Funkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
|
|
|
- Klaudia Biernacka
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
2 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x : x A x B} A \ B = {x : x A x / B} A B x (x A x B) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 2 / 43
3 Zbiory liczbowe Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych Zbiór liczb całkowitych Zbiór liczb wymiernych N = {1, 2, 3,... }. Z = {,..., 1, 0, 1, 2, 3,... }. Q = { p q, p, q Z, q > 0 }. Zbiór liczb niewymiernych Zbiór liczb rzeczywitych IQ R = I IQ. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 3 / 43
4 Zbiory liczbowe Uwaga N Z Q R. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 4 / 43
5 Wartość bewzględna Warość bezwględna Wartość bezwględna liczby rzeczywistej a, oznacza się a i jest zdefiniowana { a, jeśli a 0 a = a, jesli a < 0 Własności wartości bezwględnej a = a ab = a b a b = a b, b 0 a + b a + b a b a b a + b Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 5 / 43
6 Funkcje Wprowadzenie Przykład Temperatura. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 6 / 43
7 Funkcje Definiicje Definicja funkcji Definicja Załóżmy, że X i Y są niepustym pozbiorami zbioru liczb R. Jeżeli każdemu elementowi zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y to mówimy, że istnieje funkcja odzworowująca zbiór X w zbiór Y ( f : X Y ). Dziedzinę funkcji oznaczamy D. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f, a jego elementy argumentami funkcji f. Elment y Y, który został przyporządkowany argumentowi x X nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x i oznaczamy y = f(x). Zbiorem wartości funkcji f : X Y nazywamy zbiór tych wszystkich y Y, dla których istnieje taki argument x X, że f(x) = y. Zbiór wartości oznaczamy f(d). Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 7 / 43
8 Funkcje Definiicje Wykres funkcji Wykresem funkcji f : X Y, gdzie X, Y R nazywamy zbiór punktów postaci (x, f(x)), gdzie x X. Miejscem zerowym funkcji f : X R, gdzie X R, nazywamy taką wartość agumentu x, dla której f(x) = 0. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 8 / 43
9 Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
10 Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
11 Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
12 Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
13 Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
14 Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
15 Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
16 Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
17 Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
18 Funkcje Przykłady Przykłady Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 9 / 43
19 Funkcje Przykłady Własności funkcji Niech A X R. Funkcję f : X R nazywmay: rosnącą w zbiorze A,x 1, x 2 A zachodzi x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ), malejąca w zbiorze A,x 1, x 2 A zachodzi x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 ), nierosnącą w zbiorze A,x 1, x 2 A zachodzi x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ), niemalejąca w zbiorze A,x 1, x 2 A zachodzi x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ), stałą w zbiorze A, jesli istnieje taka liczba c, że dla dowolnego x A zachodzi równość f(x) = c. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 10 / 43
20 Funkcje Ciągłość Ciągłość-wykres funkcji L = f(t) długość ryby t ilosć lat po wykluciu się z ikry ciągła Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 11 / 43
21 Funkcje Ciągłość Ciągłość-wykres funkcji L = f(t) długość ryby t ilosć lat po wykluciu się z ikry c(t) koszt parkingu za t minut ciągła nieciągła w t = 0, 15, 30, 45, 60,... Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 11 / 43
22 Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
23 Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
24 Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) 3 Powinowactwo prostokątne o osi OX y = cf(x) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
25 Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) 3 Powinowactwo prostokątne o osi OX y = cf(x) 4 Powinowactwo prostokątne o osi OY y = f(cx) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
26 Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) 3 Powinowactwo prostokątne o osi OX y = cf(x) 4 Powinowactwo prostokątne o osi OY y = f(cx) 5 Symetria osiowa wględem OX y = f(x) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
27 Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) 3 Powinowactwo prostokątne o osi OX y = cf(x) 4 Powinowactwo prostokątne o osi OY y = f(cx) 5 Symetria osiowa wględem OX y = f(x) 6 Symetria osiowa wględem OY y = f( x) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
