzw. wzorom Viete a: b 2a + 2 = b a, 2 = c a. Definicja 4. Niech f : X Z, X, Z R będzie funkcją. Powiem, że f jest: (i) rosnąca, gd dla dowolnch, X takich, że < zachodzi f () < f (); (ii) malejąca, gd dla dowolnch, X takich, że < zachodzi f () > f (); (iii) niemalejąca, gd dla dowolnch, X takich, że < zachodzi f () f (); (iv) nierosnąca, gd dla dowolnch, X takich, że < zachodzi f () f (); (v) różnowartościowa (injektwna), gd równość wartości pociąga równość argumentów, tzn., X: f () = f () = ; (vi) na (surjektwna), gd zbiór wartości jest całą przeciwdziedziną, tzn. f (D f ) = D f ; (vii) bijektwna, gd jest jednocześnie injekcją i surjekcją; (viii) okresowa, gd istnieje taka dodatnia liczba T > 0 (zwana okresem funkcji), że X: + T X f ( + T) = f (); (i) parzsta, gd () nieparzsta, gd X: X: X f ( ) = f (); X f ( ) = f (). Przkład 6. Funkcja stała jest okresowa i każda liczba dodatnia jest jej okresem. Tak więc funkcje stałe nie mają okresu podstawowego. 4

5 Definicja 5. (i) Niech a, b > 0, a. Powiem, że R jest logartmem o podstawie a z liczb b, jeżeli b = a. Piszem wówczas = log a b. (ii) Funkcją wkładniczą nazwam odwzorowanie R a (0, + ), gdzie a > 0, a. (iii) Funkcją logartmiczną nazwam odwzorowanie (0, + ) log a, gdzie a > 0, a. Uwaga 3. Często stosuje się następującą smbolikę: log = log 0 logartm dziesiętn, lg = log 2, ln = log e logartm naturaln. W ostatnim przpadku e 2, 7. W literaturze anglojęzcznej logartm naturaln oznaczam smbolem log. Twierdzenie 2. Niech a, b,, > 0, a, b, k N. Prawdziwe są następujące własności logartmu: () log a () = log a + log a logartm ilocznu, (2) log a = log a log a logartm ilorazu, (3) log a k = k log a logartm potęgi, (4) log b = log a log a b zmiana podstaw logartmu, (5) a log a =. Uwaga 4. Własność (3) jest prawdziwa dla dowolnej liczb rzeczwistej k. Odwrotnością funkcji a jest funkcja log a, zaś odwrotnością funkcji log a jest funkcja a. Przkład 7. Zastosowanie funkcji wkładniczch i logartmicznch. Tempo rozmnażania się bakterii opisuje równanie N(t) = n 0 a t, gdzie t oznacza czas, n 0 liczbę bakterii w chwili początkowej, N(t) liczbę bakterii w chwili t, zaś a > jest parametrem, określanm empircznie. Czas rozpadu substancji radioaktwnch określa równanie (t) = 0 e kt, gdzie t oznacza czas, 0 masę substancji w chwili początkowej, (t) masę w chwili t, zaś k jest parametrem, określanm empircznie. Krzwa uczenia się, wrażająca intenswność przswajanej wiedz wraz z upłwem czasu, wraża się wzorem = c ce kt, gdzie t oznacza czas, zaś c, k są pewnmi dodatnimi stałmi. Wiele zjawisk ekonomicznch, przrodniczch (w szczególności modele wzrostu) jest bardzo dobrze opiswanch przez tzw. krzwą logistczną postaci = a + be kt, gdzie a, b, k są pewnmi parametrami wznaczanmi empircznie. 5

6 W naukach chemicznch ph substancji wznacza się ze wzoru ph = log[h + ], gdzie [H + ] oznacaz ilość jonów wodoru w substancji, wrażoną w molach na litr. Zadania na zajęcia Zadanie. Znajdź dziedzinę i zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g() := 2 +. Uwaga 5. Można też zauważć, że g() = i zbiór wartości odcztać z wkresu. Zadanie 2. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt (, 2) i równoległej do OX/OY. Która z nich jest wkresem funkcji? Uwaga 6. Pierwsza z tch prostch jest wkresem funkcji zmiennej, danej wzorem f () := 2, zaś druga zmiennej, danej wzorem g() :=. Zadanie 3. Znajdź wartość parametru m R, dla której iloczn pierwiastków równania 2 2m + m 2 4m + = 0 jest najmniejsz. Zadanie 4. Dan jest trójmian Nie wznaczając jego pierwiastków, 2 oblicz: , 2, , Zadanie 5. Zbadaj monotoniczność funkcji f () :=. Zadanie 6. Pokaż, że każdą funkcję f : R R można jednoznacznie rozłożć na sumę funkcji parzstej i nieparzstej. Uwaga 7. Mam tu bardzo prost przkład zadania, którego rozwiązanie polega na wkazaniu istnienia jakiegoś obiektu/rozkładu oraz jego jedności. Zwkle naturalnm jest rozpocząć od istnienia a następnie wkazać jego jedność. Tm razem jednak zrobim odwrotnie, jako że dowodzenie jedności podpowie nam, jak pokazać istnienie żądanego rozkładu. Zadanie 7. Omów monotoniczność, różnowartościowość oraz parzstość funkcji o poniższch wkresach: a) 6

7 b) c) 7

8 Zadanie 8. Narsuj wkres funkcji wkładniczej i logartmicznej oraz omów ich monotoniczność. Zadanie 9. Uprość wrażenie log log 3. Zadanie 0. Która z liczb jest większa? (i) log 2 cz log 5, (ii) log 2 7 cz log 7 2. Zadanie. Znajdź dziedzinę i zbiór wartości funkcji f, określonej wzorem f () := []. Uwaga 8. Przpomnijm, że smbol [] oznacza część całkowitą liczb rzeczwistej, tzn. [] jest największą liczbą całkowitą, nieprzekraczającą. W treści zadania pojawił się jednocześnie smbole f oraz f (). To dobra okazja, ab omówić różnicę pomiędz nimi. A także wspomnieć o zapisie anonimowm, tzn. np. +. Zadanie 2. Podaj wzór funkcji liniowej, która przekształca zbiór liczb całkowitch ujemnch na zbiór liczb całkowitch dodatnich. Zadanie 3. Podaj równanie prostej, przechodzącej przez początek układu współrzędnch oraz punkt (3, 2). Zadanie 4. Podaj wzór funkcji liniowej, która przekształca zbiór wielokrotności liczb 3 na zbiór wielokrotności liczb 4. Zadanie 5. O funkcji liniowej f wiem, że f (2) = 3, f (4) = 23. Wznacz f (0). 8

9 Zadanie 6. Student dojeżdża na uczelnię autobusem a wraca pieszo. Poniższ wkres przedstawia, w jakiej odległości od domu student się znajduje, gd już wbierze się na uczelnię. Analizując wkres odpowiedz na następujące ptania: (i) ile godzin student spędza na uczelni? (ii) w jakiej odległości od domu znajduje się uczelnia? (iii) z jaką prędkością jedzie autobus? (iv) z jaką prędkością student wraca do domu? s t Zadanie 7. Przedskutuj liczbę rozwiązań równania = m w zależności od wartości parametru m R. Zadanie 8. Pokaż, że dla dowolnch liczb rzeczwistch a, b, c wielomian ma co najmniej jedno miejsce zerowe. W() := ( a)( b) + ( b)( c) + ( a)( c) Zadanie 9. Cz istnieje takie p R, że równanie 2 + p + p = 0 ma dwa pierwiastki, 2 spełniające warunek: ( )(2 + 2 ) =? Zadanie 20. Zbadaj monotoniczność funkcji f () := +. Zadanie 2. Wznacz zbiór wartości funkcji f : R R, danej wzorem f () := cz jest ona różnowartościowa Sprawdź, Zadanie 22. Funkcja f : R R dana jest wzorem 2+ +2, dla 2 f () := 2, dla = 2. 9

