Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
|
|
- Roman Rosiński
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest średnia oceny z ćwiczeń(materiał wykładów 1-5) i z egzaminu (materiał wykładów 6-10) obecność na wykładzie może podwyższyć ocenę z egzaminu (10 obecności (w tym ostatnie 5)- 40 punktów, 9 obecności (w tym ostatnie 5) - 30 punktów, 8 obecności (w tym ostatnie 5)- 20 punktów, 7 obecności (w tym ostatnie 5) - 10 punktów. Skala: 0-50 ndst, dst, dst+, db, db+, bdb.
2 Plan wykładu 1. Funkcje elementarne, własności funkcji, złożenia funkcji, funkcja odwrotna. 2. Ciagi i ich granice. 3. Granica funkcji, ciagłość funkcji. 4. Pochodna funkcji i jej zastosowania. 5. Całka nieoznaczona i oznaczona Riemanna. 6. Liczby zespolone i elementy algebry liniowej. 7. Rachunek różniczkowy i całka Riemanna w R n. 8. Równania różniczkowe zwyczajne. 9. Rachunek prawdopodobieństwa. 10. Statystyka.
3 Zacznijmy od powtórki...
4 Elelementy rachunku zdań. Alternatywa. Zdanie ma wartość logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jest fałszywe. Jeśli p i q sa zdaniami, to p q nazywamy alternatywa zdań p, q, czytamy: p lub q. Wartość logiczna zdania p q zależy od wartości logicznych zdań p i q następujaco: p q p q
5 Elelementy rachunku zdań. Koniunkcja. Zdanie ma wartość logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jest fałszywe. Jeśli p i q sa zdaniami, to p q nazywamy koniunkcja zdań p, q, czytamy: p i q. Wartość logiczna zdania p q zależy od wartości logicznych zdań p i q następujaco: p q p q
6 Elelementy rachunku zdań. Implikacja. Zdanie ma wartość logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jest fałszywe. Jeśli p i q sa zdaniami, to p q nazywamy implikacja zdań p(poprzednik implikacji), q(następnik implikacji), czytamy: jeżeli p, to q. Wartość logiczna zdania p q zależy od wartości logicznych zdań p i q następujaco: p q p q
7 Elelementy rachunku zdań. Równoważność. Zdanie ma wartość logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jest fałszywe. Jeśli p i q sa zdaniami, to p q nazywamy równoważnościa zdań p, q, czytamy: p wtedy i tylko wtedy, gdy q. Wartość logiczna zdania p q zależy od wartości logicznych zdań p i q następujaco: p q p q
8 Elelementy rachunku zdań. Negacja. Zdanie ma wartość logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jest fałszywe. Jeśli p jest zdaniem, to p nazywamy negacja zdania p, czytamy: nieprawda, że p. Wartość logiczna zdania p zależy od wartości logicznej zdania p następujaco: p p
9 Elementy rachunku zdań. Tautologie. Tautologie, to zdania złożone, których wartość logiczna wynosi zawsze 1, niezależnie od wartości logicznych zdań, z których sa złożone. Przykłady tautologii [ (p q)] [( p) ( q)] [ (p q)] [( p) ( q)] [ (p q)] [p q] [p q] [(p q) (q p)] [p q] [( q) ( p)]
10 Kwantyfikatory x X φ(x), x X φ(x) czytamy: dla każdego x ze zbioru X zachodzi φ(x). x X φ(x), x X φ(x) czytamy: istnieje taki x ze zbioru X, że zachodzi φ(x). Przykłady praw logicznych dotyczacych kwantyfikatorów x X φ(x) x X φ(x) x X φ(x) x X φ(x)
11 Elementy rachunku zbiorów x A czytamy: x należy do zbioru A, x jest elementem zbioru A. - zbiór pusty. A B: A jest podzbiorem zbioru B, czyli x x A x B. Niech X będzie pewna przestrzenia, A, B X, suma zbiorów: A B = {x X; x A x B}, iloczyn(przekrój, część wspólna) zbiorów: A B = {x X; x A x B}, różnica zbiorów: A \ B = {x X; x A x / B}, dopełnienie zbioru: A = X \ A, iloczyn kartezjański zbiorów: A B = {(x, y); x A y B}, zbiór potęgowy: P(A) = 2 A = {B X; B A}.