28 Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) 3 Powinowactwo prostokątne o osi OX y = cf(x) 4 Powinowactwo prostokątne o osi OY y = f(cx) 5 Symetria osiowa wględem OX y = f(x) 6 Symetria osiowa wględem OY y = f( x) 7 Symetria osiowa względem osi OX ujemnych wartości funkcji f(x): y = f(x) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
29 Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) 3 Powinowactwo prostokątne o osi OX y = cf(x) 4 Powinowactwo prostokątne o osi OY y = f(cx) 5 Symetria osiowa wględem OX y = f(x) 6 Symetria osiowa wględem OY y = f( x) 7 Symetria osiowa względem osi OX ujemnych wartości funkcji f(x): y = f(x) 8 Symetria osiowa względem osi OY dodatnich wartości argumentów funkcji f(x) y = f( x ). Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
30 Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Wykresy funkcji i ich transformacja Dana fukcja f(x).pause 1 Przesunięcię o wektor na OY y = f(x) ± d 2 Przesunięcie o wektor na OX y = f(x ± b) 3 Powinowactwo prostokątne o osi OX y = cf(x) 4 Powinowactwo prostokątne o osi OY y = f(cx) 5 Symetria osiowa wględem OX y = f(x) 6 Symetria osiowa wględem OY y = f( x) 7 Symetria osiowa względem osi OX ujemnych wartości funkcji f(x): y = f(x) 8 Symetria osiowa względem osi OY dodatnich wartości argumentów funkcji f(x) y = f( x ). Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 12 / 43
31 Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Przekształcenia wykresu funkcji Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 13 / 43
32 Funkcje Przekształcenia wykres funkcji -wskazówki Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 14 / 43
33 Funkcje Symetria Parzystość funkcji Funkcję f : X Y nazywamy funkcją parzystą jeśli dla kazdego x X x X f( x) = f(x), nieparzystą jeśli dla kazdego x X x X f( x) = f(x). Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 15 / 43
34 Funkcje Symetria Parzystość i nieparzystość Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 16 / 43
35 Funkcje Złożenie funkcji Złożeniem funkcji f : X Y i g : Y Z nazywamy funkcję h : X Z daną wzorem h(x) = g(f(x)). Oznaczenie h = g f (f-funkcja wewnętrzna, g- funkcja zewnętrzna). Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 17 / 43
36 Funkcje Złożenie funkcji Funkcja różnowartościowa (iniekcja) f : X Y gdy dla x 1, x 2 X (x 1 x 2 ) (f(x 1 ) f(x 2 )). Uwaga: Złożenie dwóch funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowartościową, funkcja ściśle monotoniczna jest funkcją różnowartościową. Funkcja na (suriekcja) f : X Y jeśli f(d) = Y. Jesli funkcja jest jednocześnie iniekcją i suriekcją to nazywamy ją funkcją wzajemnie jednoznaczną. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 18 / 43
37 Funkcje Funkcja odwrotna Funkcja odwrotna Funkcja f : X Y jest bijekcją. Funkcję f 1 : Y X nazywamy funkją odwrotną do funkcji f jeżeli dla każdego x X i y Y f 1 (y) = x y = f(x). Funkcja dla której istnieje funkcja odwrotna nazywamy funkcją odwracalną. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 19 / 43
38 Funkcje Funkcja odwrotna Wykres funkcji odwrotnej jest symetryczny wzgędem y = x Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 20 / 43
39 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa y = f(x) = mx + b Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 21 / 43
40 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa y = f(x) = mx + b wykresem jest prosta Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 21 / 43
41 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa y = f(x) = mx + b wykresem jest prosta jeżeli przechodzi przez dwa punkty P 1 (x 1, y 1 ), P 2 (x 2, y 2 ) wtedy y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) = m(x x 1 ) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 21 / 43
42 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa y = f(x) = mx + b wykresem jest prosta jeżeli przechodzi przez dwa punkty P 1 (x 1, y 1 ), P 2 (x 2, y 2 ) wtedy y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) = m(x x 1 ) y i przecina w : b = f(0) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 21 / 43
43 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa y = f(x) = mx + b wykresem jest prosta jeżeli przechodzi przez dwa punkty P 1 (x 1, y 1 ), P 2 (x 2, y 2 ) wtedy y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) = m(x x 1 ) y i przecina w : b = f(0) miejsce zerowe: x 0 = b/m Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 21 / 43
44 Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 22 / 43
45 Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 22 / 43
46 Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 23 / 43
