Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji"

Transkrypt

1 Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz niech a, x 0 R. Mówimy, że liczba a R jest granicą w sensie Cauchy ego funkcji f w punkcie x 0, gdy zachodzą dwa warunki: (i) x 0 jest punktem skupienia zbioru X, (ii) dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że dla każdego x X takiego, że 0 < x x 0 < δ zachodzi f(x) a < ε. Fakt ten zapisujemy f(x) = a lub f(x) = a lub f(x) a, gdy x x 0. Uwaga Niech f : X R oraz x 0 będzie punktem skupienia zbioru X oraz a R. Definicję Cauchy ego granicy funkcji w punkcie x 0 można zapisać następująco: f(x) = a ε>0 δ>0 x X (0 < x x 0 < δ f(x) a < ε). Powyższy warunek jest równoważny następującemu f(x) = a ε>0 δ>0 x X (0 < x x 0 δ f(x) a ε), Nie można natomiast zmienić warunku ε > 0 na ε 0, warunku δ > 0 na δ 0 ani opuścić warunku 0 < x x 0. Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz niech a, x 0 R. Mówimy, że liczba a R jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x 0, gdy zachodzą dwa warunki: (i) x 0 jest punktem skupienia zbioru X, (ii) dla każdego ciągu (x n ) n N X takiego, że x n x 0 dla n N oraz n x n = x 0 zachodzi n f(x n ) = a. Pokażemy teraz, że powyższe dwie definicje są równoważne 11

2 1 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ Twierdzenie Niech f : X R, gdzie X R, niech x 0 będzie punktem skupienia zbioru X oraz niech a R. Wówczas następujące warunki są równoważne: (a) a jest granicą w sensie Cauchy ego funkcji f w punkcie x 0, (b) a jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x 0. Dowód. Ad. (a) (b) Weźmy dowolny ciąg (x n ) n N X \{x 0 } taki, że n x n = x 0. Pokażemy, że f(x n ) = a. Istotnie, weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ a jest granicą w n sensie Cauchy ego funkcji f w punkcie x 0, więc istnieje δ > 0, że dla x X takich, że 0 < x x 0 < δ zachodzi f(x) a < ε. Ponieważ x n x 0 dla n N oraz x n = x 0, n więc istnieje N R takie, że dla n > N zachodzi 0 < x n x 0 < δ i w konsekwencji f(x n ) a < ε. Reasumując n f(x n ) = a. To daje, że a jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x 0. Ad. (b) (a) Przypuśćmy przeciwnie, że a jest granicą w sensie Heinego funkcji f w punkcie x 0 lecz nie jest granicą w sensie Cauchy ego. Wtedy istnieje ε > 0, że dla każdego δ > 0 istnieje x X dla którego 0 < x x 0 < δ oraz f(x) a ε. W szczególności, dla każdego n N zbiór X n = {x X : 0 < x x 0 < 1 oraz f(x) a ε} jest n niepusty. Stosując teraz Aksjomat wyboru ( 1 ) istnieje ciąg (x n ) n N X taki, że x n X n dla n N. Wtedy n x n = x 0 oraz f(x n ) a ε, w szczególności ciąg (f(x n )) n N nie jest zbieżny do a. To przeczy definicji granicy w sensie Heinego i kończy dowód. W świetle twierdzenia 6.1. nie ma znaczenia, którą definicję granicy funkcji przyjmiemy. Powinniśmy jednak zdecydować się na jadną z nich. Definicja granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz niech a, x 0 R. Mówimy, że liczba a R jest granicą funkcji f w punkcie x 0, gdy a jest granicą w sensie Cauchy ego funkcji f w punkcie x 0. Z definicji dostajemy, że granica funkcji w punkcie jest własnością lokalną, to znaczy zależy od tej funkcji tylko w dowolnie małym otoczeniu punktu. Mianowicie mamy Wniosek Niech a, x 0 R oraz x 0 będzie punktem skupienia zbioru X R. Wówczas a jest granicą funkcji f : X R w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia U R punktu x 0, liczba a jest granicą funkcji f U X w punkcie x 0. Wobec twierdzenia 6.1. możemy teraz przenieść pewne własności granicy ciągów na przypadek granicy funkcji. Z własności 4..4(a) dostajemy natychmiast Wniosek (jednoznaczność granicy funkcji). Jeśli a, a R są granicami funkcji f w punkcie x 0, to a = a. Z własności 4..4(b) i twierdzenia 6.1. dostajemy Wniosek (o granicach dwóch funkcji). Niech f, g : X R, gdzie X R, będą funkcjami, x 0 punktem skupienia zbioru X oraz a, b R. Jeśli to a b. f(x) = a, g(x) = b oraz f(x) g(x) dla x X \ {x 0 }, 1 dla rodziny zbiorów niepustych i rozłącznych Y n = X n {n}, n N.

3 6.1. GRANICA FUNKCJI 13 Z twierdzenia o trzech ciągach 4..6 i twierdzenia 6.1. dostajemy natychmiast Wniosek (o trzech funkcjach). Niech f, g, h : X R, gdzie X R, będą funkcjami, x 0 punktem skupienia zbioru X oraz a R. Jeśli f(x) = a, h(x) = a oraz f(x) g(x) h(x) dla x X \ {x 0 }, to g(x) = a. Z twierdzeń 4..9, i 6.1. mamy Wniosek (o działanich na granicach funkcji). Niech f, g : X R, gdzie X R, będą funkcjami, x 0 punktem skupienia zbioru X oraz a, b R. Niech f(x) = a, g(x) = b. Wówczas: (a) (f(x) + g(x)) = a + b. (b) (f(x) g(x)) = a b. (c) (f(x)g(x)) = ab. (d) Jeśli b 0 oraz g(x) 0 dla x X \ {x 0 }, to f(x) g(x) = a b. (e) Jeśli a > 0 oraz f(x) > 0 dla x X \ {x 0 }, to (f(x)) g(x) = a b. (f) Jeśli a = 0 i b > 0 oraz f(x) > 0 dla x X \ {x 0 }, to (f(x)) g(x) = 0. Z własności i twierdzenia 6.1. mamy Wniosek Niech f, g : X R, gdzie X R, będą funkcjami, x 0 punktem skupienia zbioru X. Jeśli g jest funkcją ograniczoną oraz f(x) = 0, to (f(x)g(x)) = 0. Z twierdzenia 6.1. i własności granicy ciągu dostajemy Wniosek Niech a, x 0 R oraz n N. Wówczas: (a) (b) (c) (d) (e) x a = x a 0, gdy x 0 > 0, x a = 0, gdy a > 0 ( ), x 0 n x = n x 0, gdy n jest liczbą nieparzystą, x = x 0, a x = a x 0, gdy a > 0, liczba 0 jest punktem skupienia dziedziny funkcji x x a.

4 14 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ (f) (g) (h) (i) log a x = log a x 0, gdy a > 0, a 1 oraz x 0 > 0, sin x = sin x 0, cos x = cos x 0, tg x = tg x 0, gdy cos x 0 0, ctg x = ctg x 0, gdy sin x 0 0, Dowód. Części (a), (b) i (e) wynikają z twierdzenia 4.3.4, część (f) z twierdzenia 4.3.3, część (d) z wniosku 4..11, części (g) z wniosku Ad. (h) Jeśli cos x 0 0, to w myśl wniosku , x 0 jest punktem skupienia dziedziny funkcji tg. Wówczas z wniosku dostajemy x x n tg x = tg x 0, czyli mamy (h). Część (i) dowodzimy analogicznie jak część (h). Pozostało udowodnić (c). Rozważymy trzy przypadki: Dla x 0 > 0, tezę (c) dostajemy z części (a), gdy a = 1. n Dla x 0 < 0 mamy x 0 > 0 oraz z własności pierwiastka nieparzystego stopnia dostajemy n x 0 = n x 0. Wówczas dla dowolnego ciągu (x k ) k=1 takiego, że x k = x 0 k mamy ( x k ) = x 0, więc istnieje N N takie, że dla k > N zachodzi x k > 0. k Zatem z twierdzenia mamy n x k = ( n x k ) = n x 0 = n x 0, co daje k k tezę w tym przypadku. Niech teraz x 0 = 0. Ponieważ n x n x x, n więc dla dowolnego ciągu (x k ) k=1 = 0 mamy n x k n x k x n k. Z wniosku wynika, że takiego, że x k k x k = 0, z twierdzenia zaś, że k k n x k = 0. W konsekwencji twierdzenie o trzech ciągach daje, że k n x k = 0, czyli mamy (c) w tym przypadku. Z twierdzenia 6.1. i wniosków 4.5.4(d) i (c) dostajemy Wniosek Zachodzą następujące: (a) (b) (1 + x) 1 x = e, x 0 x 0 sin x x = 1. Granica maksimum i minimum rodziny funkcji Udowodnimy twierdzenie o granicy maksimum i minimum rodziny funkcji. Zacznijmy od definicji. Definicja maksimum i minimum rodziny funkcji. Niech f 1,..., f n : X R, gdzie n N, będzie rodziną funkcji. Funkcję max(f 1,..., f n ) : X R określoną wzorem max(f 1,..., f n )(x) = max{f 1 (x),..., f n (x)} dlax X nazywamy maksimum rodziny funkcji f 1,..., f n. Funkcję min(f 1,..., f n ) : X R określoną wzorem min(f 1,..., f n )(x) = min{f 1 (x),..., f n (x)} dlax X nazywamy minimum rodziny funkcji f 1,..., f n.

5 6.. GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI 15 Twierdzenie Niech f 1,..., f n : X R, gdzie X R i n N będzie rodziną funkcji oraz niech x 0 R będzie punktem skupienia zbioru X. Jeśli f j (x) = g j, gdzie g j R dla j = 1,..., n, to (6.1) max(f 1,..., f n )(x) = max{g 1,..., g n } oraz min(f 1,..., f n )(x) = min{g 1,..., g n }. Dowód. Zastosujemy zasadę indukcji. Jeśli n = 1, to teza jest oczywista. Dla n = teza wynika z wniosku 4..1 i równoważności definicji Cauchy ego i Heinego granicy funkcji (twierdzenie 6.1.). Załóżmy, że teza zachodzi dla rodziny n funkcji. Rozważmy rodzinę f 1,..., f n+1 : X R i niech g j = f j (x) dla j = 1,..., n + 1. Łatwo sprawdzamy, że max{f 1 (x),..., f n+1 (x)} = max{max{f 1 (x),..., f n (x)}, f n+1 (x)} dla x X. Zatem stosując założenie indukcyjne i przypadek n = dostajemy pierwszą część (6.1) dla n + 1. Analogicznie dowodzimy drugą część (6.1) dla n + 1. Reasumując, zasada indukcji kończy dowód. 6. Granice jednostronne funkcji Definicja. Dla zbioru X R oraz liczby x 0 R określamy zbiory X x 0 = {x X : x < x 0 }, X + x 0 = {x X : x > x 0 }. Definicja granicy lewostronnej i prawostronnej funkcji w punkcie. Niech X R, f : X R oraz niech a, x 0 R. Mówimy, że liczba a jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x 0, gdy a jest granicą funkcji f X x0 w punkcie x 0 ( 3 ). Fakt ten zapisujemy a = f(x). x x 0 Mówimy, że liczba a jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0, gdy a jest granicą funkcji f X + x0 w punkcie x 0 ( 4 ). Fakt ten zapisujemy a = f(x). x x + 0 Uwaga Niech f : X R będzie funkcją oraz x 0 R. Wprost z definicji dostajemy: (a) Jeśli x 0 jest punktem skupienia zbioru X x 0, to fakt, że liczba a R jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x 0 można zapisać w notacji Cauchy ego: (6.) ε>0 δ>0 x X (x < x 0 x x 0 < δ f(x) a < ε) lub równoważnie w notacji Heinego: (xn) n N X x 0 ( n x n = x 0 n f(x n ) = a). (b) Jeśli x 0 jest punktem skupienia zbioru X + x 0, to fakt, że liczba a R jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0 można zapisać w notacji Cauchy ego: (6.3) ε>0 δ>0 x X (x 0 < x x x 0 < δ f(x) a < ε) lub równoważnie w notacji Heinego: (xn) n N X + x 0 ( n x n = x 0 3 wtedy x 0 jest punktem skupienia zbioru X x 0. 4 wtedy x 0 jest punktem skupienia zbioru X + x 0. n f(x n ) = a).

6 16 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ Twierdzenie 6... (związek granicy funkcji z granicami jednostronnymi). Niech f : X R, gdzie X R, będzie funkcją, x 0 R będzie punktem skupienia zbiorów Xx 0 i oraz a R. Wówczas następujące warunki są równoważne: X + x 0 (a) (b) f(x) = a, x x 0 f(x) = a oraz x x + 0 f(x) = a. Dowód. Ad. (a) (b) Ponieważ f(x) = a, więc z definicji mamy (6.4) ε>0 δ>0 x X (0 < x x 0 < δ f(x) a < ε). Stąd dostajemy natychmiast (6.) i (6.3), czyli mamy (b). Ad. (b) (a) Ponieważ f(x) = a, więc można założyć, że x x 0 f(x) = a oraz x x + 0 w (6.) i (6.3) dla ustalonego ε istnieje ta sama δ > 0 (przez wybranie mniejszej z nich). Zatem z (6.) i (6.3) wynika (6.4), co daje (a). Granica funkcji w punkcie nie musi istnieć, odnosi się to również do granic jednostronnych. Jednak przy dodatkowym założeniu mamy Twierdzenie (o granicach jednostronnych funkcji monotonicznej). Niech f : X R, gdzie X R, będzie funkcją monotoniczną i ograniczoną. (a) Jeśli x 0 R jest punktem skupienia zbioru X x 0, to istnieje granica x x 0 (b) Jeśli x 0 R jest punktem skupienia zbioru X + x 0, to istnieje granica x x + 0 f(x). f(x). Dowód. Ponieważ dla funkcji malejącej f mamy, że f jest funkcją rosnącą, więc wystarczy rozważyć przypadek, gdy f jest funkcją rosnącą. Niech więc f : X R będzie funkcją rosnącą. Ad. (a) Niech A = {f(x) : x Xx 0 }. Wówczas A jest zbiorem niepustym i ograniczonym, więc a = sup A jest liczbą rzeczywistą. Pokażemy, że a = x x 0 f(x). Istotnie, weźmy dowolne ε > 0. Wówczas a ε < a, więc z określenia sup A, istnieje x Xx 0, że a ε < f(x ). Niech δ = x 0 x. Ponieważ x Xx 0, więc x < x 0, zatem δ > 0. Weźmy dowolny x X taki, że x < x 0 i x x 0 < δ. Wtedy x Xx 0, zatem f(x) a 0 < ε. Z drugiej strony x > x, więc z założenia, że f jest funkcją rosnącą mamy f(x) f(x ) i w konsekwencji ε < f(x ) a f(x) a. Reasumując mamy f(x) a < ε dla x X takich, że x < x 0 i x x 0 < δ. To daje (a). Ad. (b) Podobnie jak w (a), biorąc B = {f(x) : x X x + 0 } oraz b = inf B dostajemy, że b R. Podobnie, z definicji kresu dolnego oraz założenia, że f jest funkcją rosnącą otrzymujemy x x + 0 f(x) = b. Podamy szczególną wersję warunku Heinego istnienia granicy jednostronnej.

7 6.. GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI 17 Twierdzenie Niech f : [a, b) R. Następujące warunki są równoważne: (a) Istnieje granica x b f(x) (5 ). (b) Dla każdego ściśle rosnącego ciągu (x n ) n=1 [a, b) takiego, że n x n = b istnieje skończona granica n f(x n ). Dowód. Implikacja (a) (b) wynika definicji Heinego granicy funkcji w punkcie. Udowodnimy implikację (b) (a). Niech (x n ) n=1 [a, b) będzie ściśle rosnącym ciągiem takim, że x n = b oraz, wobec (b), niech A R będzie takie, że f(x n ) = A. n n Pokażemy, że f(x) = A. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje ε 0 > 0 takie, że dla każdego δ [a, b) istnieje x (δ, b), że f(x) A ε 0. Wtedy b jest punktem skupienia x b zbioru {x [a, b) : f(x) A ε 0 }, więc istnieje ciąg (y j ) j=1 [a, b), gdzie y j = b, j że zachodzi (6.5) f(y j ) A ε 0 dla j = 1,,... Wybierzmy teraz podciągi (x nk ) k=1 oraz (y jk ) k=1 odpowiednio ciągów (x n ) n=1 oraz (y j ) j=1 takie, że (6.6) y jk < x nk < y j k+1 dla k = 1,,... ( 6 ). Weźmy ciąg (γ n ) n=1 określony wzorami γ k = y jk oraz γ k+1 = x nk dla k = 0, 1,... Z (6.6) dostajemy, że (γ k ) k=1 [a, b) jest ciągiem ściśle rosnącym. Ponadto n γ n = b oraz, wobec założenia, istnieje B R takie, że B = f(γ n ). W szczególności z n określenia A i B mamy B = k f(γ k+1 ) = k f(x nk ) = A, zatem k f(y jk ) = k f(γ k ) = A. To przeczy (6.5) i kończy dowód. Analogicznie jak twierdzenia 6..4, dowodzimy Twierdzenie Niech f : (a, b] R. Następujące warunki są równoważne: (a) Istnieje granica x a + f(x). (b) Dla każdego ściśle malejącego ciągu (x n ) n=1 (a, b] takiego, że n x n = a istnieje skończona granica n f(x n ). 5 skończona, tzn. istnieje g R takie, że f(x) = g, por. dalej istnienie granicy niewłaściwej. x b 6 Na przykład kładąc X = {(n, j) N N : x n > y j } i biorąc funkcję F : X N X określoną wzorem F (n, j, k) = (p, q), gdzie q = min{m N : m > k y m > x n } oraz p = min{m N : m > k (m, q) X}, ciąg ((x nk ), (y jk )) j=1 określony indukcyjnie przez dowolny (n, j) X oraz funkcję F spełnia powyższe warunki.

