Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1
1. Pochodna Zagadnienia 2. Zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności unkcji 3. Wykrywanie ekstremów lokalnych 4. Granica unkcji reguła de L Hospitala 5. Badanie przebiegu zmienności unkcji 2
* Pochodna unkcji - idea 3
* Pochodna unkcji - idea Niech : D R,, y = (), D Rozpatrujemy: ciąg argumentów n ciąg wartości ( ) n ciąg ilorazów różnicowych granicę tego ciągu... ( ) ( ) n n 4
* Pochodna unkcji deinicja Niech : D R, D, ( n ) taki ciąg, że + n D dla każdego n N oraz lim n =. n Jeżeli istnieje skończona granica ciągu ilorazów różnicowych lim n ( ) ( ) niezależna od wyboru ciągu ( n ), to nazywamy ją pochodną unkcji w punkcie i piszemy ( ) = lim n 5 ( n ) n n n ( )
Uwaga 1 Z tej deinicji oraz twierdzeń opisujących własności pochodnej wyprowadza się wzory na pochodne unkcji elementarnych podane dalej. 6
Uwaga 2 Pochodna unkcji jest również pewną unkcją. Niżej podano przykłady zapisu pochodnej. wzór unkcji wzór pochodnej ( ) = 2 + 1 ( ) = 2 g ( ) = e g ( ) = e h ( ) = 5 h ( ) = 7
Pochodna unkcji - terminologia Obliczanie pochodnej unkcji nazywa się różniczkowaniem unkcji. 8
Wzory na pochodne unkcji Funkcja stała: ( ) = c Pochodna unkcji stałej: ( ) = Konwencja zapisu: Pochodna unkcji stałej ( ) = c (1) 9
Wzory na pochodne unkcji cd. Pochodna unkcji potęgowej α - stała, α ( α ) = α α 1 (2) R Pochodna unkcji wykładniczej a stała, a > ( ) a = a lna Pochodna unkcji logarytmicznej ( log ) a - stała, a, a 1 a = 1 lna (3) (4) 1
11 Reguły różniczkowania ( ) ( ) a a =, a stała, R a (5) ( ) ( ) ( ) ( ) g g = (6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g g + = (7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g g g 2 = (8) ( ) ( ) ( ) g g = (9)
Terminologia uwaga : ( a ; b ) R Dziedzina D = (a ; b ), zbiór wartości Y W R Mówimy: unkcja określona na przedziale (a ; b ) o wartościach rzeczywistych Jeżeli : ( a ; b ) R i w każdym punkcie ( a ; b ) istnieje pochodna unkcji ' (), to mówimy: unkcja jest różniczkowalna (gładka) na przedziale (a ; b). 12
Badanie monotoniczności 13
Diagram 1 + znak pochodnej ' a b monotoniczność unkcji 14
Diagram 2 - znak pochodnej ' a b monotoniczność unkcji 15
Diagram 3 znak pochodnej ' a b unkcja stała monotoniczność unkcji 16
Dana jest unkcja Twierdzenie : ( a ; b ) R różniczkowalna na przedziale ( a ; b). Jeśli Jeśli ( a ; b) ( ), to na ( a ; b) ( a ; b) ( ), to na ( a ; b) Jeśli ( a ; b) ( ) =, to stala na ( a ; b) 17
Przykład Zadanie. Wyznacz dziedzinę i przedziały monotoniczności unkcji ( ) = e 18
Przykład Zadanie. Wyznacz dziedzinę i przedziały monotoniczności unkcji ( ) = e Odpowiedzi D=R ( ) dla ( ; 1) ( ) dla ( 1 ; + ) 19
Ekstrema lokalne 2
Ekstrema lokalne - idea Ekstrema lokalne: minimum, maksimum Y X 21
Minimum lokalne Y X 22
Minimum lokalne cd. Y X 23
Minimum lokalne cd. Y 1 X 24
Maksimum lokalne Y X 25
Maksimum lokalne cd. Y X 26
Maksimum lokalne cd. Y 2 X 27
Ekstrema lokalne Y 1 2 X 28
*Deinicje ekstremów lokalnych Funkcja ( a ; b) R : ma minimum lokalne w punkcie ( a ; ), b gdy istnieje taki przedział ( -r ; +r) zawarty w dziedzinie, że wartość ( ) jest najmniejsza ze wszystkich wartości unkcji w tym przedziale. Funkcja ( a ; b) R : ma maksimum lokalne w punkcie ( a ; ), b gdy istnieje taki przedział ( -r ; +r) zawarty w dziedzinie, że wartość ( ) jest największa ze wszystkich wartości unkcji w tym przedziale. 29
Wykrywanie ekstremów lokalnych 3
Twierdzenie Niech unkcja ( a ; b) R : będzie różniczkowalna na przedziale (a ; b). Jeśli posiada ekstremum lokalne ' w punkcie ( a, ) to ( ) =. b Wniosek z tw. 2 Warunek ' ( ) = jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego w punkcie. Nie jest jednak warunkiem dostatecznym. 31
Wykrywanie maksimum lokalnego + - znaki a b 32
Wykrywanie maksimum lok. cd. + - znaki a b maksimum lokalne w monotoniczność 33
Twierdzenie Jeśli unkcja : ( a, b) R jest różniczkowalna na przedziale (a,b) i dla pewnego (a, b) zachodzi ' ( )= oraz istnieje taki przedział ( -r ; +r) należący do dziedziny, że dla ( r, ) ' ()> oraz dla (, r) ' () <, to unkcja ma w punkcie maksimum lokalne. + 34
Wykrywanie minimum lokalnego - + znaki a b 35
Wykrywanie minimum lok. cd. - + znaki a b minimum lokalne w monotoniczność 36
Twierdzenie Jeśli unkcja : ( a, b) R jest różniczkowalna na przedziale (a,b) i dla pewnego (a, b) zachodzi ' ( ) = oraz istnieje taki przedział ( -r ; +r) należący do dziedziny, że dla ( r, ) ' ()< oraz dla (, r) + ' () >, to unkcja ma w punkcie minimum lokalne. 37
38 Przykład Zad. Wyznacz ekstrema lokalne unkcji ( ) R e =, Rozwiązanie ( ) e e = = 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( = =
Odpowiedź znaki : + - Funkcja =1 monotoniczność : maksimum lokalne = e dla ( ) jest : 1, dla 1. Dla =1 przyjmuje maksimum lokalne o wartości 1 y ( 1) ma = =. e 39
Reguła de L'Hospitala Tw 5. Jeśli w wyrażeniu lim ( ) g( ), iloraz unkcji jest wyrażeniem nieoznaczonym typu lub oraz istnieje granica ilorazu pochodnych tych unkcji to lim g ( ) ( ) = lim g ( ) ( ) lim g ( ) ( ), Uwaga. Tw. 5 jest prawdziwe dla skończonych oraz dla =, a także dla granic jednostronn ych. 4
Przykład Zadanie. Oblicz granicę lim + e 41
Przykład Zadanie. Oblicz granicę lim + e Rozwiązanie H ( ) lim = lim = lim = ( ) + e + e + e 1 42
Badanie przebiegu zmienności 43
Badanie przebiegu zmienności Zadanie. Dla unkcji danej wzorem y = () wyznacz: 1. dziedzinę 2. punkty wspólne wykresu z osiami OX, OY 3. granice oraz asymptoty 4. pochodną ( ) oraz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne 5. zestaw wyniki w tabeli 6. naszkicuj wykres 44
Przykład 1 Zadanie. Wykonaj badanie przebiegu zmienności unkcji 2 ( ) = 1 + 3e Na tablicy 45
Funkcja logistyczna Przykład 1 = 2 1 + 3e ( ) 2 1-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 y1=2/[1+3ep(-)] as. 46
Funkcja logistyczna Przykład 2 a ( ) c = 1 + be 2 1-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 y1=2/[1+3ep(-)] y2=1/[1+2ep()] 47
Przykład 3 Zadanie. Wykonaj badanie przebiegu zmienności unkcji e ( ) = 48
1. Dziedzina e ( ) = D = R 49
2. Punkty wspólne z osiami e ( ) = z OX: A (, ) z OY: ten sam 5
lim = + e 3. Granice i asymptoty H = e ( ) lim e = y = as. pozioma prawostronna 51
52 4. Pochodna i wnioski ( ) e = ( ) ( ) e e = = 1 1 1 1 = = ( ) ( ) ( )
4. Pochodna i wnioski cd. znaki : + - = jest e Funkcja ( ) dla monotoniczność : 1, dla 1, dla =1 przyjmuje maksimum lokalne 1 o wartości y ( ) ma = 1 =. 53 e =1 maksimum lokalne
5. Tabela (- ; 1) 1 (1 ; 2) 2 (2 ; + ) ' () + - - - () - y ma =1/e pp y= as. pion. prawostr. 54
6. Wykres OY OX 55