47 Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c wykresem jest parabola Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 23 / 43
48 Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c wykresem jest parabola c = f(0) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 23 / 43
49 Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c wykresem jest parabola c = f(0) miejsca zerowe: = b 2 4ac (delta) x 1,2 = b ± 2a (pierwastki kwadratowe) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 23 / 43
50 Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c wykresem jest parabola c = f(0) miejsca zerowe: = b 2 4ac (delta) x 1,2 = b ± 2a (pierwastki kwadratowe) postać iloczynowa: y = a(x x 1 )(x x 2 ) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 23 / 43
51 Funkcje Funkcja kwadratowa Funkcja kwadratowa y = f(x) = ax 2 + bx + c wykresem jest parabola c = f(0) miejsca zerowe: = b 2 4ac (delta) x 1,2 = b ± 2a (pierwastki kwadratowe) postać iloczynowa: y = a(x x 1 )(x x 2 ) postać kanoniczna: y = a(x p) 2 + q, p = b 2a, q = 4a Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 23 / 43
52 Wielominay Definicja Wielomiany Definicja Niech n N {0}i niech a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0 będą liczbami rzeczywistymi, gdzie a n 0. Funkcja f(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 jest nazywana wielomianem stopnia n. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 24 / 43
53 Wielominay Definicja Wielomiany Definicja Niech n N {0}i niech a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0 będą liczbami rzeczywistymi, gdzie a n 0. Funkcja f(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 jest nazywana wielomianem stopnia n. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 24 / 43
54 Wielominay Wykresy Wykres wielomianu Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 25 / 43
55 Wielominay Wykresy Wykres wielomianu Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 25 / 43
56 Wielominay Wykresy Wykres wielomianu Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 25 / 43
57 Wielominay Wykresy Wykres Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 26 / 43
58 Wielominay Wykresy Wykres Kiesy n jest nieparzyste Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 26 / 43
59 Wielominay Wykresy Wykres Kiesy n jest nieparzyste a n > 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 26 / 43
60 Wielominay Wykresy Wykres Kiesy n jest nieparzyste a n > 0 a n < 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 26 / 43
61 Wielominay Wykresy Wykres Kiesy n jest nieparzyste a n > 0 a n < 0 Kiedy n jest parzyste Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 26 / 43
62 Wielominay Wykresy Wykres Kiesy n jest nieparzyste a n > 0 a n < 0 Kiedy n jest parzyste a n > 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 26 / 43
63 Wielominay Wykresy Wykres Kiesy n jest nieparzyste a n > 0 a n < 0 Kiedy n jest parzyste a n > 0 a n < 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 26 / 43
64 Wielominay Wykresy Funkcje potęgowe, f(x) = x n Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 27 / 43
65 Wielominay Wykresy Funkcje potęgowe, f(x) = x n wykres funkcki potęgowej zależy od n, które jest parzyste lub nie Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 27 / 43
66 Wielominay Wykresy Funkcje potęgowe, f(x) = x n wykres funkcki potęgowej zależy od n, które jest parzyste lub nie Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 27 / 43
67 Wielominay Wykresy Funkcje potęgowe, f(x) = x n wykres funkcki potęgowej zależy od n, które jest parzyste lub nie Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 27 / 43
68 Wielominay Wykresy Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 28 / 43
69 Wielominay Wykresy Wzór dwumianiowy Newtona Dla dowolnych a, b R oraz n N prawdziwy jest wzór (a + b) n = ( ) n a n + 0 ( ) n a n 1 b ( ) n ab n 1 + n 1 ( ) n b n. n Uwaga: ( ) n = k n! k!(n k)!. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 29 / 43
70 Wielominay Rozwązywanie nierówności Nierówności wielomianowe równnanie wieomianu x 4 x 3 + x 2 3x 6 = 0 (x + 1)(x 2)(x 2 + 3) = 0 x = 1 x = 2 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 30 / 43
71 Wielominay Rozwązywanie nierówności Nierówności wielomianowe równnanie wieomianu x 4 x 3 + x 2 3x 6 = 0 (x + 1)(x 2)(x 2 + 3) = 0 x = 1 x = 2 nierówność x 4 x 3 + x 2 3x 6 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 30 / 43
72 Wielominay Rozwązywanie nierówności Nierówności wielomianowe równnanie wieomianu x 4 x 3 + x 2 3x 6 = 0 (x + 1)(x 2)(x 2 + 3) = 0 x = 1 x = 2 nierówność x 4 x 3 + x 2 3x 6 0 Jak rozwiązać? znajdź pierwiastki, narysuj wykres Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 30 / 43
73 Wielominay Rozwązywanie nierówności Funkcje wymierne Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 31 / 43
74 Funkcje wymierne Definicja Funkcje wymierne Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 32 / 43
75 Funkcje wymierne Definicja Funkcje wymierne f(x) = P (x) Q(x), P (x), Q(x) wielomiany Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 32 / 43
76 Funkcje wymierne Definicja Funkcje wymierne f(x) = P (x) Q(x), P (x), Q(x) wielomiany Dziedzina D f = {x : Q(x) 0} Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 32 / 43
77 Funkcje wymierne Definicja Funkcje wymierne f(x) = P (x) Q(x), P (x), Q(x) wielomiany Dziedzina D f = {x : Q(x) 0} Przykkładem jest hiperbola f(x) = 1 x Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 32 / 43
78 Funkcje wymierne Definicja Funkcje wymierne f(x) = P (x) Q(x), P (x), Q(x) wielomiany Dziedzina D f = {x : Q(x) 0} Przykkładem jest hiperbola f(x) = 1 x Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 32 / 43
79 Funkcje wymierne Definicja Jest dużo rodzajów funkcji wymiernych Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 33 / 43
80 Funkcje wymierne Definicja Jest dużo rodzajów funkcji wymiernych Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 33 / 43
81 Funkcje wymierne Definicja Jest dużo rodzajów funkcji wymiernych Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 33 / 43
82 Funkcje wymierne Definicja Jest dużo rodzajów funkcji wymiernych Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 33 / 43
83 Funkcje wymierne Definicja Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 34 / 43
84 Funkcje wymierne Definicja Przykład Znajdź dziedzinę f(x) = 2x + 4 3x 9 f(x) = x+2 x 2 x 6 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 34 / 43
85 Funkcje wymierne Równania i nierówności Równania Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 35 / 43
86 Funkcje wymierne Równania i nierówności Równania Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 35 / 43
87 Funkcje wymierne Równania i nierówności Równania Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 35 / 43
88 Funkcje wymierne Równania i nierówności Równania Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki 1 Znajdź dziedzinę Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 35 / 43
89 Funkcje wymierne Równania i nierówności Równania Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki 1 Znajdź dziedzinę 2 Pomóż obustronnie przez wspólny mianownik Przykład Znajdź rozwiązanie 2 x 2 + x x + 2 = 1 x 2 4 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 35 / 43
90 Funkcje wymierne Równania i nierówności Równania Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki 1 Znajdź dziedzinę 2 Pomóż obustronnie przez wspólny mianownik Przykład Znajdź rozwiązanie 2 x 2 + x x + 2 = 1 x 2 4 2x + 3 x 2 2x 3 = 1 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 35 / 43
91 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierówności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 36 / 43
92 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierówności Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 36 / 43
93 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierówności Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki: Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 36 / 43
94 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierówności Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki: 1 Znajdź dziedzinę Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 36 / 43
95 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierówności Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki: 1 Znajdź dziedzinę 2 Przenieś wszystko na lewą stronę (zostaw tylko 0 po prawej stronie). Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 36 / 43
96 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierówności Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki: 1 Znajdź dziedzinę 2 Przenieś wszystko na lewą stronę (zostaw tylko 0 po prawej stronie). 3 Znajdź wspólny mianownik. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 36 / 43
97 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierówności Ogólna zasada: zamień postać wymierną na postać wielomianową Kroki: 1 Znajdź dziedzinę 2 Przenieś wszystko na lewą stronę (zostaw tylko 0 po prawej stronie). 3 Znajdź wspólny mianownik. 4 Zamień iloraz na iloczyn. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 36 / 43
98 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 37 / 43
99 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną e.g. 1 x x 3 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 37 / 43
100 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną e.g. 1 x x 3 1 Znajdź dziedzinę x 2 x 3 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 37 / 43
