KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Transkrypt

1 KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 1 Pochodne cząstkowe ZADANIE DOMOWE Strona 1

2 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tlko jedna jest prawdziwa). Ptanie 1 Funkcja dwóch zmiennch a) Przporządkowuje parom liczb par liczb b) Przporządkowuje liczbie parę liczb c) Przporządkowuje parom liczb jedną liczbę d) Przporządkowuje liczbę liczbie Ptanie ( ) f, = + Wrażenie liczę pochodną po, oznacza że a) Obliczam pochodną, traktując jak zmienną, a jak stałą b) Obliczam pochodną, traktując jak zmienną, a jak stałą c) Obliczam pochodną, traktując jak zmienną, a ignorując d) Obliczam pochodną, przjmując, że jest stałą Ptanie 3 + Z jakiego wzoru należ skorzstać w tm momencie, ab policzć pochodną po z powższego wrażenia (prz założeniu, że liczm najpierw pochodną funkcji zewnętrznej jak w prezentacji)? a) Ze wzoru na prz założeniu, że rolę argumentu pełni + b) Ze wzoru na dzielenie c) Ze wzoru na pochodną ze stałej d) Ze wzoru na mnożenie stałej przez funkcję (wciągnięcie stałej przed nawias) Strona

3 Ptanie 4 4 ( ) 8 =? Jak obliczć powższą pochodną po? 8 = 8 = 8 = a) ( ) ( ) 8 = 0 = 0 b) ( 4 ) ( 4 ) 8 = 8 = 8 4 = 3 c) ( ) ( ) = 8 = 3 = d) ( ) ( ) ( ) Ptanie 5 sin (( ) ) sin =? Jak policzć powższą pochodną po? sin ( ) = ( cos) a) ( sin) b) cos (( ) sin ) ( sin lnsin ) sin lnsin sin ( sin ln sin ) sin lnsin e e e ln sin( sin) = = = = = = sinlnsin sinlnsin e ln sin cos e cos ln sin ( sin ) = sin( sin) ( sin) = cossin( sin) c) ( ) d) ( ) sin sin1 sin 1 ( ) = ( ) ( ) = ( ) sin sin sin sin sin ln sin sin cos sin ln sin Strona 3

4 Ptanie 6 z= + u Ab policzć z u należ: a) Obliczć pochodną z funkcji za stałą przjmując u b) Obliczć pochodną z funkcji za stałe przjmując z i u c) Obliczć pochodną z funkcji za stałe przjmując i d) Obliczć pochodną z funkcji za stałą przjmując Ptanie 7 Jaka jest teza twierdzenia Schwarza (dla funkcji dwóch zmiennch)? a) b) c) d) f f = f f = f f f f = = = f f = Strona 4

5 Ptanie 8 f 5 =? Ab policzć powższą pochodną należ a) Policzć z funkcji f pochodną po, później z wniku pochodną po, później wnik podnieść do kwadratu, później policzć z wniku pochodną po, a na końcu policzć z wniku pochodną po b) Policzć z funkcji f pochodną po, później z wniku pochodną po, później z wniku pochodną po, później wnik podnieść do kwadratu, a na końcu policzć z wniku pochodną po c) Policzć z funkcji f pochodną po, później z wniku pochodną po, później z wniku pochodną po, później z wniku pochodną jeszcze raz po, a na końcu policzć z wniku pochodną po d) Policzć z funkcji f pochodną po, później z wniku pochodną po, później z wniku pochodną po, a na końcu policzć z wniku pochodną po Ptanie 9 (, ) z 3 z z z = 0 Jaki operacje należ wkonać, żeb sprawdzić, cz funkcja z spełnia dane równanie różniczkowe? a) Obliczć wszstkie jej pochodne do trzeciego rzędu włącznie i sprawdzić, które z nich podstawione do równania spełniają je b) Policzć z funkcji z pochodną po, później z tego, co nam wjdzie pochodną po, później z wniku pochodną po, wstawić obliczone pochodne do lewej stron równania i sprawdzić, cz zredukują się do zera c) Sprawdzić, cz jej pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podstawione do lewej stron równania równają się prawej d) Sprawdzić, cz pochodne cząstkowe mieszane są równe (cz zachodzi twierdzenie Schwarza) Strona 5

6 Ptanie 10 Cz do obliczania pochodnch cząstkowch potrzebne są nam jakieś dodatkowe wzor, oprócz zwkłch wzorów na pochodne? a) Nie b) Tak Strona 6

7 Część : ZADANIA Zad. 1 Oblicz wszstkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu z podanch funkcji: 1) ) 3) 3 z= + z= z= 4) z= sin 5) z= ln 4 6) z= ln( ) 7) z= arcsin ( ) 8) z= cos ln( + ) 9) z= ( ) ) z= ( 4+ 8) ) u= + z+ z ) u= + 3 z 13) 14) z u= e + + u= z 15) u= sin ( + z) Zad. Oblicz wszstkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu z podanch funkcji: 1) 3 z= + + ) z= arctg( ) 3) 4) 5) e z= e ln z= u= + 5z+ z Strona 7

8 Zad. 3 Oblicz wskazane pochodne cząstkowe funkcji: 3 3 z = +, =? 1) z ( ) 3 z u ) u= e, =? z z 3) u= z 3, =? z z Zad. 4 Sprawdź, cz funkcja spełnia równanie: z z 1 z= ln +, + = 1) ( ) z z 1 ) z= sin, + = z z z 3) z= + e, + = z+ z z z = ln +, 0 = 4) z ( e e ) ( ) ln e + 1 z z 5) z=, = KONIEC Strona 8