) q przyłożona jest w punkcie o współrzędnej x = x + x. Przykład Łuk trójprzegubowy.

Transkrypt

1 rzkład 0.. Łuk trójprzegubow. Rsunek 0.. przedstawia łuk trójprzegubow, którego oś ma kształt półokręgu (jest to łuk kołow ). Łuk obciążon jest ciężarem konstrukcji podwieszonej. Narsować wkres momentów gnącch, sił normalnch i sił tnącch w każdm punkcie osi łuku. C A a. b. Rsunek 0... Łuk trójprzegubow, kołow, obciążon ciężarem konstrukcji podwieszonej (obciążenie narsowane nad łukiem a nie pod łukiem dla większej cztelności rsunku). a) schemat statczn, b) interpretacja fizczna - szkic. Rozwiązanie. Analiza obciążenia Obciążenie przedstawione na rsunku to obciążenie równomiernie rozłożone na jednostkę rzutu łuku. Szkic odręczn pokazuje jego możliwą interpretację inżnierską. W mśl tego szkicu, obciążenie rozłożone to w przbliżeniu średni, jednostkow ciężar odcinka podwieszonej jezdni mostu pomiędz dwoma cięgnami, przekazan na łuk przez każde cięgno. Obciążenie śniegiem jest również podawane zwkle na jednostkę rzutu. Wpadkową takiego obciążenia obliczam identcznie jak w przkładach dotczącch ram płaskich, oznaczonch w niniejszm zbiorze zadań numerami rozpocznającmi się od 3.*: wpadkowa elementarna dq = q d wartość wpadkowej części obciążenia rozłożonej na odcinku od do Q = q d = ( ) q przłożona jest w punkcie o współrzędnej = + Obliczenie reakcji w ( )/ Obliczenie reakcji odbwa się również podobnie jak w jak w przkładach dotczącch ram płaskich, oznaczonch w niniejszm zbiorze zadań numerami rozpocznającmi się od trójki (kierunki i zwrot wektorów sił założone są wstępnie jak na rsunku 0.., w równaniach wstępują tlko ich długości) Suma momentów względem punktu zapisuje się następująco:v A R q R R = 0, stąd obliczam wartość reakcji: V = q R R / R A =

2 Suma rzutów na oś pionową prowadzi do równania: V + V A R q = 0, stąd wartość reakcji pionowej: V = Suma momentów dla części C względem punktu C (zwornik łuku) zapisuje się równaniem: H R V R + q R R / = 0 stąd, po podstawieniu wartości reakcji pionowej otrzmuje się: H = / Suma rzutów na oś poziomą daje reakcję pozioma w punkcie A: H = H H / A A = dq q C τ M n dϕ α A T N ϕ H A H V A d V Rsunek 0... Oznaczenia, układ współrzędnch O, rϕ, nτ; wpadkowe. Wszstkie obciążenia działające na prawo od przekroju π poprowadzonego w punkcie opisanm bieżącm kątem α i bieżącą współrzędną ξ redukowane są do punktu. Zapisanie równań sił wewnętrznch Wprowadźm oś normalną i stczną w dowolnm przekroju π wznaczonm punktem na osi pręta. Osie te (na Rsunku 0.. oznaczono je smbolami n i τ) zmieniają swój kierunek wraz z położeniem punktu, przesuwanm mślowo wzdłuż osi łuku. Kąt α opisując nachlenie osi n do poziomu odmierzan jest w układzie biegunowm rϕ z biegunem w środku łuku i z osią r współliniową z n. Siłę normalną i tnąca będziem obliczali jako rzut na oś stczną τ (tnąca - odpowiednio na oś normalną n) wpadkowej wszstkich sił po prawej stronie przekroju π, zredukowanej do punktu ( jest biegunem redukcji). Moment gnąc wznaczm jako moment wszstkich sił po prawej stronie przekroju, otrzman prz ich redukcji do punktu (moment jest obliczon względem tego punktu). Zapis równań dla sił normalnch i tnącch Wektor wpadkow wszstkich sił na prawo od zapisuje się następująco (znaki składowch wektora W zgodne z osiami OX i OY):

3 W W = W = V H = qd V H, q( R ) () Rzut wpadkowej W na oś τ: (Znak + dla sił rozciągającej czli wted, gd rzut jest skierowan od przekroju, znak - gd rzut jest skierowan do przekroju czli dla sił ściskającej!) N = W W cosα () Rzut wpadkowej W na oś n: (Uwaga! Znak + gd rzut jest skierowan z lewej stron przekroju od dołu do gór lub z prawej od gór do dołu. Znak przeciwnie!): T = W cosα W (3) odstawiając () do () i (3) zastępując przez jego wartość zależną od kąta α: = R cosα otrzmam po prostch przekształceniach: ( cos α + ) N = T = cosα ( ) (4) (5) Zapis równania dla momentu gnącego Moment wszstkich sił na prawo od obliczon względem zapisuje się następująco (znaki dodatnie gd rozciągane są dolne włókna łuku): M = V ( R ) H q( R ) ( R ) (6) po podstawieniu wartości reakcji i uzależnieniu wszstkiego od kąta α otrzmuje się: = R M = ( ( cosα ) ) Sprawdzam teraz, cz zapisane równania prawdziwe są dla całego łuku. rzesuwając mślowo przekrój π wzdłuż osi łuku stwierdzam, że nic nie zmienia się w wrażeniach na reakcje i obciążenie. ozostaje więc sprawdzić, cz znane z wkładu równania równowagi elementu łuku są spełnione. Suma rzutów na oś łuku dla infinitezmalnego wcinka dl obciążonego obciążeniem na rzut łuku : N + T sin α cosα = 0 ( cosα + cosα ) cosα( ) cosα = 0 Suma rzutów na oś prostopadłą do łuku dla infinitezmalnego wcinka dl: (7) (8) (9) 3

4 T N sin α = 0 ( cos α + ) + ( cos α + ) sin α = 0 Suma momentów dla infinitezmalnego wcinka łuku dl: M + RT = 0 ( cosα + cosα ) + R cosα( ) = 0 (0) () () (3) Wkres sił wewnętrznch Wkres można przedstawić w układzie biegunowm narsowane na osi łuku lub tak, że oś pozioma jest osią kąta lub jeszcze inaczej, w funkcji (rzut punktu łuku na poziom). W tm zadaniu wbierzem pierwsz i drugi sposób przedstawienia sił wewnętrznch. Wkres, z naniesionmi wartościami w punktach charakterstcznch, narsowane na osi łuku wglądają następująco: -/ a. -/ / - - b. 5π/6 /8 /8 π/6 c. Rsunek Wkres sił tnącch (a), normalnch (b) i momentów zginającch (c). Wartości dodatnie sił wewnętrznch na zewnątrz osi łuku. Wkres momentów jest wkreślon po stronie włókien rozciąganch. Linia szeroka czarna to os łuku, linia pogrubiona czerwona (szara na rsunku czarno-białm) to wkres. Linie żółte (blade) to linie stałch wartości współrzędnch biegunowch) Fragment kodu programu MALE pozwalającego na narsowanie wkresu tnącch w powższej formie podano poniżej (pozostałe wkres narsowano w ten sam sposób): 4

5 > with(plots); > T:=simplif(-Vb*sin(alpha)+Hb*cos(alpha)+q*R*(-cos(alpha))*sin(alpha)); T := cos( + sin) > WkresT(alpha):=subs(q=,R=,T); WkresT( α) := cos( + sin) > a := plot(+wkrest(alpha),alpha=0..i,coords=polar,thickness=): b := coordplot(polar,[0..,0..i],view=[-..,0..], colour=ellow): c := plot(,alpha=0..i,coords=polar,thickness=5,colour=black): displa([a,b,c]); Jak widać, przjęto tu q=, R=. W rezultacie otrzmuje się rsunek 0..3.a. Te same wkres, dla kąta odłożonego wzdłuż osi poziomej wglądają następująco (Uwaga! W pierwszm wkresie α zastąpiono kątem α=-α+π mierzonm od punktu A do, zgodnie z ruchem wskazówek zegara, tak, ab wartość na wkresie odpowiadała punktom na łuku rzutowanm na oś (taki zabieg nie jest konieczn a dla obu wkresów smetrcznch jest zbędn): Tnąca Normalna b. a. Moment Rsunek Wkres sił tnącch (a), normalnch (b) i momentów zginającch (c). rzjęto q=, R=. Kąt liczon jest od lewej podpor tak, że wkres jest zrobiona na rzucie luku na oś poziomą. Również dla powższch wkresów przjęto q=, R=. c. 5