5. Relacja prawostronnie jednoznaczna (jednoznaczna, inaczej: jest funkcją), jeżeli

Transkrypt

1 ELJE EF. elacją w produkcie podzbiór n. n (relacją n-argumentową) zwam dowoln EF. elację zbioru. EF. elację zwam relacją międz elementami zbioru a elementami 2 zwam relacją w () zbiorze. EF. la dowolnej 2-argumentowej określam zbior. ziedzi relacji 2. Przeciwdziedzi relacji * 4. Pole relacji P 5. elacja prawostronnie jednozcz (jednozcz iczej jest unkcją) jeżeli z z z Jeżeli jest unkcją to zwam zbiorem jej argumentów zaś * zbiorem jej wartości. Jeżeli argumentowi unkcja przporządkowuje wartość to mówim że jest wartością unkcji dla argumentu i zapisujem to w postaci (zamiast zwkle użwam ozczenia ). 6. elacja jest lewostronnie jednozcz (odwrotnie jednozcz) jeżeli z z z 7. elacja która jest lewostronnie i prawostronnie jednozcz jest unkcją wzajemnie jednozczną

2 LGE ELJI Niech U. Na relacjach określam stępujące działania opełopełne Iloczn uma tak jak dla zbiorów elacja odwrot do relacji Mam oraz uperpozcja (złożenie) relacji i z z z PW algebr relacji

3 YPY ELJI W ZIOZE Niech. Notacja Piszem zamiast Piszem. zamiast n n EF. elacja identczności w zbiorze I I Nazwa tpu einicja wierdzenie ( ) Zwrot metrcz I Przechodnia ( z ) z z Przeciwzwrot ( ) Przeciwsmetrcz ( ) ntsmetrcz ( ) pój łabospój I I I 2 2

4 FUNKJE EF. Funkcją zwam dowoln podzbiór taki że dla dowolnch i Jeżeli to argument unkcji wartość unkcji. Zamiast. piszem ziedzi unkcji (zbiór argumentów) Przeciwdziedzi unkcji (zbiór wartości) W EF. Jeżeli i W Y to mówim że jest unkcją określoną zbiorze i o wartościach w zbiorze Y. Piszem w zbiór Y. Y. Mówim też że unkcja przekształca zbiór odzaje unkcji. Y jest (surjekcja) jeżeli W Y. Piszem Y Fakt W 2. Y jest różnowartościowa (injekcja) jeżeli Piszem Y 3. Y jest wzajemnie jednozcz (bijekcja) jeżeli Y. Fakt la unkcji różnowartościowej. W

5 Złożenie unkcji EF. Złożeniem (superpozcją) unkcji i g zwam unkcję stępująco g z W z g g zdeiniowaną Fakt. g g 2. z g g g 3. g g g z Własności. Jeżeli i g są unkcjami to g jest unkcją. 2. g i * g * g 3. Jeżeli i g to g. 4. Jeżeli i g to g. Jeżeli unkcje i g są różnowartościowe to g jest różnowartościowa. 5. Jeżeli i g to g. 6. Jeżeli i g to g. 7. Jeżeli to.

6 Funkcja odwrot EF. Jeżeli jest unkcja różnowartościową to zbiór jest też unkcją (różnowartościową). Funkcję tę zwam unkcją odwrotną unkcji i ozczam. Fakt. W W 2. la dowolnch i W czli i 3. Funkcje wzajemnie odwrotne są smetrczne względem prostej =.

7 OZY WYZNZONE PZEZ FUNKJĘ Y Y Y () Własności obrazu wzczonego przez unkcję 2 - różnowartościowa 3 - różnowartościowa 4

8 PZEIWOZY WYZNZONE PZEZ FUNKJĘ Y Y Y Własności przeciwobrazu różnowartościowa

9 ELJ ÓWNOWŻNOŚI Na wielkie zczenie tch relacji w różnch dziedzich matematki pierwsz zwrócił uwagę G.Frege (8884 r.) elację zwam relacją równoważności w zbiorze jeżeli jest relacją zwrotną smetrczną i przechodnią tzn. jeżeli spełnione są stępujące warunki 2 3 ( z ) z z Niech będzie dowolną relacją równoważności w i czli. Zbior dla zwam klasami równoważności w lub klasami abstrakcji relacji w. Niech będzie dowolną relacją równoważności w zbiorze to 2 3 Zasada abstrakcji (zasada identikacji elementów równoważnch) owol relacja równoważności w zbiorze ustala podział tego zbioru rozłączne i niepuste podzbior mianowicie klas równoważności tej relacji w taki sposób że dwa element zbioru leżą do tej samej klas równoważności wted i tlko wted gd (). Prz przejściu od elementów zbioru do klas równoważności relacja równoważności zostaje zamienio relację równości. Z metod identikacji elementów równoważnch korzsta się w matematce bardzo często szczególnie wted gd zachodzi potrzeba wprowadzenia nowch tworów matematcznch.

10 ELJE POZĄKUJĄE. elacja porządkująca (częściowo-porządkująca) elację zwam porządkującą (częściowo porządkującą) zbiór jeżeli jest zwrot przechodnia i antsmetrcz czli jeżeli spełnia stępujące warunki a) b) ( z z ) z c) ( ) 2. elacja quasi-porządkująca elację zwam quasi-porządkującą zbiór jeżeli jest zwrot i przechodnia czli a) b) z z z 3. elacja liniowo-porządkująca elację dwuczłonową w porządkującą zbiór zwam liniowo-porządkującą jeżeli spełnia warunek spójności