101 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną e.g. 1 x x 3 1 Znajdź dziedzinę x 2 x 3 2 Przenieś wszystko na lewą stronę (zostaw tylko 0 po prawej stronie) 1 x x 3 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 37 / 43
102 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną e.g. 1 x x 3 1 Znajdź dziedzinę x 2 x 3 2 Przenieś wszystko na lewą stronę (zostaw tylko 0 po prawej stronie) 1 x x Znajdź wspólny mianownik (x 3) 2(x + 2) (x + 2)(x 3) 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 37 / 43
103 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną 4 Zamień iloraz na iloczyn Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 38 / 43
104 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną 4 Zamień iloraz na iloczyn Właność P (x) > 0 P (x) Q(x) > 0 Q(x) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 38 / 43
105 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną 4 Zamień iloraz na iloczyn Właność P (x) > 0 P (x) Q(x) > 0 Q(x) P (x) 0 (P (x) Q(x) 0 Q(x) 0) Q(x) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 38 / 43
106 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną 4 Zamień iloraz na iloczyn Właność P (x) > 0 P (x) Q(x) > 0 Q(x) P (x) 0 (P (x) Q(x) 0 Q(x) 0) Q(x) Uwaga : możemy też zastosować dla < 0 i 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 38 / 43
107 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną 4 Zamień iloraz na iloczyn Właność P (x) > 0 P (x) Q(x) > 0 Q(x) P (x) 0 (P (x) Q(x) 0 Q(x) 0) Q(x) Uwaga : możemy też zastosować dla < 0 i 0 UWAGA!!! P (x) > c nie implikuje P (x) Q(x) > c, c 0 Q(x) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 38 / 43
108 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną x 7 (x + 2)(x 3) 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 39 / 43
109 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną x 7 (x + 2)(x 3) 0 ( x 7)(x + 2)(x 3) 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 39 / 43
110 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną x 7 (x + 2)(x 3) 0 ( x 7)(x + 2)(x 3) 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 39 / 43
111 Funkcje wymierne Równania i nierówności Nierównośći z funkją wymierną x 7 (x + 2)(x 3) 0 ( x 7)(x + 2)(x 3) 0 x [ 7, 2) (3, ) Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 39 / 43
112 Potęgowanie i pierwiastkowanie Definicja i własności Potęga o podstawie a IR i wykładniku n N a n = a a a a, n N Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 40 / 43
113 Potęgowanie i pierwiastkowanie Definicja i własności Potęga o podstawie a IR i wykładniku n N a n = a a a a, n N a n = 1, dla a 0, an Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 40 / 43
114 Potęgowanie i pierwiastkowanie Definicja i własności Potęga o podstawie a IR i wykładniku n N a n = a a a a, n N a n = 1 a n, dla a 0, a0 = 1 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 40 / 43
115 Potęgowanie i pierwiastkowanie Definicja i własności Potęga o podstawie a IR i wykładniku n N a n = a a a a, n N a n = 1 a n, dla a 0, a0 = 1 n ty Pierwiastek z nieujemnej liczby a n a = x Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 40 / 43
116 Potęgowanie i pierwiastkowanie Definicja i własności Potęga o podstawie a IR i wykładniku n N a n = a a a a, n N a n = 1 a n, dla a 0, a0 = 1 n ty Pierwiastek z nieujemnej liczby a n a = x x n = a, z a, x 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 40 / 43
117 Potęgowanie i pierwiastkowanie Definicja i własności Potęga o podstawie a IR i wykładniku n N a n = a a a a, n N a n = 1 a n, dla a 0, a0 = 1 n ty Pierwiastek z nieujemnej liczby a n a = x x n = a, z a, x 0 Jeżeli a < 0 i n N, n nieparzysta liczba, wtedy n a = n a Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 40 / 43
118 Potęgowanie i pierwiastkowanie Definicja i własności Potęga o podstawie a IR i wykładniku n N a n = a a a a, n N a n = 1 a n, dla a 0, a0 = 1 n ty Pierwiastek z nieujemnej liczby a n a = x x n = a, z a, x 0 Jeżeli a < 0 i n N, n nieparzysta liczba, wtedy n a = n a Potęgowanie i pierwiastkowanie i a > 0 q a p = a p q gdzie p, q Z, q > 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 40 / 43
119 Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
120 Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres zależą od α: n, p N D f Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
121 Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres zależą od α: n, p N D f y = x n IR Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
122 Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres zależą od α: n, p N D f y = x n IR y = x n = 1 x n IR {0} Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
123 Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres zależą od α: n, p N D f y = x n IR y = x n = 1 x n IR {0} y = x 1 n = n x IR + {0} n parzyste IR dla n nieparzyste Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
