Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Transkrypt

1 Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 09

2 Spis treści Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina Wykres funkcji Przekształcanie wykresów funkcji Sposoby zadawania funkcji Dziedzina naturalna funkcji Suriekcja, iniekcja, bijekcja Restrykcja (zawężenie) funkcji Podstawowe własności funkcji: okresowość, parzystość, nieparzystość, ograniczoność, monotoniczność Algebraiczne działania na funkcjach Identyczność Składanie funkcji Pojęcie funkcji odwrotnej do danej Funkcje cyklometryczne. Definicje, wykresy, podstawowe własności Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Podstawowe funkcje elementarne Funkcje hiperboliczne

3 Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina W otaczającej nas rzeczywistości zarówno fizycznej jak i społecznej, występuje wiele zależności pomiędzy różnymi zjawiskami, obiektami czy wielkościami. Na przykład, podczas jazdy samochodem długość przebytej drogi zależy od czasu podróży. Każdej chwili odpowiada, przebyta dotąd droga. W sytuacji, gdy jedziemy ze stałą prędkością dystans ten możemy bardzo łatwo obliczyć mnożąc prędkość przez czas. W sytuacji realnej najczęściej prędkość jest zmienna, jedziemy raz szybciej raz wolniej, co parę godzin zatrzymujemy się, jednakże i wówczas każdej chwili podróży możemy przyporządkować liczbę przejechanych kilometrów. Jako przykłady z innej dziedziny zauważmy, że każdemu członkowi danej społeczności (np. każdemu obywatelowi Polski) odpowiada jego data urodzenia. Każdemu obywatelowi nadawany jest też numer identyfikacyjny PESEL, a każdemu studentowi danego wydziału AGH odpowiada numer jego indeksu (tzw. numer albumu). We wszystkich wspomnianych przykładach mamy do czynienia z odpowiedniością pomiędzy elementami dwóch zbiorów X oraz Y. W przypadku podróży X oznacza przedział liczbowy określający czas jazdy od chwili początkowej, która może być przyjęta umownie, jako czas t = 0 do końca podróży t = T. Możemy wówczas zapisać X = [0, T] ). Y to zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych wyrażających długość przebytej drogi (np. w kilometrach). W drugim i trzecim przykładzie X jest zbiorem wszystkich obywateli RP, a w czwartym zbiorem wszystkich studentów wydziału. Zauważmy, że we wszystkich tych przypadkach każdemu elementowi x ze zbioru X odpowiada tylko jeden elementy ze zbioru Y. Faktycznie, jeden człowiek nie może mieć dwóch różnych dat urodzenia, w każdej chwili podróży stwierdzamy, że przejechaliśmy konkretną liczbę kilometrów itd.ta jedyność elementu y odpowiadającego danemu elementowi x ma kluczowe znaczenie w pojęciu funkcji. Definicja : Funkcja Niech będzą dane niepuste zbiory X i Y. Funkcją odwzorowującą zbiór X w zbór Y (co zapisujemy f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jednego elementu y ze zbioru Y. Element x ze zbioru X nazywamy argumentem funkcji a jedyny element y ze zbioru Y, który został przyporządkowany elementowi x oznaczamy przez f(x) i nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f. Zbiór obrazów wszystkich argumentów czyli zbiór elementów {f(x) : x X} nazywamy przeciwdziedziną lub zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy R f. Przeciwdziedzina jest zawsze podzbiorem zbioru Y. Rysunek : Funkcja f : X Y

4 Uwaga : Oznaczenia i nazewnictwo Gdy mówimy o jednej funkcji, oznaczamy ją pojedynczą literą (tu literą f, natomiast gdy rozważamy więcej funkcji, możemy zastosować zapis indeksowany f, f, f 3. itd. lub użyć innych liter np. g, h, u, v. Przez f(x) (co odczytujemy : f od x ) oznaczamy wartość funkcji f dla elementu x. Często mówimy też, że f(x) jest wartością funkcji w punkcie x, chociaż w ogólnym przypadku element x z punktem w sensie geometrycznym może nie mieć nic wspólnego (tak właśnie jest w przykładzie z Peselem, gdzie x oznacza człowieka). Czasami też na f(x) używa się określenia: obraz elementu x przez funkcję f. Jeżeli zbiory X i Y są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych R to mówimy, że f jest funkcją rzeczywistą (myśląc o jej wartości ze zbioru liczb rzeczywistych) zmiennej rzeczywistej (myśląc o jej argumentach ze zbioru liczby rzeczywistych). Możemy, więc zanotować następującą definicję. Definicja : Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej Niech X oraz Y będą niepustymi podzbiorami liczb rzeczywistych R. Funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej prowadzącą ze zbioru X w zbiór Y (co zapisujemy f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdej liczby x ze zbioru X dokładnie jednej liczby y ze zbioru Y. Rysunek : Funkcja rzeczywista f : X Y Uwaga : Definicje i określają funkcje w sposób dynamiczny. Zbiór X możemy traktować jako zbiór wyjściowy, początkowy zbiór danych a funkcję jako narzędzie do przetwarzania jego elementów w elementy zbioru końcowego Y.

5 Uwaga 3: W obu przedstawionych powyżej definicjach występuje słowo przyporządkowanie, które choć intuicyjnie jasne nie jest precyzyjnie określone. Nie ma tego mankamentu definicja wykorzystująca pojęcie pary uporządkowanej (a, b). Choć początkowo może ona wydawać się mniej intuicyjna, nie jest trudna i wyraźnie podkreśla zasadniczą własność każdej funkcji, jaką jest powiązanie każdego argumentu x z dokładnie jedną wartością y. Definicja 3: Teoriomnogościowa definicja funkcji Niech X i Y będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Funkcją o dziedzinie X i wartościach ze zbioru Y nazywamy zbiór f par uporządkowanych (x, y) takich, że pierwszy element pary należy do zbioru X, a drugi do zbioru Y oraz zbiór par spełnia tzw. warunek prawostronnej jednoznaczności tzn. dla każdego elementu x ze zbioru X w zbiorze par f jest tylko jedna para mająca x na pierwszym miejscu. Uwaga 4: Warunek prawostronnej jednoznaczności oznacza, że jeżeli pary ( x, y ) oraz ( x, y ) należą do rozważanego zbioru par wówczas elementy y, y stojące po prawie stronie tych par muszą być równe. Wykres funkcji Uwaga 5: Od tego momentu będziemy się zajmować się funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczywistej, czyli zgodnie z definicją (z modułu "Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina") takimi, dla których zbiory X oraz Y są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych.

6 Definicja 4: Wykres funkcji Wykres funkcji f : X Y jest to zbiór par uporządkowanych {(x, y) : x X, y Y, y = f(x)} Rysunek 3: Wykres funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina funkcji Uwaga 6: Na płaszczyźnie kartezjańskiej z przyjętym układem współrzędnych x0y dziedzina funkcji leży na osi 0x. Jest ona rzutem prostokątnym wykresu na tę oś. Podobnie, rzutując wykres na oś 0y otrzymujemy zbiór wartości funkcji. Uwaga 7: Własność prawostronnej jednoznaczności geometrycznie oznacza, że każda prosta równoległa do osi 0y (prosta pionowa o równaniu x = const, gdzie const jest skrótem od słowa constans, stała) może przeciąć wykres funkcji, co najwyżej w jednym punkcie. Daje to nam łatwe kryterium rozstrzygające, czy dany zbiór przedstawiony w układzie współrzędnych jest wykresem pewnej funkcji.

7 PRZYKŁAD Przykład : Stwierdzimy, które z naszkicowanych zbiorów są wykresami funkcji zmiennej x. Rysunek 4: Zbiory w układzie współrzędnych x0y Rozwiązanie Zbiory B, C i D nie przedstawiają wykresów funkcji, gdyż znajdziemy takie proste pionowe, które mają z nimi więcej niż po jednym punkcie wspólnym. W przypadku B i C są to dwa punkty, a w przypadku D aż nieskończenie wiele. Rysunek 5: Ilustracja rozwiązania graficznego Pozostałe wykresy: A, E, F są wykresami pewnych funkcji zmiennej x.

8 ZADANIE Zadanie : Treść zadania: Korzystając z podanych wykresów, wyznacz dziedziny oraz zbiory wartości następujących funkcji. Rysunek 6: Przykładowe wykresy funkcji Rozwiązanie: Rzutując wykres funkcji f na oś 0x otrzymujemy jej dziedzinę utworzoną tu z jedynie czterech liczb naturalnych. Mamy, więc = {, 3, 5, 7}. D f Zbiór wartości {,, 4, 7} odczytujemy po zrzutowaniu wykresu na oś 0y. Podobnie postępując określamy dziedziny pozostałych funkcji. I tak, D f jest przedziałem obustronnie otwartym (0, + ), a jej zbiór wartości jest to cały zbiór liczb rzeczywistych R. R f D f3 jest przedziałem lewostronnie otwartym (, ], a jej zbiór wartości R f3 jest sumą dwóch przedziałów [, ) oraz [, ]. D f4 jest sumą przedziałów (, 5) oraz (6, + ), a przeciwdziedziną f 4 jest cały zbiór liczb rzeczywistych R. D f5 jest zbiorem liczb rzeczywistych R, a R f5 jest sumą przedziału otwartego (, ) i zbioru jednoelementowego {3}.

9 ZADANIE Zadanie : Treść zadania: Student uprawiający jogging naszkicował wykres funkcji przedstawiającej jak zmieniała się jego odległość od akademika podczas pewnego treningu. Rysunek 7: Funkcja opisująca odległość studenta od akademika podczas joggingu Odpowiedzmy na poniższe pytania:. Po ilu minutach rozgrzewki student zaczął biec zdecydowanie szybciej i jak długo utrzymywał to większe tempo?. Kiedy zaczął zawracać? 3. Gdzie był po 45 minutach treningu? 4. Kiedy i na jak długo zatrzymał się? Rozwiązanie: Analizując wykres łatwo możemy stwierdzić, że po 0 minutach student przyśpieszył, po pół godzinie (dalej utrzymując to większe tempo) zawrócił, by po 45 minutach znaleźć się przy akademiku. Drugą, krótszą pętlę trasy biegł znacznie wolniej. Po godzinie od początku treningu zatrzymał się na 0 minut, a następnie wrócił do akademika w równym) wolniejszym tempie. Uwaga 8: Ten elementarny przykład uświadamia nam jak wiele różnorodnych informacji związanych ze zjawiskami opisywanymi przez funkcję możemy odczytać z jej wykresu. Dlatego tez należy zapoznać się z wykresami pewnych typowych funkcji elementarnych i zapamiętać ich kształt. Przekształcanie wykresów funkcji W wielu przypadkach funkcja, którą badamy, nieznacznie różni się od pewnej funkcji f o znanym wykresie. Wówczas możemy narysować jej wykres, stosując odpowiednie przekształcenie znanego wykresu funkcji f.

10 Uwaga 9: Przekształcanie wykresów funkcji Zakładamy, że znamy wykres f : R D f R, f : x f(x). Aby otrzymać wykres funkcji g : x f(x) + a, a R dokonujemy translacji wykresu funkcji f o wektor v = [0, a]. Wykres funkcji h : x f(x + a), a R otrzymujemy poprzez translację wykresu funkcji f o wektor v = [ a, 0]. Funkcję k : x f(x) rysujemy odbijając symetrycznie względem osi 0x część wykresu funkcji f leżącą pod tą osią i pozostawiając resztę wykresu funkcji f bez zmian. Natomiast wykres funkcji l : x f( x ) powstanie poprzez zignorowanie części wykresu leżącej po lewej stronie osi 0y i umieszczenie tam odbitej symetrycznie względem tej osi części wykresu dla x 0 (o ile wyjściowa funkcja f była określona dla x 0). Wykres funkcji m : x f(x) powstaje poprzez odbicie symetryczne wykresu funkcji f względem osi 0x.

11 PRZYKŁAD Przykład : Przekształcanie wykresów funkcji Naszkicujemy wykres funkcji f : R x x+3, Rozwiązanie Rysujemy znany wykres funkcji wykładniczej x x o podstawie (większej od ), zaznaczając na nim przynajmniej dwa jego punkty charakterystyczne, a mianowicie P = (0, ), P = (, ). Rysunek 8: Wykres funkcji wykładniczej x x Następnie przesuwamy ten wykres w poziomie do tyłu o wektor v = [ 3, 0] otrzymując wykres f (naszkicowany na czerwono). Rysunek 9: Translacja wykresu funkcji x x o wektor v = [ 3, 0]

12 ZADANIE Zadanie 3: Treść zadania: x Naszkicujemy wykres funkcji g : R x ( ) +. 3 Rozwiązanie: x Aby naszkicować wykres g, wychodzimy od znanego wykresu funkcji wykładniczej x ( ) o podstawie ułamkowej z 3 przedziału (0, ), na którym również zaznaczamy przynajmniej dwa jego punkty charakterystyczne. Rysunek 0: Wykres funkcji wykładniczej x ( x ) 3 W następnym kroku przesuwamy ten wykres w poziomie do przodu o wektor v = [, 0] otrzymując wykres funkcji x x ( ) (naszkicowany na zielono) i na koniec dokonujemy translacji pomocniczego wykresu (zielonego) otrzymując 3 wykres funkcji g (czerwony). Rysunek : Translacje wykresu funkcji x ( x ) kolejno o wektory v = [, 0] oraz w = [0, ] 3 Zauważmy, że wykres funkcji g mogliśmy otrzymać szybciej przesuwając wykres pomocniczy od razu o wektor u = v + w czyli u = [, ].

13 ZADANIE Zadanie 4: Treść zadania: Naszkicujemy wykres funkcji h : R + x log 3 (x). Rozwiązanie: Aby naszkicować wykres funkcji h : R + x log 3 (x), szkicujemy znany wykres funkcji logarytmicznej o podstawie 3 (większej od ) zaznaczając jego punkty charakterystyczne. Rysunek : Wykres funkcji logarytmicznej x log 3 x Tę część wykresu x log 3 x, gdzie funkcja przyjmuje wartości ujemne ( leżącą pod osią 0x ) przekształcamy poprzez symetrię względem 0x a resztę pozostawiamy bez zmian, otrzymując wykres funkcji x log 3 x. Rysunek 3: Transformacja wykresu funkcji x log 3 x w wykres funkcji x log 3 x Aby otrzymać wykres x log 3 x przekształcamy przez symetrię osiowa względem 0x wykres x log 3 x.

14 Rysunek 4: Wykres funkcji x log 3 x Na koniec przesuwamy całość o wektor w = [0, ] otrzymując wykres funkcji h. Rysunek 5: Wykres funkcji x log 3 (x) + Sposoby zadawania funkcji Uwaga 0: Sposoby przedstawienia funkcji Funkcję możemy określić na wiele sposobów: poprzez podanie przepisu słownego, wykresu, tabeli, diagramu, wzoru itp.

15 PRZYKŁAD Przykład 3: Funkcję podaną za pomocą poniższego diagramu przedstawimy poniżej na kilka jeszcze innych sposobów. Rysunek 6: Funkcja przedstawiona za pomocą diagramu Rozwiązanie Rys. 6 przedstawia funkcję f prowadzącą ze zbioru X = {,, 5, 7} w zbiór Y = {, 3, 9, 3}. Odczytujemy wartości funkcji dla poszczególnych elementów zbioru X. Mamy, więc f() = f() = 3 f(5) = 9 f(7) = 3 Funkcję f możemy opisać: słownie: f jest funkcją przyporządkowującą każdej liczbie ze zbioru {,, 5, 7} różnicę liczby od niej dwa razy większej i jedynki za pomocą jednego z następujących wzorów: f : X Y, f(x) = x gdzie X = {,, 5, 7} Y = {, 3, 9, 3} f : X Y, x x gdzie X = {,, 5, 7} Y = {, 3, 9, 3} f : X x (x ) Y gdzie X = {,, 5, 7} Y = {, 3, 9, 3} f : X Y, y = x gdzie X = {,, 5, 7} Y = {, 3, 9, 3} () () (3) (4) za pomocą wykresu

16 Rysunek 7: Funkcja przedstawiona za pomocą wykresu w kartezjańskim układzie współrzędnych Dziedzina naturalna funkcji Uwaga : O dziedzinie naturalnej Ścisłe zdefiniowanie funkcji wymaga podania dwóch zbiorów (wyjściowego X i końcowego Y ) i określenia przepisu w jaki sposób ta funkcja przekształca elementy zbioru X w elementy Y. Jeżeli zbiory X i Y nie są z góry zadane (z czym często spotykamy się w zadaniach sformułowanych tak: dana jest funkcja y = f(x) lub f : x f(x) ) i funkcja podana jest tylko za pomocą pewnego wzoru (przepisu), to wówczas przyjmujemy, że dziedziną funkcji f jest zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych x, dla których wyrażenie f(x) ma sens liczbowy. Taki zbiór nazywamy dziedziną naturalną funkcji. Jako zbiór końcowy Y przyjmujemy wówczas zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

17 PRZYKŁAD Przykład 4: Wyznaczanie dziedziny naturalnej funkcji Wyznaczymy dziedzinę naturalną funkcji danej wzorem: y = log 3 ( x + 5x + 6), Rozwiązanie Logarytmy możemy obliczać jedynie tylko z liczb dodatnich. Musimy, więc wyznaczyć wszystkie te liczby, dla których wyrażenie logarytmowane jest większe od zera. Rozwiązując nierówność x + 5x + 6 > 0 wykorzystamy np. wzory Viete a INFORMACJA DODATKOWA Informacja dodatkowa : Wzory Viete a Pierwiastki x, x trójmianu kwadratowego a x + bx + c, (a 0, Δ 0) b c spełniają warunki x + x =, x =. a x a b 5 x + x = = = 5 a c 6 x x = = = 6 a Mamy, więc x =, x = 6. Rozwiązanie nierówności znajdujemy na osi liczbowej pamiętając, aby wykres wielomianu (funkcji kwadratowej) zacząć rysować od dołu. Ramiona paraboli skierowane są w dół, gdyż a = < 0 Rysunek 8: Otrzymujemy więc x (, 6). Odpowiedź Dziedziną naturalną funkcji y = log 3 ( x + 5x + 6) jest przedział otwarty (, 6).

18 ZADANIE Zadanie 5: Treść zadania: Wyznaczymy dziedzinę naturalną funkcji danej wzorem y = arcsin x. +x Rozwiązanie: Aby znaleźć dziedzinę funkcji y = arcsin x, musimy rozpatrzyć dwa warunki. Po pierwsze: mianownik + x musi być +x różny od zera (tu jest to spełnione w sposób oczywisty) i po drugie: wyrażenie x +x musi należeć do dziedziny funkcji czyli muszą być spełnione dwie nierówności: oraz arkussinus, x +x x +x. Rozwiązując te nierówności kolejno otrzymujemy: +x+x x x 0 oraz +x +x 0, czyli (+x) ( x 0 oraz x+) +x +x 0, stąd x R oraz (x ) +x 0, więc x R Odpowiedź Dziedziną naturalną badanej funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.

19 ZADANIE Zadanie 6: Treść zadania: Wyznaczymy dziedzinę naturalną funkcji danej wzorem y = arccos. x Rozwiązanie: Dla funkcji y = arccos podobnie jak w przypadku b. rozważamy dwa warunki: mianownik x musi być różny od zera x oraz wyrażenie musi należeć do dziedziny funkcji arkuskosinus, którą jest przedział [, ]. Mamy więc: x x 0 czyli x oraz. x Tę nierówność podwójną możemy rozwiązać klasycznie, sprowadzając do wspólnego mianownika jak w przypadku b., ale możemy też wykorzystać własność wartości bezwzględnej., x x, (x ), x. Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej wiemy, że x x 0 jest równa odległości x od x 0 na osi liczbowej. Poszukujemy takich x, których odległość od liczby x 0 = jest większa lub równa od jedynki. Przedstawiając tę sytuację na osi liczbowej otrzymujemy rozwiązanie Rysunek 9: x (, ] [3, + ). Uwzględniając warunek x otrzymujemy odpowiedź. Odpowiedź Dziedziną funkcji y = arccos jest suma przedziałów (, ] [3, ). x Suriekcja, iniekcja, bijekcja

20 Definicja 5: Suriekcja czyli funkcja na Mówimy, że f : X Y końcowemu Y. jest suriekcją, (czyli funkcją na ) wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości jest równy zbiorowi Zapisujemy wówczas f : X na Y co odczytujemy: funkcja f prowadzi ze zbioru Xna zbiór Y. Uwaga : Wiemy, że geometrycznie zbiór wartości funkcji jest rzutem prostopadłym wykresu na oś 0y. Stąd f : X Y jest suriekcją, gdy rzut jej wykresu na oś 0y pokrywa się ze zbiorem Y. Rysunek 0: f : X na Y suriekcja Rysunek : f : X Y nie jest suriekcją

21 PRZYKŁAD Przykład 5: Niech X = R, Y = (, 3]. Zbadamy, czy f : X Y, f(x) = x jest suriekcją. Rozwiązanie Szkicujemy wykres f. Rysunek : Wykres funkcji f Z wykresu odczytujemy, że zbiór wartości funkcji f (rzut jej wykresu na oś 0y ) to przedział (, ], który jest silnie zawarty w zbiorze (, 3], zatem f nie jest suriekcją. ZADANIE Zadanie 7: Treść zadania: Niech X = R, Y = (0, ). Zbadamy czy f : X Y, f(x) = 3 x+5 jest suriekcją. Rozwiązanie: Wykres funkcji f powstaje poprzez przesunięcie w poziomie o wektor v = [5, 0] wykresu funkcji wykładniczej x 3 x, więc rzuty prostopadłe na oś 0y obu wykresów są identyczne. Obie funkcje mają te same zbiory wartości. Wiedząc, że zbiór wartości funkcji wykładniczej x 3 x jest przedziałem (0, ) równym całemu zbiorowi Y wnioskujemy, że f jest suriekcją. INFORMACJA DODATKOWA Informacja dodatkowa : Własność suriektywności zależy od tego, jaki zbiór przyjmiemy za zbiór końcowy Y. Gdybyśmy w przykładzie jako Y wzięli przedział (, ] funkcja byłaby suriekcją. W szczególności: każda funkcja może być traktowana jako suriekcja na swój zbiór wartości.

22 Definicja 6: Funkcja różnowartościowa, iniekcja Mówimy, że f : X Y jest iniekcją (funkcją różnowartościową) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych elementów x, x X stąd, że x x wynika, że f( x ) f( x ) Interpretacja geometryczna różnowartościowości. Funkcja f jest różnowartościowa gdy dowolna prosta pozioma o równaniu y = const przecina wykres f w co najwyżej jednym punkcie. Rysunek 3: Funkcje różnowartościowe. Każda prosta pozioma y = const przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie Rysunek 4: Funkcje nieróżnowartościowe. Istnieją proste poziome przecinające wykres w kilku punktach PRZYKŁAD Przykład 6: Funkcje logarytmiczna, wykładnicza, funkcja potęgowa postaci y = x n dla n nieparzystych, są różnowartościowe. Nie są różnowartościowe funkcje trygonometryczne i funkcje potęgowe postaci y = x n dla n-parzystych. TWIERDZENIE Twierdzenie : Warunek równoważny różnowartościowości Funkcja f : X Y jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych dwóch elementów x, x X zachodzi warunek: stąd, że f( x ) = f( x ) wynika, że x = x.

23 Definicja 7: Funkcja różnowartościowa na zbiorze Mówimy, że funkcja f jest różnowartościowa w zbiorze A zawartym w dziedzinie wtedy i tylko wtedy, gdy jej restrykcja do zbioru A jest funkcja różnowartościową. Rysunek 5: Funkcja nieróżnowartościowa, która jest różnowartościowa na zbiorze A PRZYKŁAD Przykład 7: Pokażemy, że funkcja y = 3 x+5 jest różnowartościowa. Rozwiązanie Skorzystamy z twierdzenia Warunek równoważny różnowartościowości. Dziedziną naturalną danej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Obierzmy dwie takie liczby x, x R i załóżmy, że f( x ) = f( x ). Należy pokazać, że x = x. Mamy f( x ) = 3 x +5, f( x ) = 3 x +5. Założona równość f( x ) = f( x ) przybiera tu postać 3 x +5 = 3 x +5. Logarytmując obie strony (przy podstawie 3) otrzymujemy log 3 3 x+5 = log 3 x Korzystając z własności logarytmu log a a x = x dla a > 0 i a otrzymujemy x + 5 = x + 5, x = x, x = x. Definicja 8: Bijekcja Funkcję f : X Y nazywamy bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją różnowartościową oraz na, czyli jest zarówno iniekcją jak i suriekcją jednocześnie. Restrykcja (zawężenie) funkcji

24 Definicja 9: Równość funkcji Mówimy, że funkcje f i g są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same dziedziny oraz dla każdego punktu wspólnej dziedziny mają te same wartości. Możemy to zapisać f = g D f = D g i dla każdego x D f = D g mamy f(x) = g(x). Definicja 0: Restrykcja funkcji Niech będzie dana funkcja f : X Y oraz zbiór A X. Funkcje g : A Y taką, że dla każdego x A zachodzi równość g(x) = f(x) nazywamy restrykcją lub zawężeniem funkcji f do zbioru A i oznaczamy f A Rysunek 6: Restrykcja funkcji, funkcja f jest zawężeniem funkcji f do zbioru R + PRZYKŁAD Przykład 8: Dane są trzy funkcje: f(x) =, g(x) =, h(x) =. Wśród funkcji f, g, h znajdź parę funkcji równych sobie oraz przedstaw funkcję g jako restrykcję funkcji f do pewnego zbioru A. Rozwiązanie Funkcje f, g, h będziemy rozpatrywać w ich dziedzinach naturalnych. Aby zbadać równość funkcji musimy wyznaczyć (i porównać) te dziedziny oraz porównać wartości. D f jest zbiorem tych wszystkich x, dla których x 3 + x 0. Mamy x 3 + x = x( x + ), więc D f = R {0}. Wyrażenie 3 log 3 x3 ma sens wówczas, gdy x 3 x + x 0 oraz + > 0. x 3 +x Rozwiązując x + > 0, x 3 +x + > 0 x + 3 log x + 3 x 3 x3 +x 3 log 3 +x x + +x ( x)

25 x + x( x +x) > 0, x x > 0. > 0, Zatem D g = R {0} R + = R +. Dziedzina funkcji f jest różna od dziedziny funkcji g, czyli funkcje f i g nie spełniają pierwszego warunku z definicji równości funkcji, a więc nie mogą być równe. Wyznaczając dziedzinę funkcji h zakładamy: x > 0 ( x) 0 x > 0 > 0 x > 0 ( x) Zatem D h = R +. Dziedziny funkcji g i h są równe, a więc należy jeszcze sprawdzić drugi warunek definicji o równości funkcji, czyli porównać ich wartości Weźmy dowolne x R +, korzystając z własności logarytmów mamy: x + +x g(x) = 3 log 3 x3 = 3 log 3 x =, x h(x) = 3 log 3 ( x ) = 3 log3 =. x Widzimy więc, że dla każdego x D g : g(x) = h(x), czyli uwzględniając równość dziedzin wnioskujemy, że funkcje g i h są równe. Zauważmy, że funkcje g oraz h można zapisać następująco: g : R + R, x, x h : R + R, x. x x x Funkcja f jest określona dla x 0. Po przekształceniu otrzymujemy f(x) = + =. Co możemy zanotować: x 3 +x x f : R {0} R, x. x Funkcja g jest więc restrykcją (zawężeniem) funkcji f do zbioru R +, co zapisujemy symbolicznie g = f R+. Odpowiedź Dwie funkcje równe to funkcje g oraz h. Funkcję g można przedstawić jako restrykcję funkcji f do zbioru liczb rzeczywistych dodatnich, czyli g = f R+. Podstawowe własności funkcji: okresowość, parzystość, nieparzystość, ograniczoność, monotoniczność

26 Definicja : Funkcja okresowa Funkcję f : X R nazywamy okresową, jeśli istnieje taka liczba w 0, że dla każdego x X zachodzą warunki x ± w X oraz f(x ± w) = f(x). Liczbę w nazywamy okresem funkcji. Jeżeli istnieje najmniejszy dodatni okres, to nazywamy go okresem podstawowym. Rysunek 7: Przykłady funkcji okresowych PRZYKŁAD Przykład 9: Okresem funkcji f(x) = sin x jest na przykład liczba 4. Jej okresem podstawowym jest liczba w = PRZYKŁAD Przykład 0: Funkcja stała f(x) = c jest funkcją okresową, ale nie ma okresu podstawowego, bo każda liczba dodatnia może być jej okresem.

27 Uwaga 3: Jeżeli funkcja x f(x) jest funkcja okresową o okresie w, zaś a R {0}, to funkcja x f(x) + a oraz funkcja w x af(x) mają ten sam okres, natomiast funkcja x f(ax) ma okres a Aby sporządzić wykres funkcji okresowej, wystarczy narysować go dla argumentów z dowolnego przedziału o długości w, a następnie powielić na prawo i lewo od tego przedziału. Podobnie, aby podać funkcję okresową wystarczy zadać jej wartości w takim przedziale. Najbardziej znanymi funkcjami okresowymi są funkcje trygonometryczne. Okres podstawowy funkcji sinus i cosinus wynosi, zaś funkcji tangens i cotangens.

28 ZADANIE Zadanie 8: Treść zadania: Które z funkcji f, g, h są okresowe? Wskaż, o ile istnieją, ich okresy podstawowe.. f : R R x sin x,. g : x cos 8x, 3. h : x sin x. Rozwiązanie: Funkcja f ma z góry zadany zbiór określoności, natomiast funkcje g, h będziemy rozpatrywać w ich dziedzinach naturalnych. Ad. Funkcja f nie jest funkcja okresową, gdyż nie spełnia pierwszego warunku definicyjnego dotyczącego dziedziny. Jakkolwiek próbowalibyśmy dobrać okres w > 0, to znajdziemy takie x R, że x + w R. uwaga: gdyby funkcja ta była podana następująco x sin x to rozpatrywalibyśmy ją w jej dziedzinie naturalnej, (tzn. R i oczywiście stwierdzilibyśmy, że jest to funkcja okresowa o okresie zasadniczym ). Ad. Dziedziną naturalną funkcji g jest R, gdyż wyrażenie cos 8x ma sens dla dowolnej liczby rzeczywistej, więc pierwszy warunek definicyjny jest spełniony dla dowolnego w > 0. W związku z postacią funkcji g (pamiętając, że funkcja x cos x jest funkcją okresową o okresie zasadniczym ) stwierdzamy, że funkcja g też jest okresowa. Jej okres zasadniczy wynosi =. 8 4 Ad 3. Podobnie jak dla funkcji g pierwszy warunek definicyjny jest spełniony. Dalszą część zadania rozwiążemy graficznie, korzystając z uwag dotyczących rysowania wykresów funkcji. Rysujemy etapami wykresy: x sin x, x sin x, x sin x. Rysunek 8: Okresem zasadniczym funkcji h jest.

29 Uwaga 4: Funkcje okresowe znajdują zastosowanie w technice do opisu zjawisk cyklicznych, np. drgań mechanicznych i akustycznych. Definicja : Parzystość i nieparzystość funkcji Funkcję f : X Y nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x X liczba ( x) X oraz f( x) = f(x). Funkcję f : X Y nazywamy nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x X liczba ( x) X oraz f( x) = f(x). Rysunek 9: Funkcja parzysta. Wykres symetryczny względem osi 0y. Rysunek 30: Funkcja nieparzysta. Wykres symetryczny względem punktu (0, 0) Uwaga 5: Warunek pierwszy wspólny dla funkcji parzystej i nieparzystej oznacza, że dziedzina każdej z nich powinna być symetryczna względem (0, 0). W szczególności gdy X = R, jest on trywialnie spełniony. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi 0y, a nieparzystej względem początku układu współrzędnych czyli punktu (0, 0).

30 Uwaga 6: Spośród czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych jedynie funkcja x cos x jest parzysta, pozostałe są nieparzyste. Inne przykładowe funkcje parzyste, to x x, x x 4, x x, x sin x, a nieparzyste x x 3, x x 5. Zauważmy, że większość funkcji nie ma ani własności parzystości, ani nieparzystości. ZADANIE Zadanie 9: Treść zadania: 5+x Zbadajmy parzystość i nieparzystość funkcji: f : x log 3. 5 x Rozwiązanie: 5+x D f = {x : 5 x 0 > 0}. 5 x 5+x Rozwiązując nierówność > 0 mamy x ( 5, 5). 5 x Stąd D f = ( 5, 5). Jest to oczywiście przedział symetryczny względem punktu (0, 0), czyli warunek pierwszy jest spełniony. Obliczmy f( x). 5 x 5+x 5+x f( x) = log 3 = log = = f(x). 5+x 3 ( ) log 5 x 3 5 x Odpowiedź Funkcja f jest nieparzysta. ZADANIE Zadanie 0: Treść zadania: Zbadajmy parzystość i nieparzystość funkcji: g : x sin(cos x) + sin x + 4 Rozwiązanie: D f = R, więc warunek dotyczący symetrii dziedziny jest spełniony. Obliczając g( x) mamy g( x) = sin(cos( x)) + sin( x) + 4 = sin(cos( x)) + sin x + 4 = sin(cos x) + sin x + 4 = g(x). Odpowiedź Funkcja g jest parzysta.

31 TWIERDZENIE Twierdzenie : O rozkładzie funkcji na parzystą i nieparzystą Każdą funkcję f o dziedzinie symetrycznej względem punktu (0, 0) można przedstawić w postaci sumy dwoch funkcji f if, z których pierwsza jest parzysta, a druga nieparzysta. Wówczas,. (x) = f (x) = f f(x)+f( x) f(x) f( x) (5) (6) PRZYKŁAD Przykład : Rozłożymy funkcję f(x) = 3 x + x + 7 na sumy części parzystej i nieparzystej. Rozwiązanie D f = R jest zbiorem symetrycznym względem punktu (0, 0), czyli taki rozkład jest możliwy. f(x)+f( x) 3 x f (x) = = +x+7+(3( x ) +( x)+7 6 x = +4 = 3 x + 7, f(x) f( x) 3 x f (x) = = +x+7 (3( x) x+7) 3 x = +x+7 3 x +x 7 4x = = x. Odpowiedź Część parzysta funkcji f to funkcja kwadratowa f (x) = 3 x + 7, część nieparzysta funkcji f to funkcja liniowa f (x) = x PRZYKŁAD Przykład : Znajdziemy część parzystą i część nieparzystą funkcji f(x) = sin(6x). Rozwiązanie D f = R jest zbiorem symetrycznym względem (0, 0), czyli taki rozkład jest możliwy. f(x)+f( x) sin 6x+ sin( 6x) sin 6x sin 6x 0 f (x) = = = = = 0, f(x) f( x) sin 6x sin( 6x) sin 6x+ sin 6x f (x) = = = = sin 6x. Zauważmy, że tu f = f. Wynika to z faktu, że dana funkcja f jest funkcją nieparzystą. Wówczas jej częścią parzystą jest funkcja tożsamościowo równa zeru. Odpowiedź Część parzysta funkcji f to funkcja f (x) = 0, część nieparzysta funkcji f to funkcja f (x) = sin 6x.

32 Definicja 3: Funkcja ograniczona z góry Funkcja f : X Y jest ograniczona z góry, jeżeli jej zbiór wartości jest ograniczony z góry, czyli jeśli istnieje taka liczba M, że dla każdego x należacego do dziedizny funkcji f(x) M. Rysunek 3: Funkcja ograniczona z góry. Wykres leży poniżej prostej y = M PRZYKŁAD Przykład 3: Funkcja f(x) = 3 x jest ograniczona z góry. Jako M można przyjąć liczbę 3 lub każdą liczbę większą od 3. Nierówność f(x) M przyjmuje tu postać 3 x 3 równoważną nierówności x 0, która jest zawsze spełniona. Definicja 4: Funkcja ograniczona z dołu Funkcja f : X Y jest ograniczona z dołu, jeżeli jej zbiór wartości jest ograniczony z dołu, czyli jeśli istnieje taka liczba m, że dla każdego x D f zachodzi f(x) m. Rysunek 3: Funkcja ograniczona z dołu. Wykres leży nad prostą y = m lub jej dotyka

33 PRZYKŁAD Przykład 4: Funkcja f(x) = x jest ograniczona z dołu przez liczbę. Nierówność f(x) m przyjmuje tu postać x, czyli x 0, co jest prawdą dla każdego x R.. PRZYKŁAD Przykład 5: Funkcja f(x) = x 3 nie jest ograniczona ani z dołu, ani z góry, bo dla dowolnie dużego M można wskazać takie x, że x 3 > M. Podobnie dla dowolnie małego m można wskazać takie x, że x 3 < m. Definicja 5: Funkcja ograniczona Funkcja f : X F jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona zarówno z góry jak i z dołu. Rysunek 33: Funkcja ograniczona. Wykres leży pomiedzy prostymi y = M oraz y = M PRZYKŁAD Przykład 6: Funkcja f(x) = + cos x jest ograniczona z góry przez liczbę 3 i z dołu przez liczbę, czyli jest funkcją ograniczoną.

34 Definicja 6: Funkcja rosnąca Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A D f, jeśli dla każdych dwóch elementów x, x A stąd, że x < x wynika, że f( x ) < f( x ). Rysunek 34: Przykład funkcji rosnącej Definicja 7: Funkcja słabo rosnąca Funkcja f jest słabo rosnąca (niemalejąca) w zbiorze A D f, jeśli dla każdych dwóch elementów x, x A stąd, że x < x wynika, że f( x ) f( x ) Rysunek 35: Przykład funkcji słabo rosnącej

35 Uwaga 7: Jak wynika z powyższych definicji, funkcja rosnąca to taka funkcja, dla której wraz ze wzrostem argumentu wzrasta wartość funkcji. Wykres funkcji rosnącej,,wznosi się od lewej do prawej. Definicja 8: Funkcja malejąca Funkcja f jest malejąca w zbiorze A D f, jeśli dla każdych dwóch elementów x, x A stąd, że x < x wynika, że f( x ) > f( x ) Rysunek 36: Przykład funkcji malejącej Definicja 9: Funkcja słabo malejąca Funkcja f jest słabo malejąca (nierosnąca) w zbiorze A D f, jeśli dla każdych dwóch elementów x, x A stąd, że x < x wynika, że f( x ) f( x )

36 Rysunek 37: Przykład funkcji słabo malejącej Uwaga 8: Funkcja malejąca to taka funkcja, dla której wraz ze wzrostem argumentu maleje wartość funkcji. Wykres funkcji malejącej "opada w dół" od lewej do prawej. Definicja 0: Funkcja monotoniczna Funkcja monotoniczna w zbiorze A D f to funkcja, która jest słabo rosnąca na A lub słabo malejąca na A. Funkcję nazywamy ściśle monotoniczną w A, jeśli jest ona rosnąca lub malejąca. Uwaga 9: Monotoniczność funkcji ma duże znaczenie podczas rozwiązywania nierówności. Obrazowo można powiedzieć, że funkcje rosnące nie zmieniają zwrotu nierówności, natomiast funkcje malejące zmieniają ten zwrot. Funkcje logartymiczne i wykładnicze o podstawie ułamkowej z przedziału (0, ) są malejące, stąd zmiana zwrotu podczas "opuszczania" symbolu tych funkcji, np: Rozwiązując nierówność: log (3x + ) log x, pamiętamy, że funkcja x nierówność kwadratową". 3x + x log x jest malejąca i zmieniamy zwrot znaku nierówności przy "opuszczaniu logarytmu otrzymując

37 Natomiast podczas rozwiązywania nierówności: log (3x + ) log x, wiedząc, że funkcja x log x jest rosnąca pozostawiamy niezmieniony zwrot nierówności otrzymując wówczas nierówność kwadratową 3x + x, Algebraiczne działania na funkcjach Definicja : Suma, różnica, iloczyn i iloraz funkcji Niech będą dane dwie funkcje f : X R, g : X R Sumą funkcji f i g nazywamy funkcję (f + g) : X R taką, że (f + g)(x) = f(x) + g(x), dla każdego x X. Różnicą funkcji f i g nazywamy funkcję (f g) : X R taką, że (f g)(x) = f(x) g(x), dla każdego x X. Iloczynem funkcji f i g nazywamy funkcję (f g) : X R taką, że (f g)(x) = f(x) g(x), dla każdego x X. Jeżeli ponadto g(x) 0 dla każdego x X to ilorazem funkcji f i g nazywamy funkcję f f : X R taką, że (x) = g g f(x) g(x) dla każdego x X TWIERDZENIE Twierdzenie 3: Działania arytmetyczne na funkcjach a własności funkcji Suma funkcji ograniczonych jest funkcja ograniczoną.iloczyn funkcji ograniczonych jest funkcja ograniczoną. Suma funkcji rosnących jest funkcja rosnącą. Iloczyn nieujemnych funkcji rosnących jest funkcja rosnącą. Suma funkcji malejących jest funkcja malejącą. Iloczyn nieujemnych funkcji malejących jest funkcja malejącą. Suma funkcji słabo rosnących jest funkcja słabo rosnącą. Iloczyn nieujemnych funkcji słabo rosnących jest funkcja słabo rosnącą. Suma funkcji słabo malejących jest funkcja słabo malejącą. Iloczyn nieujemnych funkcji słabo malejących jest funkcja słabo malejącą. Identyczność

38 Definicja : Funkcja identycznościowa Funkcją identycznościową w zbiorze A (identycznością w zbiorze A) nazywamy funkcję f : A A określoną wzorem f(x) = x, dla każdego x A. Funkcję identycznościową w zbiorze A oznaczamy symbolem id A. Mamy więc i d A : A A, i d A (x) = x, dla każdego x A Uwaga 0: Wykres funkcji identycznościowej leży zawsze na diagonali, czyli prostej o równaniu y = x będącej dwusieczną pierwszej i trzeciej ćwiartki układu współrzędnych. Składanie funkcji Rysunek 38: Wykres funkcji identycznościowej na przedziale domkniętym [, ] Definicja 3: Złożenie funkcji Złożeniem funkcji f : X Y i g : Z W, gdzie Y Z nazywamy funkcję oznaczoną g f, określoną następująco g f : X W, (g f)(x) = g(f(x)), dla każdego x X. Funkcję f nazywamy wówczas funkcją wewnętrzną, a funkcję g funkcja zewnętrzną.

39 Rysunek 39: Ilustracja złożenia funkcji PRZYKŁAD Przykład 7: Dane są funkcje: f : R R, f(x) = x +, g : R, g(x) = 3 x + x Utworzymy złożenia g f, f g, f f Rozwiązanie W naszym przykładzie wszystkie zbiory występujące w definicji złożenia są równe X = Y = Z = W = R. Obliczamy (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + ) = 3(x + ) + (x + ) = 3 x + 8x + 5, (f g)(x) = f(g(x)) = f(3 x + x) = 3 x + x +, (f f)(x) = f(f(x)) = f(x + ) = x + + = x +. Mamy, więc g f : R R, (g f)(x) = 3 x + 8x + 5, f g : R R, (f g)(x) = 3 x + x +, f f : R R, (f f)(x) = x +. Uwaga : Jak widać z powyższego przykładu, składanie funkcji jest operacją nieprzemienną.

40 Uwaga : Warunek złożenia funkcji Jeżeli funkcja f oraz g podane są jedynie za pomocą wzorów, to jest możliwe ich złożenie g f, jeśli tylko niepusty jest zbiór {x R : x D f i f(x) D g }. Zbiór ten jest wówczas dziedziną (naturalną) złożenia. ZADANIE Zadanie : Treść zadania: Niech f(x) = log x, g(x) = 3x + 5. Utworzymy złożenie f g, podając ich wzory i dziedziny. Rozwiązanie: (f g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 5) = log(3x + 5), D f g = {x R : x D g i g(x) D f }, = R, = (0, + ). D g Mamy więc Odpowiedź D f 5 x R i 3x + 5 > 0, czyli x >. 3 (f g)(x) = log(3x + 5), = (, + ). D f g 5 3

41 ZADANIE Zadanie : Treść zadania: Niech f(x) = log x, g(x) = 3x + 5. Utworzymy złożenie g f, podając ich wzory i dziedziny. Rozwiązanie: (g f)(x) = g(f(x)) = g(log x) = 3 log x + 5, D g f = {x R : x D f i f(x) D g }, = (0, ), = R. D f Mamy więc x > 0. Odpowiedź D g (g f)(x) = 3 log x + 5, D g f = (0, ) ZADANIE Zadanie 3: Treść zadania: Niech f(x) = log x, g(x) = 3x + 5. Utworzymy złożenie f f, podając ich wzory i dziedziny. Rozwiązanie: (f f)(x) = f(f(x)) = f(log x) = log(log x), D f f = {x R : x D f i f(x) D f }. Mamy więc x > 0 i log x > 0. Rozwiązując ostatnią nierówność otrzymujemy log x > log, czyli x > (korzystamy z faktu, że funkcja logarytmiczna log x = log 0 x jest rosnąca, gdyż tu podstawa logarytmu równa się 0 czyli jest większa od jedynki). Odpowiedź (f f)(x) = log(log x), D f f = (, ).

42 TWIERDZENIE Twierdzenie 4: O monotoniczności złożeń Złożenie dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. Złożenie dwóch funkcji malejących jest funkcją rosnącą. Złożenie funkcji rosnącej i malejącej w dowolnej kolejności jest funkcją malejącą. PRZYKŁAD Przykład 8: Zbadamy monotoniczność danej funkcji i określimy rodzaj jej monotoniczności. Pokażemy, że funkcja Rozwiązanie jest funkcją rosnącą. Funkcję f potraktujemy jako funkcję złożoną z trzech funkcji f = f 3 f f. Kładziemy: f (x) = x, f (x) = x 5, 3 f 3 (x) = ( ). Sprawdzimy, czy dobrze określiliśmy funkcje składowe. Z łatwością określamy monotoniczność funkcji składowych. Funkcja f jest funkcją malejącą, f jest funkcją rosnącą, zatem ich złożenie f f jest funkcją malejącą. Funkcja f 3 jest funkcją malejącą jako funkcja wykładnicza o podstawie z przedziału (0, ) więc jej złożenie z funkcją malejącą f f jest funkcją rosnącą. A to złożenie f 3 ( f f ) = f 3 f f jest badaną funkcją f. Odpowiedź Funkcja f jest rosnąca. x ( x) f(x) = ( ) 5 3 ( f 3 f f )(x) = f 3 ( f ( f (x))) = f 3 ( f ( x)) = f 3 (( x ) 5 ) = ( ) = f(x). 3 ( x) 5 Pojęcie funkcji odwrotnej do danej

43 Definicja 4: Funkcja odwrotna Niech funkcja f : X Y będzie bijekcją (funkcją różnowartościową (iniekcją) i na (suriekcją). Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję f : Y X spełniającą warunek: f f = i d X, f f = i d Y : Rysunek 40: Dziedziną funkcji f jest przeciwdziedzina funkcji f, a przeciwdziedziną funkcji f jest dziedzina funkcji f Uwaga 3: Warunki określające funkcje odwrotne oznaczają, że ( f f)(x) = x, dla każdego x X, (f f )(x) = x, dla każdego x Y. Rysunek 4: Ilustracja warunków dla funkcji odwrotnych Korzystając z definicji złożenia, możemy je zapisać: f (f(x)) = x, dla każdego x X, (f( f (x)) = x, dla każdego x Y.

44 Uwaga 4: O praktycznym sposobie znajdowania wzoru na funkcję odwrotną Aby podać wzór na funkcję odwrotną, funkcję daną x f(x) traktujemy jako zbiór par uporządkowanych {(x, y) : y = f(x)} i zmieniamy kolejność w tych parach tzn. tworzymy zbiór {(y, x) : y = f(x)}. W praktyce oznacza to wyliczenie x ze wzoru y = f(x) i zamianę w otrzymanym wzorze x = f (y) roli x z y. Mamy wówczas y = f (x), czyli funkcję f : x y = f (x). PRZYKŁAD Przykład 9: Sprawdzimy, że funkcja x x 6 jest odwrotna do funkcji x x + 3. Rozwiązanie Oznaczmy przez f(x) = x 6, f : R R, g(x) = x + 3, g : R R. Sprawdzimy, że złożenie w obie strony funkcji f i g jest identycznością na R. (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 6) = (x 6) + 3 = x = x, (f g)(x) = f(g(x)) = f( x + 3) = ( x + 3) 6 = x = x. Odpowiedź Dane funkcje są wzajemnie odwrotne. ZADANIE Zadanie 4: Treść zadania: Zbadamy, czy istnieje funkcja odwrotna do funkcji f : [3, ) [, ), f(x) = (x 3 ) +, i w przypadku odpowiedzi pozytywnej wyznaczymy tę funkcję odwrotną. Narysujemy wykresy f i f. Rozwiązanie: Najpierw sprawdzimy, czy f jest iniekcją. Wykorzystamy warunek równoważny definicji iniekcji. Mamy pokazać, że dla każdych dwóch elementów x, x D f = [3, ), z tego, że f( x ) = f( x ) wynika, że x = x. Obierzmy więc dwie liczby x > 3 i x > 3 i załóżmy, że f( x ) = f( x ). Ostatnia równość przybiera tu postać: ( x 3 ) + = ( x 3 ) + ( 3 ) = ( 3)

45 ( x 3 ) = ( x 3) ( x 3) = ( x 3), x 3 = x 3. Z założenia x > 3 wynika, że x 3 = x 3. Z założenia x > 3 wynika, że x 3 = x 3. x 3 = x 3, =. x x Funkcja f jest więc iniekcją. Przedział [, ) jest jej zbiorem wartości, czyli funkcja f jest również suriekcją. Zatem f jest bijekcją. Funkcja odwrotna f do f istnieje. W celu wyznaczenia f zapiszemy funkcję f za pomocą wzoru y = (x 3 ) + i z tego wzoru wyliczymy x. (x 3 ) = y, (x 3) = y, x 3 = y, x 3, czyli x 3 = x 3. Mamy, więc x 3 = y, x = y + 3. Zmieniając x na y otrzymujemy wzór funkcji odwrotnej y = x + 3. Czyli f (x) = x + 3, D f = [, ). Rysunek 4: Wykres funkcji odwrotnej jest symetryczny do wykresu funkcji danej względem prostej o równaniu y = x Odpowiedź Funkcją odwrotna do f jest f taka, że f : [, ) [3, ), f (x) = x + 3.

46 TWIERDZENIE Twierdzenie 5: O monotoniczności funkcji odwrotnej Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca. Funkcja odwrotna do funkcji malejącej jest malejąca.

47 PRZYKŁAD Przykład 0: Funkcja logarytmiczna i wykładnicza jako funkcje wzajemnie do siebie odwrotne Rysunek 43: Funkcja wykładnicza o podstawie a większej od jest funkcją rosnącą. dwrotna do niej funkcja logarytmiczna o tej samej podstawie jest również funkcja rosnącą. Rysunek 44: Funkcja wykładnicza o podstawie ułamkowej a (0, ) jest funkcją malejącą. Odwrotna do niej funkcja logarytmiczna o tej samej podstawie jest również malejąca Funkcje cyklometryczne. Definicje, wykresy, podstawowe własności

48 Uwaga 5: O różnowartościowości pewnych zawężeń funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne jako funkcje okresowe nie są funkcjami różnowartościowymi. Mamy wiele (nieskończenie wiele) możliwości utworzenia ich różnowartościowych zawężeń. Szczególną rolę odgrywają następujące zawężenia (restrykcje): sin [, ] : [, ] x sin x [, ], cos [0,] : [0, ] x cos x [, ], : (, ) x tg x R, tg (, ) ctg [0,] : [0, ] x ctg x R. Powyższe zawężenia są funkcjami różnowartościowymi oraz na, czyli są bijekcjami, zatem posiadają funkcje odwrotne. Te funkcje odwrotne nazywamy funkcjami cyklometrycznymi. Definicja 5: Funkcja arkus sinus Funkcją arkus sinus (oznaczaną arcsin) nazywamy funkcje odwrotną do funkcji sinus zawężonej do przedziału domkniętego [, ] arcsin := ( ) sin [, ] Dziedziną funkcji arkus sinus jest przedział [, ], zaś zbiorem wartości przedział [, ]. Wykres funkcji arcsin powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej y = x wykresu zawężonej funkcji sinus ( sin ) [, ] Rysunek 45: Funkcja arkus sinus

49 Uwaga 6: Własności funkcji arkus sinus Podstawowe własności funkcji arkus sinus wynikają z faktu, że jest to funkcja odwrotna do odpowiednio zawężonej funkcji sinus i z ogólnych własności funkcji wzajemnie odwrotnych. Na przykład z tego, że f (f(x)) = x dla każdego x X, f( f (x)) = x dla każdego x Y wynika, że arcsin(sin x) = x dla x [, ]. sin(arcsin x) = x dla x [, ]. Podobnie można skomentować pozostałe własności arcsin x = w sin w = x i w [, ], x [, ]. Funkcje x arcsin x jest funkcją rosnącą jako odwrotna do rosnącego zawężenia funkcji sinus ( sin ). [, ] Funkcja x arcsin x jest funkcją nieparzystą. arcsin( x) = arcsin x, x [, ]. Funkcja x arcsin x jest funkcją ograniczoną arcsin x dla każdego x [, ]. Definicja 6: Funkcja arkus kosinus Funkcją arkus kosinus (oznaczaną arccos) nazywamy funkcję odwrotną do funkcji kosinus zawężonej do przedziału domkniętego [0, ]. arccos := ( cos [0,] ). Dziedziną funkcji arkus kosinus jest przedział [, ], zaś zbiorem wartości przedział [0, ]. Wykres funkcji arccos powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej y = x wykresu zawężonej funkcji kosinus ( cos [0,] )

50 Rysunek 46: Funkcja arkus kosinus Uwaga 7: Własności funkcji arkus kosinus Podstawowe własności funkcji arkus kosinus wynikają z faktu, że jest to funkcja odwrotna do odpowiednio zawężonej funkcji kosinus i z ogólnych własności funkcji wzajemnie odwrotnych. Na przykład z tego, że f (f(x)) = x dla każdego x X, f( f (x)) = x dla każdego x Y, wynika, że arccos(cos x) = x, dla x [0, ]. cos(arccos x) = x, dla x [, ]. Podobnie można skomentować pozostałe własności arccos x = w cos w = x i w [0, ], x [, ]. Funkcja x arccos x jest funkcją malejącą jako odwrotna do malejącego zawężenia funkcji kosinus ( cos [0,] ). Funkcja x arccos x jest funkcją ograniczoną, czyli 0 arccos x, dla każdego x [, ]. Funkcja x arccos x nie jest funkcją parzystą, ani nieparzystą.

51 Definicja 7: Funkcja arkus tangens Funkcją arkus tangens (oznaczaną arctg) nazywamy funkcje odwrotną do funkcji tangens zawężonej do przedziału otwartego (, ), arctg := ( ). tg (, ) Dziedziną funkcji arkus tangens jest zbiór liczb rzeczywistych, zaś zbiorem wartości tej funkcji jest przedział otwarty (, ). Wykres funkcji arccos powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej y = x wykresu zawężonej funkcji tangens ( tg (, ) ). Rysunek 47: Funkcja arkus tangens Uwaga 8: Własności funkcji arkus tangens Podstawowe własności funkcji arkus tangens wynikają z faktu, że jest to funkcja odwrotna do odpowiednio zawężonej funkcji tangens i z ogólnych własności funkcji wzajemnie odwrotnych. Na przykład z tego, że f (f(x)) = x, dla każdego x X, f (x) = x, dla każdego x Y wynika, że arctg(tg x) = x dla x (, ). Podobnie można skomentować pozostałe własności tg(arctg x) = x dla x R, arctg x = w tg w = x i w (, ), x R. Funkcja x arctg x jest funkcją rosnącą jako odwrotna do rosnącego zawężenia funkcji tangens ( tg ). (, ) Funkcja x arctg x jest funkcją ograniczoną, czyli Funkcja x arctg x jest funkcją nieparzystą, arctgx, dla każdego x R arctg ( x) = arctg x, dla każdego x R

52 Definicja 8: Funkcja arkus kotangens Funkcją arkus kotangens (oznaczaną arcctg) nazywamy funkcje odwrotną do funkcji kotangens zawężonej do przedziału otwartego (0, ) arcctg := ( ctg (0,) ) Dziedziną funkcji arkus kotangens jest cały zbiór liczb rzeczywistych, zaś zbiorem wartości tej funkcji jest przedział otwarty (0, ). Wykres funkcji arcctg powstaje poprzez odbicie symetryczne względem prostej y = x wykresu zawężonej funkcji kotangens ( ctg (0,) ). Rysunek 48: Funkcja arkus kotangens

53 Uwaga 9: Własności funkcji arkus kotangens Podstawowe własności funkcji arkus kotangens wynikają z faktu, że jest to funkcja odwrotna do odpowiednio zawężonej funkcji kotangens i z ogólnych własności funkcji wzajemnie odwrotnych. Na przykład z tego, że f (f(x)) = x, dla każdego x X, f( f (x)) = x dla każdego x Y wynika, że arcctg(ctg x) = x, dla x (0, ). Podobnie można skomentować pozostałe własności ctg(arcctg x) = x, dla x R, arcctg x = w ctg w = x i w (0, ), x R. Funkcja x arcctg x jest funkcją malejącą jako odwrotna do malejącego zawężenia funkcji kotangens ( ctg (0,) ). Funkcja x arcctg x jest funkcją ograniczoną. 0 arcctg x, dla każdego x R. Funkcja x arcctg x nie jest funkcją parzystą ani nieparzystą. Uwaga 30: O związkach pomiędzy funkcjami cyklometrycznymi Pomiędzy funkcjami cyklometrycznymi (podobnie jak pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi) zachodzi wiele związków. Niektóre z nich, jak dwie tożsamości cyklometryczne podane poniżej można bardzo łatwo zauważyć. I tak spostrzegamy, że po przesunięciu "do góry" wykresu funkcji arkus sinus o wektor v = [0, ], a następnie przekształceniu przez symetrie względem osi 0y otrzymujemy wykres funkcji arkus kosinus. Podobnie postępując z wykresem funkcji arkus tangens otrzymujemy wykres funkcji arkus kotangens. TWIERDZENIE Twierdzenie 6: Związki pomiędzy funkcjami cyklometrycznymi arcsin x + arccos x =, dla każdego x [, ] arctg x + arcctg x =, dla każdego x R (7) (8) Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych

54 PRZYKŁAD Przykład : Obliczmy arcsin, Korzystamy z faktu, że arcsin x = w sin w = x i w [, ], x [, ], arcsin = w sin w = i w [, ]. Rozwiązując równanie trygonometryczne elementarne: sin w =, otrzymujemy dwie grupy rozwiązań 6 w = + k, k Z lub w = + k = + k, k Z, 6 z których wybieramy tylko to rozwiązanie, które należy do przedziału [, ], czyli w = PRZYKŁAD Przykład : Obliczmy arctg ( 3). Funkcja arctg jest nieparzysta, więc arctg( 3) = arctg( 3). arctg( 3) obliczamy korzystając z faktu, że arctgx = w tg w = x i w (, ), x R, arctg 3 = w tg w = 3 i w (, ). Rozwiązujemy równanie trygonometryczne elementarne: tgw = 3. otrzymując w = + k, k Z 3 spośród rozwiązań wybieramy to, które należy do przedziału (, ), czyli w =, 3

55 ZADANIE Zadanie 5: Treść zadania: Pokażemy, że dla x [, ] prawdziwa jest równość sin(arccos x) = x Rozwiązanie: Obierzmy dowolną liczbę x [, ], wówczas liczba α = arccos x należy do przedziału [0, ], więc wartość funkcji sinus dla tej liczby jest nieujemna. Z jedynki trygonometrycznej mamy sin α + cos α =, sin α = cos α, sin α = cos α lub sin α = cos α, Wybieramy wzór sin α = cos α i obliczamy sin(arccos x) = cos (arccos x) = [cos(arccos x)] = x. - korzystamy z faktu, że cos(arccos x) = x, dla każdego x [, ]. ZADANIE Zadanie 6: Treść zadania: Obliczymy wartość wyrażenia sin(arccos arcsin ). Rozwiązanie: Obliczamy najpierw arccos, a następnie arcsin arccos = w cos w = i w [0, ], stąd w =. 3 arcsin = w sin w = i w [, ], stąd w =. Mamy więc sin(arccos arcsin ) = sin( ) = sin( ) = sin =

56 ZADANIE Zadanie 7: Treść zadania: Obliczmy wartość wyrażenia sin(arccos arccos ). 5 7 Rozwiązanie: Zauważmy, że postępując podobnie jak w przykładzie 3 czyli obliczając np. arccos, napotkamy pewną trudność w 7 efektywnym rozwiązaniu równania trygonometrycznego cos w =. Możemy tu użyć kalkulatora do znalezienia 7 rozwiązania przybliżonego, ale możemy też zadanie to rozwiązać inaczej. W tym celu wykorzystamy wzory: sin(α β) = sin α cos β cos α sin β, α, β R. cos(arccosx) = x, dla x [, ], sin(arccos x) = x, dla x [, ] (patrz przykład drugi). Obliczamy sin(arccos arccos ) = sin(arccos ) cos(arccos ) cos(arccos ) sin(arccos ) = = = = =

57 ZADANIE Zadanie 8: Treść zadania: Niech f(x) = sin x, g(x) = arcsin x. Naszkicujemy wykresy złożeń f g Rozwiązanie: Funkcje f, g są podane jedynie za pomocą wzorów, czyli rozpatrujemy je w dziedzinie naturalnej. f(x) = sin x, D f = R, g(x) = arcsin x, D g = [, ]. Znajdujemy dziedzinę złożenia D f g = {x R : x D g i g(x) D f }, x [, ], (arcsin x) R. Stąd D f g = [, ] Dla x [, ] obliczamy (f g)(x) = f(g(x)) = f(arcsin x) = sin(arcsin x) = x. Otrzymujemy (f g)(x) = x, D f g = [, ]. Zatem złożenie f g jest identycznością w przedziale [, ]. Rysujemy wykres tej identyczności. Rysunek 49: f g ZADANIE Zadanie 9: Treść zadania: Niech f(x) = sin x, g(x) = arcsin x. Naszkicujemy wykresy złożeń g f. Rozwiązanie: g(x) = arcsin x, D g = [, ],