13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

Transkrypt

1 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Istnieją jednak również inne funkcje: 1. f : R x (f 1 ),...,f n )) R n ; przykład: f) = 2, x 3 ) 2. f : R n 1,..., x n ) f 1,..., x n ) R; przykład: f,y,z) = xyz 3. f : R k 1,..., x k ) (f 1,..., x k ),..., f n 1,..., x k )) R n ; przykład: f,y) = +y, x-y, xy) Funkcje pierwszego typu nazywane są zwykle funkcjami wektorowymi i nie są w istocie funkcjami jednej zmiennej, choć mają wartości wielowymiarowe. Funkcje drugiego i trzeciego typu są już funkcjami wielu zmiennych. Funkcję przedstawioną w punkcie drugim określa się często jako funkcję skalarną, zaś funkcję najogólniejszej, trzeciej postaci nazywa się czasem polem wektorowy. Funkcja n-zmiennych Niech R n { 1, x 2,..., x n ): x 1 R x 2 R... x n R } Funkcją n-zmiennych określoną na zbiorze D R n o wartościach w R, nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru D dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Funkcję taką oznaczamy przez: f: D R lub w = f 1, x 2,, x n ), gdzie 1, x 2,, x n ) D Wartość funkcji f w punkcie 1, x 2,, x n ), oznaczamy przez f 1, x 2,, x n ). Dla n=2 mamy funkcję dwóch zmiennych z = f, y) R 2, y) z = f, y) R 1

2 Dla n=3 mamy funkcje trzech zmiennych w = f, y, z) R 3, y, z) w = f, y, z) R Dziedzina funkcji Zbiór wszystkich punktów przestrzeni R n, dla których funkcja f jest określona nazywamy dziedziną funkcji f, i oznaczamy D f. Wykres funkcji Wykresem funkcji n-zmiennych nazywamy zbiór { 1,, x n, w) 1,, x n ) D f w = f 1,, x n )} R n R. 2. Funkcja dwóch zmiennych. Definicja Funkcją f dwóch zmiennych określoną na zbiorze D R 2 o wartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi, y) D dokładnie jednej liczby z = f, y) R. Dziedzina funkcji Dziedziną funkcji f dwóch zmiennych nazywamy zbiór: D f = {, y) ε R n : z R z = f, y)}. Wykres Wykresem funkcji f dwóch zmiennych nazywamy zbiór: w f = {, y, z), y) D f z = f, y)}. 2

3 Przykłady 1: a) f, y) = ln(1 x 2 y 2 ), D f = {, y) R 2 x 2 + y 2 < 1}, b) g, y) = xy, D g = {, y) R 2 xy 0} c) h, y) = 2)(y+1) 2) 2 +(y+1) 2, D h = R 2 \{(2, 1)} Przykład 2: Dla funkcji dwóch zmiennych. a) f, y) = x 2 + y 2, D f = R 2 b)f, y) = 4 x 2 y 2, D f = {, y) R 2 x 2 + y 2 4}, Dla funkcji trzech zmiennych. c) f, y, z) = 1 x 2 y 2 z 2, D f = {, y, z) x 2 + y 2 + z 2 1}, 3. Pochodna kierunkowa w punkcie. Niech dana będzie funkcja f: D R n R, punkt P 0 = 01,, x 0n ) D, oraz wektor u = [u x1,, u xn ] R n. Pochodna kierunkową funkcji f w punkcie P 0 w kierunku wektora u nazywamy granicę: f(p 0 + tu) f(p 0 ) lim o ile granica ta istnieje i jest liczbą skończoną. Wyrażenie pod znakiem granicy rozważamy w zbiorze tych t R, t 0, dla których P 0 + tu D Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P 0 w kierunku wektora u będziemy oznaczać symbolem f u (P 0 ). Stosuje się również oznaczenia D u f(p 0 ) albo (P u 0) Gdy P 0 jest punktem o współrzędnych x 01,, x 0n, wówczas zamiast f u (P 0 ) piszemy także f u 01,, x 0n ) 3

4 Przykład: f, y) = x 2 2y 2 P 0 = (1,1) u=[2,3] f((1,1) f + t[2,3]) f(1,1) f(2t + 1, 3t + 1) f(1,1) u (1,1) = (2t + 1) 2 2(3t + 1) t 2 + 4t t 2 12t = 14t 2 8t t( 14t 8) t 0 ( 14t 8) = 8 4. Pochodne cząstkowe w punkcie. Niech f oznacza funkcję n-zmiennych określoną w otoczeniu U punktu P 0 = 01,, x 0n ). Symbolem i oznaczamy przyrost zmiennej niezależnej x i, 1 i n rożny od zera i taki żeby punkt P = 01,, x 0i 1, x 0i + i, x 0i+1,, x 0n ) należał do otoczenia U. Granicę właściwą: f(p) f(p lim 0 ) xi 0, i nazywamy pochodna cząstkową rzędu pierwszego funkcji f względem zmiennej x i w punkcie P 0 i oznaczamy symbolem xi (P 0 ) lub f i (P 0 ). Dla n=2 Dla funkcji dwóch zmiennych f, y), definicje pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego względem zmiennych x i y w punkcie P 0 = 0, y 0 ) są następujące: x (P f 0 +, y 0 ) f 0, y 0 ) 0): lim x 0 oraz y (P f 0, y 0 + ) f 0, y 0 ) 0): lim y 0 Przykład: Funkcja f, y) = x y ma pochodne cząstkowe: x 0 oraz y 0 f 0 +,y 0 ) f 0,y 0 ) f 0,y 0 + ) f 0,y 0 ) x 0 y 0 x 0 + y 0 x 0 +y 0 x 0 y 0 x 0 +y 0 x 0 y 0 = 1 = 1 4