10 Cz f jest injekcją/surjekcją? Gd f jest bijekcją, znajdź f. Zadanie 23. Zbadaj parzstość poniższch funkcji: (i) f () := 2 sin cos, (ii) g() := sin + cos. Zadanie 24. Pokaż, że iloczn dwóch funkcji tej samej parzstości jest funkcją parzstą, zaś przeciwnej parzstości funkcją nieparzstą. Uwaga 9. Bardzo łatwo pokazać, że gd spośród n funkcji o zadanej parzstości chociaż jedna jest parzsta, to ich złożenie również. Gd zaś wszstkie są nieparzste, to ich złożenie również. Zadanie 25. Pokaż, że jedną funkcją f : R R jednocześnie parzstą i nieparzstą jest f 0. Zadanie 26. Zbadaj okresowość funkcji, Q χ Q () := 0, Q. Zadanie 27. Zbadaj okresowość poniższch funkcji i znajdź (o ile istnieje) okres podstawow T: (i) 2 sin 3, (ii) sin + tg, (iii) sin a + cos b, a, b Z. Uwaga 0. Rozwiązanie powższch zadań wmaga pewnej wiedz o funkcjach trgonometrcznch (i ich ciągłości), którą to wiedzą studenci (prznajmniej formalnie) nie muszą dsponować. Z drugiej stron funkcje te najlepiej nadają się do zadań dotczącch okresowości funkcji. Za najmniej złe rozstrzgnięcie uznajem powołać się na potrzebną wiedzę i rozwiązać zadanie. Zadanie 28. Oblicz log ab a b, jeżeli wiadomo, że log a b = 2. Zadanie 29. Cz funkcje f () := log oraz g() := log log( ) mają te same dziedzin? Zadanie 30. Pokaż, że funkcja f () := ln ( + + 2) jest nieparzsta. Zadanie 3. Uprość wrażenia: (i) (( 2 ) 2) 2, (ii) [ 2 2 ], (iii) 2 log 2 6 log

11 Zadanie 32. Uporządkuj od najmniejszej do największej liczb 2 2, 2 2, 2 2, 2 2. Zadanie 33. Ile cfr ma liczba 2 000? Zadania domowe Zadanie 34. Znajdź dziedzinę i zbiór wartości funkcji h, określonej wzorem h() :=. Zadanie 35. Podaj wzór funkcji liniowej, która przekształca zbiór liczb parzstch na zbiór liczb nieparzstch. Zadanie 36. Podaj wzór prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnch i nachlonej (do OX) pod kątem π 3 oraz 3 4 π. Zadanie 37. Daną liczbę a R przedstaw, jako sumę dwóch takich liczb, że suma ich kwadratów jest najmniejsza. Zadanie 38. Wznacz współcznnik b R w równaniu 2 + b 8 = 0 wiedząc, że jedno z rozwiązań jest kwadratem drugiego. Zadanie 39. Zbadaj monotoniczność funkcji f () := 2. Zadanie 40. Zbadaj monotoniczność funkcji f () := + 2. Zadanie 4. Wkaż, że funkcja +, dla f () :=, dla = jest swoją własną odwrotnością. Zadanie 42. Uprość wrażenie log Zadanie 43. Uprość wrażenia: (i) log 5 ( 9 log 3 5 ), (ii) 4 log 2 7, (iii) log 2 3 log 3 4.

12 Zadanie 44. Uporządkuj od najmniejszej do największej liczb log 2 3, log 3 2, log9 8, log 2 3. Literatura ) J. Banaś, S. Wędrchowicz, Zbiór zadań z analiz matematcznej, WNT, Warszawa, ) N. Dróbka, K. Szmański, Zbiór zadań z matematki dla kl. I i II szkół średnich, WSiP, Warszawa, ) N. Dróbka, K. Szmański, Matematka w szkole średniej. Powtórzenie i zbiór zadań, WNT, Warszawa, ) Materiał na platformie OLAT. Wskazówki. Dziedzina, to zbiór tch argumentów, dla którch wzór funkcji ma sens matematczn. Przekształć wkres, ab znaleźć zbiór wartości. 2. Jakie inne punkt znajdują się na tch prostch? 3. Pamiętaj, że wróżnik nie może bć ujemn. Użj wzorów Viete a. 4. Sprawdź, że wróżnik jest dodatni i użj wzorów Viete a. 5. Wbierz dwa różne argument, i sprawdź znak wrażenia f () f (). 6. Zbadaj f ()+ f ( ). 9. Zmien podstawę logartmu.. Dziedzina, to zbiór tch argumentów, dla którch 2 wzór funkcji ma sens matematczn. Funkcja zwraca część całkowitą argumentu. Co to mówi o zbiorze wartości? 2. Co to oznacza graficznie? 3. Rozwiąż odpowiedni układ równań. 4. Co to oznacza graficznie? 5. Funkcja przechodzi przez dwa punkt (jakie?). Rozwiąż odpowiedni układ równań. 7. Zbadaj znak wróżnika. 8. W, to trójmian kwadratow jego wróżnik musi bć nieujemn. Potraktuj ten wróżnik, jako trójmian kwadratow względem jednego z parametrów. 9. Sprawdź, kied wróżnik jest nieujemn i użj wzorów Viete a. 20. Znajdź dziedzinę a potem dla dwóch różnch argmentów z dziedzin zbadaj znak różnic wartości funkcji w tch punktach. 2. Jak się sprawdza różnowartościowość? Dla jakich równanie f () = ma rozwiązanie? 22. Co oznaczają własności, o które ptam? 23. Co oznacza parzstość? 25. Definicje obu pojęć prowadzą do dwóch równań. 28. ab =..., a =...? 29. Dla jakich argumentów funkcja log jest zdefiniowana? 30. Pokaż, że b dziedzina jest zbiorem smetrcznm względem 0. Potem przekształć ( ) Ile potęg 0 mieści się w rozważanej liczbie? 34. Dziedzina, to zbiór tch argumentów, dla którch wzór funkcji ma sens matematczn. Jaki znak ma h()? 35. Co to oznacza graficznie? 36. Wznacz współcznnik kierunkow. 37. Musisz znaleźć wierzchołek pewnego trójmianu kwadratowego. 38. Wzor Viete a. 39. Wznacz dziedzinę. Potem dla dwóch różnch argumentów z dziedzin zbadaj znak różnic wartości funkcji w tch punktach. 40. Wznacz dziedzinę. Potem dla dwóch różnch argumentów z dziedzin zbadaj znak różnic wartości funkcji w tch punktach. 43. Skorzstaj z własności logartmów. Odpowiedzi. D g = R \ { }, g(d g ) = R \ {2}. 2. OX: = 2, OY: =. 3. m = = ; 4 2 = ; = 23 ; + = a) niemalejąca, nieróżnowartościowa, ani parzsta, ani nieparzsta. 7. b) rosnąca, różnowartościowa, nieparzsta. 7. c) przedziałami rosnąca, nieróżnowartościowa, ani parzsta, ani nieparzsta (i) log 2 < log 5, (ii) log 2 7 > log D f = R, f (D f ) = Z. 2. =. 3. a = 2, b = = f (0) = (i) godz. 40 min., (ii) 5 km, (iii) 5 km/h, 5 km/h. 7. Dwa rozw. dla m > 4, jedno rozw. dla m = 4, zero rozw. dla m < p =. 20. Rozważana funkcja jest malejąca przedziałami na (, ) oraz (, + ). 2. f nie jest injekcją oraz f (R) = [, ]. 22. Funkcja f jest bijekcją i 2 2 2, dla 2 f 2 () =. 23. (i) nieparzsta, (ii) ani parzsta, ani nieparzsta. 26. Każda liczba 2, dla = 2 2

13 wmierna jest okresem rozważanej funkcji. Nie ma okresu podstawowego. 27. (i) T = 2 π, (ii) T = 2π, 3 2π (iii) T =. 29. Nie. 3. (i) (( 2 ) 2) 2 [ ] NWD( a, b ) = 2, (ii) 2 2 = 2, (iii) 2 log2 6 log 2 9 = < 2 2 < 2 2 < ma 302 cfr. 34. D h = (, 0], h(d h ) = [0, + ). 35. = π : = 3 3, π : =. 37. a = a + a. 38. b = Rosnąca na (, 0) i malejąca na (0, + ). 40. Malejąca na (, ) oraz (, + ), rosnąca na (, ). Nie jest malejąca na (, ) (, + ) (i) 2, (ii) 49, (iii) log < log2 3 < log9 8 < log