Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Repetytorium z matematyki ćwiczenia"

Transkrypt

1 Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa i kwadratowa, przekształcanie wykresów 10 6 Przekształcanie wykresów, funkcja kwadratowa 12 7 Wielomiany, funkcje wymierne 14 8 Funkcja wykładnicza zmiennej rzeczywistej Funkcja logarytmiczna zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne 19 Gabriela Adamczyk, Anna Loranty, Aleksandra Karasińska, Renata Wiertelak

2 Zestaw 1. Liczby rzeczywiste Oznaczenia: R - zbiór liczb rzeczywistych; N - zbiór liczb naturalnych; Q - zbiór liczb wymiernych; Z - zbiór liczb całkowitych; C - zbiór liczb zespolonych. Zadanie 1.1. Oblicz ( ) (6 5 ) (7 4 ) 7 5. ( 3) 0 ( 2 3 ) ( 2) Zadanie 1.2. Wykaż, że liczba ( ) 2 jest całkowita. Zadanie 1.3. Zapisz w prostszej postaci a 1. 2 c 2 16b ab+a 2 a ab+4b 2 c a (4b a)(2b+a) a 2 4b 2 Zadanie 1.4. Oblicz wartość wyrażenia dla podanych wartości zmiennych: 1. a 2 3a+c a c dla a = 2, c = 3 2. (x y)(x+y)(x+z)(x z) x 2 y 2 dla x = 5, y = 1, z = 4. Zadanie 1.5. Wyznacz każdą ze zmiennych z równości kx 5 = 5(x m) + n. Podaj warunki, przy których jest to możliwe. Zadanie 1.6. Zapisz podane wyrażenie w takiej postaci, aby symbol pierwiastka nie występował w mianowniku a b a+ b a b a b ab a b+b a Zadanie 1.7. Sprawdź, czy wyrażenia są równe: 1. abx 3 abx (x 1)(x+1) i abx 2. a 2 x 2 a 2 y 2 x 2 +y 2 i a x i x+1 x 1 Zadanie 1.8. Znajdź zbiory A B, A B, A \ B, B \ A, R \ A. Zaznacz rozwiązanie na osi liczbowej. 1. A = [ 3, 5], B = [ 1, 7] 2. A = (1, 6), B = (, 4) 3. A = [5, + ), B = (0, 7) 4. A = (, 4], B = [3, + ) 5. A = [ 7, 4], B = (0, 3) 6. A = (, 5), B = (, 2) 1

3 7. A = ( 2, 5), B = {5} 8. A = [1, 7], B = {1} 9. A = (0, 3], B = {0, 3} 10. A = {x R : x + 2 < 3}, B = {x R : (2x 1) 3 8x 3 13x 2 + 6x + 3} Zadanie 1.9. Zapisz w postaci przedziału lub sumy przedziałów rozłącznych < x < x 3, , 5 < x x > 3, x 6. (2, 5) \ {3} 7. R \ {3} 8. ( 1, 4) \ [0, 2] 9. ( 3, 2] \ N 10. zbiór liczb rzeczywistych mniejszych od zbiór liczb rzeczywistych nie mniejszych niż zbiór liczb rzeczywistych większych od -7 i nie większych od 4. Zadanie Znajdź zbiory A (B \ C), (A \ B) C, gdzie 1. A = ( 3, 1), B = [0, 5], C = (4, 7) 2. A = (7, + ), B = (, 7), C = [ 1, 4] 3. A = (, 4], B = ( 6, 11), C = {2, 4, 8} 4. A = (2, ), B = (4, 7), C = (3, 9) 5. A = ( 7, 4), B = {0, 2}, C = [ 1, 3] Zadanie Wyznacz zbiór X \ A 1. A = (3, 6), X = R + 2. A = (1, 3) {5}, X = [0, 7) 3. A = {x Q : 0 < x 1}, X = {x Q : 0 < x 3} 4. A = (2, ), B = (4, 7), C = (3, 9) 5. A = ( 7, 4), B = {0, 2}, C = [ 1, 3] Zadanie Dane są zbiory A - zbiór liczb parzystych mniejszych niż 10, B - zbiór liczb pierwszych większych od 5, C - zbiór liczb wymiernych mniejszych niż 8, D - zbiór liczb niewymiernych dodatnich. Wskaż wśród zbiorów A B, A C, B D, C \ D, A \ C, B \ D zbiory puste. Zadanie Zapisz zadanie nie używając symbolu wartości bezwzględnej: 1. a 2 2 ab +b 2, gdzie a, b < x 1, gdzie x < 0, 1 2. x+y x y, gdzie y > x 4. x + y, gdzie x > 2, y < 1 Zadanie Zapisz przedział, który jest zbiorem elementów x spełniająch warunek: 2

4 1. x < 3 x 0 2. x < 2 x 3 3. x 1 x < 4 4. x < 2 x 1 Zadanie Rozwiąż równanie: x 2 3 3x 2 +5 = x x = 4 3. x 3 = 2x 4. x 2 + x + 1 = 3 5. x 5 = 2x 1 6. x 3 = 2 7. x 2 3 = 1 Zadanie Rozwiąż nierówność: 1. 2x 2 < x > x x x + 3 x x 3 2x 0, 8 7. x x < 1 + 3x Zadanie Oblicz n+2 n= (2i 1) i= i=1 1 i(i+1) n 2 n=2 Zadanie Rozwiąż równanie 1. x 2 3x + 1 = x 2 + x 2. x 2 2x = 6x x(2x + 3) 6x 9 = x 2 x 6x + 2 = 0 5. x 2 6x = 9 6. (x + 1) 2 = x 2 7. (9x 2 6x + 1)(x 2 25) = 0 8. (2 3x) 2 (4x 2 1) = x 2 x 1 = 0 Zadanie Rozwiąż równanie 1. 2x 4 x 3 + 6x 2 3x = x 3 + 2x 2 6x 4 = 0 3. x 3 3x 2 = 0 4. (3x 2 2x) 2 = x x 3 5x 2 32x + 80 = 0 Zadanie Rozwiąż nierówność 1. x(x 3)(x + 2) > 0 2. x 2 (x 1) < 0 3. (2 x)(x 2 1)(x 2 + 4) < 0 4. x(x + 1) 2 (x 2) x 3 + 2x 2 3x > 0 6. x 3 + 3x 2 + 3x x x 2 5 x 5 x 1 1 3

5 Zestaw 2. Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 1) Sprawdź, czy punkty A(1, 2), B( 3, 10), C( 8, 25) są współliniowe a) korzystając z równania prostej, b) korzystając z własności odległości na płaszczyźnie. 2) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej l : y = 2x + 1 przechodzącej przez punkt A(0, 3). 3) Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej k : y = 4x 1 przechodzącej przez punkt B(1, 2). 4) Dane są proste l : 4x y + 1 = 0 k : (a + 1)x + 2y 5 = 0 m : b 2 x + y = 0. Wyznacz wartości a oraz b wiedząc, że proste l i k są równoległe, zaś proste l i m są prostopadłe. 5) Wyznacz równanie prostej k przechodzącej przez punkt A(0, 0) i równoległej do prostej l, gdy a) l : y = 2x 1, b) l : y = x + 2, c) l : y = x, d) l : y = x. 6) Wyznacz równanie prostej k przechodzącej przez punkt A(0, 0) i prostopadłej do prostej l, gdy a) l : y = 2x 1, b) l : y = x + 2, c) l : y = x, d) l : y = x. 4

6 7) Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów określonych nierównościami: a) y > 0, b) x 0, c) x + 1 > 0, d) 2x 4 0, e) x > 1 8) Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów określonych nierównościami: a) x 1 oraz y 2 b) 2 x 0, c) x + 1 < 2, d) 2x 4 0 oraz 2y e) x + 1 < 2 oraz y 1 < 2 9) Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów określonych nierównościami: a) x 1 lub y 2, b) x < 2 lub y < 2. 10) Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów określonych nierównościami: a) y x + 11, b) x 2 y x + 2, c) x < 1 i y x + 11, d) x y 0. 11) Zaznacz na płaszczyźnie zbiory punktów: a) {(x, y) R 2 : y x 1 0}, b) {(x, y) R 2 : y 3}. 5

7 Zestaw 3. Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej Zadanie 3.1. Podaj współrzędne punktów przecięcia paraboli z osiami układów współrzędnych oraz współrzędne wierzchołka paraboli o danym równaniu. Narysuj podane parabole na płaszcyźnie Oxy. a) y = 3x 2 + 3x 6, b) y = 3x 2 + 3x + 6, c) 3x 2 9x + y 6 = 0, d) y = 2x x 2. Zadanie 3.2. Zapisz równanie paraboli o wierzchołku w poczatku ukladu współrzędnych, której osią symetrii jest oś Oy i do której należy punkt o współrzędnych (2, 3). Zadanie 3.3. Zapisz równanie paraboli, której osią symetrii jest prosta x = 1 i do której należy punkt o współrzędnych (2, 0). Zadanie 3.4. Dla jakich wartości parametry a prosta o równaniu y = a nie ma punktów wspólnych z parabolą o równaniu: a) y = 3x 2 + 3x 6, b) y = 3x 2 3x + 5, c) 2x 2 + 2x + y 6 = 0, d) y = 1 + 2x x 2. Zadanie 3.5. Sprawdź, które z punktów: A = (2, 6), B = (3, 0), C = ( 3, 2), D = (3, 3), E = ( 3, 2), należą do okręgu o środku w punkcie O = ( 2, 3) i promieniu r = 5. Zadanie 3.6. Podaj, o ile istnieją, współrzędne punktów w których okrąg o danym równaniu przecina osie układu współrzędnych. a) x 2 + y 2 = 9, b) (x 1) 2 + (y + 4) 2 = 25, c) (x 2) 2 + (y 3) 2 = 6, d) x 2 + y 2 18 = 0. Zadanie 3.7. Ile punktów wspólnych ma prosta x + y = 0 z okręgiem o równaniu x 2 + y 2 = 4? Wyznacz współrzedne tych punktów (o ile to możliwe). Zadanie 3.8. Wyznacz środek i promień okręgu o równaniu: a) (x + 3) 2 + (y 7) 2 18 = 0, b) x 2 + y 2 6x + 8y 11 = 0, c) x 2 2x + y 2 + 8y + 17 = 49, d) x 2 4x + y 2 6y + 7 = 0. Zadanie 3.9. Jak położone są względem siebie okręgi? a) (x 3) 2 +(y 3) 2 = 4 i (x 4) 2 +(y 3) 2 = 1, b) (x 3) 2 +(y 3) 2 = 4 i (x 7) 2 +(y 3) 2 = 4, c) (x 3) 2 +(y 3) 2 = 4 i (x 6) 2 +(y 2) 2 = 4, d) (x+2) 2 +(y 3) 2 = 4 i (x 2) 2 +(y 2) 2 = 1. Zadanie Wyznacz odległość środka okręgu o równaniu (x + 3) 2 + (y 7) 2 18 = 0 od prostej o równaniu: a) y = 2x + 3, b) x + y 1 = 0, c) 3x + 2 = 7y. 6

8 Zadanie Przedstaw graficznie zbiór rozwiązań nierówności: a) y x < 0, b) 2y + x < 0, c) 2y + x Zadanie Przedstaw graficznie zbiór rozwiązań nierówności: a) (x 3) 2 + (y 3) 2 4, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 1 0, c) x 2 2x + y 2 + 2y 7 < 0. Zadanie Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów opisane nierównościami: a) (x 3) 2 + (y 3) 2 > 4 i y > x, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 < 16 i y < 0, c) x 2 2x + y 2 + 2y 7 > 0 i y > 0 i x < 0, d) x 2 2x + y 2 + 2y 7 > 0 i xy > 0. Zadanie Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów: a) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 9 y > x 2 + 1}, b) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 16 x 2 + y 2 > 9}, c) {(x, y) R 2 : x 2 +y 2 1 (x 1) 2 +y 2 1}, d) {(x, y) R 2 : x 2 +y 2 1 (x 1) 2 +y 2 1}, e) {(x, y) R 2 : y 2x 2 + 4x 1 y < x + 6}, f) {(x, y) R 2 : y 2x 2 + 4x 1 y < x + 6}. Zadanie Sprawdź, które z punktów: A = (2, 6), B = (3, 0), C = ( 3, 2) należą do elipsy o równaniu x2 + y2 = Zadanie Napisz równanie elipsy o ogniskach F 1 i F 2 oraz wielkiej osi równej a jeśli: a) F 1 = ( 2, 0), F 2 = (2, 0) i a = 6, c) F 1 = (1, 0), F 2 = (3, 0) i a = 4. b) F 1 = (0, 2), F 2 = (0, 2) i a = 6, Zadanie Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów opisane równaniem: a) x2 4 + y2 9 = 1 b) (x 3)2 9 + y2 4 = 1 c) (x + 1) 2 + (y 1)2 4 = 1, d) 9(x 3) 2 + 4y 2 36 = 0. Zadanie Sprawdź, które z punktów: A = (2, 6), B = (3, 0), C = ( 3, 2) należą do hiperboli o równaniu x2 y2 = Zadanie Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów opisane równaniem: a) x2 4 y2 9 = 1 b) x2 9 y2 4 = 1 c) y2 4 x2 4 = 1, d) 9x 2 + 4y 2 36 = 0. Zadanie Zaznacz na płaszczyźnie Oxy zbiory punktów: a) {(x, y) R 2 : y 2 = 4x}, b) {(x, y) R 2 : x2 4 + y2 9 < 1}, c) {(x, y) R 2 : x2 9 + y2 4 1}, d) {(x, y) R 2 : y 2 < 4x}. 7

9 Zestaw 4. Dziedzina i wartości funkcji Zadanie 4.1. Sprawdź która z podanych liczb należy do zbioru wartości funkcji f. a) f(x) = 6 x, x [0, 5], liczby 3, 0, 3, 6; b) f(x) = 3x + 2, x [ 2, 3], liczby 2, 0, 3, 6; c) f(x) = 2x 7, x [ 3, 5], liczby 10, 0, 2, 6; d) f(x) = 2 3x, x [ 3, 4], liczby 10, 0, 2, 6; Zadanie 4.2. Z wypełnionego basenu o pojemności 4000 m 3 spuszczono wodę. Prędkość odpływu wynosiła 20 m 3 na minutę. Zapisz wzór funkcji liniowej przedstawiający ilość wody w basenie wraz z upływem czasu. Określ dziedzinę tej funkcji i narysuj jej wykres. Oblicz ile wody będzie po 160 minutach. Zadanie 4.3. Długość torów kolejowych między miastem A i B wynosi 600 km. Pociąg towarowy wyrusza ze stacji A z prędkością 60 km/h. Zapisz wzór funkcji liniowej przedstawiający odległość pociągu od miasta B w zależności od czasu. Określ dziedzinę tej funkcji i narysuj jej wykres. Oblicz w jakiej odległości od miasta B będzie pociąg po 6 godzinach. Zadanie 4.4. Odległość między miastem A i B wynosi 400 km. Samochód wyrusza z miasta A z prędkością 80 km/h. Zapisz wzór funkcji liniowej przedstawiający odległość samochodu od miasta A w zależności od czasu. Określ dziedzinę tej funkcji i narysuj jej wykres. Oblicz w jakiej odległości od miasta A będzie samochód po 3 godzinach. Zadanie 4.5. Wyznacz dziedzinę podanej funkcji: a) f(x) = (x 5)(3 x); b) f(x) = x 3 3x + 7; c) f(x) = 3 + x 2; d) f(x) = x 5 x; e) f(x) = 3x + 1 2x + 5 ; f) f(x) = x + 2 x x ; g) f(x) = 3x 2 3 2x ; h) f(x) = 4 x2 1 + x + x x 1 ; 3x 2 i) f(x) = x 2 9 ; j) f(x) = x x + 3 ; x 1 k) f(x) = 4x 2 9 x 2 ; l) f(x) = 4x x + 3 x 1 ; 8

10 Zadanie 4.6. Naszkicuj wykres podanej funkcji i znajdź jej najmniejszą i największą wartość. a) f(x) = 2x + 3, x [ 3, 2]; b) f(x) = x 2 4, x [ 2, 4]; c) f(x) = x + 3, x [ 5, 2]; d) f(x) = x 1, x [1, 9]; e) f(x) = (x 1) 3, x [ 1, 3]; f) f(x) = x 3 1, x [ 1, 3]; Zadanie 4.7. Naszkicuj wykres podanej funkcji i odczytaj z niego jej najmniejszą i największą wartość. { x + 4 dla x > 0 a) f(x) =, x [ 3, 2]; 2x 3 dla x 0 { 2x 4 dla b) f(x) = 3 x dla x 1 x < 1 { 1 x dla c) f(x) = x 1 dla x < 1 x 1 { 2x + 3 dla d) f(x) = 3 2x dla x > 0 x 0, x [ 2, 4];, x [ 5, 2];, x [ 3, 4]; Zadanie 4.8. Dla funkcji f(x) = x 2 1 znajdź: f(2), f(a), f(a + 1), f(a 1), f(2a), 2f(a). 9

11 Zestaw 5. Funkcja liniowa i kwadratowa, przekształcanie wykresów Zadanie 5.1. Napisz wzór funkcji liniowej przechodzącej przez podane punkty oraz wyznacz jej punkty przecięcia z osiami ukadu współrzędnych. a) A = (0, 0), B = (1, 4), b) A = ( 1, 3), B = (1, 3), c) A = (1, 2, B = ( 1, 4), d) A = (2, 7), B = (7, 10), Zadanie 5.2. Jaką liczbą powinno być m aby podana funkcja była rosnąca, malejąca, stała. a) f(x) = (m 2)x 3, b) f(x) = (m + 1)x + 1, c) f(x) = (2m 1)x + 5, d) f(x) = (3 2m)x 5, e) f(x) = (m 2 + 1)x + 9, f) f(x) = (m 2 1)x + 4, Zadanie 5.3. Rozwiąż równania i nierówności: a) x + 4 x + 5 = x + 3 x , b) 9x 0, 7 4 5x 1, 5 7 = 7x 1, 1 3 5(0, 4 2x), 6 c) 2 3 y 5 6 (12y 18) (4y 8) = 1 (3 9y) 2, 9 d) 2 3 y 4 5 (y 2) (y 8) 1 (y 9), 9 e) x 2 3x x < 1, f) x 1 3x x 4 3 > 2, Zadanie 5.4. Znajdź wszystkie liczby spełniające nierówności i należące do podanego zbioru: a) 3x > 1 x, C ; b) 2x 3 + x < 1, N; 4 2 c) 3 2x 3 + x 1, R + ; d) 8x x, C ; 10

12 Zadanie 5.5. Naszkicuj wykres podanej funkcji. a) f(x) = x 3, b) f(x) = x + 2, c) f(x) = 2x 3, d) f(x) = 2 x 3, e) f(x) = 3 2 x, f) f(x) = 3 2 x, Zadanie 5.6. Przesuwając wykres funkcji g(x) = x 2 narysuj wykres funkcji: a) f(x) = x 2 3, b) f(x) = (x 3) 2, c) f(x) = (x + 2) 2 4, d) f(x) = (x 3) 2 + 5, e) f(x) = (x + 2) 2 + 3, f) f(x) = (x 2) 2 3, Zadanie 5.7. Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Następnie ją narysuj. a) f(x) = 2x 2 + 3x + 1, b) f(x) = 3x 2 + 4x + 2, c) f(x) = 5x 2 8x, d) f(x) = 16x 2 24x + 9, e) f(x) = 2x 2 + 1, f) f(x) = x 2 + x 1, Zadanie 5.8. Znajdź funkcję kwadratową, której pierwiastkami są liczby: a) 1 i 2, b)3 i -2, c) 2 i -3, d) -3 i -4. Zadanie 5.9. Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej. a) f(x) = x 2 + x 30, b) f(x) = x 2 x 20, c) f(x) = 2x 2 + 3x 1, d) f(x) = 2x 2 3x 20, e) f(x) = 9x 2 6x + 1, f) f(x) = 2x 2 8x 8, Zadanie Napisz wzór funkcji, która powstała przez przesunięcie wykresu funkcji f(x) = 3x 2 o wektor u. Następnie narysuj jej wykres. a) u = [ 3, 2], b) u = [2, 3], c) u = [0, 3], d) u = [ 5, 0], e) u = [ 1, 3], f) u = [2, 4], 11

13 Zestaw 6. Przekształcanie wykresów, funkcja kwadratowa Zadanie 6.1. Przekształcając wykres funkcji f(x) narysuj wykresy funkcji: f( x), f(x), f(x), f( x ). a) f(x) = x 2 4, b) f(x) = (x 4) 2, c) f(x) = 2x 2 + 1, d) f(x) = 2(x + 1) 2, e) f(x) = (x + 1) 2 3, f) f(x) = (x 2) 2 + 4, g) f(x) = (x + 3) 2 + 2, h) f(x) = (x 1) 2 4, Zadanie 6.2. Wyznacz funkcje h(x) = f(g(x)) oraz i(x) = g(f(x)), określ ich dziedziny i naszkicuj ich wykresy. a) f(x) = x + 3, g(x) = 1 2x; b) f(x) = x + 4, g(x) = x 2 ; c) f(x) = x 2 + 1, g(x) = x 2; d) f(x) = 2x + 3, g(x) = x 2 1; e) f(x) = x, g(x) = x + 2; f) f(x) = x 1, g(x) = 2 x; g) f(x) = 2x, g(x) = x + 3; h) f(x) = x 1, g(x) = 3 2x; i) f(x) = x, g(x) = x 1; j) f(x) = x, g(x) = x + 2; Zadanie 6.3. Nie rozwiązując równań określ znaki pierwiatków: a) x 2 6x + 5 = 0, b) x x + 19 = 0, c) x 2 20x 300 = 0, d) 2x 2 + 5x = 2, e) 3x 2 + 8x = 4, f) 8x 2 1 = 2x, g) 4x = 10x, h) 4x 2 + 9x + 2 = 0, 12

14 Zadanie 6.4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale. a) f(x) = 2x 2 x + 1, x [0, 2]; d) f(x) = x 2 + x 6, x [ 3, 3]; b) f(x) = x 2 9, x [0, 4]; e) f(x) = x 2 6x + 8, x [ 1, 2]; c) f(x) = x x 2, x [0, 1]; f) f(x) = x 2 x 12, x [ 2, 2]; Zadanie 6.5. Rozwiąż równanie dwukwadratowe. a) x 4 10x = 0, b) x 4 29x = 0, c) x 4 5x = 0, d) x 4 17x = 0, e) 4x 4 5x = 0, f) 3x 4 28x = 0, g) 4x 4 4x = 0, h) 3x x = 0, i) 4x 4 3x = 0, j) x 4 + 5x = 0, Zadanie 6.6. Rozłóż na czynniki wyrażenia: a) x 4 13x , b) x 4 125x , c) x 4 x 2 2, d) x 4 + 3x 2 4, e) 4x 4 + 3x 2 1, f) 3x 4 2x 2 1, Zadanie 6.7. Znajdź wszystkie liczby spełniające nierówności i należące do podanego zbioru: a) x 2 + 3x 12 < 0, C; b) 3x 2 + x 4 > 0, C; c) 4x 2 3x 7 < 0, N; d) x 2 6x + 5 0, N; e) x 2 7x , N; f) x 2 8x , C ; g) 3x 2 + 4x 4 0, C + ; h) x 2 18x , N; i) 5x 2 13x + 6 0, C ; j) 6x 2 + 2x 3 0, C ; 13

15 Zestaw 7. Wielomiany, funkcje wymierne Zadanie 7.1. Dla wielomianu W (x) = x 3 2x 2 + 3x 3 oblicz: W (0), W (1), W ( 1), W (a + 1), W (2a). Zadanie 7.2. Rozwiąż równanie W (x + 1) = W (x 1), jeżeli: a) W (x) = x 2 + 2x 3, b) W (x) = 2x 2 + 3x + 1, c) W (x) = x 2 2x 3, d) W (x) = 2x 2 + 5x + 2, Zadanie 7.3. Sprawdź czy liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W. a) W (x) = x 3 3x 2 + 3x 2, p = 2; b) W (x) = 2x 4 + 3x 3 9x 2 + x + 3, p = 3; c) W (x) = x 5 + x 3 6x, p = 2; d) W (x) = 3x 3 5x 2 + 8x + 2, p = 0; e) W (x) = 2x 3 9x x 13, p = 3; Zadanie 7.4. Dla wielomianów f(x) = x 2 + x i g(x) = x 2 x oblicz: f(g(x)), g(f(x)), f(f(x)), g(g(x)). Zadanie 7.5. Napisz po 2 różne wieomiany czwartego stopnia, których pierwiastkami są tylko liczby: a) 1 i 2, b) -2 i 5, c) -1, 0 i 1, d) -3, 1 i 2. Zadanie 7.6. Rozwiąż równania: a) x 4 5x 3 + 6x 2 = 0, b) x 5 3x 4 + 6x 3 18x 2 + 9x 27 = 0, c) x 4 x 3 3x + 3 = 0, d) 2x 5 x x 3 5x x 6 = 0, e) x 6 + 4x 4 x = 0, f) x 5 2x 4 3x 3 + 8x 2 16x 24 = 0, Zadanie 7.7. Rozwiąż nierówności: a) 3x(x 1) 3 (x + 2) 4 < 0, b) (x 1)(x 2 + 1)(x + 3) > 0, c) 4x 3 + 4x 2 + x 1 0, d) x 5 + 3x 4 + 2x 3 + 6x 2 3x 9 0, e) x 10 x 8 8x 7 + 8x 5 > 0, f) x 5 x 4 6x 3 x 2 + x 6 0, 14

16 Zadanie 7.8. Wyznacz zbiór tych liczb całkowitych, które spełniają nierówność: a) 3x 2 (x 2 9) > 0, b) (x 1)(x 2 + 1)(x + 3) < 0, c) x 4 15x , d) 4x 3 + 4x 2 + x 1 0, Zadanie 7.9. Rozwiąż równania: a) 2x = 1 2x 3, b) 2x x = 6x x2 6, x 1 c) x 1 x + 2 x + 1 = 0, d) 2x + 1 x + 4x 2x + 1 = 5, e) x + 1 x 1 = x2 + 1 x 2 + 2, f) 2 x 2 + x 1 x 2 = 1 6x 2, Zadanie Rozwiąż nierówności: a) 6x 5 4x + 1 < 0, b) x2 4 x 2 5x 0, c) x2 + 5x + 6 x 2 + 2x + 1 0, d) x2 2x x > 0, e) x2 + x + 2 x 2 x 2 0, f) x2 7x x 2 + 4x + 5 0, Zadanie Rozwiąż nierówności: a) 3 x 2 d) 5x 1 x < 1, b) 4x + 3 2x 5 6, c) x2 5x + 12 x 2 4x + 5 3, > 1, e) x 2 x , f) x2 3x + 24 x 2 3x + 3 4, Zadanie Rozwiąż nierówności: a) 2x x > 0, b) 1 x 2 1 x 2 x + 2, c) e) 2(x 3) x(x 6) 1 x 1, d) 1 x x 1 > 1 x, 2x x x + 2, f) 1 + x 1 + 2x 1 2x x + 1 < 1, 15

17 Zestaw 8. Funkcja wykładnicza zmiennej rzeczywistej. 1) Uprość wyrażenia a) 3 2x 1 3 2, x 2 x+1 16 b) (, 8) 6x c) 9 x 1 ( 3) 4x+2. 2) Naszkicuj wykres funkcji i podaj jej własności (dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe,...) a) f(x) = 2 x, b) f(x) = 3 x, c) f(x) = 3 x d) f(x) = 2 x e) f(x) = 2 x + 4, 3) Podaj miejsca zerowe funkcji a) f(x) = 3 x 1 3, b) f(x) = 2 1 x 1, c) f(x) = ( 1 2 )x 1 3, d) f(x) = 4 2x ) Rozwiąż równania wykładnicze a) 6 36 x 2 = 1, b) 9 2x+1 = 27, c) 4 x+1 = 32, d) 4 x 1 = 2 19, e) ( 1 2 )2x+1 = 8, f) 3 x 2 = 3 2 x, g) 2 x+3 = 1 2, h) 3 3 x 4 = 5. 5) Rozwiąż nierówności wykładnicze a) 6 x 2 1, b) 9 x+1 3, c) 4 x 5 < 2, d) 2 x x. 16

18 Zestaw 9. Funkcja logarytmiczna zmiennej rzeczywistej. 1) Obliczyć a) log b) log 5 625, c) log 3 81, d) 1 log 3 9, e) log 1000, log ) Sprawdź, że a) liczba log 24 jest równa log log 2, b) liczba log 5 5 log jest równa 2, c) liczba log log 4 2 jest równa 2, d) różnica log 3 9 log 3 1 jest równa 2, e) liczba log 3 27 log 2 8 jest równa 0. 3) Oblicz a) log log 6 12, b) log 2 96 log 2 3, c) log 5 log 20 + log 2 4 2, d) 2 log 5 + log 4. 4) Oblicz a) log 125, wiedząc, że log b) log 2 0.4, wiedząc, że log c) log 5 log 20 + log 2 4 2, d) 2 log 5 + log 4. 5) Sprawdź dla jakich x R podane wyrażenie ma sens matematyczny a) log (x 1), b) log 2 (2 4x), c) log 5 (2 x 4), d) 2 log (5 x) + log (x + 4). 17

19 6) Naszkicuj wykres funkcji i podaj jej własności (dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe,...) a) f(x) = log 2 x, b) f(x) = log 1 3 c) f(x) = log 2 x + 4 d) log (x 1) e) log 2 ( x), 7) Podaj miejsca zerowe funkcji a) f(x) = log 2 (x 1) 2, b) f(x) = log 3 (1 x) 1, c) f(x) = log( 1 2 )(x 1) 3, d) f(x) = log (x + 100). 8) Rozwiąż równanie a) log 2 (x 2) = 1, b) log 9 (1 x) = 0, c) log (x + 2) log (x 4) = 0, d) log (x 1) + log (x + 1) = log 1, e) log 2 (x 2 x) = 1, f) 2 log(x + 1) = log (2x). 9) Rozwiąż nierówności a) log 2 (2x 1) 1, b) log 4 (1 x) 0, c) log (x + 2) log (x 2) > 0, d) log (1 x) + log (1 + x) < 0, e) log 2 (x 2 x) 1, f) 2 log(x + 1) log (2x). 18

20 Zestaw 10. Funkcje trygonometryczne Zadanie W trójkącie ABC dane są: AC = 4, BC = 2 5, ACB = 90. Oblicz a) ctg ABC, b) sin CAB, c) cos CAB. Zadanie Oblicz cos CAB i tg CAB, znając współrzędne punktów: A(1, 3), B(5, 1), C(5, 3). Zadanie Przedstaw podaną miarę kąta skierowanego w postaci α + k 360, gdzie α jest miarą główną i k Z: a) 130, b) 900, c) Zadanie Podaną miarę stopniową zamień na miarę łukową: a) 60, b) 270, c) 240. Zadanie Podaną miarę łukową zamień na miarę stopniową: a) 5 3 π, b) π, c) π, d) 3 2 π. Zadanie Zaznacz w układzie współrzędnych kąt o podanej mierze: a) 225, b) 300, e) 1 6 π, g) π. Zadanie Punkt P leży na końcowym ramieniu kąta skierowanego o mierze α w układzie współrzędnych. Oblicz sin α, cos α, tg α, ctg α: a) P ( 3, 4); b) P (1, 3); c) P ( 2, 4); d) P (5, 11). Zadanie Kątem której ćwiartki układu współrzędnych jest kąt skierowany α, jeśli: a) sin α > 0 i cos α > 0; b) tg α < 0 i sin α > 0; c) ctg α > 0 i cos α < 0? Zadanie Wiedząc, że α oznacza miarę główną pewnego kąta skierowanego, oblicz: a) sin(α + 2π), jeśli sin α = 0, 9; b) cos(α + 4π), jeśli cos α = 0, 3; c) tg(α 5π), jeśli tg α = 0, 7; d) ctg(α + 2π), jeśli sin α = 0, 9. Zadanie Oblicz: a) tg α, jeśli cos α = 0, 6 i α ( 3 2 π, 2π); b) ctg α, jeśli sin α = 7 4 i α ( π 2, π). Zadanie Oblicz: a) sin ( π 2 + α), jeśli cos α = 0, 35; b) cos ( 3 2 π α), jeśli sin ( α) = 0, 2; c) tg ( π 2 + α), jeśli ctg (α) = 3; d) ctg (π + α), jeśli ctg (α) = 2, 5; e) tg ( π α), jeśli ctg ( α) = 0, 8; f) sin ( 3 2 π + α), jeśli cos (α) = 0,

21 Zadanie Wyznacz dziedzinę funkcji f określonej wzorem: a) f(x) = tg ( x π 3 ) ; b) f(x) = tg x + ctg x; b) f(x) = sin ( x + π 7 ). Zadanie Rozwiąż równanie. a) sin x = 3 2, c) tg x = 3 3, e) sin 2x = 1 2, g) tg ( x + π 4 ) = 3, b) cos x = 2 2, d) ctg x = 1, f) cos 3x = 3 2, h) ctg ( π 3 x) = 1. Zadanie Rozwiąż równanie. a) 2 sin x cos x = cos x, b) tg x cos x sin 2x = 0. Zadanie Naszkicuj wykres funkcji sinus w przedziale [ π, π]. a) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji sinus należące do przedziału [ π, π]. b) Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji sinus zawarte w przedziale [ π, π]. c) Uzupełnij tabelę, jeśli x [ π, π]. d) Odczytaj z wykresu, dla jakich x [ π.π] zachodzą poszczególne nierówności: sin x > 2 2, sin x 1 2, 1 2 sin x 3 2. Zadanie Naszkicuj wykres funkcji tangens w przedziale [ 0, π 2 ) ( π 2, π]. a) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji tangens należące do przedziału [0, π]. b) Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji tangens zawarte w przedziale [0, π]. c) Uzupełnij tabelę, jeśli x [0, π]. d) Odczytaj z wykresu, dla jakich x [0, π] zachodzą poszczególne nierówności: tg x 1, tg x 3 3, 1 tg x 3. Zadanie Rozwiąż nierówność: a) sin x > 3 2 ; b) cos x < 1 2 ; c) tg x < 3 3 ; d) ctg x > 1. Zadanie Rozwiąż nierówności z zadania w przedziale ( π, 2π). 20

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5)

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5) Lista nr 1 LICZBY RZECZYWISTE Zad.1 Udowodnij równość: 5 3 10 27 = 10 3 5 9. Zad.2 Wartość wyrażenia (3 1 3 27 2 3 9 1 ) 3 4 zapisz w postaci pierwiastka z liczby wymiernej. Zad.3 Oblicz wartość wyrażenia:

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata.

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz. 5. Statystyka-średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, dominanata. Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie III zsz 1. Wzajemne położenia prostych, płaszczyzn w przestrzeni. 2. Graniastosłupy- podział, pole powierzchni i objętość. 3. Ostrosłupy- podział,

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie Funkcja kwadratowa jest to funkcja postaci y = ax 2 + bx + c, wyrażenie ax 2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, gdzie x, a, oraz a, b, c - współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego. ó ó Wykresem

Bardziej szczegółowo

Przygotowanie do poprawki klasa 1li

Przygotowanie do poprawki klasa 1li Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz x argumenty funkcji y wartości funkcji a współczynnik kierunkowy prostej ( a = tg, gdzie osi OX) - kąt nachylenia wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log )

ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log ) ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr LICZBY RZECZYWISTE Zad. Wskaż liczby wymierne: 4 9 ; 7; 6; π;, 333...; 3, (); 3 5; ( ) 0 ; 7 9 ; 4, 000000...; 3 7 7 3 ; 3 3 3. Zad. Dane są liczby

Bardziej szczegółowo

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y= Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4 Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym

ZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym S t r o n a ZBIÓR ZADAŃ Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym Każdy uczeń, który kończy szkołę ponadgimnazjalną i chce przystąpić do matury, zobowiązany jest do zdawania egzaminu z matematyki

Bardziej szczegółowo

na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół.

na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. Zadania na poprawkę dla sa f x x 1x na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. 1. Zamień postać ogólną funkcji kwadratowej 5.

Bardziej szczegółowo

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = + Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE PIERWSZEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE PIERWSZEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO PRAWDZIANÓW W KLAIE PIERWZEJ I Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Zad Dane są liczby: i y + Oblicz: a) sumę i y ; b) różnicę i y ; c) iloczyn i y ; d) iloraz i y ( usuń niewymierność

Bardziej szczegółowo

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli: sin α b). Oblicz wartość wyrażenia: tg ctg 77 = b) sin 0 (cos ) = c) sin = d) [( sin 0

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego

Bardziej szczegółowo

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D. Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D) FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x. Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3

ZADANIE 1. ZADANIE 2 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x 2 + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa niami równania x 3 = ZADANIE 3 ZADANIE 1 i największa wartość funkcji f (x) = (x )(x + 1) w przedziale 0; 4. ZADANIE Wyznacz wzór funkcji f (x) = x + bx + c w postaci kanonicznej wiedzac, że jej miejsca zerowe sa rozwiaza- niami równania

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 Ekonomik w Zielonej Górze KLASA III fl POZIOM PODSTAWOWY I. Funkcja kwadratowa narysować wykres funkcji

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP Zadania do samodzielnego rozwiązania: II dział Funkcja liniowa, własności funkcji Zadanie. Liczba x = - 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) ( a) x 7 dla A. a = - 7 B. a = C. a = D. a = - 1

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki Poziom podstawowy

Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki Poziom podstawowy Matematyka- Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki. Poziom podstawowy, Maria Płażewska Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu maturalnego z matematyki Poziom podstawowy Spis

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

7. Funkcje elementarne i ich własności.

7. Funkcje elementarne i ich własności. Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.

Bardziej szczegółowo

1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2.

1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2. Funkcje trygonometryczne. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC =..Rozwiążtrójkątprostokatnymającdaneprzyprostokątne

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 2 CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa 2b

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa 2b MATEMATYKA materiał ćwiczeniowy CZERWIEC 0 Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 4 stron.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.. W zadaniach od do są podane

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji.

Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji. Zadanie 1 Sprowadź do postaci ogólnej funkcję kwadratową Zadanie 2 Wyznacz zbiór wartości funkcji Zadanie 3 Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji Zadanie 4 Wykres funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8].

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) określonej dla x [-7, 8]. Zadania 1 28 stanowią przykłady spełniające kryteria na ocenę 3. Zadanie 1 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f() określonej dla [-7, 8]. Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartość funkcji

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)

. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b) Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2 1 FUNKCJE Wykres i własności funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa może występować w 3 postaciach: postać ogólna: f(x) ax 2 + bx + c, postać kanoniczna: f(x) a(x - p) 2 + q postać iloczynowa: f(x) a(x

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: II 96 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń PESEL Kod ucznia Próbna matura z WSiP Marzec 07 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +

Bardziej szczegółowo

Funkcje IV. Wymagania egzaminacyjne:

Funkcje IV. Wymagania egzaminacyjne: Wymagania egzaminacyjne: a) określa funkcję za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego, b) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę i zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których

Bardziej szczegółowo