Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Transkrypt

1 Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera pewna lokata na przszłość jest współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 3. Funkcja liniowa Funkcję postaci f(x) = ax + b, gdzie a, b R, a 0 nazwam funkcją liniową. Jeśli a > 0, to funkcja liniowa jest rosnąca. Jeśli a < 0, to funkcja liniowa jest malejąca. Jeśli a = 0, to funkcja liniowa jest stała. Wkresem funkcji liniowej jest prosta. a = tg α, gdzie α jest kątem nachlenia prostej do osi OX a współcznnik kierunkow f(x)=ax+b a>0 b b a b f(x)=ax+b a<0 b a Równanie linowe ax + b = 0 Gd a 0, to równanie ma jedno rozwiązanie x = b a (równanie oznaczone) Gd a = 0, b = 0, to rozwiązaniem jest każda liczba rzeczwista (równanie tożsamościowe) Gd a = 0, b 0, to brak rozwiązania (równanie sprzeczne) Nierówności liniowe ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b 0, ax + b 0 Układ równań liniowch Układ równań { a1 x + b 1 = c 1 a x + b = c gdzie a 1 +b 1 0 oraz a +b 0 nazwam układem dwóch równań liniowch z dwiema niewiadommi. I sposób Metoda podstawiania Z jednego równania wliczam jedną niewiadomą w zależności od drugiej i otrzmaną zależność wstawiam do drugiego równania. II sposób Metoda przeciwnch współcznników Mnożm równania układu przez tak dobrane liczb, ab następnie po dodaniu pomnożonch równań stronami otrzmać równanie z jedną niewiadomą. 9

3 III sposób [ Metoda ] wznaczników a1 b W = det 1 = a a b 1 b a b 1 wznacznik główn układu Jeśli W 0, to x = Wx W, = W W, gdzie [ ] [ ] c1 b W x = det 1 a1 c, W c b = det 1 a c Jeśli W = 0 i W x 0, W 0, to układ nie ma rozwiązania (układ sprzeczn). Jeśli W = 0 i W x = W = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Wartością bezwzględną (modułem) liczb x R nazwam wielkość x = Własności: a 0 a = a, a a a Jeśli a, b R, to a b = a b, a b = a b dla b 0, a + b a + b, a b a b a + b, { x dla x 0, x dla x < 0. Jeśli a 0, to x a a x a. Jeśli a 0, to x a x a x a. { x a dla x a, x a = (x a) dla x < a. Przkładowe zadania 1. Rozwiązać równanie 3x 5 = x + 3. Na lewą stronę przenosim zmienne, a na prawą stałe. 3x x = 3 + 5, zatem x = 8 Odpowiedź: x = 8. Rozwiązać nierówność x + 3 < 4x 1. Na lewą stronę przenosim zmienne, a na prawą stałe. x 4x < 1 3, czli x < 4, zatem x > (prz mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną, zmieniam znak nierówności na przeciwn). Odpowiedź: x > { x + 3 = 4 3. Rozwiązać układ równań 5x + 6 = 7 10

4 I sposób Z pierwszego równania wliczam x i podstawiam do drugiego x = 4 3, stąd x = 3 5( 3 ) + 6 = = 7 3 = 3, czli = Zatem x = 3 ( ) = 1 II sposób Pierwsze równanie mnożm przez { 4x 6 = 8 5x + 6 = 7 i dodajem równania stronami. Zatem x = 1 Teraz drugie równanie mnożm przez 5 { x + 3 = 4 x 1 5 = 14 5 i dodajem równania stronami. Zatem = , stąd = III sposób [ ] 3 W = det = = 1 15 = [ ] 4 3 W x = det = ( 7) = = [ ] 4 W = det = ( 7) ( 4) 5 = = x = Wx W 3 = 1, = W W Odpowiedź: x = 1, = = 3 = 6 3 = 4. Rozwiązać układ nierówności { x + 4 > 1 < x < 1 Pierwsza nierówność jest równoważna nierówności x > 3 Druga nierówność jest równoważna nierówności x 1 < < x + =x+ x 3 =x-1 11

5 5. Narsować funkcję = x. Rsujem wkres funkcji = x i smetrcznie odbijam względem osi OX tę część, która jest pod osią. 6. Narsować funkcję = x 1. Rsujem wkres funkcji = x 1 i smetrcznie odbijam względem osi OX tę część, która jest pod osią Narsować funkcję = x +. Rsujem wkres funkcji = x i dokonujem translacji o wektor [0, ]. 8. Narsować zbiór będąc rozwiązaniem nierówności x + < 1. Dla x 0, 0 mam x + < 1, czli < x + 1 Dla x 0, < 0 mam x < 1, czli > x 1 Dla x < 0, 0 mam x + < 1, czli < x + 1 Dla x < 0, < 0 mam x < 1, czli > x x Rozwiązać równanie x 5 = x. Rozpatrujem dwa przpadki: a) x 5 < 0, czli x < 5 Wówczas (x 5) = x, stąd x = 5 Sprawdzam, cz obliczon x należ do przedziału (, 5). b) x 5 0, czli x 5 Wted równanie przjmuje postać x 5 = x, czli 5 = 0. Zatem otrzmaliśm sprzeczność Odpowiedź: x = 5 1

6 10. Rozwiązać równanie x x + 1 =. { { x dla x < 0, (x + 1) dla x < 1, x = x + 1 = x dla x 0. x + 1 dla x 1. Dzielim zbiór liczb rzeczwistch na przedział, którch końcami są liczb 1 i 0. Rozpatrujem trz przpadki: a) x < 1 Wted x = x, x + 1 = (x + 1) Zatem x + x + 1 =, czli x = 1, ale nie należ do przedziału (, 1), czli brak rozwiązań b) 1 x < 0 Wted x = x, x + 1 = x + 1 Zatem x (x + 1) =, czli x = 1, należ do przedziału [ 1, 0) c) x 0 Wted x = x, x + 1 = x + 1 Zatem x (x + 1) =, czli x = 3, należ do przedziału [0, + ) Odpowiedź: x = 1 x = Rozwiązać równanie 1 x + x + 4 = 0. Rozważam dwa przpadki: a) 1 x < 0, czli x > 1 Wówczas 1 x = (1 x), zatem 1 + x + x + 4 = 0, czli x = 1, nie należ do przedziału (1, + ) b) 1 x 0, czli x 1 Wówczas 1 x = 1 x, zatem 1 x + x + 4 = 0, czli x = 5, należ do przedziału (, 1] Odpowiedź: x = 5 1. Rozwiązać nierówność x x x x 1 Odpowiedź: x [, 1] 13. Rozwiązać nierówność 3x > 4. 3x > 4 3x < 4 3x > 6 3x < x > x < 3 Odpowiedź: x (, 3 ) (, + ) 13

7 14. Rozwiązać nierówność 4 x < x. { { x dla x < 0, (4 x) dla x >, x = 4 x = x dla x 0. 4 x dla x. Dzielim zbiór liczb rzeczwistch na przedział, którch końcami są liczb 0 i. Rozpatrujem trz przpadki: a) x < 0 Wówczas 4 x = 4 x, x = x Nierówność przjmuje wted postać 4 x < x. Zatem x > 4. Po uwzględnieniu dziedzin otrzmujem, że x. b) 0 x < Wówczas 4 x = 4 x, x = x Nierówność przjmuje wted postać 4 x < x, zatem x > 4 3. Po uwzględnieniu dziedzin otrzmujem, że x ( 4 3, ). c) x Wówczas 4 x = (4 x), x = x Nierówność przjmuje wted postać 4 + x < x, zatem x < 4. Po uwzględnieniu dziedzin otrzmujem, że x [, 4). Rozwiązaniem jest suma przedziałów x ( 4 3, ) i x [, 4). Odpowiedź: x ( 4 3, 4) Zadania 1. Napisać równanie funkcji liniowej przechodzącej przez punkt o współrzędnch: A( 1, ), B(4, 5).. Napisać wzór funkcji liniowej, która przechodzi przez punkt P (1, ) i jest nachlona do oso OX pod kątem Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = ( 3m + 3)x + jest malejąca? 4. Dla jakich wartości parametru m miejscem zerowm funkcji f(x) = 3x + m 3 jest liczba 4? Rozwiązać równanie: 5. (x + 1) 3 (x 1) 3 = 6(x + x + 1). 6. 3x + 4(3 x) (3x + ) = (3 x) + 5(3x + 1) = 8(1 x). 8. 4(x + 7) 3(x + 3) = 5( x). 9. 3(x + 4) 7(x 3) = 8(x 5). 10. x( x) 3x = x[x (5 + x)]. Rozwiązać nierówność: 11. 6(x + 1) (4 x) > 5(x ). 1. 3(4 x) + 4(x + 3) x (3 4x) x 3(x 5) (5x 3) 1 3 ( 3x) < 1 4 (x ). 15. (x ) + 3x > (x + ) + x (8 x) + 19 (x 9). 14

8 Rozwiązać układ równań: { 3x + = 5 { x + 3 = 7 { x = x = x + 9 = 1 3. x = 0 { 3 = x + 4 { 3x + = 1 { x + = = 4x 1. x 3 = x + = 1 { x + = 1 { x + 5 = 6 { x + 3 = x 3 = 0. 3x = 1 5. x = Znaleźć rozwiązanie analitczne i graficzne układu nierówności: { 3x 1 > 3 x { x + 4 > 3 4(x 1) > Sporządzić wkres funkcji: { x 8. x + 4 { x x x x + 4 x + 4 > 0 x f(x) = x f(x) = x f(x) = x 1 + x. 34. f(x) = x x f(x) = x f(x) = x f(x) = x f(x) = 4 + 7x f(x) = x f(x) = x 4. Rozwiązać równanie: 41. x + 3 = x 3 + x 5 = x = x + 1 = 4 x x + = (3 x) x + x = x x =. 48. x + x + = x x x 3 + x = x x = x 4. Rozwiązać nierówność: 51. x x x + x. 53. x x 1 < x x < x + 6 > x < x + 3x x 1 < x > x + < x + x 1 + x 3 < 4. 15