8 18 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ 6.3 Granice niewłaściwe Definicja granicy niewłaściwej funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R, oraz niech x 0 R. Mówimy, że + jest granicą funkcji f w punkcie x 0, gdy zachodzą dwa warunki: (a) x 0 jest punktem skupienia zbioru X, (b) dla każdego A R istnieje δ > 0, że dla każdego x X takiego, że 0 < x x 0 < δ zachodzi f(x) > A. Fakt ten zapisujemy f(x) = +. Analogicznie określamy f(x) = ( 7 ). Granice + i nazywamy granicami niewłaściwymi funkcji w punkcie x 0. Granice określone w punkcie 6.1 nazywamy granicami właściwymi funkcji. Uwaga Niech f : X R, X R, oraz x 0 R będzie punktem skupienia zbioru X. Wówczas łatwo dostajemy f(x) = + A>0 δ>0 x X (0 < x x 0 < δ f(x) > A), f(x) = A<0 δ>0 x X (0 < x x 0 < δ f(x) < A). Ponadto granica niewłaściwa jest określona jednoznacznie. Dokładniej, jeśli f(x) = a oraz f(x) = +, to a = +. Analogicznie dla granicy f(x) =. Bazpośrednio z definicji granicy niewłaściwej funkcji mamy Wniosek Niech f : X R, X R oraz x 0 będzie punktem skupienia zbioru X. Wówczas a {, + } jest granicą funkcji f : X R w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia U R punktu x 0, element a jest granicą funkcji f U X w punkcie x 0. Analogicznie jak w przypadku granic właściwych dowodzimy następujące własności: Własność (warunek Heinego dla granicy niewłaściwej). Niech f : X R, gdzie X R, niech x 0 będzie punktem skupienia zbioru X oraz a {, + }. Wówczas następujące warunki są równoważne: (a) a jest granicą funkcji f w punkcie x 0, (b) dla każdego ciągu (x n ) n N X takiego, że x n x 0 dla n N oraz n x n = x 0 zachodzi n f(x n ) = a ( 8 ). Z własności i własności granic niewłaściwych ciągów dostajemy 7 Mówimy, że jest granicą funkcji f w punkcie x 0, gdy zachodzą dwa warunki: (a) x 0 jest punktem skupienia zbioru X, (b) dla każdego A R istnieje δ > 0, że dla każdego x X takiego, że 0 < x x 0 < δ mamy f(x) < A. 8 warunek ten nazywamy definicją Heinego granicy niewłaściwej.

9 6.3. GRANICE NIEWŁAŚCIWE 19 Wniosek (o granicach niewłaściwych dwóch funkcji). Niech f, g : X R, gdzie X R, będą funkcjami, x 0 punktem skupienia zbioru X oraz niech f(x) g(x) dla x X \ {x 0 }. (a) Jeśli f(x) = +, to g(x) = +. (b) Jeśli g(x) =, to f(x) =. Wniosek (o działaniach na granicach niewłaściwych). Niech f, g : X R, gdzie X R, będą funkcjami, x 0 punktem skupienia zbioru X. Wówczas: (a) Jeśli f(x) = +, to ( f(x)) =. (b) Jeśli f(x) = + oraz g(x) = +, to (f(x) + g(x)) = +. (c) Jeśli f(x) = + oraz g(x) = a, gdzie a > 0, to (f(x)g(x)) = +. 1 (d) Jeśli f(x) = +, to = 0. f(x) Wniosek Niech f : X R oraz x 0 będzie punktem skupienia zbioru X. Jeśli 1 f(x) > 0 dla x X \ {x 0 } oraz f(x) = 0, to = +. f(x) Definicja granicy niewłaściwej lewostronnej i prawostronnej funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R, oraz x 0 R. Niech Xx 0 = {x X : x < x 0 } i X x + 0 = {x X : x > x 0 }. Mówimy, że + jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x 0, gdy + jest granicą funkcji f X x0 w punkcie x 0 ( 9 ). Fakt ten zapisujemy x x 0 f(x) = ( 10 ). określamy x x 0 f(x) = +. Analogicznie Mówimy, że + jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0, gdy + jest granicą funkcji f X + x0 w punkcie x 0. Fakt ten zapisujemy f(x) = +. Analogicznie x x + 0 określamy x x + 0 f(x) = ( 11 ). Analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 6.. dostajemy Własność (związek granicy niewłaściwej z granicami jednostronnymi). Niech f : X R, X R, będzie funkcją, x 0 R będzie punktem skupienia zbiorów Xx 0 i X x + 0 oraz a R. Wówczas następujące warunki są równoważne: (a) (b) f(x) = a, x x 0 f(x) = a oraz x x + 0 f(x) = a. 9 wtedy x 0 jest punktem skupienia zbioru Xx Mówimy, że jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x 0, gdy jest granicą funkcji f X x0 w punkcie x Mówimy, że jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0, gdy jest granicą funkcji f X + x0 w punkcie x 0.

10 130 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ Podobnie jak twierdzenie 6..3 dowodzimy Własność (o granicach jednostronnych funkcji monotonicznej). Niech f : X R, X R, będzie funkcją monotoniczną. (a) Jeśli x 0 R jest punktem skupienia zbioru X x 0, to istnieje granica x x 0 (b) Jeśli x 0 R jest punktem skupienia zbioru X + x 0, to istnieje granica x x + 0 f(x). f(x). Definicja granicy funkcji w nieskończoności. Niech f : X R, X R, oraz niech a R. Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w +, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z góry, (b) dla każdego ε > 0 istnieje δ R, że dla każdego x X, x > δ zachodzi f(x) a < ε. Fakt ten zapisujemy f(x) = a. Analogicznie określamy f(x) = a x + x (1 ). Definicja granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności. Niech f : X R, gdzie X R. Mówimy, że + jest granicą funkcji f w +, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z góry, (b) dla każdego A R istnieje δ R, że dla każdego x X, x > δ zachodzi f(x) > A. Fakt ten zapisujemy f(x) = +. Analogicznie określamy f(x) = x + x + (13 ). Mówimy, że + jest granicą funkcji f w, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z dołu, (b) dla każdego A R istnieje δ R, że dla każdego x X, x < δ zachodzi f(x) > A. Fakt ten zapisujemy f(x) = +. Analogicznie określamy f(x) = x x (14 ). Uwaga Dla granic funkcji w + i w zachodzą analogiczne własności do własności i wniosków 6.3.4, 6.3.5, Z odpowiednich własności granicy ciągów (twierdzenia i 4.4.7) dostajemy 1 Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f w, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z dołu, (b) dla każdego ε > 0 istnieje δ R, że dla każdego x X, x < δ zachodzi f(x) a < ε. 13 Mówimy, że jest granicą funkcji f w +, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z góry, (b) dla każdego A R istnieje δ R, że dla każdego x X, x > δ zachodzi f(x) < A. 14 Mówimy, że jest granicą funkcji f w, gdy zachodzą dwa warunki: (a) zbiór X jest nieograniczony z dołu, (b) dla każdego A R istnieje δ R, że dla każdego x X, x < δ zachodzi f(x) < A.

11 6.3. GRANICE NIEWŁAŚCIWE 131 Wniosek Niech a R. Wówczas mamy: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) x + xa = +, gdy a > 0, x + xa = 0, gdy a < 0, x xa =, x xa = +, gdy a N jest liczbą nieparzystą, gdy a N jest liczbą parzystą, x + ax = + oraz x ax = 0, gdy a > 1, x + ax = 0 oraz x ax = +, gdy 0 < a < 1, log x + a x = + oraz log x 0 + a x =, gdy a > 1, log x + a x = oraz log x 0 + a x = +, gdy 0 < a < 1. Z wniosku dostajemy Wniosek Dla każdego y R, ( 1 + y ) x = e y x + x ( 1 + y x = e x x) y. Analogicznie jak twierdzenia 6..4 dowodzimy wersję warunku Heinego dla granic niewłaściwych. Twierdzenie Niech f : [a, + ) R. Następujące warunki są równoważne: (a) Istnieje granica f(x) (właściwa lub niewłaściwa). x + (b) Dla każdego ściśle rosnącego ciągu (x n ) n=1 [a, + ) takiego, że n x n = + istnieje granica n f(x n ) (skończona lub nieskończona). W szczególności granica w (a) jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy granice w (b) są skończone. Twierdzenie Niech f : (, b] R. Następujące warunki są równoważne: (a) Istnieje granica f(x) (właściwa lub niewłaściwa). x (b) Dla każdego ściśle malejącego ciągu (x n ) n=1 (, b] takiego, że n x n = istnieje granica n f(x n ) (skończona lub nieskończona). W szczególności granica w (a) jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy granice w (b) są skończone.

12 13 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ 6.4 Funkcje ciągłe Poniższa definicja ciągłości pochodzi od Cauchy ego. Definicja funkcji ciągłej. Niech f : X R, gdzie X R oraz x 0 R. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, gdy zachodzą warunki: (i) x 0 X, (ii) dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że dla każdego x X takiego, że x x 0 < δ zachodzi f(x) f(x 0 ) < ε. Mówimy, że funkcja f jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru X. Definicję ciągłości funkcji w punkcie możemy sformułować następująco: Twierdzenie (topologiczna charakteryzacja ciągłości funkcji w punkcie). Niech f : X R, gdzie X R, oraz niech x 0 X. Następujące warunki są równoważne: (i) funkcja f jest ciągła w punkcie x 0. (ii) dla każdego otoczenia W R punktu f(x 0 ) istnieje otoczenie U R punktu x 0 takie, że f(x U) W. Dowód. Załóżmy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0. Wówczas z definicji ciągłości funkcji w punkcie mamy (6.7) ε>0 δ>0 x X ( x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε). Weźmy dowolne ε > 0 i niech δ > 0 spełnia powyższe. Oznaczając W = {y R : y f(x 0 ) < ε} oraz U = {x R : x x 0 < δ}, z powyższego dostajemy, że jeśli x X i x U, to f(x) W, czyli f(x U) W i zachodzi (ii). Odwrotnie, zakładając (ii), dla dowolnego ε > 0, biorąc otoczenie W = {y R : y f(x 0 ) < ε} punktu f(x 0 ), istnieje otoczenie U = {x R : x x 0 < δ}, gdzie δ > 0, takie że f(x U) W. Zatem dla x X takich, że x x 0 < δ mamy x X U, więc f(x) W, czyli f(x) f(x 0 ) < ε. To daje (6.7). Analogicznie jak równoważność definicji Cauchy ego i Heinego granicy funkcji w punkcie (twierdzenie 6.1.) dowodzimy Twierdzenie (warunek Heinego ciągłości funkcji w punkcie). Niech f : X R, X R, oraz x 0 X. Wówczas następujące warunki są równoważne: (a) f jest funkcją ciągłą w punkcie x 0. (b) dla każdego ciągu (x n ) n=1 X, jeśli n x n = x 0, to n f(x n ) = f(x 0 ) ( 15 ). Wprost z definicji funkcji ciągłej w punkcie oraz granicy funkcji w punkcie mamy 15 warunek ten nazywamy definicją Heinego ciągłości funkcji w punkcie.

13 6.4. FUNKCJE CIĄGŁE 133 Twierdzenie (związek ciągłości z granicą). Niech f : X R, X R, oraz x 0 X. (a) Jeśli x 0 jest punktem izolowanym zbioru X, to f jest funkcją ciągłą w punkcie x 0. (b) Jeśli x 0 jest punktem skupienia zbioru X, to funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = f(x 0 ). Dowód. Ad. (a) Jeśli x 0 jest punktem izolowanym zbioru X, to istnieje otoczenie U 0 punktu x 0 takie, że X U 0 = {x 0 }. Zatem dla dowolnego otoczenia W R punktu f(x 0 ) mamy f(x U 0 ) = {f(x 0 )} W. To, wraz z twierdzeniem daje część (a). Ad. (b) Niech x 0 będzie punktem skupienia zbioru X. Załóżmy najpierw, że f jest funkcją ciągłą w punkcie x 0. Weźmy dowolne ε > 0. Wtedy istnieje δ > 0, że dla każdego x X takiego, że x x 0 < δ zachodzi f(x) f(x 0 ) < ε. W szczególności dla każdego x X takiego, że 0 < x x 0 < δ zachodzi f(x) f(x 0 ) < ε. To daje, że f(x) = f(x 0 ). Załóżmy teraz, że f(x) = f(x 0 ). Weźmy dowolne ε > 0. Wtedy istnieje δ > 0, że dla każdego x X takiego, że 0 < x x 0 < δ zachodzi f(x) f(x 0 ) < ε. Stąd, ponieważ f(x 0 ) f(x 0 ) = 0 < ε, dostajemy, że dla każdego x X takiego, że x x 0 < δ zachodzi f(x) f(x 0 ) < ε. To daje ciągłość funkcji f w punkcie x 0 i kończy dowód. Z twierdzenia i własności granicy funkcji (patrz wniosek 6.1.7) dostajemy Wniosek (działania na funkcjach ciągłych). Niech f, g : X R, X R, oraz x 0 X. (a) Jeśli f i g są funkcjami ciągłymi w punkcie x 0, to f + g, f g, fg oraz f przy g dodatkowym założeniu g(x) 0 dla x X, są funkcjami ciągłymi w punkcie x 0. (b) Jeśli f i g są funkcjami ciągłymi, to f + g, f g, fg oraz f g założeniu g(x) 0 dla x X, są funkcjami ciągłymi. Z powyższego wniosku, łatwą indukcją dostajemy przy dodatkowym Wniosek Niech f 1,..., f n : X R, gdzie X R, n N oraz niech x 0 X. (a) Jeśli f 1,..., f n są funkcjami ciągłymi w punkcie x 0, to f f n oraz f 1 f n są funkcjami ciągłymi w punkcie x 0. (b) Jeśli f 1,..., f n są funkcjami ciągłymi, to f f n oraz f 1 f n są funkcjami ciągłymi. Z twierdzenia dostajemy Wniosek (o złożeniu funkcji ciągłych). Niech f = g h : X R, gdzie h : X R, g : Y R, X, Y R oraz h(x) Y. Niech x 0 X. (a) Jeśli h jest funkcją ciągłą w punkcie x 0, funkcja g jest zaś ciągła w punkcie y 0 = h(x 0 ), to funkcja f jest ciągła w punkcie x 0. (b) Jeśli h i g są funkcjami ciągłymi, to f jest funkcją ciągłą.