5 5. Gradient. Niech f: D R n R Gradientem funkcji f w punkcie P 0 = 01,, x 0n ) nazywamy wektor określony wzorem: f(p 0 ) = [ x 1 (P 0 ), x 2 (P 0 ),, x n (P 0 )]. Gradient funkcji f oznacza się także symbolem grad f(p 0). Przykład 1: Gradient funkcji f, y)=x 3 y 3 w punkcie P 0 =, y) jest równy: grad f,y)=[3x 2, 3y 2 ] Gradient funkcji f, y)=x 3 y 3 w punkcie P 0 = (1,1) jest równy grad f(1,1)=[3,-3] Przykład 2: Gradient funkcji f, y) = x 2 2y 2 w punkcie P 0 = (1,1) jest równy: x = 2x, y = 4y, x (1,1) = 2, y (1,1) = 4, 6. Jakobian. f(1,1) = [ x (1,1), (1,1) ] = [2, 4]. y Niech f :R k ↄ U R n, f 1,..., x k ) = (f 1 1,..., x k ),..., f n 1,..., x k )). Dla ustalonego punktu x o macierz pochodnej A jest postaci: 1 x 0 ) 1 1 x 0 ) k n [ x 0 ) n 1 x 0 ) k ] co, przyjmując zapis pochodnych cząstkowych w postaci wektorów kolumnowych, można także zapisać: [f x1 0 ), f x2 0 ),..., f xk 0 )]. Pominięcie ustalonego argumentu powoduje uogólnienie macierzy na cały zbiór, w którym funkcja f jest różniczkowalna. Macierz ta nazywana jest macierzą Jacobiego, a jej wyznacznik, o ile istniej, nazywany jest jakobianem. Dla macierzy Jacobiego stosuję się oznaczenie J lub po prostu A. W zapisie ogólnym najczęściej pomija się argument x, zaś dla zaznaczenia, iż chodzi o pochodną w ustalonym punkcie x 0 stosuje się zapis J 0 ) lub A 0 ), ewentualnie J x0 lub A x0. 5

6 Przykład: f = (f 1, f 2 ), gdzie f 1 = x 2 y 2 f 2 = 2xy w punkcie P 0 = (2,1) Macierz Jacobiego wygląda następująco: 1 x, y) 1, y) y 2x 2y J f, y) = = [ 2 [ x, y) 2 y, y) 2y 2x ] ] Jakobian wynosi: det J f = 4x 2 + 4y 2 Dla punktu P 0 = (2,1) otrzymamy zatem J f (2,1) = [ ] oraz det J f(2,1) = 4 2 = = Ekstrema funkcji. Niech f D f R, D f R n będzie funkcją n-zmiennych. Niech U D f będzie zbiorem otwartym i P 0 =( x 01,..., x 0n ) U Definicja 1: Funkcja f ma w punkcie P 0 minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie U D f punktu P 0 takie że dla każdego punktu P U i P P 0 spełniona jest nierówność: f(p) f(p 0 ). Funkcja f posiada w punkcie P 0 minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otoczenie U D f punktu P 0,takie że dla każdego punktu P U i P P 0 spełniona jest nierówność f(p) > f(p 0 ). Definicja 2: Funkcja f ma w punkcie P 0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie U D f punktu P 0, takie że dla każdego punktu P U i P P 0 spełniona jest nierówność f(p) f(p 0 ) Funkcja f ma w punkcie P 0 maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otoczenie U D f punktu P 0, takie że dla każdego punktu P U i P P 0 spełniona jest nierówność f(p) < f(p 0 ) MINIMA I MAKSIMA LOKALNE NAZYWAMY EKSTREMAMI LOKALNYMI. Definicja 3: Liczba m jest najmniejszą wartością funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli istnieje punkt P 0 A, taki że f(p 0 ) = m 6

7 I dla każdego P A f(p) f(p 0 ) = m Liczbę m nazywamy minimum globalnym funkcji f na zbiorze A. Definicja 4: Liczba M jest największą wartością funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli istnieje punkt P 0 A, taki że: f(p 0 ) = M I dla każdego punktu P A f(p) f(p 0 ) = M Liczbę M nazywamy maksimum globalnym funkcji f na zbiorze A. MINIMUM I MAKSIMUM GLOBALNE NAZYWAMY EKSTEMAMI GLOBALNYMI. Twierdzenie: (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli f ma ekstremum w punkcie P 0 oraz istnieją pochodne cząstkowe x i, i = 1,, n w punkcie P 0, to f(p 0 ) = 0. Punkt P 0, w którym przynajmniej jedna pochodna cząstkowa nie istnieje lub w którym wszystkie pochodne cząstkowe są równe 0 nazywamy punktem krytycznym funkcji f. Punkt krytyczny P 0, w którym spełniony jest warunek f(p 0 ) = 0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f. Twierdzenie: (Warunek dostateczny istnienia ekstremum) Załóżmy, że funkcja f U R jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie P 0 U, przy czym f (P 0 ) = 0. Jeżeli f (P 0 ) jest formą dodatnio określoną (odpowiednio ujemnie określoną), to funkcja f ma w punkcie a minimum lokalne właściwe ( odpowiednio maksimum lokalne właściwe). Jeżeli natomiast f (P 0 ) jest formą nieokreśloną, to funkcja f nie ma w punkcie P 0 ekstremum lokalnego. 7