12 Oznaczenia N = {1, 2, 3,...} zbiór liczb naturalnych, N 0 = {0, 1, 2, 3,...} zbiór liczb naturalnych z zerem, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} zbiór liczb całkowitych, Q = { p q ; p Z, q N} zbiór liczb wymiernych, R zbiór liczb rzeczywistych, C zbiór liczb zespolonych.
13 Funkcje. Podstawowe pojęcia. f : X Y nazwa funkcji dziedzina przeciwdziedzina f (X) = {f (x) Y ; x X} zbiór wartości funkcji. (f (X) Y ). Funkcja f : X Y jest różnowartościowa (injekcja), gdy x,y X x y f (x) f (y). Piszemy f : X 1 1 Y. Funkcja f : X Y jest na (surjekcja), gdy f (X) = Y. Piszemy f : X na Y. Funkcja f : X Y jest bijekcja, gdy jest różnowartościowa i na.
14 Monotoniczność Niech X R. Funkcja f : X R jest (silnie) rosnaca w zbiorze A X, gdy x,y A x < y f (x) < f (y). Niech X R. Funkcja f : X R jest słabo rosnaca (niemalejaca) w zbiorze A X, gdy x,y A x < y f (x) f (y). Niech X R. Funkcja f : X R jest (silnie) malejaca w zbiorze A X, gdy x,y A x < y f (x) > f (y). Niech X R. Funkcja f : X R jest słabo malejaca (nierosnaca) w zbiorze A X, gdy x,y A x < y f (x) f (y).
15 Wypukłość/wklęsłość Funkcja f : (a, b) R jest wypukła, gdy x,y (a,b) λ [0,1] f ((1 λ)x + λy) (1 λ)f (x) + λf (y). Funkcja f : (a, b) R jest wklęsła, gdy x,y (a,b) λ [0,1] f ((1 λ)x + λy) (1 λ)f (x) + λf (y).
16 Funkcja wypukła/wklęsła
17 I jeszcze kilka własności Niech D R i niech f : D R. Mówimy, że f jest parzysta, gdy x D x D f (x) = f ( x). Mówimy, że f jest nieparzysta, gdy x D x D f ( x) = f (x). Mówimy, że f jest okresowa o okresie T 0, gdy x D x + T D f (x) = f (x + T ).
18 I jeszcze kilka własności Niech D R i niech f : D R. Mówimy, że f jest parzysta, gdy x D x D f (x) = f ( x). Mówimy, że f jest nieparzysta, gdy x D x D f ( x) = f (x). Mówimy, że f jest okresowa o okresie T 0, gdy x D x + T D f (x) = f (x + T ).
19 I jeszcze kilka własności Niech D R i niech f : D R. Mówimy, że f jest parzysta, gdy x D x D f (x) = f ( x). Mówimy, że f jest nieparzysta, gdy x D x D f ( x) = f (x). Mówimy, że f jest okresowa o okresie T 0, gdy x D x + T D f (x) = f (x + T ).
20 I jeszcze kilka własności Niech D R i niech f : D R. Mówimy, że f jest parzysta, gdy x D x D f (x) = f ( x). Mówimy, że f jest nieparzysta, gdy x D x D f ( x) = f (x). Mówimy, że f jest okresowa o okresie T 0, gdy x D x + T D f (x) = f (x + T ).
21 Funkcja parzysta
22 Funkcja nieparzysta
23 Funkcja okresowa
24 Złożenie funkcji definicja złożenia funkcji Niech dane będa odwzorowania f : X Y i g : Y Z. Odwzorowanie g f : X Z dane wzorem g f (x) = g(f (x)) nazywamy złożeniem (superpozycja) odwzorowań f i g. Funkcja f jest funkcja wewnętrzna, a g zewnętrzna tego złożenia. Przykład 1 Niech f (x) = sin x, a g(x) = x 2 + 3x 5. Wtedy g f (x) = g(sin x) = sin 2 x + 3 sin x 5, f g(x) = f (x 2 + 3x 5) = sin(x 2 + 3x 5). Przykład 2 Funkcja f (x) = 3 x jest złożeniem funkcji g(x) = 3 x i h(x) = x, tj. f = h g.
25 Złożenie funkcji definicja złożenia funkcji Niech dane będa odwzorowania f : X Y i g : Y Z. Odwzorowanie g f : X Z dane wzorem g f (x) = g(f (x)) nazywamy złożeniem (superpozycja) odwzorowań f i g. Funkcja f jest funkcja wewnętrzna, a g zewnętrzna tego złożenia. Przykład 1 Niech f (x) = sin x, a g(x) = x 2 + 3x 5. Wtedy g f (x) = g(sin x) = sin 2 x + 3 sin x 5, f g(x) = f (x 2 + 3x 5) = sin(x 2 + 3x 5). Przykład 2 Funkcja f (x) = 3 x jest złożeniem funkcji g(x) = 3 x i h(x) = x, tj. f = h g.
26 Złożenie funkcji definicja złożenia funkcji Niech dane będa odwzorowania f : X Y i g : Y Z. Odwzorowanie g f : X Z dane wzorem g f (x) = g(f (x)) nazywamy złożeniem (superpozycja) odwzorowań f i g. Funkcja f jest funkcja wewnętrzna, a g zewnętrzna tego złożenia. Przykład 1 Niech f (x) = sin x, a g(x) = x 2 + 3x 5. Wtedy g f (x) = g(sin x) = sin 2 x + 3 sin x 5, f g(x) = f (x 2 + 3x 5) = sin(x 2 + 3x 5). Przykład 2 Funkcja f (x) = 3 x jest złożeniem funkcji g(x) = 3 x i h(x) = x, tj. f = h g.
27 Złożenie funkcji definicja złożenia funkcji Niech dane będa odwzorowania f : X Y i g : Y Z. Odwzorowanie g f : X Z dane wzorem g f (x) = g(f (x)) nazywamy złożeniem (superpozycja) odwzorowań f i g. Funkcja f jest funkcja wewnętrzna, a g zewnętrzna tego złożenia. Przykład 1 Niech f (x) = sin x, a g(x) = x 2 + 3x 5. Wtedy g f (x) = g(sin x) = sin 2 x + 3 sin x 5, f g(x) = f (x 2 + 3x 5) = sin(x 2 + 3x 5). Przykład 2 Funkcja f (x) = 3 x jest złożeniem funkcji g(x) = 3 x i h(x) = x, tj. f = h g.
28 Złożenie funkcji definicja złożenia funkcji Niech dane będa odwzorowania f : X Y i g : Y Z. Odwzorowanie g f : X Z dane wzorem g f (x) = g(f (x)) nazywamy złożeniem (superpozycja) odwzorowań f i g. Funkcja f jest funkcja wewnętrzna, a g zewnętrzna tego złożenia. Przykład 1 Niech f (x) = sin x, a g(x) = x 2 + 3x 5. Wtedy g f (x) = g(sin x) = sin 2 x + 3 sin x 5, f g(x) = f (x 2 + 3x 5) = sin(x 2 + 3x 5). Przykład 2 Funkcja f (x) = 3 x jest złożeniem funkcji g(x) = 3 x i h(x) = x, tj. f = h g.
29 Złożenie funkcji definicja złożenia funkcji Niech dane będa odwzorowania f : X Y i g : Y Z. Odwzorowanie g f : X Z dane wzorem g f (x) = g(f (x)) nazywamy złożeniem (superpozycja) odwzorowań f i g. Funkcja f jest funkcja wewnętrzna, a g zewnętrzna tego złożenia. Przykład 1 Niech f (x) = sin x, a g(x) = x 2 + 3x 5. Wtedy g f (x) = g(sin x) = sin 2 x + 3 sin x 5, f g(x) = f (x 2 + 3x 5) = sin(x 2 + 3x 5). Przykład 2 Funkcja f (x) = 3 x jest złożeniem funkcji g(x) = 3 x i h(x) = x, tj. f = h g.