14 134 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ Dowód. Udowodnimy (a). Zastosujemy twierdzenie Weźmy dowolny ciąg (x n ) n=1 X taki, że n x n = x 0. Wówczas (h(x n )) n=1 Y. Ponieważ h jest funkcją ciągłą w punkcie x 0, to z twierdzenia 6.4., h(x n ) = h(x 0 ) = y 0. Stąd i z ciągłości n funkcji g w punkcie y 0 dostajemy f(x n) = g(h(x n )) = g(h(x 0 )) = f(x 0 ). n n Reasumując, wobec dowolności ciągu (x n ) n=1, z twierdzenia 6.4. wynika ciągłość funkcji f w punkcie x 0, czyli mamy (a). Część (b) wynika natychmiast z (a). Wniosek (o granicy złożenia funkcji). Niech f = g h : X R, gdzie h : X R, g : Y R, X, Y R oraz h(x) Y. Niech ponadto x 0 R będzie punktem skupienia zbioru X. Jeśli g jest funkcją ciągłą w punkcie y 0 Y oraz h(x) = y 0, to f(x) = g(y 0 ). Dowód. Niech h : X {x 0 } R będzie funkcją określoną wzorami: h(x) = h(x) dla x X \{x 0 } oraz h(x 0 ) = y 0. Wówczas z założenia, że h(x) = y 0 i związku ciągłości z granicą (twierdzenie 6.4.3) wynika, że h jest funkcją ciągłą w punkcie x 0. Zatem f = g h jest funkcją ciągłą w punkcie x 0 (patrz twierdzenie o złożeniu funkcji ciągłych wniosek 6.4.6). W szczególności, z twierdzenia mamy f(x) = f(x0 ) = g(y 0 ). Stąd dostajemy tezę, gdyż dla x X \ {x 0 } mamy f(x) = f(x). Z twierdzenia dostajemy natychmiast Wniosek Niech f 1,..., f n : X R, gdzie X R i n N będzie rodziną funkcji oraz niech x 0 X. (a) Jeśli f 1,..., f n są funkcjami ciągłymi w punkcie x 0, to max(f 1,..., f n ) oraz min(f 1,..., f n ) są funkcjami ciągłymi w punkcie x 0. (b) Jeśli f 1,..., f n są funkcjami ciągłymi, to max(f 1,..., f n ) oraz min(f 1,..., f n ) są funkcjami ciągłymi. Twierdzenie Funkcje potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i funkcja x x są ciągłe. Ponadto ciągłe są wielomiany i funkcje wymierne. Dowód. Z twierdzenia 6.4.3, wniosku oraz z odpowiednich własności granicy funkcji (patrz wniosek 6.1.9) dostajemy ciągłość funkcji potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych i funkcji x x. Druga część wynika z pierwszej i własności 6.4.5, gdyż wielomiany są sumami skończonej ilości jednomianów, a więc są sumami funkcji ciągłych. Funkcje wymierne zaś są ilorazami wielomianów. Uwzględniając definicję zbioru otwartego w topologii indukowanej dostajemy Twierdzenie (topologiczna charakteryzacja ciągłości). Niech f : X R, gdzie X R. Następujące warunki są równoważne: (a) f jest funkcją ciągłą. (b) dla każdego zbioru otwartego W R, zbiór f 1 (W ) jest otwarty w X ( 16 ). 16 to znaczy f 1 (W ) = X G, gdzie G R jest zbiorem otwartym.

15 6.4. FUNKCJE CIĄGŁE 135 Dowód. (a) (b) Niech W R będzie zbiorem otwartym. Przypomnijmy, że f 1 (W ) = {x X : f(x) W }. Musimy pokazać, że ten zbiór jest otwarty w X. Jeśli W f(x) =, to teza jest oczywista. Załóżmy, że W f(x). Wówczas dla każdego x X takiego, że f(x) W istnieje otoczenie W x W punktu f(x). Zatem z twierdzenia istnieje otoczenie U x R punktu x, że f(x U x ) W x. Połóżmy G = x X, f(x) W Zbiór G jest otwarty, jako suma zbiorów otwartych. Zauważmy, że U x. (6.8) f 1 (W ) = X G. Istotnie, f(x G) = f( x X, f(x) W X U x ) = x X, f(x) W f(x U x ) x X, f(x) W W x W. Zatem X G f 1 (W ). Z drugiej strony dla każdego x f 1 (W ) mamy f(x) W, więc x X U x X G. To daje, że f 1 (W ) X G. Reasumując mamy (6.8), a więc zbiór f 1 (W ) jest otwarty w X, co daje (b). Ad. (b) (a) Weźmy dowolny x 0 X. Niech W będzie dowolnym otoczeniem punktu f(x 0 ). Z (b) mamy, że f 1 (W ) jest zbiorem otwartym w X zawierającym x 0. Zatem istnieje otoczenie U R punktu x 0, że X U f 1 (W ). W konsekwencji f(x U) W i z twierdzenia dostajemy ciągłość funkcji f w punkcie x 0. Z dowolności punktu x 0 mamy ciągłość funkcji f. To kończy dowód. Z powyższego twierdzenia dostajemy natychmiast topologiczną charakteryzację ciągłości funkcji określonej na zbiorze otwartym. Wniosek Niech f : X R, gdzie X R jest zbiorem otwartym. Następujące warunki są równoważne: (a) f jest funkcją ciągłą. (b) dla każdego zbioru otwartego W R, zbiór f 1 (W ) jest otwarty. Wniosek (topologiczna charakteryzacja ciągłości). Niech f : X R, gdzie X R. Następujące warunki są równoważne: (a) f jest funkcją ciągłą. (b) dla każdego zbioru domkniętego Y R, zbiór f 1 (Y ) jest domknięty w X ( 17 ). Dowód. Ad. (a) (b). Weźmy dowolny zbiór domknięty Y R. Wówczas R \ Y jest zbiorem otwartym, więc z twierdzenia mamy, że f 1 (R \ Y ) jest otwarty w X. Ponadto f 1 (Y ) = X \ f 1 (R \ Y ), 17 to znaczy f 1 (Y ) = X D, gdzie D R jest zbiorem domkniętym.

16 136 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ więc f 1 (Y ) jest zbiorem domkniętym w X. Ad. (b) (a). Weźmy dowolny zbiór otwarty W R. Wtedy Y = R \ W jest domknięty, więc f 1 (Y ) jest domknięty w X. Zatem f 1 (W ) = X \ f 1 (Y ) jest zbiorem otwartym w X. Stąd i z twierdzenia dostajemy ciągłość funkcji f. Wniosek Jeśli X, Y R są zbiorami domkniętymi oraz f : X R jest funkcją ciągłą, to zbiór f 1 (Y ) jest domknięty. Dowód. Z wniosku mamy, że f 1 (Y ) jest zbiorem domkniętym, jako domknięty podzbiór zbioru domkniętego X. Z topologicznej charakteryzacji ciągłości (twierdzenie ) dostajemy natychmiast, że ciągłość jest własnością dziedziczną, to znaczy obcięcie funkcji zachowuje tę własność. Wniosek (o obcięciu funkcji ciągłej). Jeśli f : X R, gdzie X R, jest funkcją ciągłą oraz Y X, Y, to obcięcie f Y : Y R jest funkcją ciągłą. 6.5 Ciągłość i spójność Głównym twierdzeniem tego punktu będzie twierdzenie o ciągłym obrazie zbioru spójnego, czyli tak zwana własność Darboux funkcji ciągłych. Udowodnimy najpierw lemat. Lemat Jeśli P jest przedziałem oraz f : P R jest funkcją ciągłą, to zbiór wartości f(p ) jest zbiorem jednoelementowym lub przedziałem. Dowód. Załóżmy, że f(p ) nie jest zbiorem jednoelementowym. Pokażemy, że f(p ) jest przedziałem. W myśl twierdzenia wystarczy pokazać, że f(p ) jest zbiorem spójnym. Przypuśćmy przeciwnie, że f(p ) nie jest spójny. Wtedy istnieją zbiory otwarte D, G R, rozłączne i takie, że Zatem f(p ) = (f(p ) D) (f(p ) G) oraz (f(p ) D) i (f(p ) G). (6.9) P = f 1 (D) f 1 (G), f 1 (D), f 1 (G) oraz f 1 (D) f 1 (G) =. Ponieważ zbiory D, G są otwarte, to z topologicznej charakteryzacji ciągłości mamy, że f 1 (D) i f 1 (G) są zbiorami otwartymi w P. Zatem istnieją zbiory otwarte U, W R, że f 1 (D) = P U oraz f 1 (G) = P W. Niech a, b, a < b będą końcami przedziału P. Wówczas (6.10) a U W oraz b U W. Istotnie, pokażemy że a U W. W przeciwnym razie istnieje otoczenie V R punktu a, że V U W. Wtedy V P oraz V P (P U) (P W ) = f 1 (D) f 1 (G),

