Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0"

Alicja Góra
7 lat temu
Przeglądów:

1 Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II 2. J. Banaś, Wędrychowicz Zbiór zadań z analizy matematycznej kwantyfikator ogólny (dla każdego) kwantyfikator szczegółowy (istnieje) N zbiór liczb naturalnych Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych Oznaczenia ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0 C [a,b] zbiór funkcji ciągłych na przedziale(a, b) i prawostronnie ciągłych w a oraz lewostronnie ciągłych w b C(A) zbiór funkcji ciągłych na A D(A) zbiór funkcji różniczkowych na A C n (A) zbiór funkcji n-krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły na A D n (A) zbiór funkcji n-krotnie różniczkowalnych na A

2 Logika Definicja 1.1 (Zdanie logiczne) Zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie, któremu można przypisać ocenę prawdy lub fałszu. p, q zdania logiczne p q alternatywa p q koniunkcja p q implikacja p q równoważność ~p negacja Oznaczenia logiczne Tautologia Definicja 1.2 (Tautologia) Prawem logicznym nazywamy zdanie które jest zawsze prawdziwe. Udowadniamy za pomocą tabelki logicznej. Prawo podwójnego zaprzeczenia: p ~(~p) Prawo wyłączonego środka: p ~q Prawo sprzeczności: ~(p ~p) I prawo: ~(p q) ~p ~q II prawo: ~(p q) ~p ~q Dowód I prawa De Morgana: Prawa De Morgana p q p q ~p ~q ~(p q) ~p ~q ~(p ^ q ) ~p v ~q

3 Twierdzenia Twierdzenie: Założenie Teza Twierdzenie odwrotne: T Z Kontrapozycja: ~T ~Z Prawo transpozycji: (Z T) (~T ~Z) Dowód prawa transpozycji: T Z ~T ~Z Z T ~T ~Z (Z T) (~T ~Z) Wyrażenia zawierające zmienne, nazywamy formą zdaniową, np.: x 2 + y 2 > 0 Zbiory Definicja 1.3 (Zbiory) A, B zbiory A = B x x A x B A B x x A x B Definicja 1.4 (Działania na zbiorach) A, B zbiory A B = x: x A x B połączenie (suma) A B = x: x A x B przecięcie (iloczyn) A\B = { x: x A x B} dopełnienie B do A (różnica) X przestrzeń X\A dopełnienie zbioru A do przestrzeni X A B = x, y : x A x B iloczyn kartezjański

4 Definicja 1.5 (Rodzina zbiorów, połączenie i przecięcie dowolnej ilości zbiorów) R I i A i, A i zbiór i I A i = x: i I x A i połączenie i I A i = x: x I x A i przecięcie Wyznaczyć: Przykład i R A i 2. i R A i Rozwiązanie: 1. i R A i =, + Uzasadnienie: inf i R i 2 1 = sup i R 2 + i 2 = + 2. i R A i = ( 1,2) Uzasadnienie: inf i R i 2 1 = 1 sup i R 2 + i 2 = 2 A i = i 2 1, 2 + i 2 Wykres prawych końców przedz. A i Wykres lewych końców przedz. A i i R

5 Dana jest funkcja: f: X x y = f(x) Y X zbiór argumentów Y zbiór wartości y = f x równanie wykresu Funkcje Uwaga! Aby określić funkcję, musimy zadać zbiór argumentów, zbiór wartości i wykres. Definicja 1.6 (Dziedzina i przeciwdziedzina) D f = x X: y Y y = f x D f 1 = {y T: x X y = f x } Definicja 1.7 (Odwzorowanie) Funkcja f : X -> Y nazywa się odwzorowaniem jeżeli D f = X Definicja 1.8 (Iniekcja, suriekcja, bijekcja) Iniekcja (funkcja różnowartościowa) jest odwzorowaniem, które dla dowolnych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości. Tzn. D f = X x1,x 2 X f x 1 = f x 2 x 1 = x 2 Suriekcja odwzorowanie, przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru Y. Tzn. D f = X y Y x X y = f(x) Bijekcja funkcja będąca jednocześnie iniekcja i suriekcją. Innymi słowy taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny. Definicja 1.9 (Funkcja odwrotna) Niech: f: x X y = f(x) Y jest bijekcją, wówczas f 1 : Y x y = f 1 (x) X jest odwzorowaniem odwrotnym, przy czym y = f 1 x f y = x

6 Przykład 1.2 Dana jest funkcjaf: 0, + x y = x 2 [0, + ), która jest bijekcją. Określimy funkcję odwrotną do niej: f 1 : [0, + ) x y = f 1 x [0, + ) Z definicji funkcji odwrotnej mamy: y = f 1 x f y = x y 2 = x y = x dla x 0 y = x y = x y = x 2 Uwaga! Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy przez symetrię wykresu funkcji zadanej względem prostej y = x

7 Funkcje cyklometryczne Funkcja sinus i odwrotna do niej arcussinus Funkcja sin(x) nie jest bijekcją (nie istnieje funkcja odwrotna), w związku z czym zawężamy sin(x) do przedziału π 2, π 2. Wynikiem takiego zabiegu jest funkcja: sin π 2,π 2 : π 2, π 2 x y = sinx [ 1,1] Natomiast funkcja do niej odwrotna to arcussinus: arcsin: 1,1 x y = arcsinx π 2, π 2 y = arcsinx x [ 1,1] y [ π 2, π 2 ] siny = x

8 Rozwiąż równanie: Przykład arcsinx = π 4 2. arcsinx = 0 3. arcsinx = 3 4 π ad. 1) Sprawdzamy założenia π 4 π 2, π 2, x [ 1,1] zatem arcsinx = π 4 x = sin π 4 x = 2 2 [ 1,1] ad. 2) Sprawdzamy założenia 0 π, π, x [ 1,1] zatem 2 2 arcsinx = 0 x = sin 0 x = 0 [ 1,1] ad. 3) Sprawdzamy założenia 3 4 π π 2, π 2 zatem równanie jest sprzeczne arcsinx = 3 π x 4 Funkcja cosinus i odwrotna do niej arcuscosinus Funkcja cos(x) nie jest bijekcją (nie istnieje funkcja odwrotna), w związku z czym zawężamy cos(x) do przedziału 0, π. Wynikiem takiego zabiegu jest funkcja: cos o,π : [0, π] x y = cosx [ 1,1] Natomiast funkcja do niej odwrotna to arcuscosinus: arccos: 1,1 x y = arccosx 0, π

9 y = arccosx x [ 1,1] y [0, π] cosy = x Funkcja tangens i odwrotna do niej arcustangens Funkcja tg(x) nie jest bijekcją (nie istnieje funkcja odwrotna), w związku z czym zawężamy tg(x) do przedziału π 2, π 2. Wynikiem takiego zabiegu jest funkcja: tg π 2,π 2 : π 2, π 2 x y = tgxεr Natomiast funkcja do niej odwrotna to arcustangens: arctg: R x y = arctgx π 2, π 2 y = arctgx x R y π 2, π 2 tgy = x

10 Funkcja cotangens i odwrotna do niej arcuscotangens Funkcja ctg(x) nie jest bijekcją (nie istnieje funkcja odwrotna), w związku z czym zawężamy ctg(x) do przedziału 0, π. Wynikiem takiego zabiegu jest funkcja: ctg o,π : xε(0, π) y = ctgxεr Natomiast funkcja do niej odwrotna to arcuscotangens: arcctg: xεr y = arcctgxε 0, π y = arcctgx x R y 0, π ctgy = x

Podobne dokumenty

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje