[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.

Transkrypt

1 rzkład Łuk paraboliczn. Rsunek przedstawia łuk wolnopodpart, którego oś ma kształt paraboli drugiego stopnia (łuk paraboliczn ). Łuk obciążon jest ciśnieniem wewnętrznm (wektor elementarnej wpadkowej jest prostopadł do łuku), o stałej gęstości na jednostkę długości łuku. Narsować wkres momentów gnącch, sił normalnch i sił tnącch w każdm punkcie osi łuku. [] A B [] Rsunek Łuk wolnopodpart, paraboliczn wmiar, obciążenie, oznaczenia. Zadanie 10.3.a ostępując podobnie jak w rozwiązaniu zadania 10.3., napisać i narsować samodzielnie wkres momentów gnącch, sił normalnch i sił tnącch w każdm punkcie osi łuku kołowego obciążonego ciśnieniem wewnętrznm, jak na rsunku powżej. rzjąć, że półłuk kołow o promieniu rozpięt jest pomiędz punktami A i B. Skomentować wnik, uzasadnić tezę, że kształt kołow jest bardziej racjonaln dla zadanego obciążenia niż kształt paraboliczn. Zadanie 10.3.b ostępując podobnie jak w rozwiązaniu zadania 10.3, napisać i narsować samodzielnie wkres momentów gnącch, sił normalnch i sił tnącch w każdm punkcie osi łuku parabolicznego obciążonego obciążeniem pionowm na jednostkę rzutu, takim jak w zadaniu Skomentować wnik, uzasadnić tezę, że kształt paraboliczn jest bardziej racjonaln dla takiego obciążenia niż kształt kołow. Rozwiązanie. Analiza obciążenia Obciążenie przedstawione na rsunku to obciążenie równomierne na jednostkę długości łuku. Obie składowe wektora wpadkowej elementarnej są (w położeniu ogólnm) różne od zera. Ab je obliczć, zauważm że wpadkowa jest prostopadła do łuku a więc współliniowa z wektorem jednostkowm n (normalna zewnętrzna do łuku). Współrzędne wektora n to cosinus kątów jaki ten wektor tworz z osiami O i O (odpowiednio).

2 n dq = dl n = dl n dq = dl cos( no) cosα dl cosα d = dl = dl = = cos( no) sinα dl sinα d (1) () Rozumowanie zapisane w równaniu () oznacza, że rozłożono obciążenie przpadające na jednostkę długości łuku na dwie składowe: poziomą d i pionową d o tej samej gęstości ale przpadające na jednostkę rzutu elementu łuku na oś poziomą i pionową. W ten sposób sprowadzono obciążenie do elementarnego przpadku znanego z zadania Ilustruje to rsunek oraz β n dl α d d Rsunek Infinitezmaln wcinek łuku obciążonego radialnie. Ilustracja wzoru (), objaśnienia w tekście. τ n α A O B a. V A b. V B Rsunek Obciążenie radialne na jednostkę łuku parabolicznego na rsunku a) jest równoważne obciążeniu na jednostkę rzutu (rsunek b)). Na rsunku b) zaznaczono przjęte zwrot reakcji oraz układ współrzędnch. Wpadkowa części obciążenia rozłożonego na odcinku od do B rozkłada się więc na dwie składowe - poziomą Q i pionową Q QB = d = ( B ) przłożona jest wzdłuż linii w = B + B ( )/

3 B QB = d = ( B ) przłożona jest wzdłuż linii w = B + Równanie osi łuku i kąta normalnej do osi łuku. ( )/ Łatwo ustalić z rsunku , że równanie przedstawionej paraboli kwadratowej ma postać: h( ) = ( )( + ) / = Tangens kąta mierzonego od osi O do osi stcznej do paraboli jest równ pochodnej w (oznaczenia kątów na rsunku 10.3.): tg ( β ) = h( ) = Kąt potrzebn do dalszch rachunków to α a nie β. Stwierdzam, że α = β π/, obliczm teraz cotangens, sinus i cosinus kąta α. ( β π / ) ctg α = ctg = tg β = sinα = 1 = ctg α (6) cosα = ctgα = ctg α (7) (3) (4) (5) Obliczenie reakcji Obliczenie reakcji, dzięki przedstawieniu obciążenia jak na Rsunku b, odbwa się podobnie jak w zadaniu 10.1: (kierunki i zwrot wektorów sił założone są wstępnie jak na rsunku, w równaniach wstępują tlko ich długości) Suma momentów względem punktu B:V A = 0 stad wartość reakcji: V A = Suma rzutów na oś pionową: V B + V A = 0 po podstawieniu obliczonej reakcji w punkcie A otrzmuje się: V B = Suma rzutów na oś poziomą: = 0 H A Zapisanie równań sił wewnętrznch Wprowadźm oś normalną i stczną w dowolnm przekroju π wznaczonm punktem na osi łuku. Osie te (na Rsunku 10.. oznaczono je smbolami n i τ) zmieniają swój kierunek wraz z położeniem punktu, przesuwanm mślowo wzdłuż osi łuku. otrzebne funkcje trgonometrczne kąta α opisując nachlenie osi n do poziomu uzależnione został od współrzędnej wzorami (5), (6) i (7). Siłę normalną i tnącą będziem obliczali jako rzut na oś stczną τ (tnąca - odpowiednio na oś normalną n) wpadkowej wszstkich sił po prawej stronie przekroju π, zredukowanej do punktu ( jest biegunem redukcji). 3

4 Moment gnąc wznaczm jako moment wszstkich sił po prawej stronie przekroju, otrzman prz ich redukcji do punktu (moment jest obliczon względem tego punktu). Zapis równań dla sił normalnch i tnącch Wektor wpadkow wszstkich sił na prawo od zapisuje się następująco (znaki składowch wektora W zgodne z osiami OX i OY): Rzut wpadkowej W na oś τ: W W = W = + ( ) N = W sinα W cosα (9) (Znak + dla sił rozciągającej czli wted, gd rzut jest skierowan od przekroju, znak - gd rzut jest skierowan do przekroju czli dla sił ściskającej!) odstawiając (6) (7) i (8) do (9) otrzmam po prostch przekształceniach: Rzut wpadkowej W na oś n: ( N = ) (8) (10) T = W cosα W sinα (11) (Uwaga! Znak + gd rzut jest skierowan z lewej stron przekroju od dołu do gór lub z prawej od gór do dołu. Znak przeciwnie!) odstawiając (6) (7) i (8) do (11) otrzmam po prostch przekształceniach: ( T = 4 + ) (1) Zapis równania dla momentu gnącego Moment wszstkich sił na prawo od obliczon względem zapisuje się następująco (znaki dodatnie gd rozciągane są dolne włókna łuku): M = po prostch przekształceniach otrzmuje się: 1 ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) M = ( ) Sprawdzam teraz, cz zapisane równania prawdziwe są dla całego łuku. rzesuwając mślowo przekrój π wzdłuż osi łuku stwierdzam, że mimo iż przekraczając zwornik łuku zmienia się znak obciążenia poziomego, to nic nie zmienia się w wrażeniach. Łatwo się o tm przekonać, przpominając sobie, że obciążenie to jest jednie postacią równoważna obciążenia radialnego a opis tej jego postaci nie zmienia prz przejściu przez zwornik. 1 (13) (14) 4

5 Wkres sił wewnętrznch Wkres można przedstawić jako narsowane na osi łuku lub w funkcji (rzut punktu łuku na poziom). W tm zadaniu wbierzem pierwsz i drugi sposób przedstawienia sił wewnętrznch. Drugi sposób, wobec tego, że wszstkie wielkości są funkcjami, jest naturalniejsz: a. b. Rsunek Wkres sił tnącch (a), normalnch (b) i momentów zginającch (c) w funkcji, na rzucie łuku na oś poziomą. rzjęto =1, =1. c. 5

6 a. b. Rsunek Wkres sił tnącch (a), normalnch (b) i momentów zginającch (c). Wartości dodatnie sił wewnętrznch na zewnątrz osi łuku. Wkres momentów jest wkreślon po stronie włókien rozciąganch. inia jaśniejsza (zielona) to oś łuku, linia czerwona (szara na rsunku czarno-białm) to wkres. rzjęto =1, =1. Wartości można odcztać z rsunku c. 6