17 6.5. CIĄGŁOŚĆ I SPÓJNOŚĆ 137 co wobec (6.9) jest niemożliwe. Analogicznie pokazujemy, że b U W. Zauważmy, że istnieją zbiory otwarte U 1, W 1 R takie, że (6.11) U 1 W 1 = oraz P U 1 = P U, P W 1 = P W. Istotnie, wobec (6.10), mamy przypadki: a, b U; a U i b W ; a W i b U; a, b W. Jeśli a, b U, to biorąc U 1 = U (a, b), W 1 = W, dostajemy P U 1 = P U, P W 1 = P W oraz U 1 P, a więc z (6.9), U 1 W 1 = P U 1 W 1 = (P U) (P W ) =. To daje (6.11) w tym przypadku. Jeśli a U i b W, to biorąc U 1 = U (a, + ), W 1 = W (, b), dostajemy (6.11). Analogicznie rozważamy przypadki a, b W oraz a W i b U. Z (6.9) i (6.11) dostajemy P = (P U 1 ) (P W 1 ), U 1 W 1 =, P U 1 i P W 1 oraz U 1, W 1 są zbiorami otwartymi w R. To przeczy spójności przedziału P i kończy dowód. Twierdzenie (własność Darboux). Niech X R oraz f : X R będzie funkcją ciągłą. Jeśli Y X i Y jest zbiorem spójnym, to obraz f(y ) jest zbiorem spójnym. Dowód. Z twierdzenia mamy, że Y jest albo zbiorem jednoelementowym albo jest przedziałem. Jeśli Y jest jednoelementowy, to f(y ) jest zbiorem jednoelementowym, a więc zbiorem spójnym. Jeśli Y jest przedziałem, to teza wynika z twierdzenia o obcięciu funkcji ciągłej (wniosek ) i z lematu Z lematu dostajemy inne sformułowanie własności Darboux. Wniosek (własność Darboux). Niech P będzie przedziałem oraz f : P R funkcją ciągłą. Niech a, b P, a < b oraz c R. (a) Jeśli f(a) < c < f(b), to istnieje x P taki, że a < x < b oraz f(x) = c. (b) Jeśli f(b) < c < f(a), to istnieje x P taki, że a < x < b oraz f(x) = c. Dowód. Ad. (a) Ponieważ f [a,b] : [a, b] R jest funkcją ciągłą, która nie jest funkcją stałą (bo f(a) < f(b)), więc z lematu mamy, że f([a, b]) jest przedziałem. Zatem c [f(a), f(b)] f([a, b]), więc istnieje x [a, b], że f(x) = c. Ponieważ c f(a) i c f(b), więc x a i x b. To daje (a). Część (b) dowodzimy analogicznie jak część (a). Z wniosku dostajemy natychmiast Wniosek Jeśli f : [a, b] R jest funkcją ciągłą taką, że f(a) < 0 < f(b) lub f(a) > 0 > f(b), to istnieje x 0 (a, b), że f(x 0 ) = 0. Z powyższego wniosku dostajemy natychmiast Wniosek Jeśli f : R R jest wielomianem nieparzystego stopnia, to istnieje x 0 R, że f(x 0 ) = 0.

18 138 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ Twierdzenie Jeśli P jest przedziałem i f : P R funkcją różnowartościową i ciągłą, to f jest funkcją ściśle monotoniczną. Dowód. Rozważmy najpierw przypadek, gdy P = [a, b]. Ponieważ f jest funkcją różnowartościową, więc f(a) f(b). Załóżmy najpierw, że f(a) < f(b). Pokażemy, że wtedy f jest funkcją ściśle rosnącą. Zauważmy najpierw, że (6.1) f(a) < f(x) dla x (a, b]. Istotnie, weźmy dowolny x (a, b]. Jeśli f(x) f(a), to wobec różnowartościowości funkcji f mamy f(x) < f(a), więc f(x) < f(a) < f(b). Stąd i z własności Darboux istnieje x (x, b), że f(x ) = f(a), co przeczy różnowartościowości f. Reasumując mamy (6.1). Przypuśćmy teraz przeciwnie, że f nie jest funkcją ściśle rosnącą. Wtedy istnieją x 1, x [a, b], że x 1 < x oraz f(x 1 ) f(x ). Z różnowartościowości f mamy więc f(x 1 ) > f(x ). Stąd i z (6.1) wynika, że f(a) < f(x ) < f(x 1 ). Zatem z własności Darboux, istnieje x (a, x 1 ) takie, że f( x) = f(x ) i oczywiście x x. To jest sprzeczne z różnowartościowością funkcji f. Otrzymana sprzeczność kończy dowód w przypadku, gdy f(a) < f(b). Przypadek f(a) > f(b) rozważa się analogicznie jak powyżej udowodniony. Niech teraz P będzie dowolnym przedziałem. Przypuśćmy przeciwnie, że f nie jest funkcją ściśle monotoniczną. Wtedy istnieją x 1, x, x 3, x 4 P, że x 1 < x i x 3 < x 4 oraz f(x 1 ) f(x ) i f(x 3 ) f(x 4 ). Oznaczając a = min{x 1, x, x 3, x 4 } oraz b = max{x 1, x, x 3, x 4 } mamy [a, b ] P. Ponadto f [a,b ] : [a, b ] R jest funkcją różnowartościową i ciągłą, która nie jest ściśle monotoniczna. To przeczy przypadkowi udowodnionemu na początku i kończy dowód. Twierdzenie Jeśli P, Q są przedziałami oraz f : P Q jest bijekcją monotoniczną, to f jest funkcją ciągłą. Dowód. Załóżmy najpierw, że f jest funkcją rosnącą. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje x 0 P w którym funkcja f nie jest ciągła. Ponieważ f jest funkcją rosnącą, to f(x 0 ) < x x + 0 f(x) lub x x 0 f(x) < f(x 0 ), przy czym odpowiednie granice jednostronne istnieją i są skończone (jeśli x 0 jest końcem przedziału, to można mówić o jednej z powyższych granic). Rozważmy przypadek, gdy f(x 0 ) < f(x). Oznaczmy a = f(x) i niech f(x 0 ) < b < a. Ponieważ funkcja f x x + 0 x x + 0 jest rosnąca, to dla x P mamy a < f(x) gdy x > x 0 i f(x) f(x 0 ) < b gdy x x 0. Stąd i z założenia, że f jest bijekcją, mamy Q = f(p ) = (f(p ) (, b)) (f(p ) (a, + )) = (Q (, b)) (Q (a, + )), przy czym Q (, b) i Q (a, + ). Dostaliśmy więc sprzeczność ze spójnością przedziału Q. Przypadek f(x) < f(x 0 ) rozważamy analogicznie. x x 0 W przypadku funkcji malejącej dowód przebiega analogicznie. Z twierdzenia dostajemy natychmiast

19 6.6. RODZAJE NIECIĄGŁOŚCI 139 Wniosek Każda funkcja f : (a, b) R różnowartościowa i spełniająca własność Darboux (tzn. dla każdego przedziału P (a, b), obraz f(p ) jest przedziałem) jest ciągła. 6.6 Rodzaje nieciągłości Definicja nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju. Niech f : X R, gdzie X R, Punkt x 0 X w którym funkcja f nie jest ciągła nazywamy punktem nieciągłości funkcji f. Mówimy, że f ma nieciągłość pierwszego rodzaju w punkcie x 0, gdy x 0 jest punktem nieciągłości funkcji f oraz f ma skończone granice jednostronne w punkcie x 0. Mówimy, że f ma nieciągłość drugiego rodzaju w punkcie x 0, gdy x 0 jest punktem nieciągłości funkcji f oraz co najmniej jedna z granic jednostronnych funkcji f w punkcie x nie istnieje lub jest nieskończona. Udowodnimy, że każda funkcja monotoniczna w przedziale może mieć tylko nieciągłości pierwszego rodzaju. Ponadto zbiór punktów nieciągłości takiej funkcji może być co najwyżej przeliczalny. Zacznijmy od lematu. Lemat Niech f : (a, b) R oraz niech x 1, x (a, b) będą takie, że x 1 < x. (a) Jeśli f jest funkcją rosnącą, to (6.13) x x 1 f(x) f(x 1 ) x x + 1 (b) Jeśli f jest funkcją malejącą, to (6.14) x x 1 f(x) f(x 1 ) x x + 1 f(x) x x f(x) x x f(x) f(x ) x x + f(x) f(x ) x x + f(x). f(x). Dowód. Ad. (a) Ponieważ funkcja f jest rosnąca, więc dla x (a, b) takich, że x < x 1 mamy f(x) f(x 1 ). Zatem z twierdzenia o granicach dwóch funkcji i twierdzenia o granicach jednostronnych funkcji monotonicznych 6..3 dostajemy f(x) f(x 1 ). x x 1 Analogicznie dowodzimy x x + 1 f(x) f(x 1 ), x x Ponadto, biorąc dowolny x 1 < x < x dostajemy x x + 1 f(x). Reasumując mamy (6.13). x x Analogicznie dowodzimy (b) ( 18 ). f(x) f(x ) oraz x x + f(x) f(x ). f(x) f(x ) oraz f(x ) Wniosek Funkcje monotoniczne w przedziale otwartym nie mają nieciągłości drugiego rodzaju w żadnym punkcie. 18 Część (b) można wywnioskować z (a), jeśli bowiem f jest funkcją malejącą, to funkcja g(x) = f(x) dla x (a, b) jest rosnąca, więc (6.14) dostajemy natychmiast z (6.13).

20 140 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ Dowód. Niech f : (a, b) R bądzie funkcją rosnącą oraz x 0 (a, b). Weźmy dowolne x, x (a, b) takie, że x < x 0 < x. Z założenia, że f jest funkcją rosnącą i z lematu mamy, że f(x ) x x 0 f(x) f(x ) oraz f(x ) x x + 0 f(x) f(x ). W konsekwencji granice jednostronne funkcji f w punkcie x 0 są skończone, więc f może w punkcie x 0 być funkcją ciągłą lub mieć nieciągłość pierwszego rodzaju. Analogicznie rozważamy przypadek, gdy f jest funkcją malejącą. Wniosek Jeśli f : (a, b) R jest funkcją monotoniczną, to zbiór punktów nieciągłości funkcji f jest co najwyżej przeliczalny. Dowód. Rozważmy przypadek, gdy f jest funkcją rosnącą. Niech Z (a, b) będzie zbiorem punktów nieciągłości funkcji f. Niech dla każdego z Z, a z = f(x) oraz x z f(x). W myśl lematu i związku ciągłości z granicą (patrz twierdzenia b z = x z + 6.., 6.4.3) mamy a z < b z dla z Z. Ponadto, wobec lematu dla z, w Z takich, że z < w mamy b z a w i w konsekwencji Z = {(a z, b z ) : z Z} jest rodziną przedziałów parami rozłącznych. Stąd i z wniosku.6.16 dostajemy, że Z jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Oczywiście Z jest równoliczny z Z. To daje, że Z jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Analogicznie rozważamy przypadek, gdy f jest funkcją malejącą. Ciągłość lewostronna i prawostronna W analizie rozważa się pojęcie ciągłości lewostronnej i prawostronnej. Definicja ciągłości lewostronnej i prawostronnej. Niech f : (a, b) R oraz x 0 (a, b). Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0, gdy f(x) = f(x 0 ). Mówimy, że x x 0 funkcja f jest lewostronnie ciągła, gdy jest lewostronnie ciągła w każdym punkcie zbioru (a, b). Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x 0, gdy f(x) = f(x 0 ). Mówimy, że x x + 0 funkcja f jest prawostronnie ciągła, gdy jest prawostronnie ciągła w każdym punkcie zbioru (a, b). Uwaga Łatwo sprawdzamy, że funkcja f : (a, b) R jest ciągła w punkcie x 0 (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy jest lewostronnie i prawostronnie ciągła w punkcie x 0. Analogicznie funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest lewostronnie i prawostronnie ciągła. Uwaga W analizie rozważa się również lewostronną nieciągłość pierwszego i drugiego rodzaju. Mianowicie mówimy, że funkcja f : (a, b) R ma w punkcie x 0 (a, b) lewostronną nieciągłość pierwszego rodzaju, gdy jest lewostronnie nieciągła w punkcie x 0 oraz f(x) istnieje i jest skończona. Jeśli granica x x 0 x x 0 f(x) nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy o lewostronnej nieciągłości drugiego rodzaju. Analogicznie wprowadza się dwa rodzaje prawostronnej nieciągłości. Półciągłość W analizie rozważa się funkcje półciągłe z góry i półciągłe z dołu. Definicja granicy górnej i dolnej funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz niech x 0 R będzie punktem skupienia zbioru X.

21 6.6. RODZAJE NIECIĄGŁOŚCI 141 Granicą dolną funkcji f w punkcie x 0 nazywamy element g R określony wzorem g = sup{inf{f(x) : x X 0 < x x 0 < δ} : δ > 0}, który oznaczamy inf f(x). Granicą górną funkcji f w punkcie x 0 nazywamy element g R określony wzorem który oznaczamy sup g = inf{sup{f(x) : x X 0 < x x 0 < δ} : δ > 0}, f(x). Uwaga Niech f : X R, X R oraz x 0 R będzie punktem skupienia zbioru X. Z definicji wynika, że granice dolna i górna funkcji f w punkcie x 0 istnieją. Ponadto funkcja f ma granicę g R w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy g = inf f(x) = sup f(x). Uwaga Niech f : X R, X R oraz x 0 R będzie punktem skupienia zbioru X. Niech E będzie zbiorem wszystkich elementów q R takich, że dla pewnego ciągu (x n ) n=1 X \ {x 0 } takiego, że x n = x 0, zachodzi q = f(x n). Można pokazać, że n n inf f(x) = inf E, sup f(x) = sup E. Definicja funkcji półciągłej z dołu i z góry. Niech f : X R, X R. Mówimy, że funkcja f jest półciągła z dołu w punkcie x 0 X, gdy x 0 jest punktem izolowanym zbioru X lub x 0 jest punktem skupienia zbioru X i inf f(x) f(x 0 ). Mówimy, że funkcja f jest półciągła z dołu, gdy f jest półciągła z dołu w każdym punkcie x X. Mówimy, że funkcja f jest półciągła z góry w punkcie x 0 X, gdy x 0 jest punktem izolowanym zbioru X lub x 0 jest punktem skupienia zbioru X i sup f(x) f(x 0 ). Mówimy, że funkcja f jest półciągła z góry, gdy f jest półciągła z dołu w każdym punkcie x X. Uwaga Niech f : X R, gdzie X R. Z definicji granicy dolnej i górnej funkcji dostajemy: (a) Funkcja f jest półciągła z dołu w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A < f(x 0 ) istnieje δ > 0 takie, że dla każdego x X, x x 0 < δ zachodzi A < f(x). W szczególności funkcja f jest półciągła z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A R zbiór {x X : f(x) > A} jest otwarty w X. (b) Funkcja f jest półciągła z góry w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego B > f(x 0 ) istnieje δ > 0 takie, że dla każdego x X, x x 0 < δ zachodzi B > f(x). W szczególności funkcja f jest półciągła z góry wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego B R zbiór {x X : f(x) < B} jest otwarty w X. Uwaga Niech f : X R, X R. Wówczas funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy w punkcie x 0 jest półciągła z dołu i z góry.

22 14 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ 6.7 Jednostajna ciągłość i zwartość Definicja funkcji jednostajnie ciągłej. Mówimy, że funkcja f : X R, gdzie X R, jest jednostajnie ciągła, gdy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, że dla dowolnych x 1, x X takich, że x 1 x < δ zachodzi f(x 1 ) f(x ) < ε. Wprost z definicji mamy Własność Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła. Twierdzenie (warunek Heinego ciągłości jednostajnej). Niech f : X R, gdzie X R. Wówczas następujące warunki są równoważne: (a) f jest funkcją jednostajnie ciągłą, (b) dla dowolnych ciągów (x n ) n=1, (x n) n=1 X takich, że n (x n x n) = 0 zachodzi (6.15) n (f(x n ) f(x n)) = 0. Dowód. (a) (b). Niech ciągi (x n ) n=1, (x n) n=1 X będą takie, że n (x n x n) = 0. Pokażemy, że zachodzi (6.15). Weźmy dowolne ε > 0 i niech wobec jednostajnej ciągłości funkcji f, δ > 0 będzie takie, że dla dowolnych x, x X spełniających x x < δ, zachodzi f(x) f(x ) < ε. Ponieważ (x n x n n) = 0, to istnieje N takie, że dla n > N zachodzi x n x n < δ. Zatem dla n > N mamy f(x n ) f(x n) < ε. To daje (6.15). (b) (a). Przypuśćmy przeciwnie, że funkcja f nie jest jednostajnie ciągła. Wówczas istnieje ε 0 > 0 takie, że dla każdego δ > 0 istnieją x, x X dla których x x < δ i f(x) f(x ) ε 0. W szczególności dla każdego n N oraz δ = 1 istnieją x n n, x n X takie, że x n x n < 1 n i f(x n ) f(x n) ε 0 ( 19 ). W konsekwencji n (x n x n) = 0 lecz (6.15) nie zachodzi. To przeczy (b) i kończy dowód. Przy dodatkowym założeniu zwartości dziedziny funkcji zachodzi twierdzenie odwrotne do własności Twierdzenie (o funkcji ciągłej na zbiorze zwartym). Jeśli funkcja f : X R, gdzie X R, jest ciągła i X jest zbiorem zwartym, to funkcja f jest jednostajnie ciągła. Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że funkcja f nie jest jednostajnie ciągła. Wówczas z twierdzenia 6.7., istnieją ciągi (x n ) n=1, (x n) n=1 X takie, że (x n x n n) = 0 oraz granica [f(x n ) f(x n n)] nie istnieje lub jest różna od 0. Zatem, wybierając podciągi, możemy założyć, że (6.16) n (x n x n) = 0 oraz n [f(x n ) f(x n)] = g, gdzie g 0.

23 6.7. JEDNOSTAJNA CIĄGŁOŚĆ I ZWARTOŚĆ 143 Ponieważ X jest zbiorem zwartym, więc istnieje podciąg (x nk ) k=1 ciągu (x n ) n=1, zbieżny do pewnego x 0 X. Wówczas mamy k x n k = x 0, gdyż (x nk x n k k ) = (x n x k n) = 0. Stąd i z ciągłości funkcji f w punkcie x 0 mamy f(x n k ) = f(x 0 ) = f(x n k k k ), więc [f(x n k ) f(x n k k )] = 0. To jest jednak sprzeczne z drugą częścią (6.16). Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Wniosek Jeśli f : [a, + ) R jest funkcją ciągłą posiadającą skończoną granicę w +, to f jest funkcją jednostajnie ciągłą. że Dowód. Niech g = f(x). Weźmy dowolne ε > 0. Wtedy istnieje η R, η > a, x + (6.17) dla każdego x η zachodzi f(x) g < ε 4. Ponieważ przedział domknięty jest zbiorem zwartym, więc w myśl twierdzenia 6.7.3, obcięcie f [a,η] : [a, η] R jest funkcją jednostajnie ciągłą. Zatem istnieje δ > 0, że (6.18) dla każdych x, x [a, η] takich, że x x < δ zachodzi f(x ) f(x ) < ε. Weźmy dowolne x 1, x [a, + ) takie, że x 1 x < δ. Jeśli x 1, x [a, η], to z (6.18) mamy (6.19) f(x 1 ) f(x ) < ε < ε. Jeśli x 1, x η, to z (6.17) wynika, że (6.0) f(x 1 ) f(x ) f(x 1 ) g + g f(x ) < ε 4 + ε 4 = ε < ε. Jeśli x 1 η x, to x 1 [a, η], x [η, + ) i x 1 η < δ, więc z (6.18) i (6.0) dostajemy (6.1) f(x 1 ) f(x ) f(x 1 ) f(η) + f(η) f(x ) < ε + ε = ε. Analogicznie pokazujemy (6.1), gdy x η x 1, Reasumując, z (6.19), (6.0) i (6.1) dostajemy, że f jest funkcją jednostajnie ciągłą. Uwaga Analogicznie jak wniosku dowodzimy następujących własności: (a) Jeśli f : (, a] R jest funkcją ciągłą posiadającą skończoną granicę w, to f jest funkcją jednostajnie ciągłą. (b) Jeśli f : R R jest funkcją ciągłą posiadającą skończone granice w i w +, to f jest funkcją jednostajnie ciągłą.

24 144 ROZDZIAŁ 6. CIĄGŁOŚĆ Udowodnimy kilka związków między ciągłością funkcji i zwartością dziedziny. Twierdzenie Niech X R, X będzie zbiorem zwartym. Jeśli f : X R jest funkcją ciągłą, to f(x) jest zbiorem zwartym. Dowód. Weźmy dowolny ciąg (y n ) n=1 f(x). Niech (x n ) n=1 X będzie ciągiem takim, że f(x n ) = y n dla n N ( 0 ). Ponieważ zbiór X jest zwarty, więc istnieje podciąg (x nk ) k=1 ciągu (x n ) n=1 zbieżny do pewnego punktu x 0 X. Stąd i z ciągłości funkcji f dostajemy y n k = f(x nk ) = f(x 0 ) f(x). k k Reasumując zbiór f(x) jest zwarty. Z twierdzenia i własności zbiorów zwartych (patrz wniosek 4.9.) dostajemy natychmiast Wniosek Niech X R, X będzie zbiorem zwartym. Jeśli f : X R jest funkcją ciągłą, to istnieją min f(x) oraz max f(x). Inaczej funkcją ciągła na zbiorze zwartym osiąga wartość najmniejszą i największą. Ponieważ każdy przedział domknięty jest zbiorem zwartym (jako zbiór domknięty i ograniczony), więc z wniosku wynika Wniosek Jeśli f : [a, b] R jest funkcją ciągłą, to istnieje min f([a, b]) oraz max f([a, b]). Definicja homeomorfizmu. Niech X, Y R, X, Y. Funkcję f : X Y nazywamy homeomorfizmem, gdy f jest bijekcją ciągłą i f 1 : Y X jest funkcją ciągłą. Twierdzenie Niech X, Y R, X, Y oraz niech f : X Y będzie bijekcją. Jeśli f jest funkcją ciągłą oraz X jest zbiorem zwartym, to f jest homeomorfizmem. Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że f 1 : Y X nie jest ciągła. Wówczas istnieje punkt y 0, w którym f 1 jest nieciągła. Zatem y 0 jest punktem skupienia zbioru Y oraz istnieje ciąg (y n ) n=1 Y taki, że n y n = y 0 oraz n f 1 (y n ) nie istnieje lub jest różna od x 0 = f 1 (y 0 ). Oznaczmy x n = f 1 (y n ) dla n N. W obu przypadkach po ewentualnym wyborze podciągu można założyć, że n x n = x, gdzie x R, x x 0. Ponieważ zbiór X jest zwarty, więc x X. Z ciągłości funkcji f w punkcie x mamy f(x ) = n f(x n ) = n f(f 1 (y n )) = n y n = y 0, czyli f(x ) = y 0. To jest jednak niemożliwe, gdyż f jest funkcją różnowartościową, więc f(x ) f(x 0 ) = y 0. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Definicja warunku Lipschitza. Niech f : X R, gdzie X R. Mówimy, że funkcja f spełnia warunek Lipschitza, gdy istnieje stała M R taka, że dla każdych x, x X zachodzi f(x) f(x ) M x x. 0 Istnienie takiego ciągu (x n ) n=1 wynika z aksjomatu wyboru. Mianowicie biorąc rodziną zbiorów niepustych i rozłącznych f 1 (y n ) {n}, n N, w myśl aksjomatu wyboru istnieje zbiór E mający dokładnie jeden punkt wspólny z każdym zbiorem f 1 (y n ) {n}, n N. Oznaczając przez (x n, n), jedyny punkt wspólny zbioru E i f 1 (y n ) {n} dostajemy szukany ciąg (x n ) n=1.

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)

Bardziej szczegółowo

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

4. Granica i ciągłość funkcji

4. Granica i ciągłość funkcji 4. Granica i ciągłość funkcji W niniejszym rozdziale wprowadzamy pojęcie granicy funkcji, definiujemy funkcje ciągłe i omawiamy ich podstawowe własności. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

Bardziej szczegółowo

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;

Bardziej szczegółowo

Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :

Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. : Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. 1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej

Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Stanisław Spodzieja Łódź 2004/2005 http://www.math.uni.lodz.pl/ kfairr/analiza/ Wstęp Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Funkcje elementarne. Matematyka 1 Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje

Bardziej szczegółowo

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy...

Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy... Spis treści 1 Macierze 3 1.1 Macierze. Działania na macierzach.............................. 3 1.2 Wyznacznik.......................................... 6 1.3 Macierz odwrotna......................................

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4 Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. 7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Ciągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 22 maja 2013 1 Podstawowe definicje i fakty 2 funkcji w punkcie Definicja Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji 27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8: GRANICE I CIAGŁOŚĆ

WYKŁAD 8: GRANICE I CIAGŁOŚĆ MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI WYKŁAD 8: GRANICE I CIAGŁOŚĆ KOGNITYWISTYKA UAM, 2016 2017 JERZY POGONOWSKI Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Na dzisiejszym wykładzie (oraz trzech

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji

Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2

Bardziej szczegółowo

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden

Bardziej szczegółowo

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf

f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x oraz D f(x) = lim inf 9. Różniczkowanie. Jeśli f jest funkcją rzeczywistą, to granice D + f(x) = lim sup t x + f(t) f(x), D f(x) = lim sup t x t x f(t) f(x), t x f(t) f(x) f(t) f(x) D + f(x) = lim inf oraz D f(x) = lim inf

Bardziej szczegółowo

Funkcje addytywne gorszego sortu

Funkcje addytywne gorszego sortu Rafał Filipów Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Definicja funkcji addytywnych Definicja Funkcja f jest funkcją addytywną, gdy spełnia równanie funkcyjne Cauchy ego tzn. gdy dla wszystkich x, y R.

Bardziej szczegółowo

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze. 1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.

Bardziej szczegółowo

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5 Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski 1 Spis treści 1 Zbiory liczbowe 5 1.1 Krótka informacja o zbiorach liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych 5 1.1.1 Liczby naturalne.........................

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera 1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie Hilberta

1 Przestrzenie Hilberta M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo