Suriekcja, iniekcja, bijekcja. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Transkrypt

1 Suriekcja, iniekcja, bijekcja Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2017

2 Suriekcja, iniekcja, bijekcja Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska DEFINICJA Definicja 1: Suriekcja czyli funkcja na Mówimy, że f : X Y końcowemu Y. jest suriekcją, (czyli funkcją na ) wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości jest równy zbiorowi Zapisujemy wówczas f : X na Y co odczytujemy: funkcja f prowadzi ze zbioru Xna zbiór Y. UWAGA Uwaga 1: Wiemy, że geometrycznie zbiór wartości funkcji jest rzutem prostopadłym wykresu na oś 0y. Stąd f : X Y jest suriekcją, gdy rzut jej wykresu na oś 0y pokrywa się ze zbiorem Y. Rysunek 1: f 1 : X na Y suriekcja Rysunek 2: f 2 : X Y nie jest suriekcją

3 PRZYKŁAD Przykład 1: Niech X = R, Y = (, 3]. Zbadamy, czy f : X Y, f(x) = 2 x jest suriekcją. Rozwiązanie Szkicujemy wykres f. Rysunek 3: Wykres funkcji f Z wykresu odczytujemy, że zbiór wartości funkcji f (rzut jej wykresu na oś 0y ) to przedział (, 2], który jest silnie zawarty w zbiorze (, 3], zatem f nie jest suriekcją. ZADANIE Zadanie 1: Treść zadania: Niech X = R, Y = (0, ). Zbadamy czy f : X Y, f(x) = 3 x+5 jest suriekcją. Rozwiązanie: Wykres funkcji f powstaje poprzez przesunięcie w poziomie o wektor v = [5, 0] wykresu funkcji wykładniczej x 3 x, więc rzuty prostopadłe na oś 0y obu wykresów są identyczne. Obie funkcje mają te same zbiory wartości. Wiedząc, że zbiór wartości funkcji wykładniczej x 3 x jest przedziałem (0, ) równym całemu zbiorowi Y wnioskujemy, że f jest suriekcją. INFORMACJA DODATKOWA Informacja dodatkowa 1: Własność suriektywności zależy od tego, jaki zbiór przyjmiemy za zbiór końcowy Y. Gdybyśmy w przykładzie 1 jako Y wzięli przedział (, 2] funkcja byłaby suriekcją. W szczególności: każda funkcja może być traktowana jako suriekcja na swój zbiór wartości.

4 DEFINICJA Definicja 2: Funkcja różnowartościowa, iniekcja Mówimy, że f : X Y jest iniekcją (funkcją różnowartościową) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych elementów x 1, x 2 X stąd, że x 1 x 2 wynika, że f( x 1 ) f( x 2 ) Interpretacja geometryczna różnowartościowości. Funkcja f jest różnowartościowa gdy dowolna prosta pozioma o równaniu y = const przecina wykres f w co najwyżej jednym punkcie. Rysunek 4: Funkcje różnowartościowe. Każda prosta pozioma y = const przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie Rysunek 5: Funkcje nieróżnowartościowe. Istnieją proste poziome przecinające wykres w kilku punktach PRZYKŁAD Przykład 2: Funkcje logarytmiczna, wykładnicza, funkcja potęgowa postaci y = x n dla n nieparzystych, są różnowartościowe. Nie są różnowartościowe funkcje trygonometryczne i funkcje potęgowe postaci y = x n dla n-parzystych. TWIERDZENIE Twierdzenie 1: Warunek równoważny różnowartościowości Funkcja f : X Y jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych dwóch elementów x 1, x 2 X zachodzi warunek: stąd, że f( x 1 ) = f( x 2 ) wynika, że x 1 = x 2.

5 DEFINICJA Definicja 3: Funkcja różnowartościowa na zbiorze Mówimy, że funkcja f jest różnowartościowa w zbiorze A zawartym w dziedzinie wtedy i tylko wtedy, gdy jej restrykcja do zbioru A jest funkcja różnowartościową. Rysunek 6: Funkcja nieróżnowartościowa, która jest różnowartościowa na zbiorze A PRZYKŁAD Przykład 3: Pokażemy, że funkcja y = 3 2x+5 jest różnowartościowa. Rozwiązanie Skorzystamy z twierdzenia Warunek równoważny różnowartościowości. Dziedziną naturalną danej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Obierzmy dwie takie liczby x 1, x 2 R i załóżmy, że f( x 1 ) = f( x 2 ). Należy pokazać, że x 1 = x 2. Mamy f( x 1 ) = 3 2 x 1 +5, f( x 2 ) = 3 2 x Założona równość f( x 1 ) = f( x 2 ) przybiera tu postać 3 2 x 1 +5 = 3 2 x Logarytmując obie strony (przy podstawie 3) otrzymujemy log x1+5 = log 3 2 x Korzystając z własności logarytmu log a a x = x dla a > 0 i a 1 otrzymujemy 2 x = 2 x 2 + 5, 2 x 1 = 2x 2, x 1 = x 2. DEFINICJA Definicja 4: Bijekcja Funkcję f : X Y nazywamy bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją różnowartościową oraz na, czyli jest zarówno iniekcją jak i suriekcją jednocześnie. Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

6 Data generacji dokumentu: :03:17 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: link=b ccdce76fae169805dc93858 Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska