Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje

Transkrypt

1 Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne.

2 Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje dokładnie jeden element ze zbioru P.

3 Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje dokładnie jeden element ze zbioru P. D - dziedzina, zbiór argumentów funkcji f

4 Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje dokładnie jeden element ze zbioru P. D - dziedzina, zbiór argumentów funkcji f P - przeciwdziedzina, zbiór wartości funkcji f

5 Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje dokładnie jeden element ze zbioru P. D - dziedzina, zbiór argumentów funkcji f P - przeciwdziedzina, zbiór wartości funkcji f Jeżeli D R i P R, to wykresem funkcji f nazywamy zbiór W = {(x,f(x)) : x D}.

6 Złożenie funkcji DEFINICJA Jeżeli f : D f Y oraz g : D g Z, gdzie Y D g, to złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję h : D f Z taka, że h(x) = ( g f(x) ) dla każdego x spełniajacego warunki x D f oraz f(x) D g. Złożenie funkcji f i g oznaczamy symbolem g f.

7 Złożenie funkcji DEFINICJA Jeżeli f : D f Y oraz g : D g Z, gdzie Y D g, to złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję h : D f Z taka, że h(x) = ( g f(x) ) dla każdego x spełniajacego warunki x D f oraz f(x) D g. Złożenie funkcji f i g oznaczamy symbolem g f.

8 Funkcja odwrotna DEFINICJA Funkcję f nazywamy różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek ^ x 1 D f ^ x 2 D f ( x1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) ).

9 Funkcja odwrotna DEFINICJA Funkcję f nazywamy różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek ^ x 1 D f ^ x 2 D f ( x1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) ). DEFINICJA Jeżeli funkcja f : X Y jest różnowartościowa, to funkcję g : Y X nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f, jeżeli ^ ( ) ^ g f (x) = x oraz x D f Funkcję g oznaczamy wówczas przez f 1. y D g ( f g ) (y) = y.

10 Funkcja odwrotna DEFINICJA Funkcję f nazywamy różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek ^ x 1 D f ^ x 2 D f ( x1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) ). DEFINICJA Jeżeli funkcja f : X Y jest różnowartościowa, to funkcję g : Y X nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f, jeżeli ^ ( ) ^ g f (x) = x oraz x D f y D g ( f g ) (y) = y. Funkcję g oznaczamy wówczas przez f 1. UWAGA: Jeżeli funkcja f : R R, to wykres funkcji i funkcji odwrotnej sa symetryczne względem prostej y = x.

11 Funkcje cyklometryczne DEFINICJA Funkcje cyklometryczne sa to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych na pewnych przedziałach, na których funkcje te sa różnowartościowe.

12 Funkcje cyklometryczne DEFINICJA Funkcje cyklometryczne sa to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych na pewnych przedziałach, na których funkcje te sa różnowartościowe. DEFINICJA Funkcja arcsin (arcus sinus) jest to funkcja odwrotna do funkcji sinus na przedziale π 2, π 2.

13 Funkcje cyklometryczne DEFINICJA Funkcje cyklometryczne sa to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych na pewnych przedziałach, na których funkcje te sa różnowartościowe. DEFINICJA Funkcja arcsin (arcus sinus) jest to funkcja odwrotna do funkcji sinus na przedziale π 2, π 2. sin: π 2, π 2 1,1 arcsin: 1,1 π 2, π 2

14 Funkcje cyklometryczne DEFINICJA Funkcje cyklometryczne sa to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych na pewnych przedziałach, na których funkcje te sa różnowartościowe. DEFINICJA Funkcja arcsin (arcus sinus) jest to funkcja odwrotna do funkcji sinus na przedziale π 2, π 2. sin: π 2, π 2 1,1 arcsin: 1,1 π 2, π 2 DEFINICJA Funkcja arccos (arcus cosinus) jest to funkcja odwrotna do funkcji cosinus na przedziale 0, π.

15 Funkcje cyklometryczne DEFINICJA Funkcje cyklometryczne sa to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych na pewnych przedziałach, na których funkcje te sa różnowartościowe. DEFINICJA Funkcja arcsin (arcus sinus) jest to funkcja odwrotna do funkcji sinus na przedziale π 2, π 2. sin: π 2, π 2 1,1 arcsin: 1,1 π 2, π 2 DEFINICJA Funkcja arccos (arcus cosinus) jest to funkcja odwrotna do funkcji cosinus na przedziale 0, π. cos: 0,π 1,1 arccos: 1,1 0,π

16 Funkcje cyklometryczne cd. DEFINICJA Funkcja arctg (arcus tangens) jest to funkcja odwrotna do funkcji tangens na przedziale ( π 2, π 2 ).

17 Funkcje cyklometryczne cd. DEFINICJA Funkcja arctg (arcus tangens) jest to funkcja odwrotna do funkcji tangens na przedziale ( π 2, π 2 ). tg : ( π 2, π 2 ) R arctg : R ( π 2, π 2 )

18 Funkcje cyklometryczne cd. DEFINICJA Funkcja arctg (arcus tangens) jest to funkcja odwrotna do funkcji tangens na przedziale ( π 2, π 2 ). tg : ( π 2, π 2 ) R arctg : R ( π 2, π 2 ) DEFINICJA Funkcja arcctg (arcus cotangens) jest to funkcja odwrotna do funkcji cotangens na przedziale (0, π).

19 Funkcje cyklometryczne cd. DEFINICJA Funkcja arctg (arcus tangens) jest to funkcja odwrotna do funkcji tangens na przedziale ( π 2, π 2 ). tg : ( π 2, π 2 ) R arctg : R ( π 2, π 2 ) DEFINICJA Funkcja arcctg (arcus cotangens) jest to funkcja odwrotna do funkcji cotangens na przedziale (0, π). ctg : (0,π) R arcctg : R (0,π)