124 Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres zależą od α: n, p N D f y = x n IR y = x n = 1 x n IR {0} y = x 1 n = n x IR + {0} n parzyste IR dla n nieparzyste y = x 1 n = n 1 IR + dla n parzyste x IR {0} dla n nieparzyste Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
125 Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres zależą od α: n, p N D f y = x n IR y = x n = 1 x n IR {0} y = x 1 n = n x IR + {0} n parzyste IR dla n nieparzyste y = x 1 n = 1 n x IR + dla n parzyste IR {0} dla n nieparzyste y = x 0 IR {0} Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
126 Funkcja potęgowa Definicja Funkcja potęgowa f(x) = x α, gdzie α R Dziedzina, przeciwdziedzina i wykres zależą od α: n, p N D f y = x n IR y = x n = 1 x n IR {0} y = x 1 n = n x IR + {0} n parzyste IR dla n nieparzyste y = x 1 n = 1 n x IR + dla n parzyste IR {0} dla n nieparzyste y = x 0 IR {0} y = x α, α IQ IR + dla α < 0 IR + {0} dla α > 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 41 / 43
127 Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Równania z pierwiastkami Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 42 / 43
128 Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Równania z pierwiastkami Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 42 / 43
129 Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Równania z pierwiastkami Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Ale uważaj kiedy n jest parzyste!!! Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 42 / 43
130 Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Równania z pierwiastkami Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Ale uważaj kiedy n jest parzyste!!! Własności (Twierdzenie) a = b a n = b n Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 42 / 43
131 Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Równania z pierwiastkami Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Ale uważaj kiedy n jest parzyste!!! Własności (Twierdzenie) a = b a n = b n dla n parzystego, a, b 0 Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 42 / 43
132 Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Równania z pierwiastkami Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Ale uważaj kiedy n jest parzyste!!! Własności (Twierdzenie) a = b a n = b n dla n parzystego, a, b 0 dla n nieparzystego, a, b R Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 42 / 43
133 Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Nierówności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 43 / 43
134 Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Nierówności Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 43 / 43
135 Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Nierówności Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Ale uważaj kiedy n jest parzyste!!! Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 43 / 43
136 Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Nierówności Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Ale uważaj kiedy n jest parzyste!!! Własności (Twierdzenie) a < b a n < b n a b a n b n Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 43 / 43
137 Funkcja potęgowa Równanie i nierówności Nierówności Ogólna zasada: Jeślli masz n..., podnieś obustronnie do potęgi n Ale uważaj kiedy n jest parzyste!!! Własności (Twierdzenie) a < b a n < b n a b a n b n dla n parzyste, a, b 0 dla n nieparzyste, a, b R Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 43 / 43
Funkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy
O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.
1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.
I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności
Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.
Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3
ZADANIE 1 i największa wartość funkcji f (x) = (x )(x + 1) w przedziale 0; 4. ZADANIE Wyznacz wzór funkcji f (x) = x + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa rozwiaza- niami równania
FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI
FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Zbiór najczęściej podaje się wymieniając jego elementy, np. B 1,2,3,4,5 lub też podając własność, którą elementy jego muszą spełniać B x
Pojęcie zbioru i podzbioru. Równość zbiorów. Działania na zbiorach: suma, iloczyn, różnica zbiorów. Dopełnienie zbioru. Podstawowe prawa rachunku zbiorów. Zbiór i należenie do zbioru są pojęciami pierwotnymi,
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
ZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)
ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.
2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub
WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Funkcje elementarne. Ksenia Hladysz Własności 2. 3 Zadania 5
Funkcje elementarne Ksenia Hladysz 16.10.014 Spis treści 1 Funkcje elementarne. 1 Własności 3 Zadania 5 1 Funkcje elementarne. Są to funkcje określone wzorami zawierającymi skończoną ilość operacji algebraicznych
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
MATeMAtyka zakres podstawowy
MATeMAtyka zakres podstawowy Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h) 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne 1 2. Liczby całkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3 4. Rozwinięcie
6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
FUNKCJE. Rozwiązywanie zadań Ćw. 1-3 a) b) str Ćw. 5 i 6 str. 141 dodatkowo podaj przeciwdziedzinę.
FUNKCJE Lekcja 61-6. Dziedzina i miejsce zerowe funkcji str. 140-14 Co to jest funkcja. Może przykłady. W matematyce funkcje najczęściej przedstawiamy za pomocą wzorów. Przykłady. Dziedzina to zbiór argumentów
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I PODSTAWA Z ROZSZERZENIEM (90 godz.)
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA I ODSTAWA Z ROZSZERZENIEM (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie
Funkcja kwadratowa jest to funkcja postaci y = ax 2 + bx + c, wyrażenie ax 2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, gdzie x, a, oraz a, b, c - współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego. ó ó Wykresem
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Plan wynikowy matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 1b, 2016/2017r.
Jolanta Pająk Plan wynikowy matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 1b, 016/017r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Uczeń: Elementy logiki matematycznej rozpoznaje spójniki logiczne, zna wartości logiczne
MATeMAtyka zakres rozszerzony
MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych
Wymagania dla kl. 1 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. LICZBY RZECZYWISTE 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej podaje przykłady
Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02
Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. Liczby naturalne definicja dzielnika
Repetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117
Wymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO
Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność
< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY 1 www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x
1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Zajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Funkcje. Część pierwsza. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Funkcje Część pierwsza Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? Funkcja dla każdego argumentu ma określoną dokładnie jedną
ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym
S t r o n a ZBIÓR ZADAŃ Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym Każdy uczeń, który kończy szkołę ponadgimnazjalną i chce przystąpić do matury, zobowiązany jest do zdawania egzaminu z matematyki
. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)
Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany
Od autorów... 7 Zamiast wstępu zrozumieć symbolikę... 9 Zdania Liczby rzeczywiste i ich zbiory... 15
Spis treści Od autorów........................................... 7 Zamiast wstępu zrozumieć symbolikę................... 9 Zdania............................................... 10 1. Liczby rzeczywiste
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
Lekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n
Lekcja 1. Lekcja organizacyjna kontrakt. Podręcznik: A. Ceve, M. Krawczyk, M. Kruk, A. Magryś-Walczak, H. Nahorska Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej. Wydawnictwo Podkowa. Zakres materiału: Równania
PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016
PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 1. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie pierwszej. Zakres podstawowy
Dorota onczek, arolina Wej MATeMAtyka 1 Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie pierwszej Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne, wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające,
Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.
Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna
Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste
Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 0 nr programu DKOS-5002-7/07 I. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne. 1 Wykonalność
Plan wynikowy. Zakres podstawowy klasa 1
lan wynikowy Zakres podstawowy klasa MATeMAtyka. lan wynikowy. Z Oznaczenia: wymagania konieczne, wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające ogrubieniem
x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0
Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 1. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Dorota onczek, arolina Wej MATeMAtyka lan wynikowy Zakres podstawowy MATeMAtyka. lan wynikowy. Z Oznaczenia: wymagania konieczne, wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające,
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
MATeMAtyka 1 lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji
ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste
CZĘŚĆ I ZAKRES PODSTAWOWY W nawiasach proponowane oceny: 2 poziom konieczny wymagań edukacyjnych 3 poziom podstawowy wymagań edukacyjnych 4 poziom rozszerzający wymagań edukacyjnych 5 poziom dopełniający
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 7. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
Wartość bezwzględna. Funkcja wymierna.
Wartość bezwzględna. Funkcja wymierna. Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt 31 marca 2006 Spis treści 1 Wartość bezwzględna 2 1.1 Własności wartości bezwzględnej..................
Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=
Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności
Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć
Funkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska
Dr Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska Definicja Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy relację, która każdemu elementowi x X przyporzadkowuje dokładnie jeden element y Y.
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.