30 Złożenie funkcji definicja złożenia funkcji Niech dane będa odwzorowania f : X Y i g : Y Z. Odwzorowanie g f : X Z dane wzorem g f (x) = g(f (x)) nazywamy złożeniem (superpozycja) odwzorowań f i g. Funkcja f jest funkcja wewnętrzna, a g zewnętrzna tego złożenia. Przykład 1 Niech f (x) = sin x, a g(x) = x 2 + 3x 5. Wtedy g f (x) = g(sin x) = sin 2 x + 3 sin x 5, f g(x) = f (x 2 + 3x 5) = sin(x 2 + 3x 5). Przykład 2 Funkcja f (x) = 3 x jest złożeniem funkcji g(x) = 3 x i h(x) = x, tj. f = h g.
31 Funkcja odwrotna Niech f : X 1 1 Y. Funkcję f 1 : f (X) X określona następujaco: f 1 (y) = x f (x) = y, nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f.
32 Funkcje elementarne. Wielomiany Wielomianem stopnia n, n N 0, nazywamy funkcję W : R R postaci W (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, gdzie a n 0. Funkcję W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym. Przykłady wielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe): W (x) = a 0, a 0 0 wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe): W (x) = ax + b, a 0 wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe): W (x) = ax 2 + bx + c, a 0 wielomiany wyższych stopni, np. W (x) = x 3 x, W (x) = (x 2 4)(x 3 3x 2 + x 3)
33 Funkcje elementarne. Wielomiany Wielomianem stopnia n, n N 0, nazywamy funkcję W : R R postaci W (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, gdzie a n 0. Funkcję W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym. Przykłady wielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe): W (x) = a 0, a 0 0 wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe): W (x) = ax + b, a 0 wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe): W (x) = ax 2 + bx + c, a 0 wielomiany wyższych stopni, np. W (x) = x 3 x, W (x) = (x 2 4)(x 3 3x 2 + x 3)
34 Funkcje elementarne. Wielomiany Wielomianem stopnia n, n N 0, nazywamy funkcję W : R R postaci W (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, gdzie a n 0. Funkcję W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym. Przykłady wielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe): W (x) = a 0, a 0 0 wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe): W (x) = ax + b, a 0 wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe): W (x) = ax 2 + bx + c, a 0 wielomiany wyższych stopni, np. W (x) = x 3 x, W (x) = (x 2 4)(x 3 3x 2 + x 3)
35 Funkcje elementarne. Wielomiany Wielomianem stopnia n, n N 0, nazywamy funkcję W : R R postaci W (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, gdzie a n 0. Funkcję W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym. Przykłady wielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe): W (x) = a 0, a 0 0 wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe): W (x) = ax + b, a 0 wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe): W (x) = ax 2 + bx + c, a 0 wielomiany wyższych stopni, np. W (x) = x 3 x, W (x) = (x 2 4)(x 3 3x 2 + x 3)
36 Funkcje elementarne. Wielomiany Wielomianem stopnia n, n N 0, nazywamy funkcję W : R R postaci W (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, gdzie a n 0. Funkcję W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym. Przykłady wielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe): W (x) = a 0, a 0 0 wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe): W (x) = ax + b, a 0 wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe): W (x) = ax 2 + bx + c, a 0 wielomiany wyższych stopni, np. W (x) = x 3 x, W (x) = (x 2 4)(x 3 3x 2 + x 3)
37 Funkcje stałe
38 Funkcje liniowe
39 Funkcje kwadratowe
40 Wielomiany wyższych stopni
41 Wielomiany wyższych stopni
42 Wielomiany wyższych stopni
43 Funkcje elementarne. Funkcje wymierne. Niech P, Q : R R, będa wielomianami, Q 0. Oznaczmy Z = {x R : Q(x) = 0}. Funkcję R(x) = P(x) Q(x) określon a dla x R \ Z, nazywamy funkcja wymierna. W szczególności, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj. P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d, przy czym ad bc 0, taka funkcję wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcji homograficznej R(x) = ax+b cx+d, gdy c 0 jest hiperbola.
44 Funkcje elementarne. Funkcje wymierne. Niech P, Q : R R, będa wielomianami, Q 0. Oznaczmy Z = {x R : Q(x) = 0}. Funkcję R(x) = P(x) Q(x) określon a dla x R \ Z, nazywamy funkcja wymierna. W szczególności, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj. P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d, przy czym ad bc 0, taka funkcję wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcji homograficznej R(x) = ax+b cx+d, gdy c 0 jest hiperbola.
45 Funkcje elementarne. Funkcje wymierne. Niech P, Q : R R, będa wielomianami, Q 0. Oznaczmy Z = {x R : Q(x) = 0}. Funkcję R(x) = P(x) Q(x) określon a dla x R \ Z, nazywamy funkcja wymierna. W szczególności, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj. P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d, przy czym ad bc 0, taka funkcję wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcji homograficznej R(x) = ax+b cx+d, gdy c 0 jest hiperbola.
46 Funkcje elementarne. Funkcje wymierne. Niech P, Q : R R, będa wielomianami, Q 0. Oznaczmy Z = {x R : Q(x) = 0}. Funkcję R(x) = P(x) Q(x) określon a dla x R \ Z, nazywamy funkcja wymierna. W szczególności, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj. P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d, przy czym ad bc 0, taka funkcję wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcji homograficznej R(x) = ax+b cx+d, gdy c 0 jest hiperbola.
47 Funkcja homograficzna
48 Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza. Definicja potęgi o wykładniku wymiernym. Niech a (0, ). a 0 := 1, a n+1 := a n a, dla n N 0, a n := 1 a, dla n N, n a p q := q a p, dla p Z, q N. Własności a x a y = a x+y a x : a y = a x y (a x ) y = a xy
49 Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza. Definicja potęgi o wykładniku wymiernym. Niech a (0, ). a 0 := 1, a n+1 := a n a, dla n N 0, a n := 1 a, dla n N, n a p q := q a p, dla p Z, q N. Własności a x a y = a x+y a x : a y = a x y (a x ) y = a xy
50 Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza. Definicja potęgi o wykładniku wymiernym. Niech a (0, ). a 0 := 1, a n+1 := a n a, dla n N 0, a n := 1 a, dla n N, n a p q := q a p, dla p Z, q N. Własności a x a y = a x+y a x : a y = a x y (a x ) y = a xy
51 Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza. Definicja potęgi o wykładniku wymiernym. Niech a (0, ). a 0 := 1, a n+1 := a n a, dla n N 0, a n := 1 a, dla n N, n a p q := q a p, dla p Z, q N. Własności a x a y = a x+y a x : a y = a x y (a x ) y = a xy
52 Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza. Definicja potęgi o wykładniku wymiernym. Niech a (0, ). a 0 := 1, a n+1 := a n a, dla n N 0, a n := 1 a, dla n N, n a p q := q a p, dla p Z, q N. Własności a x a y = a x+y a x : a y = a x y (a x ) y = a xy
53 Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza. Definicja potęgi o wykładniku wymiernym. Niech a (0, ). a 0 := 1, a n+1 := a n a, dla n N 0, a n := 1 a, dla n N, n a p q := q a p, dla p Z, q N. Własności a x a y = a x+y a x : a y = a x y (a x ) y = a xy
54 Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza. Definicja potęgi o wykładniku wymiernym. Niech a (0, ). a 0 := 1, a n+1 := a n a, dla n N 0, a n := 1 a, dla n N, n a p q := q a p, dla p Z, q N. Własności a x a y = a x+y a x : a y = a x y (a x ) y = a xy
55 Funkcja wykładnicza Twierdzenie Jeśli funkcja f : R R spełnia równanie f (x)f (y) = f (x + y) dla x, y R oraz a := f (1) 0, to f (r) = a r dla r Q. Twierdzenie Dla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcja rosnaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. Dla dowolnego a (0, 1) istnieje dokładnie jedna funkcja malejaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. a x := f a (x), dla a (0, 1) (1, ), x R
56 Funkcja wykładnicza Twierdzenie Jeśli funkcja f : R R spełnia równanie f (x)f (y) = f (x + y) dla x, y R oraz a := f (1) 0, to f (r) = a r dla r Q. Twierdzenie Dla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcja rosnaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. Dla dowolnego a (0, 1) istnieje dokładnie jedna funkcja malejaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. a x := f a (x), dla a (0, 1) (1, ), x R
57 Funkcja wykładnicza Twierdzenie Jeśli funkcja f : R R spełnia równanie f (x)f (y) = f (x + y) dla x, y R oraz a := f (1) 0, to f (r) = a r dla r Q. Twierdzenie Dla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcja rosnaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. Dla dowolnego a (0, 1) istnieje dokładnie jedna funkcja malejaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. a x := f a (x), dla a (0, 1) (1, ), x R
58 Funkcja wykładnicza Twierdzenie Jeśli funkcja f : R R spełnia równanie f (x)f (y) = f (x + y) dla x, y R oraz a := f (1) 0, to f (r) = a r dla r Q. Twierdzenie Dla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcja rosnaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. Dla dowolnego a (0, 1) istnieje dokładnie jedna funkcja malejaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. a x := f a (x), dla a (0, 1) (1, ), x R
59
60
61 Funkcje elementarne. Funkcja logarytmiczna. przypomnienie Jeśli funkcja f : X Y jest różnowartościowa, to funkcję f 1 : f (X) X zdefiniowana przez warunek f 1 (y) = x f (x) = y nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f. Funkcja logarytmiczna Funkcję odwrotna do funkcji wykładniczej f (x) = a x nazywamy funkcja logarytmiczna o podstawie a i oznaczamy log a. To znaczy log a y = x a x = y. Bezpośrednio z definicji otrzymujemy też: log a a x = x, dla x R, a log a x = x, dla x (0, ).
62 Funkcje elementarne. Funkcja logarytmiczna. przypomnienie Jeśli funkcja f : X Y jest różnowartościowa, to funkcję f 1 : f (X) X zdefiniowana przez warunek f 1 (y) = x f (x) = y nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f. Funkcja logarytmiczna Funkcję odwrotna do funkcji wykładniczej f (x) = a x nazywamy funkcja logarytmiczna o podstawie a i oznaczamy log a. To znaczy log a y = x a x = y. Bezpośrednio z definicji otrzymujemy też: log a a x = x, dla x R, a log a x = x, dla x (0, ).
63 Funkcje elementarne. Funkcja logarytmiczna. przypomnienie Jeśli funkcja f : X Y jest różnowartościowa, to funkcję f 1 : f (X) X zdefiniowana przez warunek f 1 (y) = x f (x) = y nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f. Funkcja logarytmiczna Funkcję odwrotna do funkcji wykładniczej f (x) = a x nazywamy funkcja logarytmiczna o podstawie a i oznaczamy log a. To znaczy log a y = x a x = y. Bezpośrednio z definicji otrzymujemy też: log a a x = x, dla x R, a log a x = x, dla x (0, ).
64 wykres funkcji logarytmicznej i wykładniczej
65 Własności funkcji logarytmicznej
66 Oznaczenie: log x := log 10 x, ln x := log e x. własności logarytmów log a b + log a c = log a (bc), log a b log a c = log a (b : c), log a b c = c log a b, log a b c = 1 b log a c, log a b = log c b log c a, log a b = 1 log b a.
67 Oznaczenie: log x := log 10 x, ln x := log e x. własności logarytmów log a b + log a c = log a (bc), log a b log a c = log a (b : c), log a b c = c log a b, log a b c = 1 b log a c, log a b = log c b log c a, log a b = 1 log b a.
68 Oznaczenie: log x := log 10 x, ln x := log e x. własności logarytmów log a b + log a c = log a (bc), log a b log a c = log a (b : c), log a b c = c log a b, log a b c = 1 b log a c, log a b = log c b log c a, log a b = 1 log b a.
69 Oznaczenie: log x := log 10 x, ln x := log e x. własności logarytmów log a b + log a c = log a (bc), log a b log a c = log a (b : c), log a b c = c log a b, log a b c = 1 b log a c, log a b = log c b log c a, log a b = 1 log b a.
70 Oznaczenie: log x := log 10 x, ln x := log e x. własności logarytmów log a b + log a c = log a (bc), log a b log a c = log a (b : c), log a b c = c log a b, log a b c = 1 b log a c, log a b = log c b log c a, log a b = 1 log b a.
71 Oznaczenie: log x := log 10 x, ln x := log e x. własności logarytmów log a b + log a c = log a (bc), log a b log a c = log a (b : c), log a b c = c log a b, log a b c = 1 b log a c, log a b = log c b log c a, log a b = 1 log b a.
72 Funkcje elementarne. Funkcje trygonometryczne.
73 Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne. Definicja arc sin x := (sin [ π 2, π 2 ]) 1 (x) arc cos x := (cos [0,π] ) 1 (x) arctg x := (tg ( π 2, π 2 )) 1 (x) arcctg x := (ctg (0,π) ) 1 (x)
74 Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne. Definicja arc sin x := (sin [ π 2, π 2 ]) 1 (x) arc cos x := (cos [0,π] ) 1 (x) arctg x := (tg ( π 2, π 2 )) 1 (x) arcctg x := (ctg (0,π) ) 1 (x)
75 Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne. Definicja arc sin x := (sin [ π 2, π 2 ]) 1 (x) arc cos x := (cos [0,π] ) 1 (x) arctg x := (tg ( π 2, π 2 )) 1 (x) arcctg x := (ctg (0,π) ) 1 (x)
76 Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne. Definicja arc sin x := (sin [ π 2, π 2 ]) 1 (x) arc cos x := (cos [0,π] ) 1 (x) arctg x := (tg ( π 2, π 2 )) 1 (x) arcctg x := (ctg (0,π) ) 1 (x)
77 Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne. Definicja arc sin x := (sin [ π 2, π 2 ]) 1 (x) arc cos x := (cos [0,π] ) 1 (x) arctg x := (tg ( π 2, π 2 )) 1 (x) arcctg x := (ctg (0,π) ) 1 (x)
78 Funkcje cyklometryczne. Arcsin.
79 Funkcje cyklometryczne. Arccos.
80 Funkcje cyklometryczne. Arctg.
81 Funkcje cyklometryczne. Arcctg.
82 Przekształcenia wykresów funkcji g(x) = f (x) + b (x, y) grf (x, y + b) grg
83 Przekształcenia wykresów funkcji g(x) = f (x a) (x, y) grf (x + a, y) grg
84 Przekształcenia wykresów funkcji g(x) = f ( x) (x, y) grf ( x, y) grg
85 Przekształcenia wykresów funkcji g(x) = f (x) (x, y) grf (x, y) grg
86 Przekształcenia wykresów funkcji g(x) = f (kx) (x, y) grf ( 1 k x, y) grg
87 Przekształcenia wykresów funkcji g(x) = kf (x) (x, y) grf (x, ky) grg
Funkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoMatematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu
Bardziej szczegółowoLiteratura podstawowa
1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Bardziej szczegółowoII. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Bardziej szczegółowoWykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0
Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoFunkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Bardziej szczegółowoZbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Jego elementy to argumenty
Wstęp do analizy i algebry - II. Funkcje: podstawowe własności i przegląd funkcji elementarnych I. Funkcje - definicja, dziedzina, przeciwdziedzina, wykres, funkcje w ekonomii Matematyka pozwala nam opisywać
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej
Bardziej szczegółowoFunkcje. Część pierwsza. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Funkcje Część pierwsza Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? Funkcja dla każdego argumentu ma określoną dokładnie jedną
Bardziej szczegółowoFunkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska
Dr Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska Definicja Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy relację, która każdemu elementowi x X przyporzadkowuje dokładnie jeden element y Y.
Bardziej szczegółowoO funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.
1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe i funkcje wykład 1
Zbiory liczbowe i funkcje wykład 1 dr Mariusz Grządziel 6 października 2008 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w
Bardziej szczegółowoImię i nazwisko... suma punktów... ocena... Grupa 1
Imię i nazwisko suma punktów ocena Grupa 1 Logika Zbiory Funkcje Granice mon i ogr ciągów nr zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 B C Punktacja: nr zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 5 3 3 B
Bardziej szczegółowoII. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2
II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 1 / 34 1
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowo7. Funkcje elementarne i ich własności.
Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Bardziej szczegółowoZapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.
Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością
Bardziej szczegółowo1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoFunkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x
Bardziej szczegółowoTematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Bardziej szczegółowoFunkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016
Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla
Bardziej szczegółowoW. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoSpis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy...
Spis treści 1 Macierze 3 1.1 Macierze. Działania na macierzach.............................. 3 1.2 Wyznacznik.......................................... 6 1.3 Macierz odwrotna......................................
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoRepetytorium. Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan
Repetytorium Zajęcia w semestrze zimowym 01/013 Ewa Cygan Wersja z 15 stycznia 013 Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia Na najbliższe zajęcia (11.10.) proszę o rozwiązanie (bądź powtórzenie sobie rozwiązań
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowoZbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoWstęp do matematyki listy zadań
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowoPojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza
Pojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza dr Mariusz Grządziel Wykład 1; 10 marca 2013 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej
Rozdział. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Rodzaje funkcji elementarnych Kiedy mamy do czynienia z pojęciem funkcji? Każdy używany samochód ma swój nr rejestracyjny. Oczywiście niektóre tablice rejestracyjne
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowona egzaminach z matematyki
Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które
Bardziej szczegółowoStrona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec
Strona z 403 Przedmowa Do wydania pierwszego Podręcznik przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku studiów w Szkole Głównej Handlowej. Składa się dziesięciu rozdziałów zawierających teorię (definicje,
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoWSTEP ¾ DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
st ep do analizy matematycznej STEP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty katory Zad. Udowodnić nastepujace prawa rachunku zdań (tautologie): a) p _ (s q) b) p, s (s p) c) (
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoSYLABUS. Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów. stopnia
SYLABUS Nazwa przedmiotu Analiza matematyczna Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno-Przyrodniczy, przedmiot Instytut Fizyki Kod przedmiotu Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Materiały pomocnicze dla studentów do wykładów Opracował (-li): 1 Prof dr hab Edward Smaga dr Anna Gryglaszewska 3 mgr Marta Kornafel 4 mgr Fryderyk Falniowski 5 mgr Paweł Prysak Materiały przygotowane
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowo3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.
1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoRoger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i funkcje. Prolog-zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych
1 Zbiory i funkcje Prolog-zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w 16 i 17 wieku: -opis zjawisk takich jak: ruch jednostajnie przyśpieszony; Droga s, jaką
Bardziej szczegółowoSpis treści Od autora......................................................... 7 Rozdział 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów............
Spis treści Od autora......................................................... 7 Rozdział 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów............ 11 1.1. Zdania..................................................................11
Bardziej szczegółowoWPROWADZENIE DO MATEMATYKI WYŻSZEJ
WPROWADZENIE DO MATEMATYKI WYŻSZEJ. Elementy logiki i teoria zbiorów Zad... Rozpatrzmy wartościowanie w takie, że w(p) = i w(q) = 0. Oblicz: a) w( (p p)), b) w( ( p p)), c) w( (q q)), d) w( p q), e) w(
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Matematyka I Rok akademicki: 2014/2015 Kod: MME-1-106-s Punkty ECTS: 11 Wydział: Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Kierunek: Metalurgia Specjalność: Poziom studiów: Studia I stopnia
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna
Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowo1 Funkcje i ich granice
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowo