x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

Transkrypt

1 Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech x 0, a R. Wówczas x a x a 1 = x a ( a 1) = x 1 = 1 x. Przykład. Rozwiązać równanie x 4 = 1 8. Rozwiązanie. Wyznaczamy dziedzinę równania: x R +. Ponieważ obie strony równania są dodatnie, możemy je podnieś do potęgi: (x 4 ) 4 = ( 1 8 ) 4. Stąd x = ( 1 8 ) 4, czyli x = 8 4 = 16. Liczba 16 R +, więc jest rozwiązaniem równania. Przykład. Rozwiązać nierówność x + x 16x > 0. Rozwiązanie. Rozkładamy wielomian po lewej stronie nierówności na czynniki liniowe (wykorzystujemy metodę grupowania wyrazów i wzór skróconego mnożenia): x +x 16x = x (x + ) 16(x + ) = (x 16)(x + ) = (x 4)(x + 4)(x + ). Obliczamy miejsca zerowe tego wielomianu, z uwzględnieniem ich krotności: x = 4, x =, x = 4, jednokrotne. Szkicujemy wykres tego wielomianu i odczytujemy z niego rozwiązania nierówności: x ( 4, ) (4, + ). Przykład 4. Do którego z przedziałów: (0, 1), czy (1, ) należy a, gdy a < a 1,1? Rozwiązanie. Zaważmy, że > 1, 1. Zatem a (0, 1) ( bo funkcja f(x) = a x jest funkcją malejącą jeżeli a (0, 1)). Przykład 5. Rozwiązać równanie x 4 = 4 5 x. Rozwiązanie. Równanie x 4 = 4 5 x jest równoważne równaniu x 4 = ( ) 5 x. Korzystając z praw działań na potęgach ((a x ) y = a xy, a > 0, x, x R) mamy x 4 = 10 6x. Z różnowartościowości funkcji wykładniczej otrzymujemy x 4 = 10 6x, czyli 8x = 14. Stąd x = 7 4. Przykład 6. Rozwiązać równanie x+ x = 6 9. Rozwiązanie. Korzystając z praw działań na potęgach (a x a y = a x+y a, x = a x y, a > a y 0, x, y R) zapisujemy równanie x+ x = 6 w postaci: 9 x 1 9 x = 6 i 9 równoważnie x ( 1) = 6. Stąd 9 9 x 6 = 6, czyli 9 9 x = 1 i równoważnie x = 0. Z różnowartości funkcji wykładniczej otrzymujemy x = 0. 1

2 Przykład 7. Rozwiązać nierówność x 1 > ( 1 )5x 1. Rozwiązanie. Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej: ( 1 ) x+1 > ( 1 )5x 1. Z uwagi na monotoniczność funkcji y = ( 1 )x (a dokładniej z faktu, że funkcja ta jest funkcją malejącą), mamy: x + 1 < 5x 1, czyli x >. 7 Przykład 8. Obliczyć log. Rozwiązanie. Zgodnie z definicją, log a b = c a c = b, a > 0, a 1, b > 0. Kładąc zatem log = x, mamy x =, stąd log = 5. Przykład 9. Rozwiązać równanie log (x 4) = 0. Rozwiązanie. Określimy dziedzinę równania. Logarytm po lewej stronie równania istnieje dla x spełniających nierówność x 4 > 0, czyli dla x > 4. Korzystając z definicji logarytmu otrzymujemy x 4 = 0, czyli x 4 = 1. Stąd x = 5. Ponieważ 5 (4, ), więc jest rozwiązaniem tego równania. Przykład 10. Rozwiązać równanie log( x) log x = log(x + 5). Rozwiązanie. Określimy dziedzinę równania. Powyższe logarytmy istnieją, gdy : x > 0 x > 0 x+5 > 0, czyli x < x > 0 x < 5. Stąd x (0, ). Korzystając z podstawowych praw działań na logarytmach (dla a, b, c > 0, a 1 mamy log a b + log a c = log a bc, log a b log a c = log a b c, k log a b = log a (b k )) otrzymujemy równanie równoważne: log( x) = log(x(x + 5)). Z różnowartościowości funkcji logarytmicznej mamy ( x) = x(x + 5) 4 4x + x = x + 5x 9x = 4 x = 4. 9 Ponieważ 4 (0, ), więc jest rozwiązaniem tego równania. 9 Przykład 11. Rozwiązać nierówność log 4 (x + ) < 1. Rozwiązanie. Logarytm istnieje, o ile x + > 0 x >. Zauważmy, że 1 = log 4 4, więc nierówność można zapisać w postaci równoważnej log 4 (x + ) < log 4 4. Ponieważ funkcja y = log 4 x jest funkcją rosnącą, więc x + < 4 x > 1. Zbiór rozwiązań nierówności jest częścią wspólną zbiorów (, ) oraz ( 1, ), więc ostatecznie x ( 1, ). Przykład 1. Znaleźć dziedzinę funkcji f(x) = log (4x x + 5). Rozwiązanie. Funkcja f istnieje dla x takich, że x + 4x + 5 > 0. Liczymy = 4 4 ( 1) 5 = 6, więc = 6; x 1 = 4 6 = 5 x ( 1) = 4+6 = 1. Szkicując parabolę odczytujemy rozwiązania nierówności kwadratowej: x ( 1, 5). Ostatecznie D f = ( 1, 5).

3 Zadanie.1. Wykonać poniższe działania, podając założenia, przy jakich są one wykonywalne. a) u 6 w x 5 v w 5 x 6 u 5 v 1 ; b) x4 y 7 x z : x6 y 1 y 7 z 1 ; c) ( a 1 b 4 c d ) : ( c 4 b ad 6 ). Zadanie.. Podać dziedziny i naszkicować wykresy funkcji: a) y = x, y = x, y = x 5 ; b) y = x, y = x 4, y = x 6 ; c) y = x, y = x 4, y = x 6 ; d) y = x 1, y = x, y = x 5 ; e) y = x 1, y = x 1, y = x 1 4 ; f) y = x 1, y = x 1. Zadanie.. Rozwiązać równania i nierówności: a) x 4 = ; b) x 1,5 = 8 ; c) x 5 + x 1 5 = 8; d) ( x x ) = [(x x) 1 ] 1 ; e) x 6 + x 4 = 0; f) x 1 x ; g) x 1 4 < x 1 ; h) x 4 x + 6 > 0; i) (x ) 7 (x + ) (x + 7) 19 < 0; j) x 4 4x + x 4x < 0; k) x + x 18x 9 0.

4 Zadanie.4. Przekształcając wykres funkcji y = x naszkicować wykresy funkcji: a) y = x 1 + ; b) y = x+ 1; c) y = x ; d) y = ( 1 )x 1. Zadanie.5. Do którego z przedziałów: (0, 1), czy (1, ) należy a, gdy: a) a < a ; b) a < a 0,8 ; c) a,4 < a π ; d) a < a 1,9. Zadanie.6. Rozwiązać równania i nierówności: a) x+ = 4 x 1 ; b) (0, 5) x 4 = 16 5x 4 ; c) ( 7) x = 9 5x ; d) x = 4 x ; e) 6x +x = 9 x+0,5 ; f) (0, 04) = 5 11x +7x ; g) 0, 15 4 x 1 = ( 8 ) x 1 ; h) x+ + x = 0; i) 9 x + 9 x 1 9 x = 51; j) x+ + x = 0; k) 16 x 17 4 x + 8 = 0; l) 7 x + 7 x = 6 7 x + 686; m) x+ + 9 x+1 = 810; n) x+1 > 8 x 1 ; o) ( 5 4 ) x x < (0, 8) x x+ ; p) ( ) x < 9 x 4 ; 4

5 r) x < 9 4x 6 ; s) 4 x+ (0, 5) x. Zadanie.7. Obliczyć poniższe logarytmy: a) log 16; b) log 1 4 ; c) log 0, 01; d) log ; e) log 5 5 5; f) log 6 1; g) log 8. Zadanie.8. 1) Przekształcając wykres funkcji y = log x naszkicować wykresy funkcji y = log (x 1) + oraz y = log x +. ) Przekształcając wykres funkcji y = log 1 y = log 1 (x + ) 1 oraz y = log 1 Zadanie.9. Rozwiązać równania i nierówności: a) log (x 4) = 0; b) log 5 (1 x) = log 5 6 log 5 ( x); c) log (x ) log (6 x) + 1 = 0; d) log x 4 log x = 0; e) 1 log (x + ) = 1 1 log (x + 4); f) log (8 x) log ( x) = 1; g) log ( x 8) = x; h) log 7 (6 + 7 x ) = x + 1; i) (log x) + = 4 log x; j) log (x + 7) < 1; k) log 1 (x 4) > ; l) log (x 1) 1 < log (x ). x naszkicować wykresy funkcji (x 1) + 1 5

6 Zadanie.10. Znaleźć dziedziny funkcji: a) f(x) = log (x x + ); b) f(x) = log (4x x + 5); c) f(x) = log 6 (5 x 5 x ); d) f(x) = x ( x ) x ; e) f(x) = 1 x + ; f) f(x) = 1 x + x; g) f(x) = 1 x + 5x + log ( x 81); h) f(x) = x 1 log x ; i) f(x) = log (x + ); j) f(x) = 4 log 1 x; k) f(x) = log x log x; l) f(x) = 5 log +x ( x 1). ODPOWIEDZI: Zadanie.1. a) xv uw, u, w, v, x 0; b) y z, x, y, z 0; c) bd1 ac 8, a, b, c, d 0. Zadanie.. a) x = ; b) x = 4; 9 c) x = 4 5 ; d) x = 4 5 ; e) x = 4 x = 1; f) x 1, + ); g) x (1, + ); 6

7 h) x (, ); i) x ( 7, ) \ { }; j) x (0, 4); k) x, 1, + ). Zadanie.4. a) translacja o wektor [1,]; b) translacja o wektor [-,-1]; c) symetria względem osi OY; d) symetria względem osi OY, a nastepnie translacja o wektor [,-1]. Zadanie.5. a) a (1, + ); b) a (0, 1); c) a (1, + ); d) a (1, + ). Zadanie.6. a) x = 5; b) x = 0 1 ; c) x = 6 11 ; d) x = ; e) x = 1 6 x = 1; f) x = 1 x = 4 11 ; g) x = 5; h) x = ; i) x = ; j) x = 1 ; k) x = 1 x = ; 7

8 l) x = ; m) x = ; n) x < ; o) x > 5; p) x > 18; 5 r) x (, 6); s) nierówność nie ma rozwiązania. Zadanie.7. a) 4; b) ; c) d) ; e) ; f) 0; g) 6. Zadanie.8. 1) a) translacja o wektor [1,]; b) symetria względem osi OX, a następnie translacja o wektor [0,]. ) a) translacja o wektor [-,-1]; b) translacja o wektor [1,0], przekształcenie części wykresu leżącego pod osią OX w symetrii względem tej osi, a następnie translacja o wektor [0,1]. Zadanie.9. Rozwiązać równania i nierówności: a) x = 5; b) x = 1; c) x = 5 x = ; d) x = 0, 01 x = 1 x = 100; e) x = 1; f) x = x = 0; g) x = ; 8

9 h) x = 0; i) x = x = 8; j) x ( 7, ); k) x (4, 8); l) x (5, + ). Zadanie.10. Znaleźć dziedziny funkcji: a) D f = (, 1) (, + ); b) D f = ( 1, 5); c) D f = (, ); d) D f = 1, + ); e) D f = R; f) D f = {0}; g) D f = (, ) (, + ); h) D f = (0, + ) \ {10}; i) D f = 1, + ); j) D f = 1 16, + ); k) D f = 1, 100 ; l) D f = (, 1) \ { }. 9